初等变换在线性代数中的应用

矩阵初等变换及应用研究矩阵初等变换是线性代数中的一个基本概念，它是指对矩阵进行一系列的基本操作，包括交换两行（列），某行（列）乘k（k≠0），某行（列）乘k再加到另一行（列）上。

矩阵初等变换在线性代数中有广泛的应用，可以用来求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆矩阵、求解特征值与特征向量等。

首先，矩阵初等变换可以用来求解线性方程组。

对于一个线性方程组，可以将其系数矩阵与增广矩阵进行同样的初等变换，从而化简方程组。

这样做的目的是为了找到一个等价的简化方程组，可以更方便地求解解集。

通过初等变换，可以将线性方程组化为行最简形式（也即梯形形），进而利用高斯-约当消元法或者矩阵的初等行变换求解线性方程组，得到唯一解、无解或无穷解。

其次，矩阵初等变换可以用来计算矩阵的秩和逆矩阵。

通过一系列的初等行（列）变换，可以将一个矩阵化为行最简形式（也即行阶梯形矩阵），从中可以直接读出矩阵的秩。

对于方阵，如果秩等于矩阵的阶数，则该矩阵可逆，可以利用初等变换求解逆矩阵。

逆矩阵的求解是矩阵初等变换的重要应用之一，通过应用矩阵初等变换，可以将一个方阵转化为单位矩阵，从而求出逆矩阵。

另外，矩阵初等变换还可以用来求解特征值与特征向量。

对于一个n阶方阵A，特征值一般通过求解方程det(A-λI)=0来求得，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

通过初等行变换，可以将A-λI化为行最简形式，从而求解特征值。

特征值求解完毕后，可以利用矩阵初等变换求解对应的特征向量。

总结起来，矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，广泛应用于求解线性方程组、计算矩阵的秩和逆矩阵、求解特征值与特征向量等方面。

通过一系列的基本操作，可以将矩阵化简为行最简形式，从而更方便地进行进一步的计算和分析。

矩阵初等变换的应用使得矩阵的求解和计算更加简便高效，提高了线性代数在实际问题中的应用能力。

矩阵的初等变换在线性代数中的简单应用作者：李慧来源：《课程教育研究》2019年第09期【摘要】线性代数是高校经管类以及理工类专业学生的一门重要基础课程，其中矩阵理论为主要内容，在整个线性代数的学习过程中有着重要作用。

本文对矩阵初等变换在线性代数中的简单应用进行分析。

【关键词】线性代数矩阵初等变换应用【中图分类号】O151.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）09-0142-02在线性方程组的求解过程中，任意交换两个方程的位置，或者将某一方程乘数c（c∈F且c≠0），或者将某一方程乘数c加到另一方程上时，最终求得的解与原方程组的解相同。

矩阵的初等变换即起源于解线性方程组的三类同解变换，在处理线性代数相关问题时，具有相对独特的价值。

矩阵初等变换这一概念的提出，将线性方程组的求解过程转换为利用矩阵的初等变换化简一个增广矩阵的过程，简化了线性方程组的求解。

此外，在矩阵理论不断发展的过程中，新概念的产生以及新问题的形成，为矩阵初等变换在线性代数中的应用创造了更多的可能性，如矩阵的秩的求解、向量组的秩与极大线性无关组的求解以及化二次型为标准形等。

1.矩阵的初等变换矩阵变换是线性代数中矩阵的一种运算形式，在线性代数中，矩阵的初等变换指以下三种变换类型：（1）换位变换交换矩阵的任意两行或者两列。

（2）倍法变换以一个非零数k乘矩阵的某一行（某一列）所有元素。

（3）消法变换把矩阵的某一行（某一列）所有元素乘以一个数k后加到另一行（另一列）对应的元素。

矩阵的初等变换在求矩阵的逆等问题中有着较好的应用效果，分析原因，其理论依据如下：对矩阵Asn进行一次初等行变换，相当于在Asn左边乘上相应的s×s的初等矩阵；对矩阵Asn进行一次初等列变换，相当于在Asn右边乘上相应的n×n的初等矩阵；应用初等变换对矩阵Asn进行化简时，将可产生一个与矩阵Asn有关的等式，该等式与原矩阵的量化关系、性质有着密切关联。

矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。

其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。

而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。

本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。

矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。

这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。

这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。

首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。

这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。

矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。

具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。

应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。

二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。

应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。

三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。

具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。

这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。

应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。

综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。

初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。

在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。

在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。

同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。

在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

初等行变换在线性代数这门课中的作用
初等行变换是一种重要的数学技术，它在线性代数中有重要的作用。

初等行变换（Elementary Row Operation）通常是指它能够用来将一个矩阵转换为一
个改变矩阵的另一种形式的简单技术。

它是一个非常高效的方法，可以用来改变一个矩阵
的行和列，以及改变矩阵中单元格的值。

下面我们来介绍一些初等行变换的应用：
1、初等行变换在求矩阵的逆矩阵时很有用。

用初等行变换，可以使一个矩阵划分
为上三角阵和下三角阵，这样就可以简化求矩阵逆的过程。

2、可以利用初等行变换求解线性方程组。

初等行变换可以把一个矩阵转换为 "三
角形矩阵"，此时线性方程组的求解就非常容易，而不用去解一般的线性方程组。

3、初等行变换也可以用来求解矩阵的特征根和特征向量。

可以利用特征根与特征
向量求解奇异值分解问题，而这正是由初等行变换的结果可以得到解决的。

4、另一个初等行变换在线性代数这门课中的重要功能就是有助于求解矩阵和向量
的秩，从而确定它们是否具有某种性质。

秩是用来衡量一组向量（或一个矩阵）的相关性，当两个向量具有完全不同的特征时，它们的秩就会增加；反之，如果有的特征是相同的，
它们的秩就会减少。

总结来看，初等行变换可以把一个矩阵转换为另一个特定形式，以便更容易地求解线
性方程组，求逆矩阵，求特征根，求秩等。

它是线性代数中一个重要的工具，从而使线性
代数更加容易学习。

龙源期刊网 初等行变换在线性代数中的应用作者：梁海滨来源：《中国教育技术装备》2010年第30期摘要初等变换在线性代数中是一个核心概念,很多内容都与之相关,大致包含这几个方面的内容:矩阵或向量组的秩、矩阵的逆、解矩阵方程、解线性方程组等。

初等变换分两类:初等行变换和初等列变换。

很多学生弄不清什么时候用行变换,什么时候用列变换,什么时候可以一起用。

其实很多列变换也可用行变换代替。

关键词初等行变换;线性代数;矩阵中图分类号:O151.22 文献标识码:B 文章编号:1671-489X(2010)30-0060-03Elementary Transformation of Line in Application of Linear Algebra//Liang HaibinAbstract Elementary transformation in the linear algebra is a core concepts, many are related. Generally contain these aspects of content: the matrix or vectors of rank, inverse matrix, solution matrix equation, the solution of linear equations, etc. Primary transpositions is divided into two categories, elementary transformation of line and elementary rank transformations. Many students lost when using transformation, when using column, when you can transform with. Actually many fathers transform matrix is also available.Key words elementary transformation of line; linear algebra; matrixAuthor’s address Liaoning Univ ersity of International Business and Economics, Dalian, Liaoning, China 116052。

浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用张亚龙(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３收稿日期:２０２２－０４－２５作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.１矩阵中的应用１.１求矩阵的逆若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)初等行变换ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１２０２２１éëêêêùûúúú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵的初等行变换.(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１２００１０２２１００１éëêêêùûúúúң１００１２１２００１０－１４１４０００１－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１＝１２１２０－１４１４０－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú.１.２求矩阵的秩矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数ꎬ我们知道初等变换不改变矩阵的秩ꎬ对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵Ｂꎬ由行列式的性质可知ꎬ矩阵Ａ和矩阵Ｂ的非零子式最高阶数相同ꎬ所以矩阵Ａ与矩阵Ｂ的秩相等.例２㊀求矩阵Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúú的秩.解㊀对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵.９２Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúúң１－１２１００１－２０１００６０－２０００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ因为矩阵Ｂ中有三个非零行ꎬ即Ｒ(Ｂ)＝３ꎬ所以Ｒ(Ａ)＝３.２在向量组中应用２.１求向量组的秩由于任何矩阵Ａꎬ它的行秩＝列秩＝Ｒ(Ａ)ꎬ因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵Ａꎬ向量组的秩就等于矩阵Ａ的秩.例３㊀求向量组α１＝(１ꎬ－２ꎬ２)ꎬα２＝(１ꎬ－４ꎬ０)ꎬα３＝(１ꎬ－２ꎬ２)的秩.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为阶梯形矩阵Ｂ.Ａ＝１１１－２－４－２２０２éëêêêùûúúúң１１１０－２００－２０éëêêêùûúúúң１１１０１００００éëêêêùûúúú＝Ｂꎬ得Ｒ(Ａ)＝Ｒ(Ｂ)＝２ꎬ又因为向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩等于矩阵Ａ的秩ꎬ即向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩为２.２.２求向量组的极大无关组由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系ꎬ因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.例４㊀求向量组α１＝(１ꎬ２ꎬ３ꎬ０)ꎬα２＝(－１ꎬ－２ꎬ０ꎬ３)ꎬα３＝(２ꎬ４ꎬ６ꎬ０)ꎬα４＝(１ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０)的一个极大线性无关组.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３ꎬαＴ４为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为行最简形矩阵Ｂ.㊀Ａ＝１－１２１２－２４－２３０６－１０３００éëêêêêêùûúúúúúң１０２００１０００００１００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ非零行首非零元１所在的列作极大线性无关组ꎬ因此向量组α１ꎬα２ꎬα３ꎬα４的一个极大线性无关组为α１ꎬα２ꎬα４.３在线性方程组中的应用通过一系列的初等行变换ꎬ将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵ꎬ判断方程组是否有解ꎬ有解的情况下ꎬ求出通解.３.１解齐次线性方程组例５㊀求解齐次线性方程组２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋３ｘ４＝０ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＋ｘ４＝０３ｘ２＋７ｘ３－ｘ４＝０ｘ１－ｘ２－４ｘ３＋２ｘ４＝０ìîíïïïïïï解㊀对系数矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵ꎬＡ＝２１－１３１２３１０３７－１１－１－４２éëêêêêêùûúúúúúң１２３１０１７３－１３００００００００éëêêêêêêùûúúúúúúң１０－５３５３０１７３－１３００００００００éëêêêêêêêùûúúúúúúú得同解方程组为ｘ１＝５３ｘ３－５３ｘ４ｘ２＝－７３ｘ３＋１３ｘ４ìîíïïïï其中ｘ３ꎬｘ４为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３ｘ４æèççöø÷÷依次取１０æèçöø÷ꎬ０１æèçöø÷ꎬ得基础解系η１＝５３－７３１０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬη２＝－５３１３０１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬ所以齐次线性方程组的通解为ｃ１η１＋ｃ２η２ꎬ(ｃ１ꎬｃ２为任意常数).３.２解非齐次线性方程组例６㊀求非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＝５２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝１５ｘ１＋３ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝３ìîíïïïï的通解.解㊀对增广矩阵Ｂ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵.０３Ｂ＝１１００５２１１２１５３２２３éëêêêùûúúúң１０１２－４０１－１－２９０００－２－４éëêêêùûúúúң１０１０－８０１－１０１３０００１２éëêêêùûúúú可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩ꎬ并且小于未知量的个数ꎬ因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３－８ｘ２＝ｘ３＋１３ｘ４＝２ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３＝０ꎬ得特解α０＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷.导出组的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝ｘ３ｘ４＝０ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令ｘ３＝１ꎬ得对应齐次线性方程组的基础解系η＝－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ所以线性方程组的通解为α０＋ｃη＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷＋ｃ－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ为任意常数.４在矩阵特征向量中的应用上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组ꎬ计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.例７㊀求矩阵Ａ＝２２－２２５－４－２－４５éëêêêùûúúú的特征向量.解㊀由Ａ－λＥ＝２－λ２－２２５－λ－４－２－４５－λ＝－(１－λ)２(λ－１０)＝０ꎬ得矩阵的特征值λ１＝１０ꎬλ２＝λ３＝１.当特征值λ１＝１０时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－１０Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－１０Ｅ＝－８２－２２－５－４－２－４５éëêêêùûúúúң２０１０１１０００éëêêêùûúúúң１０１２０１１０００éëêêêêêùûúúúúú得基础解系η１＝－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ１＝１０的全部特征向量为ｃ１－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ１为任意非零常数.当λ２＝λ３＝１时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－Ｅ＝１２－２２４－４－２－４４éëêêêùûúúúң１２－２００００００éëêêêùûúúúꎬ其基础解系为η２＝－２１０æèçççöø÷÷÷ꎬη３＝２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ２＝λ３＝１的全部特征向量为ｃ２－２１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ３２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ其中ｃ２ꎬｃ３是不全为零的任意常数.㊀矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中ꎬ熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础ꎬ学生要在平时学习中ꎬ学会归纳总结ꎬ使每个知识点建立联系.参考文献:[１]同济大学数学系.工程数学线性代数[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]郝秀梅ꎬ姜庆华.线性代数[Ｍ].北京:经济科学出版社ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１３。

矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）李志慧（陕西师范大学数学与信息科学学院 副教授 博士 西安 710062）5、求标准正交基通常的Schmidt 方法，使我们可以从欧氏空间nR 的任意一个基出发，求出一个正交基来，再单位化，求出一个标准正交基．下面给出一种运用矩阵的初等变换，从欧氏空间nR 的任意一个基求标准正交基的方法[3]．设),,,(21ni i i i a a a a =是nR 的任意一个基，n i ,,2,1 =．以'i a 为列向量构成矩阵)(ji a A =，则A A '是一个n 阶正定矩阵，必与单位矩阵E 合同，即存在n 阶可逆矩阵Q ，使得E Q A A Q =)'(' 〈5〉即E AQ A Q =))(''( 〈6〉〈5〉式说明，对矩阵A A '施行一系列的初等变换（相应的初等矩阵的乘积Q ）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为'Q ）可变成单位矩阵．〈6〉式表明，AQ 的列向量组是nR 的一个标准正交基．AQ 可以通过对矩阵A 施行与对矩阵A A '所施行的相同系列的列初等变换求出，而不必通过先求Q 再与A 相乘得到．于是，得到求标准正交基的矩阵初等变换法： ][']'[AQ E A A A A A A →施行列初等变换对初等变换列行施行对 AQ 的列向量组即为所求．例7 把)0,0,1,1(1=a ，)0,1,0,1(2=a ，)1,0,0,1(3-=a ，)1,1,1,1(4--=a 变成单位正交的向量组．解：令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1100101010011111A ，则 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1111100101010011'A ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=4000021101210112'A A ，→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=110010101212121121212140000232100212300001121211001010100111114000021101210112)'(行除第列除第AA A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1110100100211112140000212101221021211)21(132112)21(132112-⨯-⨯--⨯-⨯-行第行第列第行第列第列第列第列第→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11001316201316121131612140000340000100001→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----112300112162011216121112161214000010000100001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2112300211216202112161212112161211000010000100001 所以所求单位正交的向量组为)0,0,21,21(1=β，)0,62,61,61(2-=β， )123,121,121,121(3-=β，)21,21,21,21(4-=β，需指出的是，)'(''AQ A Q =的行向量组，正是AQ 的列向量组，所以有求标准正交基的矩阵初等变换法的另一形式)''('')''(A Q E A A A A A A →施行行初等变换对初等变换列行施行对''A Q 的行向量即为所求．如果需要求出Q ，则由EQ Q =可知，对单位短阵E 施行同样的列初等变换得到Q ，即][']'[Q E E A A E A A →施行列初等变换对初等变换列行施行对 由此可以看出，利用矩阵的初等变换求欧氏空间nR 的一组标准正交基，比较简单而且操作方便．四、小结本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊作用．特别地我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基等问题中的应用，并给出了部分例子．可以看出，利用矩阵初等变换在处理相应问题问题时具有简单、快速、易于操作等特点．值得注意的是，矩阵的初等变换共有六种，当我们处理不同的问题时，可能使用初等变换的种类会不一样．如在本文中我们发现：在求向量组的极大线性无关组时只用了三种类型，而求矩阵的初等变换时却可以用六种初等变换，因此，我们在具体使用时要灵活应用．实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到解决求矩阵的逆、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法．当然，我们在学习中可能还会发现利用矩阵的初等变换来解决有关问题的典型例子，这也是值得我们进一步探讨的一个问题．参考文献1.北京大学数学系几何与代数小组，高等代数，高教出版社，1988年3月． 2．张小红，蔡秉徒，高等代数专题研究选编，陕西科学技术出版社，西安，1992．3．Werner Greub ， Linear Algebra, Springer-Verlag New York Heidelberg, Berlin,1982.。

矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。

矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。

二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。

矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。

三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。

通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。

2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。

通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。

3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。

同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。

四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。

2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。

3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。

5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。

六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。

例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。

矩阵的初等变换在线性代数中的应用摘要：矩阵是线性代数的一个重要组成部分，矩阵的初等变换在线性代数中的作用至关重要，文章基于矩阵的初等变换，举例说明矩阵的初等变换在求逆矩阵、求矩阵的秩等多方面的应用。

关键词：矩阵；线性代数；初等变换线性代数是大学数学的一个重要的组成部分，理工科学生的必修数学课程之一。

矩阵是线性代数中一个最重要也是最基本的概念，真正理解并且熟练掌握它是学好线性代数的关键。

矩阵的初等变换又是线性代数中不可或缺的内容，目前我们使用的大多数教材在对初等变换介绍时，矩阵的初等行变换和初等列变换都会讲解。

但是，在赵怡欣等人对矩阵的初等变换应用研究时，大部分只用了初等行变换[1-3]。

很多同学可能就有疑问，在解决问题是可以用初等列变换吗？答案是肯定，下面我们用具体的示例来说明。

首先给出相关的定义。

一、矩阵的初等变换定义1[4]：对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：(1)交换矩阵的两行（列），记为；(2)以一个非零的数乘以矩阵某一行（列）的所有元素，记为；(3)把矩阵的某一行（列）所有元素的倍加到另外一行（列）对应的元素上，记为。

初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。

初等变换都是可逆的，且逆变换也是同类的初等变换。

定义2[5]：我们称矩阵为一个行阶梯形矩阵，它具有以下特征：(1)元素全为零的行（简称零行）位于非零行的下方；(2)各非零行的首非零元（即该行从左至右的第一个不为零的元素）的列标随着行的增大而严格增大（即首非零元的列标一定不小于行标）。

定义3[5]：我们称矩阵为一个列阶梯形矩阵，它具有以下特征：(1)元素全为零的列（简称零列）位于非零列的右方；(2)各非零列的首非零元（即该行从上到下的第一个不为零的元素）的行标随着列的增大而严格增大（即首非零元的行标一定不小于列标）。

二、矩阵的初等变换在线性代数中的应用（一）用初等变换求逆矩阵如果方阵可逆，可经过一系列初等行（列）变换化为，则存在初等矩阵，使得上式两边右乘，则有(1)式和(2)式表明，将施行一系列初等行变换化为，则对施行相同一系列初等行变换化为，即也可以利用初等列变换，即解法二（二）用初等变换求矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩，求一个矩阵的秩，只需用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，则其非零行的个数便是矩阵的秩；或者用初等列变换把矩阵化为列阶梯形矩阵，则其非零列的个数便是矩阵的秩。

初等行变换和列变换
初等行变换和初等列变换是线性代数中常用的两种变换方式，它们都可以用于简化矩阵，并且在一些问题中可以相互转化。

初等行变换是指对矩阵的每一行进行加、减、乘、除等运算，而不改变其他行的相对位置。

具体来说，对于一个矩阵A，如果将其第i行乘以一个非零实数k，或者将其第i行加到第j行（i≠j），或者将第i行与第j行交换（i≠j），那么所得的矩阵仍然与矩阵A等价。

初等列变换是指对矩阵的每一列进行加、减、乘、除等运算，而不改变其他列的相对位置。

具体来说，对于一个矩阵A，如果将其第i列乘以一个非零实数k，或者将其第i列加到第j列（i≠j），或者将第i列与第j列交换（i≠j），那么所得的矩阵仍然与矩阵A等价。

在应用中，初等行变换和初等列变换可以相互转化。

例如，如果将一个矩阵进行初等行变换得到另一个矩阵B，那么可以通过对B进行相应的初等列变换将B还原为原来的矩阵。

同样地，如果将一个矩阵进行初等列变换得到另一个矩阵B，那么可以通过对B进行相应的初等行变换将B还原为原来的矩阵。

需要注意的是，初等行变换和初等列变换都不改变矩阵的秩。

这
意味着对于一个矩阵A，如果通过初等行变换得到矩阵B，那么矩阵A和B的秩相等；同样地，如果通过初等列变换得到矩阵B，那么矩阵A和B的秩也相等。

初等变换内容总结初等变换是线性代数中的重要概念，它是指通过一系列基本操作来改变矩阵的形态。

在本文中，我们将以人类的视角来描述初等变换的内容，并探讨其在实际问题中的应用。

一、初等变换的概念及基本操作初等变换是指通过三种基本操作对矩阵进行变换，这三种基本操作分别是：交换两行（列）的位置、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）的倍数加到另一行（列）。

这些操作可以改变矩阵的行列式、秩以及解的个数。

二、初等变换的应用初等变换在线性方程组的求解、矩阵的求逆以及线性相关性的判断等问题中都有广泛的应用。

下面我们将分别介绍这些应用。

1. 线性方程组的求解通过初等变换，我们可以将线性方程组转化为行阶梯形或简化行阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。

通过交换行、乘以非零常数、行的倍数加到另一行等操作，我们可以将方程组转化为更加简单的形式，使得解的求解更加方便。

2. 矩阵的求逆通过初等变换，我们可以将一个方阵转化为单位矩阵，从而求得其逆矩阵。

逆矩阵在计算机图形学、电路分析等领域中有着重要的应用。

3. 线性相关性的判断通过初等变换，我们可以判断向量组的线性相关性。

通过将向量组转化为行阶梯形或简化行阶梯形矩阵，我们可以得到向量组的秩，从而判断其线性相关性。

三、初等变换的实例分析为了更好地理解初等变换的应用，我们将通过一个实际问题进行分析。

假设有一家电子公司生产A、B、C三种产品，每天生产的数量分别为a、b、c。

已知每个产品的销售价格分别为x、y、z，该公司每天的总收入为ax+by+cz。

现在，该公司决定调整产品的生产数量，以提高总收入。

通过初等变换，我们可以得到以下结论：- 如果将A产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加x个单位。

- 如果将B产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加y个单位。

- 如果将C产品的生产数量增加一个单位，总收入将增加z个单位。

基于以上分析，我们可以优化产品的生产方案，使得总收入最大化。

通过初等变换，我们可以得到一个线性规划问题，进一步求解出最优解。

知识文库 第14期197初等变换在线性代数中的作用分析崔志义线性代数课程是理工科各专业的重要基础课之一，它对学生数学思维的训练、数学方法的掌握和数学能力的提高都有着重要的意义。

线性代数课程的特点是高度抽象的公理化方法、严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合，而这正好也是学生普遍感到这门课程难学的原因。

其实，线性代数中的很多概念是相互关联着的，找出它们之间的内在联系，对学生学好这门课是至关重要的．1.简要线性代数的应用线性代数是经济管理学及理工科学生的一门必须课，线性代数在提高学生数学能力以及培养数学素质等方面起到非常重要的作用。

线性代数具有内容抽线、概念多以及学时少等特点，在进行线性代数知识讲解过程中，通常将其分为矩阵、向量、线性方程组、矩阵对角化以及二次型等章节进行讲解。

矩阵对角化与二次型以及线性方程组作为线性代数教学的重点内容所在。

从教学的实际情况上看，在最初的线性教学学习过程中大多数学生表现出较高的积极性，但是，随着教学难度的增加，在矩阵初等变换知识讲解过程中，学生的积极性逐渐的锐减，到了进行对角化以及方程组教学过程中，学习在学习过程中表现出较高的的困难性。

通过课堂作业情况上看，出现这一现象，究其原因主要是由于学生未能充分的掌握线性阶梯矩阵以及初等变换概念，进行在日后线性章节学习过程中出现较大的困难性。

2.初等变换与矩阵2.1求矩阵或向量组的秩在进行矩阵秩的求解过程中，通常可以通过阶子式是否全为零计算方法获得，但是由于这种方式计算量，并且计算相对比较复杂，应用的较少。

相对比，初等变换方式求解过程相对比较简便。

在初等变换计算过程中，矩形的列秩以及行秩将不会发生任何改变，对此可以将初等变化成阶梯形，的带非零行的阶梯形梯形矩阵，也就是矩阵的秩，在这一计算过程中可以应用初等行列同时变换或者是初等列变换的凡是，这时矩阵秩将不会受到任何影响。

然而，在向量组秩的求解过程中，需要将向量用矩阵的形式表示，矩阵秩就是向量组的秩。

浅析线性代数中初等变换方法的应用作者：于顺霞来源：《科技资讯》 2013年第18期于顺霞(潍坊科技学院山东寿光 262700)摘要:用初等变换的思想方法分析、解决线性代数中的一些问题。

关键词:初等变换矩阵增广矩阵中图分类号:O151 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2013)06(c)-0199-01线性代数中有诸多的思想方法,其核心是等价分类求标准形以及贯穿全书始终的初等变换的思想方法。

初等变换的方法是线代数中分析问题、解决问题的一种非常重要的思想方法之一。

这种方法的实质是将问题化繁为简,化多为少,化大为小,并保持事物的本质不变,矩阵的初等变换计算简洁便于应用,是研究线性代数问题的一个重要工具。

在文献[1][2]中,已应用矩阵的初等变换解决了:(1)求线性方程组的通解;(2)求可逆矩阵的逆矩阵;(3)化矩阵为标准形;(4)求向量组的极大线性无关组;(5)判断向量组等价;(6)求多项式的最大公因式、最小公倍式及组合系数多项式;(7)求标准正交基等。

初等变换在线性代数中的应用远不止这些,如何巧妙地运用初等变换去解决线性代数中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果。

以下就初等变换的思想方法在线性代数中的广泛应用做进一步的总结。

1 基本定理定理1 矩阵经过初等行(列)变换后,其秩不变。

3 结论初等变换在线性代数中的应用非常广泛,要真正掌握这种方法,才能巧妙地运用其解决线性代数中有些运算复杂的问题,起到事半功倍的效果。

参考文献[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1987.[2]杨家骐,王卿文.高等代数在初等数学中的应用[M].济南:山东教育出版,1992.[3]王文省,姚忠平，钟红心.初等变换的思想方法在高等代数中的应用[J].聊城师院学报:自然科学版,2000,13(3):76-78.。

第一类初等变换和第三类初等变换初等变换是线性代数中的一个重要概念，它是指对矩阵进行的一些基本操作，包括交换矩阵的两行或两列、用一个非零常数乘以矩阵的某一行或某一列、将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍。

初等变换可以用来求解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。

第一类初等变换是指交换矩阵的两行或两列，它可以用来改变矩阵的行列式的符号。

例如，对于一个3阶矩阵A，如果我们交换它的第一行和第二行，那么它的行列式的符号就会改变。

这是因为行列式的值是由矩阵的元素按照一定的规律相乘得到的，而交换两行或两列会改变元素的相对位置，从而改变它们的乘积的正负性。

第三类初等变换是指将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍，它可以用来简化矩阵的行列式的计算。

例如，对于一个3阶矩阵A，如果我们将它的第一行加上第二行的2倍，那么它的行列式的值不会改变。

这是因为行列式的值是由矩阵的元素按照一定的规律相乘得到的，而将一行加上另一行的若干倍不会改变这些元素的相对位置，从而不会改变它们的乘积的值。

初等变换在线性代数中有着广泛的应用，它可以用来求解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。

例如，我们可以用初等变换将一个矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求解线性方程组的解。

我们也可以用初等变换求解矩阵的秩，因为矩阵的秩等于它的行阶梯形矩阵中非零行的个数。

此外，我们还可以用初等变换求解矩阵的逆，因为一个矩阵可逆当且仅当它的行列式不为零，而初等变换可以用来改变矩阵的行列式的值。

初等变换是线性代数中的一个重要概念，它可以用来求解线性方程组、求矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。

其中，第一类初等变换和第三类初等变换是最基本的两种初等变换，它们在矩阵的行列式的计算中起着重要的作用。