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§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设 , , 是 x x0 时的无穷小，即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面x x0 x x0 x x0来叙述有关无穷小的运算定理。
定理 1 1 ）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论： 1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理 2 如果 lim f x A ， lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x)B 0 ，x x0 x x0 g( x) 的极限都存在，且（ 1）lim f x g x lim f x lim g x A B;x x0 x x0 x x0（ 2）lim f x g x lim f x lim g x AB;x x0 x x0 x x0f x lim f xA（ 3）lim x x0 ( B 0).g x lim g x Bx x0x x0证 1 因为 lim f x A， lim g x B ，所以，当 x x0时，0, 1 0 ，x x0 x x0当 0 x x0 1 时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 时，2有 g (x) B2，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B2 2所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。
极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理 1：若lim f (x) A,lim g (x) B ，则 lim[ f ( x) g (x)] 存在，且
lim[ f ( x) g ( x)] A B lim f (x) lim g( x) 。
证明：只证 lim[ f ( x) g ( x)] A B ，过程为 x x0，对0, 1 0 ，当
0 x x0 1时，有 f (x) A
，对此， 2 0 ，当0 x x0 2
2
时，有 g ( x) B ，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有
2
( f ( x) g( x)) ( A B) ( f (x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B
2 2
所以 lim ( f ( x) g( x)) A B 。
x x0
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理 2：若lim f (x)A,lim g(x) B ，则 lim f ( x) g( x) 存在，且
lim f (x) g( x) AB lim f ( x) lim g( x) 。
证明：因为 lim f ( x) A, lim g( x) B ， f ( x) A, g (x) B,
（,均为无穷小） f ( x) g(x) ( A)( B) AB ( A B) ，记
A B，为无穷小，lim f ( x) g(x) A
B 。
推论 1：lim[ cf ( x)]clim f ( x) （ c 为常数）。
推论 2：lim[ f ( x)]n[lim f ( x)] n（ n 为正整数）。
定理 3：设lim f ( x) A, lim g( x) B 0 ，则 lim f ( x) A lim f ( x) 。
g( x) B lim g (x)
证明：设 f ( x) A, g(x) B（,为无穷小），考虑差：
f ( x) A A A B A
g( x) B B B B( B )
其分子 B A 为无穷小，分母 B( B ) B 2 0 ，我们不难证明 1
)
B(B
有界（详细过程见书上） B A 为无穷小，记为，所以 f ( x) A ，
B( B ) g (x) B lim f (x) A 。
g(x) B
注：以上定理对数列亦成立。
定理 4：如果(x) (x) ，且 lim ( x) a,lim ( x) b ，则a b。
【例 1】 lim (ax b) lim ax lim b a lim x b ax0 b 。
x x0 x x0 x x0 x x0
【例 2】lim x n [ lim x] n x0 n 。
x x0 x x0
推论 1：设f ( x) a0 x n a1 x n 1 a n 1x a n为一多项式，当
lim f ( x) a0 x0 n a1 x0 n 1 a
n 1
x
a
n f ( x0 ) 。
x x0
推论 2：设 P( x),Q( x) 均为多项式，且 Q (x 0 ) 0 ，则 lim P( x) P( x 0 ) 。
x x 0
Q( x) Q( x 0 )
【例 3】 lim ( x 2 5x 10 12 5 1 1
3 。
x 1
【例 4】 lim x
3 7x 9 03 7 0 9 3（因为 05
0 3 0 ）。
x 0
x 5
x
3
05 0
3
注：若 Q (x 0 ) 0 ，则不能用推论 2 来求极限，需采用其它手段。
【例 5】求 lim x 2 x 2 。
x
1
2x 2
x 3
解：当 x 1时，分子、分母均趋于 0，因为 x 1，约去公因子 ( x 1) ，
所以
lim x 2 x 2
lim
x 2 3 。
x 1
2x
2
x 3
x 1
2x 3 5
【例 6】求 lim (
1
3
) 。
x
1
x 1 x 3 1
解：当
1 3
全没有极限，故不能直接用定理 3，但当 x
1时，
x
1, x 1 ,
x 3 1
1
3
( x 1)( x 2)
x 2
，所以
x 1
x 3 1 ( x 1)( x 2
x 1) x 2
x 1
lim (
1 3 )
lim
x
2
1
2
1。
x1
x 1x 3 1
x
1
x 2
x 1 ( 1) 2
( 1) 1
【例 7】求 lim
x 2 。
x 2
x 2
解 ： 当 x
2 时 ， x 2 0 ， 故 不 能 直 接 用 定 理 5 ， 又 x 2 4 ， 考 虑 ：
x 2 2 2
0 ，
lim
x 2
4
x 2
lim
x 2。
2
x
2
x
【例 8】若 lim x
2
ax b 3 ，求 a,b 的值。
x 1
sin( x 2 1)
当 x
1时， sin( x 2 1) ~ x 2 1，且 lim ( x 2 ax b) 0
x 1
a b 1 0, b= (a 1)
x 2 ax b x 2
ax (a 1) ( x 1)(x a 1)
x 2 1
( x 1)(x
1)
( x 1)(x
1)
x 2 ax
b a 2
lim
2
3
x
1
x 1 2
a 4, b
5
【例 9】设 a 0
0, b 0
0, m, n 为自然数，则
a 0 当 n
时
b 0
m
a 0 x n
a 1 x n 1
a n
lim
当
n
时 。
b 0 x m b 1 x m 1
b m
m
x
当
n 时
m
证明：当 x
时，分子、分母极限均不存在，故不能用§ 1.6 定理 5，先变形：
a 0 x n
a 1 x n 1
a n
a 0 a 1 a n lim
lim x n m
x
x n
b 0 x m b 1 x m 1
b m
b 1
b m
x
x
b 0
x x
m
a 0 0
当 n m 时
1
b 0
a 0 0
当 n m 时
b 0
a 0 0
0 当 n m 时
b 0 0
【例 10】求 lim (
1 2 n ) 。
n
2
n
2 n
2
n
解：当 n
1，先变形：
时，这是无穷多项相加，故不能用定理
原式 lim 1 (1 2
n) lim 1 n( n 1) lim n 1 1 。
n 2
n 2
2
2n
2
n
n n
【例 11】证明 lim x
1, x 为 x 的整数部分。
x
x
证明：先考虑 1
x x
x
，因为 x
x 是有界函数，且当 x
时，
1
0 ，所
x
x
x
以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得
lim
x
x 0
lim (1
x ) 0 lim
x
1。
x
x
x
x
x
x。
