初等变换应用

199科技资讯 S CI EN CE & T EC HNO LO GY I NF OR MA TI ON 学 术 论 坛线性代数中有诸多的思想方法,其核心是等价分类求标准形以及贯穿全书始终的初等变换的思想方法。

初等变换的方法是线代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法之一。

这种方法的实质是将问题化繁为简,化多为少,化大为小,并保持事物的本质不变,矩阵的初等变换计算简洁便于应用,是研究线性代数问题的一个重要工具。

在文献[1][2]中,已应用矩阵的初等变换解决了:(1)求线性方程组的通解;(2)求可逆矩阵的逆矩阵;(3)化矩阵为标准形;(4)求向量组的极大线性无关组;(5)判断向量组等价;(6)求多项式的最大公因式、最小公倍式及组合系数多项式;(7)求标准正交基等。

初等变换在线性代数中的应用远不止这些,如何巧妙地运用初等变换去解决线性代数中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果。

以下就初等变换的思想方法在线性代数中的广泛应用做进一步的总结。

1 基本定理定理1 矩阵经过初等行(列)变换后,其秩不变。

定理2 设 =(n a a 1)关于基n 1的坐标为 X (n x x 1)用矩阵表示成 PX 。

因 P 可逆,所以 1X P ,即：(:)P 初等行变换(E:1P)定理3 设矩阵方程 AX=B ,若A可逆,则 1X=A B ,即：(:)A B 初等行变换 (:X)E 推论1设矩阵方程 XA=B ,若A 可逆,则 1X=BA , 1X =A B（）,即： (:)A B 初等行变换 (:X )E 定理4 对A 作一系列初等行变换,同时作相应的初等列变换,把A 化为对角形B ,其初等列变换把单位阵化为变换阵PE A 对应相同的行列变换P B 则存在可逆变换 X PY ,将A对应的二次型化为标准型。

2 典型例题详解例1 用初等变换法求矩阵的秩。

A21424554112203611110解 先把第五行邻换到第一行：111011001110455401220122112201220001036102440000214503610000A所以r(A)=3。

矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。

它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。

矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。

本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。

讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。

2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。

3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。

下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。

矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。

矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。

一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。

矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。

本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。

并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。

关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。

本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。

虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。

定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。

初等行、列变换统称为初等变换。

定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。

初等合同变换法初等合同变换法是线性代数中重要的一个部分。

它是指对一个矩阵进行加、减、乘一个常数、交换它的两行或两列、以及用一行或一列的常数乘以另一行或一列等运算，得到的新矩阵与原矩阵互为合同矩阵。

对于一个实数域上的对称矩阵，通过初等变换后所得到的新矩阵仍然是对称矩阵。

初等合同变换法的应用很广泛，在数学、物理、机械等许多领域中都有着广泛的应用。

一、初等行变换（1）交换两行：将矩阵中的第 $i$ 行和第 $j$ 行进行交换，得到新矩阵。

这个操作用符号 $R_i\leftrightarrow R_j$ 表示。

例如：$$\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\left(\begin{array}{ccc} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)$$对于矩阵 $A$ 的初等列变换即是 $A$ 转置的初等行变换。

这一点是显然的。

矩阵中的任何一个初等变换都可以表示为以下的一组基本变换：$$\begin{aligned} (1)&\quad R_i\leftrightarrow R_j\\ (2)&\quadkR_i\qquad(k\neq0)\\ (3)&\quad R_i+kR_j\\ \end{aligned}$$将上述变换叠加起来，就可以得到任何一个矩阵的初等变换。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用线性代数中初等变换在矩阵理论中的应用Һ庞㊀峰㊀（山西警察学院，山西㊀太原㊀０３０４０１）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵是整个线性代数课程的基础，线性代数的很多概念和应用都离不开矩阵，而初等变换是矩阵运算中的最主要㊁最常见的一种运算，也是解决矩阵问题的一个基本方法，它几乎贯串线性代数的始终．鉴于矩阵初等变换的重要性，本文将对矩阵的初等变换应用于不同方面做一个归纳与总结，便于理清各知识点之间的内在联系，对掌握矩阵理论十分有帮助，同时，希望本论文的研究也会给相关的学者一些建议和思考．ʌ关键词ɔ矩阵理论的应用；线性代数；初等变换ʌ基金项目ɔ课题名称： 金课 标准下的‘线性代数“线上㊁线下混合式教学研究，课题编号：ＹＪ２０２０１２，课题来源：２０２０山西警察学院院级教学改革创新项目重点课题随着时代的发展，矩阵由最初的一种工具逐渐演变为一门数学分支 矩阵论，而矩阵论又可分为矩阵方程论㊁矩阵分解论及广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，已经被广泛地应用在了现代科技的各个领域之中．矩阵就是一个整齐排列的实数或复数的数块或者说集合，它本身没有任何运算的功能．正是初等变换赋予了矩阵变化的 魔力 ，才把矩阵理论中的绝大部分内容有机地联系起来．由此可见，矩阵的初等变换在矩阵理论中起着举足轻重的作用，是其核心和精髓．通过初等变换将矩阵Ａ转化为更为简单的矩阵Ｂ，然后利用矩阵Ｂ来对矩阵Ａ进行研究，这已被公认为是一种方便㊁有效的途径．我们通常所说的矩阵的位置变换就是将矩阵中的两行（或列）的位置进行对换，记作：Ｒｉ↔Ｒｊ或Ｃｉ↔Ｃｊ；其次是数乘变换：就是将矩阵的某一行（或列）乘一个不等于零的数ｋ，记作：ｋＲｉ或ｋＣｉ；最后是消去变换：就是将矩阵中的某一行（或列）的适当倍数加到另外的一行（列）上，记作：Ｒｉ＋ｋＲｊ或Ｃｉ＋ｋＣｊ．以上三种变换统称为矩阵的初等变换．关于初等变换的重要结论：任何一个矩阵，通过有限可数次的初等变换都可以化成阶梯形，再进一步化为行最简形矩阵．这一结论保证了初等变换的可行性，同时也指明了变换的最终方向．矩阵的初等变换有很多优点，如，它只涉及加减乘除四则基本运算，计算简单；化简过程有规律，算法很容易实现；初等变换表面上是一种等价变化，实质上却是矩阵乘法的可逆恒等运算，从而通过形式的转化实现恒等运算的本质；初等变换的化简过程灵活多样，因人而异，但结果却唯一，且保持矩阵的本质属性即矩阵的秩不变．总之，矩阵初等变换的实质是将问题化繁为简㊁化多为少㊁化大为小，并且保持事物的本质属性不变．我们要善于运用矩阵的初等变换这一有力工具来帮助我们达到解决矩阵问题的目的，并掌握矩阵初等变换的广泛应用．一㊁求逆矩阵逆矩阵的求解是矩阵理论中的一个十分重要的内容．对于一个方阵Ａ，我们可以采用初等变换的方法来判断这个矩阵是否可逆，而且在可逆的情况下还可以求出其逆矩阵Ａ－１．也就是先将原矩阵与同阶单位矩阵采用拼接的方式得到一个新矩阵，再对这个矩阵进行转化，遵循ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ（其中Ａ为可逆矩阵，Ｅ为单位矩阵）的规则，以此来确定它的逆矩阵．如果在变换过程中，与Ａ等价的矩阵无法变成Ｅ时，则Ａ不可逆．具体形式如下：（Ａ｜Ｅ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１）或ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＡ－１æèçöø÷求逆矩阵还可以采用伴随矩阵的方法进行求解．对于一个ｎ阶方阵Ａ，用伴随矩阵计算逆矩阵Ａ－１，需要计算ｎ２＋１个行列式，计算量相当大，而且这ｎ２＋１个行列式要计算出值也非易事．相比之下，利用初等变换来计算逆矩阵就显得较为简便㊁实用㊁快捷．二㊁解矩阵方程对于矩阵方程，比矩阵的乘法运算更简单㊁实用，而且计算方便的方法即是初等变换的方法．（１）形如ＡＸ＝Ｂ的矩阵方程，由于Ａ－１（Ａ，Ｂ）＝（Ｅ，Ａ－１Ｂ），因此采用初等行变换很容易得出它的解Ｘ＝Ａ－１Ｂ．具体过程为：ＡＢ()ң ң{初等行变换ＥＡ－１Ｂ()．（２）形如ＸＡ＝Ｂ的矩阵方程，同理可得ＡＢæèçöø÷Ａ－１＝ＥＢＡ－１æèçöø÷，可以采用矩阵的初等列变换进行求解，得出Ｘ＝ＢＡ－１，具体过程为：ＡＥ()ң ң{初等列变换ＥＢＡ－１æèçöø÷．（３）形如ＡＸＢ＝Ｃ的矩阵方程，可以参照（１）（２）两种基本形式，得出其解为Ｘ＝Ａ－１ＣＢ－１，具体过程为：（Ａ｜Ｃ）ң ң{初等行变换（Ｅ｜Ａ－１Ｃ），ＢＡ－１Ｃæèçöø÷ң ң{初等列变换ＥＡ－１ＣＢ－１æèçöø÷．另外，对于其他变异形式的矩阵方程，可以先通过恒等变形转化为上述（１）或（２）的基本形式，再解之．三㊁计算矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一种固有本质属性，是讨论矩阵问题㊁线性方程组的解的问题㊁向量组相关性㊁线性空间基等的重要依据，也是透过现象看本质的重要载体．一般矩阵用定义求其秩，需要从最高阶式子起一阶一阶地试验结果是否非零，显然偶然性很大，而且计算也比较烦琐．矩阵的秩有如下三个重要结论：（１）行阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数；（２）矩阵的秩不随矩阵的初等变换而发生变化；（３）任何一个矩阵的行秩等于列秩．据此，我们把矩阵进行初等变换，化成阶梯形矩阵后，非零行数目就是它的秩．这一方法大大方便了计算矩阵的秩，算法更为快捷和适用．四㊁高斯消元法的应用线性方程组作为数学方程组的一种，一般由未知数（一㊀㊀㊀㊀㊀次）㊁系数㊁常数等组成．方程组同解变换的求解过程，实质上只是对未知量系数和常数项进行相应变化的过程．所以，透过现象看本质，求解实际上就是由方程组的未知量系数和常数项构成的增广矩阵进行初等变换的过程．它不仅能判断方程组解的各种具体情况，还可以有效地求出线性方程组的解．如果方程组存在解，那么可将其转化为行最简形矩阵，求出方程组Ａｘ＝ｂ的解，这就是线性代数中的高斯消元法．具体过程如下：增广矩阵Ｂ＝（Ａｂ）初等行变换ң阶梯形}结合秩，判断解的情况初等行变换ң最简形}求出解这一方法求解过程的关键正是矩阵的初等变换．值得强调的是，使用高斯消元的过程，只能使用初等行变换，而不能使用初等列变换，否则，就不是方程组的同解变换了．高斯消元法是解线性方程组最普适的一种方法，不管方程组中未知量的个数和方程个数是多少，也不管方程组解的情况怎样，对各种线性方程组都适用．而且，从计算量上说，该方法也要比Ｃａｒｍｅｒ法则优越得多，大大降低了线性方程组解的判定与求解难度．例如，ａ，ｂ取何值时，非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝１，ｘ２－ｘ３＋２ｘ４＝１，２ｘ１＋３ｘ２＋（ａ＋２）ｘ３＋４ｘ４＝ｂ＋３，３ｘ１＋５ｘ２＋ｘ３＋（ａ＋８）ｘ４＝５，ìîíïïïï（１）有唯一解？（２）无解？（３）有无穷多个解？有解时求出全部解．解：用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，Ｂ＝（Ａ，ｂ）＝１１１１１０１－１２１２３ａ＋２４ｂ＋３３５１ａ＋８５æèçççöø÷÷÷Ｒ３－２Ｒ１Ｒ４－３Ｒ１１１１１１０１－１２１０１ａ２ｂ＋１０２－２ａ＋５２æèçççöø÷÷÷ Ｒ３－Ｒ２Ｒ４－２Ｒ２１１１１１０１－１２１００ａ＋１０ｂ０００ａ＋１０æèçççöø÷÷÷由此可知：（１）当ａʂ－１时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝未知量个数４，方程组有唯一解：ｘ１＝－２ｂａ＋１，ｘ２＝ａ＋ｂ＋１ａ＋１，ｘ３＝ｂａ＋１，ｘ４＝０；（２）当ａ＝－１，ｂʂ０时，Ｒ（Ａ）＝２ʂＲ（Ｂ）＝３，方程组无解；（３）当ａ＝－１，ｂ＝０时，Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）＝２＜４，方程组有无穷多个解．Ｂ １１１１１０１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷ Ｒ１－Ｒ２１０２－１００１－１２１００００００００００æèçççöø÷÷÷令ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２，则方程组的通解为：ｘ１＝－２ｃ１＋ｃ２，ｘ２＝１＋ｃ１－２ｃ２，ｘ３＝ｃ１，ｘ４＝ｃ２ìîíïïïï或ｘ１ｘ２ｘ３ｘ４æèççççöø÷÷÷÷＝０１００æèçççöø÷÷÷＋ｃ１－２１１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ２１－２０１æèçççöø÷÷÷（ｃ１，ｃ２为任意常数）．五㊁求方阵的特征值与特征向量工程技术中的一些问题如振动问题㊁稳定性问题，常常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题．矩阵Ａ的特征值λ０是它的特征方程的根，对应λ０的全部特征向量ｐ是齐次线性方程组的非零解，而对齐次线性方程组的非零解的讨论其实就是使用初等变换进行高斯消元的过程．六㊁对称矩阵的对角化对称矩阵是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵，由于其转置矩阵和自身相等而被称为对称矩阵．对称矩阵可以用一般的由特征向量组成的非奇异阵作对角化，只不过它有特殊的性质（对称），因此我们就可以考虑特殊的对角化，即正交相似对角化．我们需要利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，比较简单且易理解，其具体的步骤是：（１）求Ａ的特征值λ１，λ２，λ３， ，λｎ；（２）（Ａ－λｉＥ）Ｘ＝０，求出Ａ的特征向量；（３）将特征向量正交化；（４）将特征向量单位化得ｐ１，ｐ２， ，ｐｎ；（５）写出正交矩阵Ｐ＝（ｐ１，ｐ２， ，ｐｎ）．我们只有合理选择方法，才能提高研究效率．七㊁广义初等变换的使用为了简便，我们需对大规模矩阵进行分块，使大矩阵的运算化分成几个小矩阵的运算．同样，对于分块矩阵，也可以把矩阵的每一个子块作为矩阵的一个基本元素，像普通矩阵一样进行位置变换㊁数乘变换和消去变换这三种基本变换，这被称为分块矩阵的广义初等变换．由于广义初等变换本身具有较好的性质，也是矩阵运算中极为重要的方法，可以有效地将疑难问题简单化，因此其成为广大学者日益关注的热点话题之一．结束语：矩阵是连接方程组理论与几何理论的纽带，因此矩阵是解决线性代数中线性方程组㊁向量空间㊁线性变换等问题最常用的方法．而初等变换作为矩阵理论的一条主线，不仅能够简化矩阵为阶梯形或最简形，而且作为矩阵理论中极其重要的一种运算，它是上述几类问题的基础与核心．因此，初等变换在线性代数中的应用十分广泛，只有真正掌握了这种方法，才能巧妙地运用其解决线性代数中相对复杂的问题，以达到事半功倍的效果．ʌ参考文献ɔ［１］李慧．矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用［Ｊ］．课程教育研究，２０１９（０９）：１４２－１４３．［２］缪应铁．矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１８（１７）：２４．［３］张忠．矩阵的初等变换在线性代数中的应用［Ｊ］．纳税，２０１７（２５）：１８８，１９０．［４］吴英柱．矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用与探讨［Ｊ］．广东石油化工学院学报，２０１７（０１）：７１－７５，９４．。

山东财经大学学士学位论文山东财经大学本科毕业论文(设计)题目：初等变换的应用The application of elementary transformation学院XXXXXXXXXX专业XXXXXXXXXXXXXXX班级XXXXXXX学号 XXXXXXXX姓名XXXX指导教师XXXXXX山东财经大学教务处制二Ｏ一三年五月山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。

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指导教师签名：论文作者签名：年月日年月日初等变换的应用摘要初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法,而通常计算中使用最多的就是矩阵的初等行变换.本论文主要研究的是初等行变换在高等代数各方面的应用,讨论了初等变换在高等代数许多理论中的应用,如在多项式理论、矩阵理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等方面的应用.本课题将对矩阵的初等变换在高等代数中的应用进行系统地探讨,首先写出矩阵的初等变换的定义,然后对其相关的各方面的应用进行探讨.关键词：多项式；矩阵；线性方程组；向量空间；线性变换；二次型The application of elementary transformationABSTRACTElementary transformation is a very important thinking method in Higher Algebra, and usually the most used is the elementary row transformation of matrix in the calculations.This paper mainly studies the application of elementary row transformation in all aspects of Higher algebra, discusses the applications of elementary transformation in many theories of Higher algebra,such as in the polynomial theory,matrix theory, theory of linear equations, vector spaces, linear of transformation, the theory of quadratic form etc.This issue will make a systematic discussion of the application of elementary transformation of matrix in Higher Algebra, firstly write the definition of the application of elementary transformation of matrix, then explore the application of all aspects related to it.Keywords：polynomial；matrix；linear equations；vector spaces；linear of transformation；quadratic目录一前言 (1)（一）选课的背景 (1)（二）论文的结构 (1)二初等变换的相关概念及结论 (1)（一）初等变换的相关概念及性质 (1)1、初等变换的相关概念 (1)2、相关性质 (2)（二）初等变换 (2)三初等变换的应用 (4)（一）初等变换与行列式 (4)（二）初等变换与矩阵的秩 (5)1、矩阵的秩的定义 (5)2、用初等变换求矩阵的秩 (5)（三）初等变换与逆矩阵 (6)1、逆矩阵的相关定义 (6)2、用初等变换求逆矩阵 (6)（四）初等变换与线性方程组 (7)1、初等变换求齐次线性方程组 (7)2、用初等变换求非齐次线性方程组 (8)（五）初等变换在整数和多项式中的应用 (10)1、求两个整数的最大公因式、最小公倍数 (10)2、初等变换与多项式 (11)（六）初等变换与矩阵方程 (13)AX=的解 (13)1、当A,B可逆时线性矩阵方程BAX=的解 (14)2、当A,B不可逆时线性矩阵方程B（七）初等变换在向量组的线性相关性中的应用 (15)1、向量组的线性相关性 (15)2、初等行变换在求列项组的极大线性无关组中的应用 (17)3、列向量组的线性关系 (17)4、等价向量组的判定 (18)（八）初等变换与方阵的特征值 (19)（九）初等变换与矩阵对角化 (20)（十）初等变换在化二次型为标准形中的应用 (23)四结语 (24)参考文献 (26)一 前言（一）选课的背景本文主要总结了初等行变换在学习高等代数时有哪些应用,以及它在高等代数中的作用和地位.矩阵的初等变换起源于解线性方程组,是高等代数中的一个基本概念.由于矩阵的初等变换计算简洁,便于应用,是研究代数问题的一个重要工具.对如何巧妙地运用初等变换去解决高等代数中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果.之所以把初等行变换特别拿出来讨论,首先是因为它在整个科目中的无所不在的作用力.只要我们小小思考一下,不难发现,初等行变换几乎贯通整个高等代数.它是研究高等代数不可缺少的工具,换句话说,如果没有初等变换的存在,我们在高等代数中可以说是寸步难行.其次,初等行变换提供给我们在研究矩阵、行列式方面的另一个思考方向,开辟了另一个更广阔的空间.再次,初等行变换使得矩阵和行列式的运算更为直观又简便,符合数学领域的高追求,等等.（二）论文的结构归纳总结初等变换在高等代数中的一些基本应用并举例说明.通过对初等变换及应用的加以讨论加深对初等变换的理解,从而能更加灵活的运用初等变换解决一些具体的问题.本篇论文结构安排如下:（1）简单介绍初等变换的的研究背景及论文的结构安排.（2）总结归纳初等变换的相关概念及结论.（3）总结初等变换的应用领域,并举例说明.其中包括在矩阵的秩、逆矩阵、多项式、线性方程组、矩阵对角化、矩阵方程、向量组的线性相关性、二次型化为标准形等方面的应用.（4）总结本篇论文所存在的不足及初等变换的重要性,并归纳出初等变换法在求解各类题型中的一些优势.二 初等变换的相关概念及结论（一）初等变换的相关概念及性质1、初等变换的相关概念定义1【1】：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换：(1) 交换矩阵的两行(交换 i ,j 两行,记作 j i r r ↔ )；(2) 以一个非零的数 k 乘矩阵的某一行(第 i 行乘数 k ,记作k r i ⨯)；(3) 把矩阵的某一行的 k 倍加到另一行(第 j 行乘 k 加到 i 行,记为j i kr r + ）；把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换（相应记号中把 r 换成c ）.初等行变换与初等列变换统称为初等变换.注:初等变换的逆变换仍是初等变换,且变换类型相同.例如,变换 j i r r ↔的逆变换即为其本身,变换的逆变换为k r i /1⨯,j i kr r +的逆变换为j i kr r -.定义2【1】：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B ,就称矩阵A 与矩阵B 等价,记作B A ~（或B A →）.注：在理论表述或证明中,常用记号“~”,在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“→”.一般地,称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:（1）零行（元素全为零的行）位于矩阵的下方；（2）各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说是其列表一定不小于行标）.一般地,称满足下列条件的矩阵为行最简形矩阵：各非零行的首非零元都是1；每个首非零元所在列的其余元素都是零.一般地,矩形A 的标准形D 具有如下特点：D 的左上角是一个单位矩阵,其余元素为0.2、相关性质矩阵之间的等价关系具有下列基本性质：（1）反身性 A A ~；（2）对称性 若B A ~,则A B ~；（3）传递性 若B A ~,C B ~,则C A ~.定理1【1】：任一矩阵A 总可以经过有限次等行变换化为行阶梯形矩阵,并进而化为行最简形矩阵.定理2【1】：任一矩阵()n m ij a A ⨯=可以经过有限次初等变换,可以化为下列标准形矩阵()()()()列行r O O R E r A r n r m r r m r n r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-⨯--⨯0011 . 推论2【1】：如果A 为可逆矩阵,则矩阵A 经过有限次初等变换,可化为单位矩阵E ,即E A ~.（二）初等变换定义3【1】：对单位矩阵E 实施一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵：（1）互换两行（列）：j i R R ↔（2）把某行（列）乘以一非零常数：i i R kR →其中0≠k（3）把第i 行（列）加上第 j 行（列）的 k 倍：i j i R kR R →+初等矩阵及时将上述3种变换应用于一单位矩阵的结果.以下只讨论对某行的变换,列变换可以此类推.（1）互换两行：这一变换 ij T ,将一单位矩阵的第i 行的所有元素与第j 行互换.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101101 ij T 性质：逆矩阵即自身：ij ij T T =-1.因为单位矩阵的行列式为1,故1-=ij T . 与它相同大小的方阵A 亦有以下性质：A A T ij -=.（2）把某行乘以一非零常数：这一变换 ()m T i ,将第i 行的所有元素乘以一非零常数 m .()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111 m m T i 性质：逆矩阵为 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m T m T i i 11.此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵.其行列式 ()m m T i =.故对于一等大方阵A 有 ()A m A m T i =.（3）把第i 行加上第j 行的k 倍：这一变换()m T ij ,将第 i 行加上第j 行的k 倍.()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111 m m T ij性质：逆矩阵具有性质 ()()m T m T ij ij =-1. 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵. ()1=m T ij .故对于一等大方阵A 有()A A m T ij =.注【1】：设A 是一个n m ⨯阶的矩阵,对A 做一次初等行变换,相当于矩阵A 左乘m 阶矩阵,对A 做一次初等列变换,相当于矩阵A 左乘n 阶矩阵.三 初等变换的应用（一）初等变换与行列式我们在计算行列式时,也经常会用到初等变换,只是它对变换的要求更严格一些.因为初等变换对矩阵来说,只要矩阵等价就能放心使用,而对行列式来说,不仅仅是要求等价,还有保证两个行列式值相等.所以,在行列式的计算中,初等变换有了一定的限制.以初等行变换为例,我们首先来看看,初等行变换在行列式的规定：性质1 行列互换,行列式不变.性质2 一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式.（如果行列式中有一行为零,那么行列式为零.）性质 3 如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和,这两个行列式除这以行以外全与原来行列式的对应的行一样.性质4 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质5 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零.性质6 把一行的倍数加到另一行,行列式不变.性质7 对换行列式中的两行位置,行列式反号.例：计算n 级行列式 ab b b b a b b bb a b bb b a d=解：这个行列式的特点是每一行有一个元素是a ,其余1-n 个元素是b .根据性质6,把第二列加到第一列,行列式不变,再把第三列加到第一列,行列式也不变……直到把第n 列也加到第一列,即得a b b b a b b b a b b b b n a a b b b n a b a b b n a bb a b n a bb b b n a d1111])1([)1()1()1()1(-+=-+-+-+-+=, 把第二行到第n 行都分别加上第一行的-1倍,就有.000000001])1([b a b a b a b b b b n a d ----+=这是一个上三角形的行列式,则有 1)]()1([---+=n b a b n a d .一般格式：经过将行列式等行变换化为上三角形 .（二）初等变换与矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数值特征,是反映矩阵本质属性的一个不变的量.它在线性方程组等问题的研究中起着非常重要的作用.下面我们介绍一下矩阵秩的求解方法.1、矩阵的秩的定义如果矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D ，而所有的1+r 阶子式（如果存在的话）全为0,那么D 为 矩阵A 的一个最高阶非零子式.数r 称为矩阵r 的秩,记作()A R 或()A r ,并规定零矩阵的秩为0.由定义可得：（1）如()r A R =,则A 中至少有一个r 阶子式0≠r D ，所有1+r 子式全为零阶,且更高阶子式均为零,r 是A 中不为零的子式的最高阶数,是唯一的.（2）有行列式的性质,()()TA R A R =. （3）如果A 为n n ⨯的方阵,且0≠A ,则()n A R =.反之,如()n A R =,则0≠A .因此,方阵A 可逆的充要条件是()n A R =.（4）()m A R ≤,()n A R ≤,(){}n m A R ,min 0≤≤.2、用初等变换求矩阵的秩定理1【1】：()r A R =的充要条件是A 中存在一个r 阶子式不为零,而所有高于r 阶的子式皆为零. 定理2【1】：阶梯型矩阵的秩等于它的非零行元素的行数. 定理3【1】：对矩阵施行初等行（列）变换,所得矩阵与原矩阵有相同的秩.推论：设A 是任一n m *矩阵,P 、Q 分别是m 阶、n 阶可逆（满秩）矩阵,则必有()()()PAQ R AQ R PA R ==.例：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=211163124201A ,求()A R .解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−+-00002110420121102110420123122r r r r A所以()2=A R .求矩阵A 的秩方法：（1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B .（2）数阶梯形矩阵B 非零行的行数即为矩阵A 的秩.（三）初等变换与逆矩阵1、逆矩阵的相关定义定义1【1】：n 阶方阵A 称为可逆的,如果有n 阶方阵B ,使得E BA AB ==,这里E 是n 阶单位矩阵. 定义2【1】：矩阵B 同样适合E BA AB ==,那么B 就称为A 的逆矩阵,记为1-A . 定义3【1】：设ij A 是矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211中元素ij a 的代数余子式,0≠A ,矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A A A A A A =*nn n nn n A 212221212111 称为A 的伴随矩阵.定理1【2】：矩阵A 可逆的充要条件是A 是非退化的,而()011≠==*-A d A d A . 定理2【2】：设A 为n 阶可逆矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若对n n 2⨯阶矩阵()E A |做一系列初等行变换,使它变为()B E |,则1-=A B .定理3【2】：n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 可以表示为若干初等矩阵的乘积.2、用初等变换求逆矩阵初等矩阵是可逆的,且其逆矩阵仍是初等矩阵,()()j i P j i P ,,1=-,()()()()11--=c i P c i P ,()()()()c j i P c j i P -=-,,1. 方阵A 可逆当且仅当A 为有限个初等矩阵的积.等价地说,A 可经过一系列初等行（列）变换化为单位矩阵：n l l k k E Q Q Q AQ A P P P P ==--121121 .由此得到用初等变换求1-A ,B A 1-,1-BA 的方法：（1）用行初等变换求逆矩阵：()()1||-−−→−−−→−A E E A 行变换行变换 . （2）用行初等变换求逆矩阵：⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−−−→−⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A 列变换列变换 . （3）用行初等变换求B A 1-：()()B A E B A 1||-−−→−−−→−行变换行变换 .（4）用列初等变换求1-BA ：⎪⎭⎫⎝⎛−−→−−−→−⎪⎭⎫⎝⎛-1BA E B A 列变换列变换 . 例：已知矩阵X 满足恒等式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--503021*********X ,求X .解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001110146-27-101-0100011103621-101-21000111031-21-301-2102-01503021-于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11014627X .（四）初等变换与线性方程组1、初等变换求齐次线性方程组定义：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,0221122221211212111n sn s s nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）的线性方程组称为齐次线性方程组,也可记为0=AX ,其中A 是上面方程组的系数矩阵,X 为所求未知量组成的列向量.定理：齐次线性方程组0=AX 有非零解n A r <⇔)(,即系数矩阵的秩小于方程组未知变量的个数. 对于齐次线性方程组,判断其解有方法：n 个方程的n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是0=A .推论：线性方程组0=AX 有非零解的充要条件是0=A .例：求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+,074242,043624,02,03543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.解：方程组的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=74242436240121113011A ,对其进行初等行变换,使其成为阶梯形,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------000003101006510102100174242436240121113011 （1） 因为53)(<=A r ,故原方程组有非零解. 由（1）得原方程组的同解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===-=+-=554455425413165x x x x xx x x x x x x x 所以,求得原方程组的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01011-1η , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10316512η. 2、用初等变换求非齐次线性方程组定义：形如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212*********s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2）的线性方程组称为非齐次线性方程组,也可记为b AX =,其中A 是上面方程组的系数矩阵,X 为所求未知量组成的列向量.定理【3】：非齐次线性方程组（2）有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211 与增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s sn s s n n b a a a b a a a b a a a A 21222221111211 有相同的秩. 对应的齐次线性方程组是非齐次方程组（2）的导出组.非齐次方程组（2）的通解由它的齐次方程组的解和它的一个特解表示.定理：如果0γ是方程组（2）的一个特解,η是其对应的齐次方程组的解,那么非齐次方程组（2）的任一解γ都可以表成ηγγ+=0 （*）,因此对于方程组（2）的任一个特解0γ,当η取遍它的导出组的全部解时,（*）就给出（2）的全部解.判断非齐次线性方程组的解有如下方法：n 元线性方程组b AX =：（1）有解的充要条件是()()B R A R =； （2）有唯一解的充要条件是()()n B R A R ==；（3）有无穷多解的充要条件是()()n B R A R <=(其中B 为A 的增广矩阵). 注：（1）的逆否命题为：线性方程组b AX =无解的充要条件是()()B R A R <.一般地,对于一个元线性方程组,当它的系数行列式不为零时,只要对方程组的增广矩阵施以适当的行初等变换,使它成为以下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n c c c 10001000121那么矩阵的最后一列元素就是方程组的解,即11c x =,22c x =, ,n n c x =.例：求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-.337,143,3,44324324214324321x x x x x x x x x x x x x 的通解.解：原方程组的增广矩阵为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-.337,143,3,44324324214324321x x x x x x x x x x x x x ,利用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0100060100300108000131370140313111044321 故4)()(==A r A r ,所以方程组有解而且有唯一解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0638γ. （五）初等变换在整数和多项式中的应用1、求两个整数的最大公因式、最小公倍数在初等数论中,要求两个整数a ,b 的最大公因数、最小公倍数通常是先求两整数的标准分解式,在此结果上再求a ,b 的最大公因数、最小公倍数.这种方法的弊端是当a ,b 的绝对值较大时,对它们进行标准分解是非常复杂的.下面介绍一种矩阵求法, 即应用矩阵初等变换的方法来求两个整数a ,b 的最大公因数、最小公倍数.命题1【4】：:设a ,N b ∈，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b a A 0,则存在整数矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t w v u B ,且1=B ,使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛*=n m BA 0,其中,()b a m ,=,[]b a n ,=.证明：由a ,N b ∈,则存在u ,Z v ∈,使()b a vb ua ,=+.若令()b a bw ,-=,()b a a t ,=,则0=+bt wa ,1=-wv ut .记()b a m ,=,[]b a n ,=,则vb ua m +=,()bt b a ab n ==,/.从而可以构造整数矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t wv uB ,1=B , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n bv m bt bt wa bv bv av b b a t w v u BA 00.命题2【4】：矩阵A 左（右）乘一个可逆的整数矩阵相当于对A 进行一系列的整数行（列）初等变换.由命题1、命题2可得出求两整数a ,b 的最大公因式与最小公倍数的矩阵求法：构造矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b a A 0,对A 实施整数初等变换,把A 化成阶梯形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛*n m 0,则m 为最大公因式,n 为最小公倍数.例：已知4914=a ,54978=b ,求()b a ,,[]b a ,.解：如前述方法构造矩阵A ,并对其实施整数初等变换：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-↔----6432426087964842643242608796484287964842643242608796484227489029454978924274890294549789240491454978549780491422121122112173511r r r r r r r r r r r所以有()42,=b a ,[]6432426,=b a .命题3【4】：设m a a a ,,2,1 是m 个不全为0的整数,它们的最大公因数()d a a a m =,,,21 ,则存在可逆方阵()m m ij a A ⨯=,使得()()()20021>=m d A a a a m .由命题3 可得求m a a a ,,2,1 的最大公因数的方法：在行向量()m a a a 21下方添加一个m 阶单位阵,构成()m m ⨯+1 阶矩阵B ,对B 实施整数初等列变换直到其第一行化为()00 d ,则其下方的单位阵便化成了可逆方阵A ,即⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛AEd a a a m 0021初等列变换. 例：求230,1140,1870的最大公因式.解：如前述方法构造矩阵A ,并对其实施整数初等变换：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⨯+⨯+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯-+⨯-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10032312311450010110031232351140100323100010851301023085100010001187011402301223211312c c c c c c c c c c 所以有()101870,1140,230==d . 2、初等变换与多项式把命题1加以推广,可以得到多项式的最大公因式、最小公倍数的矩阵初等变换求法. 命题4【4】：设()x f ,()x g 是()x p 中的非零多项式,若()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x g x g x f A 0,存在可逆的多项式矩阵()()x p M C ∈使得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*=x d x d CA 210,其中()()()()x g x f x d ,1=,()()()()x g x f x d ,2=.证明：由()x f ,()x g 是()x p 中的非零多项式,则存在()x u ,()()x p x v ∈使得()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.令()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x t x s x v x u C ,其中()()()()()x g x f a x g x s ,-=,()()()()()x g x f a x f x t ,=,0≠a 为()x f ,()x g 的首项系数.则有()()()()()[]⎪⎪⎭⎫⎝⎛*=x g x f x g x f CA ,0,, 而()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()01,,,,≠==--=-==ax g x f a x g x f x g x f a x g x v x g x f a x f x u x s x v x t x u x t x s x v x u C .所以C 可逆,命题得证. 命题5【4】：每个可逆的多项式矩阵可以表示为一些初等多项式矩阵的乘积,而对一个多项式矩阵左乘一个初等多项式矩阵相当于对该多项式实施一次初等行变换.据命题4及命题5可得多项式的最大公因式与最小公倍数的求法： 由已知的()x f ,()x g 构造多项式矩阵()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x g x g x f A 0,对A 实施初等行变换化为上三角矩阵()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*x d x d 210,其中()x d 1,()x d 2的首项系数为1.则()()x d x d 21,分别是()x d 1,()x d 2的最大公因式与最小公倍数.例：已知()2810423+++=x x x x f ,()4108223+++=x x x x g 求()x f ,()x g 的最大公因式与最小公倍数.解：如前述方法构造矩阵A ,并对其实施整数初等变换：⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--++-------⨯-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++--------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=129729034310383212416141828184082016461262122241041224128201646126341082410828201646126241082410820281042342322123423212234223212232323221232323x x x x x x x x x r rx x x x x x x x x r r x x x x x x x x x x x r x r x x x x x x x x x x x r r x x x x x x x x x A 所以()()()12,2++=x xx g x f ,()()[]129729,234++++=x x x x x g x f . （六）初等变换与矩阵方程1、当A ,B 可逆时线性矩阵方程B AX =的解我们知道B AX =的解为B A X 1-=.实际上就是计算B A 1-的矩阵乘积,因为),(),(11B A E B A A --=,所以经过行初等变换可使),(B A 化为),(1B A E -,也即对n n 2⨯矩阵),(B A 作初等行变换,当A 处变成单位矩阵E 时,B 处得到的矩阵就是B A 1-.例：求解矩阵方程B AX =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324B .解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321121011011324322),(B A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−−→−+-↔3301103023400110111312212r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−--↔9122100330110011011323234r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−+-91221006920106830012132r r r r . 因此⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-91226926831B A X .2、当A ,B 不可逆时线性矩阵方程B AX =的解当A ,B 不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程. 定理 1【5】：如果矩阵方程B AX =有解,且可逆矩阵Q P 和使⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000rE PAQ ,那么该矩阵方程的通解为⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=1X B P Q X ,其中P '为P 的前r 行组成的矩阵,1X 中的元素可以任意取值.以上定理可给出求解矩阵方程B AX =的具体方法: （1）把A ,B ,E 放到一起,组成一个矩阵),,(E B A ,然后对其做初等行变换,使得经过行变换后得到矩阵),,(11P B A ,其中1A 是上阶三角矩阵,从而可确定矩阵A 和矩阵),(B A 的秩,判断方程是否有解,同时取P 的前面r 行作成P ',它满足1A PA =,且B P '为1B 的前r 行.（2）如果上述方程有解,则对⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 1作初等列变换.经过列变换后变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q D 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000rE D ,必有D PAQ =.（3）从而由定理1可知,B AX =的通解公式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=1X B P Q X .例：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=5163312141421021A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=141028601181321B ,求矩阵方程B AX =的通解. 解：根据求解矩阵方程B AX =的步骤,首先将E B A ,,放到一起,组成一个矩阵),,(E B A ,如下:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=10001410251630100860312100101181414200013211021),,(E B A . 然后对其作一系列初等行变换,使得A 为上三角矩阵, 即）（行变换行变换P B A ,,1011000000001110000000001254121000001321102111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------−−→−−−→− .很明显,矩阵A 和矩阵),(B A 的秩都是2,故该方程有解.取P '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00001021,有P B '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-534211,接下来对⎪⎪⎭⎫⎝⎛E A 1作初等列变换 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10002010010012010000000000100001100001000010000100000000210010211列变换E A , 经过列变换后我们可得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1000201001001201Q .从而,由定理1知,该方程的通解为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=1X B P Q X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=6352415342111000201001001201x x x x x x 112010012050304020101X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=, 其中1X 是任意的32⨯矩阵.矩阵方程B XA =的通解公式和解法与上面类似,应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点,不但通俗易懂,而且容易掌握.（七）初等变换在向量组的线性相关性中的应用1、向量组的线性相关性在求列向量的极大线性无关组前，我们先了解向量组的线性相关性：矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行向量组12,,...,s ααα可以排列成一个n s ⨯分块矩阵12...s A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中i α为由A 的第i 行形成的子块,12,,...,s ααα称为A 的行向量组. n 维列向量组12,,...,s βββ可以排成一个s n ⨯矩阵()12,,...,s B βββ=,其中j β为由B 的第j 列形成的子块,12,,...,s βββ称为B 的列向量组.定义1：向量组12,,...,s ααα称为线性相关的,如果有不全为零的数12,,...,s k k k ,使11221...0si is s i k k k k αααα==+++=∑.反之，如果只有在12...0s k k k ====时上式才成立,就称12,,...,s ααα线性无关.当 12,,...,s ααα是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的s ⨯1矩阵()12,,...,s k k k 使()02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s k k k ααα .当12,,...,s ααα为列向量时,它们线性相关就是指有非零的1⨯s 矩阵()12,,...,Ts k k k ,使()02121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s s k k k ααα.定义2：向量α称为向量组12,,...,n βββ的一个线性组合,或者说α可由向量组12,,...,n βββ线性表出,如果有常数12,,...,n k k k ,使n n k k k βββα+++= 2211 也记∑==ni ii k 1βα.也可用矩阵形式表示： 若所给向量均为行向量,则有()1212,,...,...n n k k k ββαβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若所给向量均为列向量,则有()1212,,...,...n n k kk αβββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2、初等行变换在求列项组的极大线性无关组中的应用例：已知一个列向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2421α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1212α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4533α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0414α求其极大无关组.解： 设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==0412452413124321ααααA 则运用初等行变换将矩阵A 化成阶梯形,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100021001312110021001312041245241312 将阶梯形矩阵的列向量组中线性无关的列向量取出,则所得到的列向量组则为原向量组的极大无关组.即本题所求的极大无关组为：431,,ααα.3、列向量组的线性关系判定一个列向量组的线性相关性,可以通过将列向量组合成一个矩阵,再求此矩阵的秩：若所求得的秩小于原列向量组的向量个数,则原列向量组线性相关；若所求得的秩等于原向量组向量的个数,则原向量组线性无关.例：设已知一个列向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102α,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011013α,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110004α,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100005α求它的线性相关性.解：设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101001100001100001100101A ,则对其进行初等行变换将其化为阶梯形,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1110011000020000110001011101011000011000110001011101001100001100001100101⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→20000020000020000010000012200002000002000011000101则求得5)(=A r .故合成矩阵的秩等于列向量组的向量个数,所以此列向量组是线性无关的. 4、等价向量组的判定定义：如果向量组t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出,它们就称为等价.定义：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.推论：任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价,所以,等价的向量组必有相同的秩. 由以上定义和推论,我们可以得出这样一个结论：当t ααα,,,21 和s βββ,,,21 是等价的向量组},,,,,,,{},,,{},,,{21212121βββαααβββααα t s t r r r ==⇔.显然,判定向量组之间是否等价可以运用初等行变换求得各个合成矩阵的秩,然后判定得是否相等,若相等则等价,否则不等价.例：判定向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13121α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=45242α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=14123α和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13121β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=58362β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=39363β是否等价. 解：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=141453121242A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=351983331662B ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=351141983453331121662242C 则对矩阵 A ,B ,C 进行初等行变换,得到它们的秩：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000000110121141453121242 ；故2)(=A r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000010331351983331662 ；故2)(=B r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000000000000010110331121351141983453331121662242 ；故2)(=C r 所以,2)()()(===C r B r A r .由上面的结论可知,向量组321,,ααα和321,,βββ是等价向量组.（八）初等变换与方阵的特征值定义1【1】：设A 是n 阶矩阵,如果数λ和n 维非零列向量x 使关系式x Ax λ=成立,则称数λ为矩阵A 的一个特征值,非零列向量x 称为矩阵A 的属于（或对应于）特征值λ的特征向量.定义2【1】：设A 是数域P 上一n 阶矩阵,λ是一个数字.矩阵A E -λ的行列式nnn n nn a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211称为A 的特征多项式,这是数域P 上的一个n 次多项式.定义3【1】：设A ,B 是两个n 阶矩阵,如果存在P 上的n 阶可逆矩阵X ,使得AX X B 1-=,则称A 相似于B ,记作B A ~.定理1【1】：若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同. 定理2【1】：任一个n 阶复矩阵A 都相似于一个上三角矩阵.在高等代数中,求一个n 阶矩阵A 的特征值时.常用的方法是求解A 的特征多项式A E -λ的根.而当n 比较大时,若A 中的元素含非零元素比较多,这时求特征多项式有时也比较复杂.进一步,即使是我们求出A 的特征多项式,但当n 比较大时,比如5≥n 时,A E -λ是一个一元高次方程,没有具体的求根公式,求解根往往比较困难.但是我们都知道,相似矩阵具有相同的特征多项式,因而具有相同的特征值.所以我们也可以将其转化为相似矩阵来求解.求矩阵A 的特征值可用初等变换的方法按如下步骤进行【6】：（1）对矩阵A 进行成对的行初等变换和列初等变换.在对A 进行初等变换时,若对A 交换()j i ,两行,则必须同时交换()j i ,两列；若把A 第i 行元素成一个非零数k ,则必须同时把A 的第i 列元素乘一个数k1；若把A 的第j 行元素的k 倍加到第i 行,则必须同时把A 的第。

科技风 2021 年 1 月DOD10.19392/j. cnki. 1671-7341.202102009矩阵初等变换的应用举例陈小燕琼台师范学院理学院海南海口 571100摘要:矩阵的初等变换是高等代数的重要组成部分，其思想贯穿于高等代数的始终，在矩阵的理论研究中占有非常重要的地位。

而大部分的《高等代数》教科书理论性很强，例题很少，学生学起来比较吃力，本文主要举例探讨初等变换在矩阵的逆、矩阵的秩、线性方程组的解、向量组的线性相关性、二次型的标准化等方面的应用，以供高代初学者一个学习参考。

关键词：初等变换;逆矩阵;矩阵的秩;相关性;二次型标准化1绪论在高等代数中，数域P 上的矩阵的初等变换是指下列三 种变换:⑴(1)以P 中一个非零的数乘矩阵的某一行(列)；记作!(2) 把矩阵的某一行(列)的c 倍加到另一行(列)，这里c 是P 中任意一个数;记作"+!"($+!$) ,i"j ；(3) 互换矩阵中两行(列)的位置。

记作"#"(#由行列式的性质知,每个方阵做初等变换后不改变方阵 的行列式的非零性，因此可以通过对方阵做初等变换来判断原矩阵是否可逆。

当然，这仅仅是矩阵初等变换的简单应 用，它在高等代数的主要应用体现在以下几点：求矩阵的逆、 求矩阵的秩，求向量组的极大线性无关组以及线性相关性,求线性方程组的解,二次型的标准化等。

2矩阵初等变换的应用2. 1求矩阵的逆矩阵定义⑴:n 阶方阵A 称为可逆的,如果有n 阶方阵B ,使得AB = BA = E ,其中E 是n 阶单位方阵。

求逆矩阵可以用伴随矩阵法&1 =击& $，其中& $是矩阵A 的伴随矩阵，当A 的阶数较高时，用此方法的计算量非 常大，因此我们常常用更简便实用的方法一一初等行变 换法。

同理可以用初等列变换法求矩阵的逆:(100-210)(-210)10101"T ，/. &-=11-亍、001-11-1丿、-11-1 丿&\初等列变换\(E ----------------说明：在求逆矩阵的过程中，初等行变换和初等列变换, 只能使用某一种，不能同时用两种方法。