D1_5极限运算法则

高等数学课件
第六节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 2 x a x b
3 2
再利用后一极限式 , 得
3 lim f ( x) x
x 0
lim ( a ) x 0 x
b
可见 故
2012-10-12 高等数学课件
2 2
因此
这说明当
2012-10-12
时,
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，
1 1 1 lim n 1 2 2 2 n n π n 2π n nπ
推论: 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x),
则 A B . ( P46 定理 5 ) 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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内容小结
1. 极限运算法则
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
0
( 要求分母不为 0 )
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例5 . 求 解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因

5
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求极限举例
例例11 求 lim (2x1) x1
解 lim (2x1) lim 2x lim 12 lim x12111
x1
x1
x1
x1
•讨论
若 P(x) a0xn a1xn1 an1x an
则 lim P(x)? x x0
•提示
lim
x x0
P(x)

P(x0
)

例例22
求 lim
x2
x2
x3 1 5x 3

解
6
lim
x 2
x3 1

lim (x3 1)
x2
x2 5x3 lim (x2 5x3)

23 1 22 103


7 3

x2
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例例33
求 lim
4

根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x3 x2 5x4

7
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•讨论
有理函数的极限 lim P(x) ? xx0 Q(x)
•提示
当 Q(x0 ) 0 时
lim P(x) P(x0) xx0 Q(x) Q(x0)
当 Q(x0 ) 0 且 P(x0 ) 0 时
lim P(x) xx0 Q(x)
当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0)
8
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三.复合函数的极限运算法则 定理7. 设 且 x 满足
时,
( x) a , 又 lim f ( u) A ,则有 u a
lim f (u ) A ,
u a
①
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
x x0 x x0
f ( u) A lim f [ ( x) ] lim u
1. 极限运算法则
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
( 分母不为 0 )
2) x x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
推论: 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B, 且 f ( x) g ( x), 则 A B . 提示: 令 ( x) f ( x) g ( x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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例如：
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青岛理工大学琴岛学院
例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
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二、 极限的四则运算法则 定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
x
1 x2 1 x2

11
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1 12 例8 计算 lim （ − 3 ） x→2 x − 2 x −8
解
1 12 （ lim − 3 ） x→2 x − 2 x −8
( x 2 + 2 x + 4) − 12 = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
( x − 2)( x + 4) = lim x → 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) x+4 1 = lim 2 = x→2 x + 2 x + 4 2
n→∞
(2) lim (xn ⋅ yn)= A⋅B ;
xn A (3)当 yn ≠0 (n=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且 B≠0 时, lim = . n→∞ yn B 不等式 •定理5 如果ϕ(x)≥ψ(x), 而limϕ(x)=a, limψ(x)=b, 那么a≥b.
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§1.5 极限运算法则
无穷小的性质 极限的四则运算法则
1
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无穷小的性质 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明 仅就两个x→x0时的无穷小情形证明. 设α及β是当x→x0时的两个无穷小, 则∀ε >0, ∃δ1>0, 当0<|x−x0|<δ1 时, 有|α|<ε ; ∃δ2>0, 当0<|x−x0|<δ2 时, 有|β|<ε . 取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x−x0|<δ时, 有 |α+β|≤|α|+|β|<2ε , 这说明α+β 也是当x→x0时的无穷小. 举例: 当x→0时, x与sin x都是无穷小, 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小.

2
3x 5
.
2
lim ( x
x 2
3 x 5 ) lim x
x 2 2
lim 3 x lim 5
x 2 x 2
( lim x )
x 2
2
3 lim x lim 5
x 2 x 2
2
3 2 5 3 0,
lim
x x
2
3
定理. 设
x x0
lim ( x ) a , 且
x 满足 0
x x0 1
时,
( x ) a , 又 lim f ( u) A , 则有 u a
x x0
lim f [ ( x ) ] lim f ( u) A
u a
①
lim 说明: 若定理中 x x ( x ) , 则类似可得
1) x x0 时, 2) x x0 时,
用代入法 ( 分母不为 0 )
对
0 型 0
, 约去公因子
时,分子分母同除最高次幂 “抓大头” (2) 复合函数极限求法 设中间变量 (3)利用无穷小运算性质求极限
(4)利用左右极限求分段函数极限.
3) x
重点：运用极限的四则运算、复合函数的极限 法则求极限 难点：求极限的一些技巧，极限不存在时的一 些运算
lim
lim
x 4 2 x
0 ( 0 )型
x 0
x 4 2 x
1 x 4 2
lim
1 4
x x( x 4 2)
x 0
x 0
lim
x 0
（分子有理化）
0 ( 0 )

x 1
o
1
x
小结
1.极限的四则运算法则及其推论;
2.求极限的多种方法：
(1) 多项式与分式函数代入法求极 限 ; 消去零因子法求极限; (2) (3) 无穷小因子分出法求极限; (4) 利用无穷小运算性质求极限; (5) 利用左右极限求分段函数极限.
思考题
若 f ( x ) 有极限，g ( x ) 无极限， 在某个过程中，
lim Pn ( x ) Pn ( x ) x x0 lim R( x ) lim x x0 x x0 P ( x ) lim Pm ( x ) m x x0 Pn ( x0 ) R( x0 ). Pm ( x0 ) 若Pm ( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
2 3 n 1 例 求 lim n2 n2 n2 . n n 2
解： 当 n 时, 是无穷多个无穷小之和．
先变形再求极限.
2 n 1 2 n 1 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n n 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim 1 . 2 n n 2 n n 2
0 0
二、求极限方法举例
例
x3 1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 x2
2 lim x 3 x lim 5 解: lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2
(lim x )2 3lim x lim 5
x2 x2 x2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3

令 uxa lim 3 u 0
u2
0．
33 a2
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
3、复合函数的极限运算法则
思考题
在某个过程中，若 f (x) 有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
5lim23xx53 1 x74xx13
2 7
.
(无穷小因子分出法)
小结:当 a00,b00,m和 n为非负整数
lx im ab00xxmn
a1xm1 b1xn1
am bn
0ab,00当 ,当 nnmm, , ,当nm,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
(u)
A，
则复合函数 f[(x)]当x x0 时的极限也存在，
limf[(x)]limf (u) A.
xx0
ua
意义：
lim f[(x)] 令u(x)
xx0
alim (x)
xx0
limf(u)
ua
例8
3
求lim
x3
a.
xa 3 xa
解 原式 li(m 3x3a)3(xa)2
x a
xa
lim 3(xa)2 xa3 x23ax3a2
例6 求limsinx. x x
解 当x时,1为无穷 , 小
x
而sinx是有界函 . 数
limsinx0. x x
y sin x x
例7
设 f(x ) x 1 2 x 1 ,,

例11 求极限 lim n 2 .
n 2n 3 1
解： lim n
n 2 lim 2n 3 1 n
1 2 n
1.
2

3 n

1 n2
2
高等数学
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例12 已知
求 a 的值.
解： 因为
根据已知条件，lim x2 x a 极限存在，所以只能 x2 x 2
§1.5 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
第一章
二、复合函数的极限运算法则
山东交通学院高等数学教研室
一、 极限的四则运算法则
定理 1.5.1 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则
若B≠0 , 则
(证明略.)
注: (1)(2)可以推广到有限个函数的情形.
推论 1.5.1 lim[C f (x)] C lim f (x) ( C 为常数 )
推论 1.5.2 lim[ f (x)]n [ lim f (x) ]n ( n 为正整数 )
高等数学
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例1 求 lim axn.
解:
lim
x x0
axxnx0
a
lim
xx0
xn
a

lim
x x0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x

n

a x0n.
有理整函数
∴ 设n次多项式
x bn xn bn1xn1
当
a0
b0

当
当
高等数学
为非负常数 )
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例10

高等数学（上）
Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x an是一个无穷大量. 且当 Pn ( x)有意义时， Pn ( x)也是一个无穷大量.
m m
如 : x ,3 x 2 2 x 1是无穷大量. x , 3 x 2 x 1也是无穷大量.
高等数学（上）
22/36
第五节 极限运算法则
一、极限的四则运算法则
二、复合函数的极限运算法则
三、极限的计算方法
高等数学（上）
23/36
定理1 设某一变化过程中,变量u, v分别以A, B为极限, 即lim u A,lim v B, 则在同一变换过程中,有
(1) lim(u v) lim u lim v A B;
高等数学（上）
9/36
4.局部保号性
若 lim f ( x) A, 且A 0(或A 0), 则 0, 使得当
x x0
0 | x x0 | 时, 有f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论 若 lim f ( x) A, 且在x0的某空心邻域内f ( x) 0
当
时为无穷小;
时为无穷小.
说明 (1)除0以外任何很小的常数都不是无穷小. (2)变量是否为无穷小与变化过程有关.
高等数学（上）
14/36
x x0
lim f ( x) A f ( x) A ( x), 其中(x)为
定理1 (无穷小与函数极限的关系) (以x x0为例)
x
则称常数
lim f ( x) A
( X 定义)
高等数学（上）
4/36
几何解释

结论： 设多项式 f( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,则有
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
6
问: 无穷大是否有类似的性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大的积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小的乘积是什么？
10
定理 4.
若
lim
n
xn

A，lim n
yn

B ，则
(1)
lim
n
(
xn

yn )

A B;
(2)
lim
n
xn
yn
AB;
(3)
当 yn

0且
B

0时， lim n
xn yn

A. B
注意：极限的四则运算法则成立的条件为：
参与四则运算的各项的极限都存在！
定 理 5若 lim f(x ) A ， lim g (x ) B ， 且 f(x ) g (x ) ， 则 A B .

则∃M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 1时 恒有 u ≤ M .
又设α是当x → x 0时的无穷小,
∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M
第一章 第五节 4
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0 < x − x 0 < δ时, 恒有 ε u⋅α = u ⋅ α < M ⋅ = ε, M ∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 . 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 积是无穷小
2
商法则不 能用 利用无穷小 与无穷大的 关系
x→2
又∵lim3x − 7x + 6 = 4
2
x − 3x + 2 0 ∴ lim 2 = =0 x→ 2 3 x − 7 x + 6 4 2 3x − 7 x + 6 ∴ lim 2 =∞ x→ 2 x − 3 x + 2
2
第一章 第五节 14
x→2
x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 .
3 5 2+ + 3 3 2 2 x + 3x + 5 2 x x lim 3 = lim = . 2 x →∞ 7 x + 4 x − 1 x→∞ 4 1 7 7+ − 3 x x
用x3去除分子分母
第一章 第五节 16
利用无穷小与无穷大的关系，先分出无穷小， 再求极限
10
定理3 定理3 复合函数的极限运算法则

高等数学
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1 分子分母同乘以 2 , 则 x
例8 一般地,
x
由例7
lim
a0 x m a1 x m 1 am
b0 x b1 x
n n 1
bn
为非负整数 )

P32
高等数学
n 1 2 练习 lim 2 2 L 2 n n n n 1 2 L n lim n n2 n( n 1) 1 lim . 2 n 2n 2
( x 3)( x +1 2) lim x3 x 3
lim( x 1 2) 4
x3
(a b)(a b) a 2 b2
练习: P34 1 (11)
高等数学
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0 0
( 3 x 1 x )( 3 x 1 x ) 解: 原式 lim 2 x1 ( x 1) ( 3 x 1 x ) 2(1 x) lim 2 x1 ( x 1)( 3 x 1 x ) 2 lim x1 ( x 1)( 3 x 1 x )
n n n
(2) lim xn yn A B n
xn A (3) 当 yn 0 且 B 0时, lim n y n B
xn , lim yn 都存在 注: 定理成立的条件 : lim n n
定理1.5.2 如果 f ( x) g ( x), 且 lim f ( x) A , lim g ( x) B,
2 2 4 2( 2 2)
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例6 求 解：

(A B) ( )
由定理1可知 也是无穷小,再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
5
推论:若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 )
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
4
二、 极限的四则运算法则
定理 3.若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证:因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
f (x) A , g(x) B (其中 , 为无穷小) 于是 f (x) g(x) (A ) (B )
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
2020年1月20日星期一
蚌埠学院 高等数学
19
另例（1） lim x
x x x

lim 6
x
(
x
2

3
x
3
)
(
x
4

2
1)
蚌埠学院 高等数学
2
定理２ 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小。
设g(x)在某定义域内有界， lim f ( x)存在，
则lim f ( x)g( x) 0.
证明：g(x)有界，故存在M >０，使 f ( x) M
当
0, lim x x0
0 x x0
f ( x) 0 对于