归纳与类比课件
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第七章 归纳推理和类比推理PPT课件
……
反面场合
（1′）
-，B，C，J
（2′）
-，F，E，D
（3′）
-，F，C，J
……
所以，情况A是现象a的原因。
被研究现象
a a a
-
❖ 例1：鸟什么条件下不迷失方向？ ❖ 结论：在晴天不迷失方向，靠太阳指明方向
❖ 例2：孙思邈治病（脚气病）
❖
❖ 求同求异法的步骤：
❖ 先两次求同，后一次求异。
第一步是比较正面场合，得出凡有情况A就 有现象a出现；
逻辑形式： 复合现象甲（A，B，C，D）是复合现象乙（a，b，
c，d）的原因
A是a的原因（或结果） B是b的原因（或结果） C是c的原因（或结果） 所以，D是d的原因
❖ 例1：居里夫人与镭和钋 ❖ 法国国籍波兰科学家，研究放射性现象，
发现镭和钋两种放射性元素，一生两度获诺 贝尔奖，分别获得1903年诺贝尔物理学奖和 1911年诺贝尔化学奖。
②张一有出息；张二有出息；张三有出息； （张一、张二、张三是张老汉仅有的三个孩 子）所以，张老汉的孩子都有出息。
逻辑形式：
S 1 是（或不是）P S 2 是（或不是）P S 3 是（或不是）P ……
Sn 是（或不是）P （S 1 ，S 2 ，S 3 ……S n 是S类的全部对象）
所以，所有的S都是（或不是）P
❖ 例2：人力资本理论的诞生
第四节 溯原推理
❖ 1 含义 ❖ 溯原推理又称“回溯推理”，是一种由结果
推断原因的归纳推理。是人们在日常生活中 常用的推理。
❖ 2 逻辑形式： ❖ p→q ❖q ， ❖p ❖ 逻辑依据是充分条件的肯定后件式。 ❖ 显然是或然性推理。
❖ 例1： ❖ 清早开窗，发现地上是湿的，所以昨晚
归纳与类比.ppt
版
＝6.
第12章 第四节
高考数学总复习
(理)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相
等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比
较恰当的是( )
北
师
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；
大 版
②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面
角相等；
第12章 第四节
高考数学总复习
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条
师
大
版
[答案] A
第12章 第四节
高考数学总复习
[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理，它的形式
是“三段论”，由此可知选 A，选项 B、D 是归纳推理，
C 是类比推理．
北
师
大
版
第12章 第四节
高考数学总复习
3．(文)(2012·合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是
()
A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0， 北 师
则 a＝b”
大 版
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋c b＝ac＋bc”
第12章 第四节
高考数学总复习
C
．
“(a
＋
b)c＝Biblioteka ac＋bc”类
比
推
出
“a＋c b
＝
a c
＋
b c
(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
北 师
大
版
[答案] C
[解析] 由类比推理特点知，选C.
高考数学总复习
北 师 大 版
第12章 算法初步、推理与证明、复数
类比与归纳PPT课件
…推到320的个位数是 .
(5)比较下面列算式结果的大小:(在横线上选
4 3 ) 填”>”、”<”、”=”
2
2
243
(2)2 12 2(2)1
( 2)2 (1)2 2 2 1
2
2
22 22 2 2 2
通过观察归纳,写出能反映这种规律的一
种结论,并加以证明.
数学中的一些基本规律
1+2+3+···+n=n（n+1）/2
1+3+5+···+（2n-1）=n2
2+4+6+···+2n=n（n+1）
12+22+32+···+n2=n（n+1）（2n+1）/6
13+23+33+43+···+n3=n2（n+1）2/4
12+32+52+···+（2n-1）2=n（4n2-1）/3
333
取的正确性.
例3.如图,⊙O1和⊙O2外离,BC是两圆的
外公切线,切点分别为B、C,连心线O1O2 分别交两圆于A、D，BA和CD的延长线 交于点E,试判断∠E是什么样的角.
例4.有若干个数,第一个数记为a1,第二个数记
为a2,第三个数记为a3,……,第n个数记为an. 若a1=3,第二个数起,每个数都等于1与它前面 那个数的差的倒数.
C
B
……
(4)根据以上的计算,你能得出一个什么规律 (用文字说明)?
(5)设第一个数为n,证明你得出的结论.
例6.操作:第一次将圆周分成两个半圆,在每个分点
(5)比较下面列算式结果的大小:(在横线上选
4 3 ) 填”>”、”<”、”=”
2
2
243
(2)2 12 2(2)1
( 2)2 (1)2 2 2 1
2
2
22 22 2 2 2
通过观察归纳,写出能反映这种规律的一
种结论,并加以证明.
数学中的一些基本规律
1+2+3+···+n=n（n+1）/2
1+3+5+···+（2n-1）=n2
2+4+6+···+2n=n（n+1）
12+22+32+···+n2=n（n+1）（2n+1）/6
13+23+33+43+···+n3=n2（n+1）2/4
12+32+52+···+（2n-1）2=n（4n2-1）/3
333
取的正确性.
例3.如图,⊙O1和⊙O2外离,BC是两圆的
外公切线,切点分别为B、C,连心线O1O2 分别交两圆于A、D，BA和CD的延长线 交于点E,试判断∠E是什么样的角.
例4.有若干个数,第一个数记为a1,第二个数记
为a2,第三个数记为a3,……,第n个数记为an. 若a1=3,第二个数起,每个数都等于1与它前面 那个数的差的倒数.
C
B
……
(4)根据以上的计算,你能得出一个什么规律 (用文字说明)?
(5)设第一个数为n,证明你得出的结论.
例6.操作:第一次将圆周分成两个半圆,在每个分点
归纳与类比
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
我珍视类比胜过任 何别的东西，它是我 最信赖的老师，它能 揭示自然界的秘密。
德国天文学家开普勒（ Kepler，
1571-1630）
“即使在数学里，发 现真理的主要工具也 是归纳和类比．”
法国数学家 拉普拉斯 （Laplase,1749-1827)
例3：传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一 块黄铜板，板上插着三根神针，传说主神再创世 时，在其中一根神针上，从下到上放下了由大到 小的64片金片。并言，将此64片金片移动到第三 根上时，世界末日就到了。其移动的规则是： 1）每次只许移动一片金片； 2) 金片只能在三根神针上存放； 3) 大金片任何时候不能放在小金片上面。 于是从此开始有一个僧侣24小时不间断地（允许 换班）移来移去。问题显然是：什么时候是世界 末日呢？
an 1 2(an 1 1) ∴数列 an 1 是以1位首项，2为
公比的等比数列．
an 2 1
n
an 1 2
n
当n=64时， a64 回到故事中，
2 1
64
=18446744073709551615．
类比与归纳课件
追求个人成长
培养团队成员之间的类比和归 纳能力，推动团队协作和创新。
通过类比和归纳，不断总结和 反思个人经验，实现自身能力 的提升。
结束语
通过本课程的学习，我们了解了类比与归纳这两个重要的思考工具，它们能够帮助我们更好地解决问题 和创造价值。
1 总结学习内容
回顾类比和归纳的基本 概念、作用以及注意事 项。
2 灵活运用
鼓励学生在实践中灵活 运用类比和归纳，发掘 新的解决方法。
3 深入探究
引导学生深入探究类比 和归纳的研究领域，拓 展思维和知识广度。
类比与归纳ppt课件
本课程将介绍类比与归纳这两个重要的思考工具，以及如何在实际应用中使 用这些工具来解决问题。
类比的基本概念
类比是一种比较不同事物之间相似性的方法，它可以帮助我们从一个领域的知识转移到另一个领 域，解决新的问题。
1 定义和作用
类比是通过找到两个不同事物之间的共性，来推理和解决问题的有效思考工具。
2 案例分析
了解如何使用类比来解决实际问题，通过举例说明类比的应用效果。
3 误区和注意事项
探讨在使用类比时需要注意的误区，以及如何避免这些误区。
பைடு நூலகம்
归纳的基本概念
归纳是从个别事实中推断出普遍规律的思考方法，它帮助我们总结和提炼大量信息，形成新的认知。
定义和作用
归纳是通过整合和总结大 量个别事实，从中提取出 普遍规律和原则。
案例分析
展示如何使用归纳来解决 实际问题，通过具体案例 加深理解。
误区和注意事项
探讨在归纳过程中需要注 意的误区，以及如何避免 这些误区。
类比与归纳的应用
了解如何将类比和归纳结合使用，以增强问题解决的能力和创造性思维。
归纳与类比
归纳法：1.定义：从许多个别事例中获得一个较具概括性的规则。
这种方法主要从收集到既有的资料，加以抽丝剥茧地分析，最后得以做出一个概括性的结论。
2.特点：归纳法是依据若干已知的不完尽的现象推断上属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；归纳法的前提是单个事实、特殊情陆，所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的。
3.作用：归纳法在数学上是证明与自然数n有关的命题的以中国方法。
它包括两个步骤：（1）验证当n取第一个自然数值n=n1(n1=1,2或其他常数)时，命题正确；（2）假设当n取某一自然数k时命题正确，以此类推出当n=k+1时这个命题也正确。
从而就可断定命题对于从n1开始的所有自然数都成立。
类比法：1.定义：类比法是根据两个或两类事物在某些属性上相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。
它是一种从特殊到特殊的推理方法，属于一种横向思维。
2.特点：类比法是“先比后推”。
“比”是类比的基础，“比”既要共同点也要“比”不同定。
对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同的对象之间是无法进行类比推理的。
类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效方法。
这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用。
3.作用：类比法的作用是“由此及彼”。
如果把“此”看作是前提，“彼”看作是结论，那么类比思维的过程就是一个推理过程。
古典类比法认为，如果我们在比较过程中发现被比较的对象有越来越多的共同点，并且知道其中一个对象有某种情况而另一个对象还没有发现这个情况。
这时候人们头脑就有理由进行类推。
由此认定另一对象也应有这个情况。
现代类比法认为，类比之所以能够“由此及彼”，之间是经过了一个归纳和演绎程序的即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这情况，然后再经过一个演绎得出另一个对象也具有这个情况。
归纳推理与类比推理的PPT
类比推理易受主观因素影响
类比推理过程中涉及的主观判断和经验等因素较 多，容易影响推理的客观性和准确性。
05
归纳推理与类比推理的 未来发展
归纳推理的未来发展
人工智能应用
随着人工智能技术的不断发展，归纳推理在自然语言处理、机器学习等领域的应用将更加广泛，有望实现更高效、准 确的推理过程。
跨领域应用
归纳推理不仅在逻辑学和哲学领域有应用，未来还可能拓展到其他领域，如医学、生物学等，为解决复杂问题提供新 的思路和方法。
区别
01
归纳推理是从个别到一般的推理，即从具体事例出发，概括出一般性结论；而 类比推理则是从一般到一般的属性也可能相同。
02
归纳推理的结论范围比前提更广泛，即结论是前提的一个超集；而类比推理的 结论并不一定包含前提的范围，即前提和结论之间不一定有包含关系。
教育与培训应用
类比推理在教育和培训领域具有重要价值，未来将进一步 探索其在培养创新思维、解决问题能力等方面的应用，为 教育和培训提供新的方法和工具。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根据某一类事物的部分成员的特 征，推出该类事物的一般性结论。
基于对事物内在机制的认识，通 过因果关系推导出一般性结论的 推理方法。
归纳推理的应用
科学研究
在科学研究中，归纳推理是常用 的推理方法之一，通过对大量实 验和观察数据的分析，得出科学 规律和理论。
法律审判
在法律审判中，法官根据证据和 事实进行归纳推理，推断出被告 人的罪行和责任。
归纳推理的逻辑不严密
归纳推理的逻辑基础是假设总体具有与样本 相似的特征，但这一假设并不总是成立，因 此归纳推理的逻辑并不严密。
类比推理的局限性
类比推理过程中涉及的主观判断和经验等因素较 多，容易影响推理的客观性和准确性。
05
归纳推理与类比推理的 未来发展
归纳推理的未来发展
人工智能应用
随着人工智能技术的不断发展，归纳推理在自然语言处理、机器学习等领域的应用将更加广泛，有望实现更高效、准 确的推理过程。
跨领域应用
归纳推理不仅在逻辑学和哲学领域有应用，未来还可能拓展到其他领域，如医学、生物学等，为解决复杂问题提供新 的思路和方法。
区别
01
归纳推理是从个别到一般的推理，即从具体事例出发，概括出一般性结论；而 类比推理则是从一般到一般的属性也可能相同。
02
归纳推理的结论范围比前提更广泛，即结论是前提的一个超集；而类比推理的 结论并不一定包含前提的范围，即前提和结论之间不一定有包含关系。
教育与培训应用
类比推理在教育和培训领域具有重要价值，未来将进一步 探索其在培养创新思维、解决问题能力等方面的应用，为 教育和培训提供新的方法和工具。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根据某一类事物的部分成员的特 征，推出该类事物的一般性结论。
基于对事物内在机制的认识，通 过因果关系推导出一般性结论的 推理方法。
归纳推理的应用
科学研究
在科学研究中，归纳推理是常用 的推理方法之一，通过对大量实 验和观察数据的分析，得出科学 规律和理论。
法律审判
在法律审判中，法官根据证据和 事实进行归纳推理，推断出被告 人的罪行和责任。
归纳推理的逻辑不严密
归纳推理的逻辑基础是假设总体具有与样本 相似的特征，但这一假设并不总是成立，因 此归纳推理的逻辑并不严密。
类比推理的局限性
7.2 类比推理及其方法 课件(共20张PPT)
请思考：下列类比是在对象之间“比”什么？ ①由蜘蛛结网，到不需要在深水处建筑桥①墩结的构吊类桥比。（模型类比） ②由儿童刮木听声的游戏，到听诊器的发明②。功能类比 ③由苍蝇两翅后③的结平构衡类棒比(楫（翅模)型，类到比新）型导航仪器——振动陀螺 仪的发明 ④由人工培育珍珠，到人工生产④牛条黄件。类比
2.提高类比推理可靠程度要求
（1）类比的根据越多越好。
前提中确认对象的相同或 相似属性越多，意味着它 们所属的类别可能越相近 ，结论的可靠性越高。
示例 人们在研究新药时，往往在
狗、兔子、老鼠等动物身上做实 验，因为这些动物比其它动物与 人类有更多的相同或相似属性。 如果用低等动物做实验，则因其 与人类的相同属性较少，难以得 到可靠的结论。
③在两个对象间多运用比喻
④在前提中要抓住两个对象的本质属性
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
类比推理的含义
1.特点和含义：
客观依据：事物属性之间的内在联系 【注意】
类比推理是从一般到一般或从特殊到特殊，不是从一般推出
个别（演绎推理），或是从个别推出一般（归纳推理）
类比推理的含义
示例评析
化肥中所含的主要养分是钙、镁、氮、磷、钾，这些养 分是植物生长所需要的，而且，化肥呈粉末或液体状态时， 植物更容易吸收。
石煤渣中也含有较多的钙、镁、氮、磷、钾，把石煤渣 磨成粉末，植物也容易吸收。
所以，我们可以把石煤渣磨成粉末作为植物生长的肥料。
A对象具有属性a、b、c、d
逻辑形式： B对象具有属性a、b、c、
所以，B（可能）也具有属性d
类比推理的含义
①瓦特根据蒸汽中的壶盖发明了蒸汽机。类比
②较之于其他高校思想政治理论课，《形势与政策》的 理论知识系统性和稳固性较弱，而教学内容的更新速度
2.提高类比推理可靠程度要求
（1）类比的根据越多越好。
前提中确认对象的相同或 相似属性越多，意味着它 们所属的类别可能越相近 ，结论的可靠性越高。
示例 人们在研究新药时，往往在
狗、兔子、老鼠等动物身上做实 验，因为这些动物比其它动物与 人类有更多的相同或相似属性。 如果用低等动物做实验，则因其 与人类的相同属性较少，难以得 到可靠的结论。
③在两个对象间多运用比喻
④在前提中要抓住两个对象的本质属性
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
类比推理的含义
1.特点和含义：
客观依据：事物属性之间的内在联系 【注意】
类比推理是从一般到一般或从特殊到特殊，不是从一般推出
个别（演绎推理），或是从个别推出一般（归纳推理）
类比推理的含义
示例评析
化肥中所含的主要养分是钙、镁、氮、磷、钾，这些养 分是植物生长所需要的，而且，化肥呈粉末或液体状态时， 植物更容易吸收。
石煤渣中也含有较多的钙、镁、氮、磷、钾，把石煤渣 磨成粉末，植物也容易吸收。
所以，我们可以把石煤渣磨成粉末作为植物生长的肥料。
A对象具有属性a、b、c、d
逻辑形式： B对象具有属性a、b、c、
所以，B（可能）也具有属性d
类比推理的含义
①瓦特根据蒸汽中的壶盖发明了蒸汽机。类比
②较之于其他高校思想政治理论课，《形势与政策》的 理论知识系统性和稳固性较弱，而教学内容的更新速度
“归纳”与“类比”
解：观察下列等式： 左边是：从1开始的依次的自然数的那么 多个奇数的和， 右边是：依次的自然数的平方.
有1 3 5 2n 1 n2
n项
2 2 1 1
2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 7 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 92
2
2
n 1 n 2 即， 1 2 3 n 2
6 2011 陕西 文 观察下列等式 11 23 4 9 3 4 5 6 7 25 4 5 6 7 8 9 10 49
那么N点的坐标一定是 m, n ，设点P的坐标为 x, y ，则k PM 与k PN 的值 存在的情况下 可以表示出来，求两者的积，整理、化简即可 得结论. x2 y 2 解： 1 类似的性质：若M , N 是双曲线 2 2 1上关于原点对称的 a b 两点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM , PN的斜率存在，
步骤 P30中间虚框阴影部分：
1.找出两类事物之间的相似性或一致性； 2.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题 猜想 .
注：书上“两个表格中的内容” 自看
题型1.类比推理在数列中的应用
11.根据等差数列的性质，利用类比推理写出等比数列的性质 等差数列an , 公差d 则 am a n a p a q 若m n 2 p , 则 am a n 2 a p ak , ak m , ak 2 m 构成公差为md 的等差数列 am an m n d 若m n p q m, n, p , q N *
第七课 学会归纳与类比推理(课件)高中政治选择性必修3《逻辑与思维》
某种属性，推出该类全部对象具有或不具有某种属性的归纳推理。不完全
归纳推理的前提与结论之间的联系是_或__然__的__。
相关链接
简单枚举归纳推理和科学归纳推理都是不完全归纳推理。 简单枚举归纳推理是根据事物情况多次重复，并且没有遇到相反 的情况，由部分情况得出一般性结论。一旦发现相反情况，这种推理 的结论就会被推翻。 科学归纳推理是根据某类部分对象与某种属性之间的因果联系， 推出某类对象都具有或不具有某种属性的归纳推理。因为它分析了事 物之间的因果联系，比简单枚举归纳推理的结论的可靠性要高。
一个都不能遗漏。 4.科学归纳比简单枚举法的可靠性低。 纠正：简单枚举归纳推理和科学归纳推理都是不完全归纳推理，科
学归纳推理比简单枚举法的可靠性高。
返回
易错提醒
1.类比推理是必然推理。 纠正：类比推理是或然推理。 2.客观事物及其属性是孤立的，事物的差异，是类比推理的客观依据。 纠正：客观事物及其属性不是孤立的，而是相互联系、相互制约
（4）类比推理的作用
①类比推理在科学技术创新中具有前锋的作用。 ②在日常论证说理中，类比推理可以帮助我们创新性地解决他人思想 上的困难，纠正他人认识中的错误。 ③归纳推理和类比推理是或然推理，是不能保证从真前提推出真结论 的推理。但是，归纳推理在帮助人们发现认识对象的规律方面，类比 推理在帮助人们获取新知识方面，都具有自身的价值。 ④在实践中，人们总是将演绎推理、归纳推理和类比推理结合在一起 使用。只有这样，才能更好地发挥不同推理类型的思维功能。
3.类比与比较、比喻
(1)类比不同于比较： 类比要在比较的基础上得出新的结论，它是种推理；比较的目的在于认识 两类事物之间的相同点和不同点，它是一种简单的认识方法，但不是推理。
(2)类比不同于比喻： 类比和比喻虽然都以比较为基础，但是，类比是一种推理形式，目的在 于得出新知识；比喻是一种修辞手法，目的在于生动形象地描写或说明 认识对象。
归纳推理的前提与结论之间的联系是_或__然__的__。
相关链接
简单枚举归纳推理和科学归纳推理都是不完全归纳推理。 简单枚举归纳推理是根据事物情况多次重复，并且没有遇到相反 的情况，由部分情况得出一般性结论。一旦发现相反情况，这种推理 的结论就会被推翻。 科学归纳推理是根据某类部分对象与某种属性之间的因果联系， 推出某类对象都具有或不具有某种属性的归纳推理。因为它分析了事 物之间的因果联系，比简单枚举归纳推理的结论的可靠性要高。
一个都不能遗漏。 4.科学归纳比简单枚举法的可靠性低。 纠正：简单枚举归纳推理和科学归纳推理都是不完全归纳推理，科
学归纳推理比简单枚举法的可靠性高。
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易错提醒
1.类比推理是必然推理。 纠正：类比推理是或然推理。 2.客观事物及其属性是孤立的，事物的差异，是类比推理的客观依据。 纠正：客观事物及其属性不是孤立的，而是相互联系、相互制约
（4）类比推理的作用
①类比推理在科学技术创新中具有前锋的作用。 ②在日常论证说理中，类比推理可以帮助我们创新性地解决他人思想 上的困难，纠正他人认识中的错误。 ③归纳推理和类比推理是或然推理，是不能保证从真前提推出真结论 的推理。但是，归纳推理在帮助人们发现认识对象的规律方面，类比 推理在帮助人们获取新知识方面，都具有自身的价值。 ④在实践中，人们总是将演绎推理、归纳推理和类比推理结合在一起 使用。只有这样，才能更好地发挥不同推理类型的思维功能。
3.类比与比较、比喻
(1)类比不同于比较： 类比要在比较的基础上得出新的结论，它是种推理；比较的目的在于认识 两类事物之间的相同点和不同点，它是一种简单的认识方法，但不是推理。
(2)类比不同于比喻： 类比和比喻虽然都以比较为基础，但是，类比是一种推理形式，目的在 于得出新知识；比喻是一种修辞手法，目的在于生动形象地描写或说明 认识对象。
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根据一般原理，对特殊情况做出的判断
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是(
A．an＝2n－1
)
B．an＝2n－1
C．an＝2n－1－1
答案： C
D．an＝2n－1＋1
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
2．下列说法正确的是( A．合情推理就是归纳推理
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
5．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
“________________”，这个类比命题的真假性是________．
解析： 由类比推理可知．
答案： 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
工具
答案：
f3(x)＝
x 1－22x
fn(x)＝
x － (n∈N＋) 1－2n 1x
工具
第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律， 可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构．
2．类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定
答案：
3
6
15
nn－1 2
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x 【变式训练】 1.已知： f(x)＝ ， f1(x)＝f(x)，n(x)＝fn－1[fn－1(x)](n 设 f 1－x ＞1 且 n∈N＋)，则 f3(x)的表达式为______________，猜想 fn(x)(n∈N＋) 的表达式为________．
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从近两年的高考试题来看，归纳推理、类比推理等问题是高考的 热点，归纳推理、类比推理大部分在填空题中出现，为中低档题，突出
“小而巧”，主要考查类比推理、归纳推理的能力；演绎推理大多出现
在解答题中，为中高档题目，在知识交汇点处命题，考查学生的逻辑推 理能力，以及分析问题、解决问题的能力．
尚需证明．
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4．数学证明
(1)演绎推理：从一般性的原理
出发，推出某个特殊情况下的结论，
我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 一般 到 特殊 的 推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理 ②小前提—— ③结论—— 所研究的特殊情况 ； ； ．
式表示)．
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解析： 本题根据已知猜想n条直线的交点个数，可将n取几个特殊
值时的交点个数列出来，根据规律去猜想. n的取值 2 3 4 5 交点个数 1 3 6 10
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由以上数据可看出如下规律： 3＝1＋2；6＝1＋2＋3；10＝1＋2＋3＋4. nn－1 故猜想 n 条直线的交点个数为 1＋2＋3＋„＋(n－1)＝ .当 n 2 6×5 ＝6 时，交点个数为 ＝15. 2
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3．合情推理 (1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方 式． (2)分类：归纳推理与类比推理．
【思考探究】 合情推理的结论一定正确吗？
提示： 合情推理所得结论只是一种猜想，未必可靠；正确与否，
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【变式训练】 3.在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E
是垂足，求证：AB的中点M到D，E的距离相等．
证明： 提) 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，(小前提) 所以△ABD是直角三角形．(结论) 同理，△AEB也是直角三角形． (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前
理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
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(2009· 江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则 它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________． 解析： 由题意知，在平面上，两个相似的正三角形的面积比是边
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(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提) 而 M 是 Rt△ABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线，(小前提) 1 所以 DM＝2AB.(结论) 1 同理，EM＝2AB. 所以，DM＝EM，即 AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等．
长比的平方．
由类比推理知：体积比是棱长比的立方．
即可得它们的体积比为1∶8.
答案： 1∶8
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【变式训练】 2.给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a· 2. b＋b 其中结论正确的个数是( A．0 C．2 ) B．1 D．3
现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．归纳是依据 若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测 性．归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的 基础之上的．
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归纳推理的一般步骤：(1)对相关资料进行观察、分析、归纳整理； (2)提出带有规律性的结论(猜想)；(3)检验猜想． 2．类比是一种主观的不充分的似真的推理，因此，要确认其猜想 的正确性，还需经过严格的逻辑论证，类比是从人们已经掌握了的事物
①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①②
④为合情推理． 答案： C
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4．∵a ＝(1,0)，b＝(0 ，－ 1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－ 1)＝1×0＋
0×(－1)＝0.∴a⊥b. 大前提：________________； 小前提：________________； 结论：__________________. 答案： a⊥b 若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直 a·b＝0
直线l1 与l2 是同一平面内的两条相交线，它们有一个交点，如果在
这个平面内再画第3条直线，那么这三条直线最多可能有________个交点， 如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可能有________ 个交点，由此可以猜想：在同一个平面内6条直线最多可有________个交 点；n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数
解析： 由 f1(x)＝f(x)和 fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1 且 n∈N＋)，得 x 1－x x f2(x)＝f1[f1(x)]＝ ＝ ， x 1－2x 1－ 1－x
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x 1－2x x f3(x)＝f2[f2(x)]＝ ＝ ，„， x 1－22x 1－ 1－2x x 由此猜想 fn(x)＝ (n∈N＋)． － 1－2n 1x
解析： ③正确．
答案： B
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数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的 推理往往是由多个“三段论”构成的．在演绎推理中，只要大前提、小
前提和推理形式是正确的，结论必正确，否则所得的结论是错误的．
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(1)证明：函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；
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(2010· 陕西卷)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋ 3)2,13＋23 ＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2 ，„，根据上述规律，第四个等式为 ________．
【全解全析】 由前三个的规律即：左边为连续正整数的立方和，
右边为连续正整数和的平方，可得结果． 答案： 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152) 【阅后报告】 纳出一般性结论． 本题考查了归纳推理，其难点是由已知三个式子归
验猜想．
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3．演绎推理是由一般到特殊的推理．“三段论”是演绎推理的一
般模式；包括大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；
结论——据一般原理，对特殊情况作出的判断．在解决问题的过程中，合 情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，演绎推理是根据 已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新的命题．
第5课时 归纳与类比
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1．归纳推理 (1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种 事物中 每一个 事物都有这种 属性 的推理方式． 属性 ，推断该类
(2)特点：①是由 部分 到 整体 ，由 个别 到 一般 的推理．
②利用归纳推理得出的结论 不一定 是正确的．
(2)当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？