(整理)极限运算法则两个重要极限
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1.5极限的运算法则、两个重要极限
x3 + ax + b x 3 + ax + (−8 − 2a ) ∴ lim = lim 2 x →2 x→2 x −4 x2 − 4 2 ( x − 2)( x + 2 x + 4 + a) 12 + a = lim = x→2 ( x − 2)( x + 2) 4 12 + a ∴ =4 4 ∴ a = 4, b = −16
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞
2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,
存在如果推论2limlimlimlimlimlim分母的极限都是零分子1后再求极限因子先约去不为零的无穷小分母的极限都是无穷大分子再求极限分出无穷小去除分子分母先用无穷小因子分出法小结
1.5 极限的运算法则、两个重要极限 极限的运算法则、
• 一、极限的运算法则 • 二、两个重要极限 • 三、无穷小量的比较
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
例7
3 1 lim( − ) 3 x →1 1 − x 1− x
函数极限的运算
1 2 x 1 cos x 1 2 解 : lim lim x 0 x si n x x 0 x x 2
25
例17设
x 2x k lim 4， 求k的 值 。 x 3 x3
2
解:由题意可知，当x→3时，x2-2x+k和x-3是 同阶无穷小．
即 lim( x 2 2 x k ) 0
9
例8
3x 2 x 1 lim 2 x 2 x x 5
3
解 因为当x→∞时，类型为“
大与无穷小的关系，
”型未定式，
且分子中的x指数大于分母中x的指数．根据无穷
2 1 5 2 2 3 2x x 5 0 x x x lim 0 lim 3 x 2 5 x 3 x 2 x 5 3 3 2 3 x x 3x3 2 x 1 所 以 lim 2 x 2 x x 5
12
sin 3x 例 9 lim x 0 x
解:
sin3 x sin 3 x sin3 x 3 lim （ 3 ） 3 lxim lim 0 x 0 x 0 3x x 3x
tan x 例10 lim x 0 x 0 解 这个极限是“0 ”型未定式，且含有三角函 sin x 数tanx，要想用公式，就要化为 的形式． x tan x sin x 1 lim lim( ) 1 x 0 x 0 x x cos x
x 2
x2 所以 lim x2 x 2
5
例4
x3 lim 2 x 3 x 9
解 因为当x→3时，分母、分子的极限都为0，称 为“ 0
0
”型未定式．对于这种类型的极限，常
用消去“零因式”的方法．
第四节 两个重要极限
e3
(2) lim(1 3 x) lim[1 ( 3x )]
x 0 x 0 x
1 x
1 ( 3 ) 3 x
lim{[1 (3x)] }3
e3
1 3 x
15
1 4 x 3 例7 求 lim(1 ) x 2x 1 4 x 3 ) 解：lim(1 x 2x 1 4x 1 3 lim(1 ) (1 ) x 2x 2x 1 2x 2 1 3 lim[(1 ) ] lim(1 ) x x 2x 2x
18
当 x 1时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x] 1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1 1 x lim (1 ) e . x x
12
练习2.求下列极限:
[ A] 1、 (1 3 x ) lim
x 0
1 x
1 x
lim(1 3x) lim[(1 3x) ] e 3
x 0 x 0
1 3x 3
2 2、 (1 ) x lim x x
2 x 2 2 2 lim(1 ) lim{[(1 )] } e 2 x x x x
sin x tan x cos x lim sin x 2、 lim lim x0 x cos x x0 x0 x x sin x 1 1 1 1 lim lim x 0 x x0 cos x
高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限
n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x
两个重要极限
lim (1 1 )4x (1 1 )3
x 2x
2x
lim[(1 1 )2x ]2 lim (1 1 )3
x
2x
x 2x
e2 1
e2
例8 求 lim ( x 2)2x
x x 1
解：lim ( x 2 )2x x x 1
lim (1 1 )2x lim (1 1 )2( x1)2
x
(1
1 1
) x
1. e
x
一般地 lim1 k x ek x x
例7
求
lim x
x x
1 1
x
解一
原式
lim (1
x
e2
x
2
) 1
x1 2
2
(1
2) x1
解二
(1 1 )x
原式
lim
x
(1
x 1 )x
x
e e 1
e2
练习:
(1) lim (1 3)x
x
x
(3)
x0
x0
2、lim (1 2 )x
x
x
lim (1
2)x
lim{[(1
2
)]
x 2
}
2
e2
x
x
x
x
练习
sin 1 x [ A] 1、lim 2
x0 x
sin 1. lim
1 2
x
sin lim(
1 2
x
1)
1
x0
x
x0
1x 2
2
2
[B] 2、lim sin 7x x0 sin 3x
2.lim sin 7x lim (sin 7x )( 3x )( 7) 7 x0 sin 3x x0 7x sin 3x 3 3
两个重要极限-重要极限
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。
在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。
（3）柯西极限存在准则。
极限运算法则两个重要极限
例12求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解 错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解 错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»
1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
04 极限存在准则 两个重要极限
25
例5 求 lim(1 1 )x .
x
x
解 原式 lim[(1 1 ) x ]1
x
x
1. e
26
例6 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim(1 1 )2(x2)4 x x 2
lim[(1 1 )x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
27
1
例7 lim(1 x) x x0 1 (1) lim[1 (x)](x) x0
e1
28
三、小结
1、两个极限存在准则
2、两个重要极限
sin (x)
(1) lim
1
(x)0 (x)
1
(2) lim 1 (x) (x) e (x)0
12
准则II 单调有界数列必有极限。
数列 xn
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
13
例2 证明数列 xn 2 2 2 的极限存在，并求出该极限。
证 1）先证数列{xn}有界—数学归纳法 n=1时，x1 2 2, 假定n=k时，xk 2
由牛顿二项公式得，n (1 an )n
1
nan
n(n 1) 2
an2
ann
>
n(n 2
1)
an2
an2
2n n(n 1)
2 n 1
即 0 an
2 n1
lim 0 lim
n
n
2 0 n 1
lim
n
an
例5 求 lim(1 1 )x .
x
x
解 原式 lim[(1 1 ) x ]1
x
x
1. e
26
例6 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解 原式 lim(1 1 )2(x2)4 x x 2
lim[(1 1 )x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
27
1
例7 lim(1 x) x x0 1 (1) lim[1 (x)](x) x0
e1
28
三、小结
1、两个极限存在准则
2、两个重要极限
sin (x)
(1) lim
1
(x)0 (x)
1
(2) lim 1 (x) (x) e (x)0
12
准则II 单调有界数列必有极限。
数列 xn
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
13
例2 证明数列 xn 2 2 2 的极限存在，并求出该极限。
证 1）先证数列{xn}有界—数学归纳法 n=1时，x1 2 2, 假定n=k时，xk 2
由牛顿二项公式得，n (1 an )n
1
nan
n(n 1) 2
an2
ann
>
n(n 2
1)
an2
an2
2n n(n 1)
2 n 1
即 0 an
2 n1
lim 0 lim
n
n
2 0 n 1
lim
n
an
第1-2极限四则运算法则和两个重要极限
特别地 lim kf ( x) k lim f ( x) kA
推论1 lim[ f ( x)] [lim f ( x)]
0 n
n
( n 为正整数, 当n为偶数时， A≥0 )
推论20 lim n [ f ( x)]
n
lim f ( x)
f ( x) lim f ( x) A ③ lim ( B 0) g ( x) lim g ( x) B
(2) 函数极限值 lim f( x)与x0 有无定义无关.
考察函数 y=x+1 ( x∈R )，当x→1时， 极限y→2
x2 1 考察函数 y （x≠1）， x 1
y 2 1 -1 0 1 x
当x→1（但不等于1）时， 极限 y→2 .
例1. 函数
y 3
3x, x 1; f ( x) 1, x 1.
x x0
f ( x) A( x x0 )
x0 邻域： 以x0为中心， 2为长度的开区间 注： （x0 , x0 ）
x0
(
.
x0
x0
)
( 1 ) f ( x ) A | f ( x ) A| 0;
x x0
{ x | | x x0 | }
例8.求极限
x
x
lim ( x x x).
2
解： lim ( x 2 x x) lim
x2 x x2 x2 x x
x
lim
x x2 x x
1 1 1 2 1 1 x
x
lim
x
(2)复合函数极限运算法则
设函数y f [ g ( x)] 由函数y f (u), u g ( x)复合而成，
两个重要极限
s x in lim =, 1 x 0 x →
lim o x= . cs 1
x 0 →
13
例2.21 求下列极限:
( )liminx 1 s ;
x 0 →
(2 )lim nx ta
x 0 →
a c nx r ta (4 )lim x 0 → x π 解 (1) 0 s x<x <x< < in ,0 2 s 于是 lim inx=0 +
：
链 接
in x x in x x 解 (1)x→0时, s a ~a ,s b ~b s a in x a a x ∴ lim =lim = x 0s b → in x x 0b → x b
(2)x→0时, ta x~3 n3 x
ta x n3 3 x ∴ lim =lim =3 x 0 → x 0 x → x
22
] ] 1 当x≥ 时 有[x ≤x≤[x + , 1 ,
1 [x] 1 1[ 1 (+ 1 ) ≤( + )x ≤( + ) x]+ , 1 1 [x + ] 1 x [x ]
1 [x]+ 1 [x] 1 1 而 lim1 ( + ) = lim1 ( + ) ⋅ lim1 (+ ) x + →∞ x + →∞ + [x ] [x ] x→∞ [x ]
7
例2.20 设 u = au = a+u− (n≥2 ,其中a>0,求 , n ) 1 n1
lim n. u
n ∞ →
解 首先 u = a+u > a=u;设 u >u− ,则 n n1 2 1 1
极限四则运算法则和两个重要极限 PPT
设函数y f [g(x)]由函数y f (u), u g(x)复合而成，
0
y
f [g(x)]在U (x0, ) 有定义，且
lim
x x0
g
(x)
u0，又
lim f (u) A, 则有
u u0
lim f [g(x) ] lim f (u) A
x x0
u u0
注:变量代换,令u=g(x), 则 f [g(x)]=f (u),
lim x 1 lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1 x1
x 1
x1
2
二、两个重要极限
× (1) lim sin x 1 x xx0
注: 当 lim (x) 0时，lim sin(x) 1.
x x0
xx0 (x)
1
(2) lim(1 x) x e
(或 lim(1 1 )x e)
f
( x0
0)
A
右
右极限 : 如果当x x0,有 f (x) A,则称A为函数 f (x)
当x→x0 时得右极限, 记作
lim
x x0
f
(x)
A
或
f
( x0
0)
A
定理 、lim f (x) A
xx0
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
例3、 给定函
数
x 1, x 0
f
(x)
1
,
x0
1 x , x 0
y
1 O
y x 1
x
y 1 x
讨论 x 0 时 f (x) 得极限就是否存在 、
解: 利用前述定理 、因为
两个重要极限(整理).pdf
两个重要极限（整理）.pdf第一个重要极限的公式：limsinx/x=1(x->0)当x→0时，sin/x 的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1/x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
第二个重要极限的公式：lim(1+1/x)^x=e（x→∞）当x→∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x→0时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
两个重要极限公式作用（1）sinx/x的极限，在中国国内的教学环境中，经常被歪解成等价无穷小。
而在国际的微积分教学中，依旧是中规中矩，没有像国内这么疯狂炒作等价无穷小代换。
sinx经过麦克劳林级数展开后，x是最低价的无穷小，sinx跟x只有在比值时，当x趋向于0时，极限才是1。
用我们一贯的，并不是十分妥当的说法，是“以直代曲”。
这一特性在计算、推导其他极限公式、导数公式、积分公式时，会反反复复地用到。
sinx、x、tanx也给夹挤定理提供了最原始的实例，也给复变函数中sinx/x的定积分提供形象理解。
（2）关于e的重要性，更是登峰造极。
表面上它起了两个作用：A、一个上升、有阶级数，跟一个下降的有阶级数，具有一个共同极限；B、破灭了我们原来的一些固有概念：大于1的数开无限次幂的.结果会越来越小，直到1为止；小于1的正数开无限次幂的结果会越来越大，直到1为止。
整体而言，e的重要极限，有这么几个意义：A、将代数函数、对数函数、三角函数，整合为一个整体理论，再结合复数理论，它们成为一个严密的互通互化互补的、相辅相成、交相印证的完整理论体系.B、使得整个微积分理论，包括微分方程理论，简洁明了。
没有了e^x这一函数，就没有了lnx，也就没有一切理论，所有的公式将十分复杂。
1.5-1.6 极限运算法则极限存在准则,两个重要极限
4 2 3 3 4x 2 2 3 3 x 3 x x lim 3 lim 2 5 3 x 7 x 5x 3 x 7 3 7 x x 2 2x 1 3 x 例 63 求 lim 3 2 例 x 2x x 5
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 3 2 1 2 2x 1 2 x3 3 x x x lim 3 2 lim 0 0 x 2x x 5 x 2 1 53 2 x x
x 3 ( x ) 3 x
x 1
.
1 解 (1) 原式 lim(1 ) x x 3 3 x 1 3 3 3 [lim(1 ) ]x (1) lim(1 ) ; x x
1 cos x 例2 求 lim x 0 x sin x x 2 x sin 2sin 1 1 cos x 2 2 lim lim . 解 lim x 0 x 0 x sin x x 2 x x x 0 x 2 cos 2 x sin cos 2 2 2 2
注：一般地，若x→x0时，函数φ(x)→0，则有
x2 9 x2 9 是由 y u 与 u 复合而成的 解解 y x 3 x 3
x2 9 u 6, 因为 lim 6, 而 lim u 6 x 3 x 3
x 9 所以， lim 6. x 3 x 3
2
16
第六节 极限存在准则
准则 I
两个重要极限
x x0
u u0
使得0 x x0 1时, 有 g( x) u0
取 min{ 0 , 1},则0 x x0 时,有0 g( x) u0
所以有
f (u) A f [ g( x)] A
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
大学高等数学 极限部分复习
− 2x2 + 3x b = lim[ f (x) −x] = lim 2 x→∞ x→∞ x + 2x − 3
∴ y = x − 2为曲线的斜渐近线 .
七、方程的根的存在性与根的个数
例1 证明方程 x5 − 5x + 1 = 0 有且仅有一个小于
1的正实根.
证 设 f ( x ) = x 5 − 5 x + 1,
f ( x ) = e x − (ax 2 + bx + c )
直接证明有困难， 直接证明有困难，采用反证法 设 f ( x ) = 0 有四个实根 x1 < x2 < x3 < x4
记
连续、 f ( x ) = e x − (ax 2 + bx + c ) 连续、可导
对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
2
1 sin x 1 ( + x cos ) = 1 = lim x → 0 1 + cos x x x 2
四、洛必达法则
洛必达法则
∞ − ∞型
f −g= 1 g −1 f 1 g⋅1 f
0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f g 取对数
0⋅ ∞ 型
f ⋅g= f 1g
1 = 6
练习2. 练习2. 求
1 解: 令 t = , 则 x
原式 = lim
t→0
1+ 2t − 2 1+ t +1 t
2
= l1 2
− (1+ t) 2t
−1 2
= lim
∴ y = x − 2为曲线的斜渐近线 .
七、方程的根的存在性与根的个数
例1 证明方程 x5 − 5x + 1 = 0 有且仅有一个小于
1的正实根.
证 设 f ( x ) = x 5 − 5 x + 1,
f ( x ) = e x − (ax 2 + bx + c )
直接证明有困难， 直接证明有困难，采用反证法 设 f ( x ) = 0 有四个实根 x1 < x2 < x3 < x4
记
连续、 f ( x ) = e x − (ax 2 + bx + c ) 连续、可导
对 f ( x ) 在[ x1 , x2 ],[ x2 , x3 ],[ x3 , x4 ] 用罗尔定理得
2
1 sin x 1 ( + x cos ) = 1 = lim x → 0 1 + cos x x x 2
四、洛必达法则
洛必达法则
∞ − ∞型
f −g= 1 g −1 f 1 g⋅1 f
0 ,1 , ∞ 型
0 0
∞
0 型 0 ∞ 型 ∞
令y = f g 取对数
0⋅ ∞ 型
f ⋅g= f 1g
1 = 6
练习2. 练习2. 求
1 解: 令 t = , 则 x
原式 = lim
t→0
1+ 2t − 2 1+ t +1 t
2
= l1 2
− (1+ t) 2t
−1 2
= lim
极限的运算和两个重要极限
3 x 2x 例5 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
小结
1.两个准则
迫敛准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
1 令t , x
x 0
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
1 x
1 x
lim(1 x ) e
模式
1
1 x 例4 求 lim(1 ) . x x
解
1 1 x 1 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x x (1 ) x 1 . e
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 ( 型 ) . 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
x1 1 . lim x 的四则运算
二、两个重要极限 三、无穷小量的比较
说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程， 实际上，下面的定理对x→X0及x→∞都成立。我们 只证明x→X0的情形。
一、极限的四则运算
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
( x a) lim 3 2 3 x a x ax 3 a 2
3 2
令u x a
lim 3 u 2
u 0 3
3 a
2
0．
小结
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定理3：（局部保号性）如果 ，并且 （或 ），则在 的某一空心邻域内，有 （或 ）。
推论若在 的某一空心邻域内有 （或 ），且 ，则 （或 ）。
2．3．2极限的运算法则
定理1：设 , ,则
(1) =
(2)
若 .(常数),则
(3)
证明因为 , ，利用2。2定理，它们可以分别写为:
= ,
其中 均为无穷小量，则有：
小结：1．极限运算法则
2．求极限方法
1）设 为多项式，则 。
2） 、 均为多项式，且 ，则
3）若 ，则
4）若 为“ ”型时，用因式分解找出“零因子”。
5）结论：
6）若 有界，则
7）若 为“ ”型时，一般是通分或有理化后再处理。
2．4两个重要极限
2．4．1判别极限存在的两个准则
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3极限的运算法则
2．3．1极限的性质
定理1：（唯一性）如果极限 存在，则它只有一个极限。即若 ， ，则
定理2：（有界性）若极限 存在，则函数 在 的某一空心邻域内有界
因为 为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“ ”型，先设法
约去非零因子。
“ ”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分，再计算。
一般证Leabharlann 略例8、例9结果可作环境影响评价工程师课主持进行下列工作：
C.可能造成较大环境影响的建设项目，应当编制环境影响报告书
（三）环境影响评价的原则
2.环境影响评价的概念
例18，例19视情况选讲
为公式使用。
可证得此结论。
和差化积公式
练习：
＝4
因为当 时，
一般
＝e2
疾病成本法和人力资本法将环境污染引起人体健康的经济损失分为直接经济损失和间接经济损失两部分。直接经济损失有：预防和医疗费用、死亡丧葬费；间接经济损失有：影响劳动工时造成的损失（包括病人和非医务人员护理、陪住费）。这种方法一般通常用在对环境有明显毒害作用的特大型项目。
且有极限 ，则有
准则2如果数列 单调有界，则 一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限
例8计算
解 ＝ · = · =1
例9计算
解 ＝ ＝
＝
例10计算
解 ＝
结论：
例11计算
解 ＝
例12求
解 ＝
例13求
解错误做法： ＝ 1
正确做法： ＝
2．极限
例14计算
解 ＝
例15计算
解 ＝
例16计算
解＝ ＝ ＝
例17计算
解 ＝ ＝
＝
例18计算
解 ＝
＝ ＝
例19
解令
所以 ＝
小结：⒈
； ＝1； ＝
⒉ ；
＝1； ＝1
作业P27——1（3）（6），P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）
讲述
我们先介绍极限的运算法则
证明从略。
以上性质只对 的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。
设 为多项式
当 时，
因为 为多项式，所以极限值等于在 处的函数值
为了有别于传统的忽视环境价值的理论和方法，环境经济学家把环境的价值称为总经济价值（TEV），包括环境的使用价值和非使用价值两个部分。
（二）安全评价的基本原则
每名环境影响评价工程师申请登记的类别不得超过2个。
1.准备阶段
规划审批机关在审批专项规划草案时，应当将环境影响报告书结论以及审查意见作为决策的重要依据。
(1) + =A+B+[ ]
由2．2定理知 仍为无穷小量,所以 + 以A+B为极限.
即 = .
容易证明：
例1求
解 ＝15
例2求
解 ＝
例3求
解因为 ＝0根据无穷大于无穷小的关系
所以有 ＝
注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。
例4求
解 ＝ ＝
例5
解 ＝ ＝
例6求
解 ＝
结论：
例7求
解 ＝ ＝
推论若在 的某一空心邻域内有 （或 ），且 ，则 （或 ）。
2．3．2极限的运算法则
定理1：设 , ,则
(1) =
(2)
若 .(常数),则
(3)
证明因为 , ，利用2。2定理，它们可以分别写为:
= ,
其中 均为无穷小量，则有：
小结：1．极限运算法则
2．求极限方法
1）设 为多项式，则 。
2） 、 均为多项式，且 ，则
3）若 ，则
4）若 为“ ”型时，用因式分解找出“零因子”。
5）结论：
6）若 有界，则
7）若 为“ ”型时，一般是通分或有理化后再处理。
2．4两个重要极限
2．4．1判别极限存在的两个准则
准则1（夹逼定理）设函数 在 的某一邻域 内满足
复习旧课：1．无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系
导言：前面我们介绍了极限的定义，为了方便计算下面我们介绍极限的运算法则和两个重要的极限
2．3极限的运算法则
2．3．1极限的性质
定理1：（唯一性）如果极限 存在，则它只有一个极限。即若 ， ，则
定理2：（有界性）若极限 存在，则函数 在 的某一空心邻域内有界
因为 为两个多项式商的极限，且在x=1处分母的极限不为零，所以极限值等于函数值。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
在x=-1处，分母为零，不能直接计算极限。
“ ”型，先设法
约去非零因子。
“ ”型，用无穷小量分出法，即分子、分母同时除以x的最高次幂。
先通分，再计算。
一般证Leabharlann 略例8、例9结果可作环境影响评价工程师课主持进行下列工作：
C.可能造成较大环境影响的建设项目，应当编制环境影响报告书
（三）环境影响评价的原则
2.环境影响评价的概念
例18，例19视情况选讲
为公式使用。
可证得此结论。
和差化积公式
练习：
＝4
因为当 时，
一般
＝e2
疾病成本法和人力资本法将环境污染引起人体健康的经济损失分为直接经济损失和间接经济损失两部分。直接经济损失有：预防和医疗费用、死亡丧葬费；间接经济损失有：影响劳动工时造成的损失（包括病人和非医务人员护理、陪住费）。这种方法一般通常用在对环境有明显毒害作用的特大型项目。
且有极限 ，则有
准则2如果数列 单调有界，则 一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限
例8计算
解 ＝ · = · =1
例9计算
解 ＝ ＝
＝
例10计算
解 ＝
结论：
例11计算
解 ＝
例12求
解 ＝
例13求
解错误做法： ＝ 1
正确做法： ＝
2．极限
例14计算
解 ＝
例15计算
解 ＝
例16计算
解＝ ＝ ＝
例17计算
解 ＝ ＝
＝
例18计算
解 ＝
＝ ＝
例19
解令
所以 ＝
小结：⒈
； ＝1； ＝
⒉ ；
＝1； ＝1
作业P27——1（3）（6），P31——1（1）（6）（9）——2（1）（3）
讲述
我们先介绍极限的运算法则
证明从略。
以上性质只对 的情况加以叙述，其它的形式也有类似的结果。
设 为多项式
当 时，
因为 为多项式，所以极限值等于在 处的函数值
为了有别于传统的忽视环境价值的理论和方法，环境经济学家把环境的价值称为总经济价值（TEV），包括环境的使用价值和非使用价值两个部分。
（二）安全评价的基本原则
每名环境影响评价工程师申请登记的类别不得超过2个。
1.准备阶段
规划审批机关在审批专项规划草案时，应当将环境影响报告书结论以及审查意见作为决策的重要依据。
(1) + =A+B+[ ]
由2．2定理知 仍为无穷小量,所以 + 以A+B为极限.
即 = .
容易证明：
例1求
解 ＝15
例2求
解 ＝
例3求
解因为 ＝0根据无穷大于无穷小的关系
所以有 ＝
注意：求极限时，必须注意每一步的根据，否则会出现错误。
例4求
解 ＝ ＝
例5
解 ＝ ＝
例6求
解 ＝
结论：
例7求
解 ＝ ＝