2020高中数学第六章 5《归纳与类比》复习学案

6．1.2 合情推理(二)——类比1.通过具体实例理解类比的意义．2.会用类比对具体问题作出判断．类比的定义根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处的推理方法称为类比．1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)类比是由特殊到一般的推理．( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) 答案：(1)× (2)×2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形 D ．矩形 答案：C3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：18几何问题中的类比推理如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．【解】 如图所示，在四面体P ­ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想)，如下表中平面图形与空间图形类比：平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形四面体已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC的面积，则S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A ­BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥的体积V A ­BCD ＝________．解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R ，三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ，三角形面积公式系数12 ――→类比三棱锥体积公式系数13.所以类比得三棱锥体积V A ­BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )．答案：13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )代数问题中的类比推理一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1，类比等差数列{a n }应有b 1b 2…b n ＝________．【解析】 因为在等差数列{a n }中，a 10＝0， 所以a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0， 即a 19－n ＋a n ＋1＝0，a18－n＋a n＋2＝0，a17－n＋a n＋3＝0，…所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a n＋a n＋1＋a n＋2＋…＋a19－n.因为b15＝1，所以b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，即b29－n b n＋1＝b28－n b n＋2＝…＝b14b16＝1.所以有b1b2…b n＝b1b2…b29－n(n<29，n∈N＋)．【答案】b1b2…b29－n(n<29，n∈N＋)．在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．如通项公式：a n＝a1＋(n－1)d类比b n＝b1·q n－1.设f(x)＝12x＋2，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值．解：因为f(x)＝12x＋2，所以f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋2＝12x＋2＋2x2＋2·2x＝2＋2x2（2x＋2）＝12＝22.令S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)．所以2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)] ＋…＋[f(5)＋f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)]＝12×22＝6 2.所以S＝3 2.合情推理的应用我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n}的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明；(3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .【解】 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫作等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，所以a n ＋2＝a n ，所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N ＋，k ≥2，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a ＝n －12(a ＋b )＋a＝n ＋12a ＋n －12b ；当k ＝1时，n ＝1，S 1＝1＋12a ＋1－12b ＝a ，所以当n 为奇数时，S n ＝n ＋12a ＋n －12b ；当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N ＋， 则S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．所以它的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数.n 2（a ＋b ），n 为偶数.(1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力．(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．1.数列5，9，17，33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．128答案：B2．各项都为正数的数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，猜想数列{a n }的通项公式为________．答案：a n ＝n （n ＋1）21．类比结论的可靠程度，依赖于两个或两类对象的共有属性，一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度也就越大，共有属性越是本质的，结论的可靠程度也越高．2．合情推理的结论往往是超越了前提所包含的范围，带有猜测的成分，故其结论未必正确；但是，合情推理常常能帮助我们猜测和发现新的结论，证明一个数学结论前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的推理过程可以概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想．1．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：选C.由题意得，(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －(a 2－a －1)>0对于任意x 恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32，故选C.2．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc ” C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 解析：选C.由类比推理的特点可知． 3．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则S △OBC ·OA →＋S △DCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0， 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有___________________________________________． 解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意得知：若O 为空间四边形ABCD 内一点，则有V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝0. 答案：V O ­BCD ·OA →＋V O ­ACD ·OB →＋V O ­ABD ·OC →＋V O ­ABC ·OD →＝0[A 基础达标]1．给出下列三个类比结论： ①类比a x·a y＝ax ＋y，则有a x ÷a y ＝ax －y；②类比log a (xy )＝log a x ＋log a y ，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③类比(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )，则有(xy )z ＝x (yz )． 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.根据指数的运算法则知a x÷a y＝a x －y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α＋β)≠sin αsin β，②不正确；根据乘法结合律知：(xy )z ＝x (yz )，③正确．2．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为m ，n ，c (mnc ≠0)的平面方程为( )A.x m ＋y n ＋z c＝1 B.x mn ＋y nc ＋zmc ＝1 C.xy mn ＋yz nc ＋zx cm＝1 D ．mx ＋ny ＋cz ＝1 答案：A3．关于x ，y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝b 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2y ＝a －b 2.则可类比猜想向量方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝b 的解为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2y ＝a －b 2B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －b 2y ＝a ＋b 2C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b y ＝a －b D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －b y ＝a ＋b 解析：选A.类比实数的结果可得x ＝a ＋b 2，y ＝a －b2，故选A. 4．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码的系统，其加密、解密原理如下图：明文――――――→加密密钥密码密文――→发送密文――――――→解密密钥密码明文 现在加密密钥为y ＝log a (x ＋2)．如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选C.因为log a (6＋2)＝3，所以a ＝2， 即加密密钥为y ＝log 2(x ＋2)，当接到的密文为4时，即log 2(x ＋2)＝4，所以x ＋2＝24，所以x ＝14.5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等． A ．① B ．①② C ．①②③D ．③解析：选 C.因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以①②③都恰当．6．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)·a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝________．解析：T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2n －1＝b 2n －1n .答案：b 2n －1n7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，则T4＝b41q6，T8＝b81q1＋2＋…＋7＝b81q28，T12＝b121q1＋2＋…＋11＝b121q66，所以T8T4＝b41q22，T12T8＝b41q38.即⎝⎛⎭⎪⎫T8T42＝T4·T12T8，故T4，T8T4，T12T8成等比数列．同理可得T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．答案：T8T4T12T89．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．解：如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23.10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：①三角形两边之和大于第三边．②三角形的面积S＝12×底×高．③三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12.请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：①四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．②四面体的体积V ＝13×底面积×高．③四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.[B 能力提升]11.如图，椭圆中心在坐标原点，F 1为左焦点，A 1为椭圆的右顶点，当F 1B 1→⊥B 1A 1→时，其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 为( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.如图，F 为双曲线的左焦点，FB →⊥BA →，其中A 为右顶点，B 为虚轴上顶点，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)．在Rt △ABF 中， |FB →|2＝c 2＋b 2， |AB →|2＝a 2＋b 2＝c 2，|FA →|2＝(a ＋c )2，由勾股定理得(a ＋c )2＝c 2＋b 2＋c 2，即c 2－a 2－ac ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a－1＝0，解得e ＝5＋12.12．根据图(1)的面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC＝________．解析：题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P ­ABC ，P ­A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P ­A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P ­ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC.答案：PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′PC13．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．解：结论：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列且公差为300. 此结论是正确的，证明如下： 因为数列{a n }的公差d ＝3.所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝10d ＋10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300.同理：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列且公差为300. 14．(选做题)观察下面两式：(1)tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1； (2)tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1. 分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论． 解：猜想：如果α＋β＋γ＝π2，α，β，γ都不为π2，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝1. 证明如下：因为α＋β＋γ＝π2，所以α＋β＝π2－γ，所以tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝1tan γ，所以tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan αtan β＋(tan α＋tan β)tan γ＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)tan γ ＝tan αtan β＋(1－tan αtan β)1tan γtan γ＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1.。

数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n q b +b n q n =b n (n q1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n(n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+②设n =k 时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0. ●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 2.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n ,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10)那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1(2k +7)·3k =(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n 三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2)∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2 (2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n ) =log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=>取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*)①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k 则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n+18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n+1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n …猜想：a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k 即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n ) =2(1+q +q 2+…+q n -1)－21(q +q 2+…+q n ) )24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52。

高三一轮复习6.5合情推理与演绎推理
【教学目标】
1。

了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；
掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.
【重点难点】
1.教学重点：了解合情推理和演绎推理,掌握演绎推理的“三段论”；
2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力;
【教学策略与方法】
自主学习、小组讨论法、师生互动法
【教学过程】
……根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时,f n（x)＝f（f n －1
(x)）＝________。

【解析】由f(x)＝错误!（x>0)
得，f1（x）＝f（x)＝x
x＋2,
f2(x）＝f（f1（x）)＝错误!＝
错误!，
f3(x)＝f(f2（x)）＝错误!＝错误!，
f4(x)＝f（f3（x))＝错误!＝错误!,
所以归纳可得,当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f（f n－1（x))＝错误!。

【答案】错误!
●命题角度3 形的归纳
4．仔细观察下面4个数字所表
示的图形：。

高三数学复习学案（一）集合知识要点一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：、、．2．集合中元素与集合的关系元素与集合之间的关系有和两种，表示符号为和.3．集合的表示法：、、．二、集合间的基本关系1．集合的子集和真子集具有传递性，即若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；2．对于集合A，B若A∩B＝A∪B，则A＝B.3．要注意∅的特殊性，在写集合的子集时不要忘记空集和它本身．4．若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数是2n－2.三、集合的基本运算常用结论(1)A ∩∅＝∅，A ∪∅＝A ，A ∩A ＝A ，A ∪A ＝A .(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅ 四、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q ，q 是p 的 ． 2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的课前热身1、若1=a ，集合{}2<=x x A ，则下列关系中正确的是（ ）A ．A a ≠⊂B ．{}A a ≠⊂ C ．{}A a ∈ D ．A a ∉2．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝{1,2}，B ＝{－2,1,2}，则A ∪(∁U B )等于( )A ．∅B ．{1}C ．{1,2}D ．{－1,0,1,2} 4．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1}5.已知集合A 有5个元素，它们所有非空子集的个数是（ ） A ．32 B ．31 C ．30 D ．256．已知集合{}{}21,1,0,23A x x B a ===--，且A B ⊆，则a 的值是 ．例题解析[例1]、设集合{}{}{}7,4,1,2,1,4,22=+=+-=B a A a a U ，若U B A = ，则=a 。

第四节归纳与类比[考纲传真] 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．4．演绎推理(1)定义：是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[常用结论]1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理，演绎推理是证明结论的推理．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．( )(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．以上都不是B [类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B ．]3．(教材改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1C [a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.]4．“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提错误导致结论错误A [“指数函数y ＝a x是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a 的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面面积比为1∶4，对应高之比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.]►考法1 与数字有关的推理 【例1】 (1)给出以下数对序列： (1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； …记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( ) A ．(m ，n －m ＋1) B ．(m －1，n －m ) C ．(m －1，n －m ＋1)D ．(m ，n －m )(2)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.(1)A (2)n 2[(1)由已知可得，第i 行第j 列个数对a ij ＝(j ，i －j ＋1)，因此a nm ＝(m ，n －m ＋1)，故选A ．(2)由已知中 1＝12，1＋2＋1＝4＝22， 1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …归纳猜想可得1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n 2.] ►考法2 与式子有关的推理【例2】 (1)(2019·青岛模拟)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. (2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，归纳得x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝__________. (1)43n (n ＋1) (2)n n[(1)根据所给等式知，等式右边是三个数的乘积，第一个数是43，第二个数是左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，第三个数比第二个数大1，故所求结果为43n (n ＋1)．(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n.]►考法3 与图形变化有关的推理【例3】 (2019·成都模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内一共去掉的小三角形的个数为()A ．81B ．121C ．364D ．1 093C [由题图可知，当n ＝1时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1；当n ＝2时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3；当n ＝3时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32；……据此归纳推理可知，当n ＝6时，该黑色三角形内一共去掉小三角形的个数为1＋3＋32＋33＋34＋35＝1－361－3＝364.故选C ．](1)和的一般公式13＋23＋33＋…＋n 3＝________.(2)观察下列各式： 1＋122＜32； 1＋122＋132＜53； 1＋122＋132＋142＜74； …照此规律，当n ∈N *时，1＋122＋132＋…＋1n ＋2＜________.(1)n 2n ＋24(2)2n ＋1n ＋1[(1)13＝1＝12，13＋23＝9＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝36＝(1＋2＋3)3， 13＋23＋33＋43＝100＝(1＋2＋3＋4)2， …由此规律可知13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝n 2n ＋24.(2)观察所给不等式可知，第n 个不等式的右边为2n ＋1n ＋1.]【例4】 (1)(2019·上饶模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________.(1)3πr 4(2)a 2＋b 2＋c 22[(1)∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S ，∴四维空间中“超球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4，故答案为3πr 4.(2)把三棱锥补形为长方体，则长方体的对角线长即为三棱锥外接球的直径，则三棱锥外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.](1)若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫b n ＝12n n 也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)在平面几何中，△ABC 的∠C 的平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________________．(1)D (2)AE EB ＝S △ACDS △BCD[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故d n 的表达式为d n ＝nc 1·c 2·…·c n .法二：若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ，∴b n ＝a 1＋n －2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q n n －2，∴d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝c 1·qn －12，即{d n }为等比数列，故选D ．(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.]【例5】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩(1)D [(1)由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D ．](2)(2019·福州模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N ＋)．证明：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；②S n ＋1＝4a n . [证明] ①∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn， (小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列． (大前提是等比数列的定义，这里省略了) ②由①可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n . (结论)(第(2)问的大前提是第(2)问的结论以及题中的已知条件)号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮，再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭)，同样，开关B 控制着1,3,4号灯，开关C 控制着1,2,4号灯．开始时，四盏灯都亮着，那么下列说法正确的是( )A ．只需要按开关A ，C 可以将四盏灯全部熄灭B ．只需要按开关B ，C 可以将四盏灯全部熄灭 C ．按开关A ，B ，C 可以将四盏灯全部熄灭D ．按开关A ，B ，C 无法将四盏灯全部熄灭D [根据题意，按开关A,2,3,4号灯熄灭，1号灯亮；按开关B,1,2号灯熄灭，3,4号灯亮；按开关C ，则2,3,4号灯熄灭，1号灯亮．选D ．]1．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．]2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理．由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.]。

第四节归纳与类比[考纲传真] 了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.[答案](1)×(2)√(3)×2．(教材改编)已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.]3．下面几种推理是合情推理的是 ( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③李锋某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n－2)·180°.A．①② B．①③C．①②④ D．②④C [合情推理分为类比推理和归纳推理．其中①是类比推理，②④是归纳推理．故选C.] 4．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则b 1b 2b 3…b n ＝________.b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *) [∵b 9＝1，∴在等比数列中b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *)．]归纳推理►考法1 与数式有关的推理【例1】 (1)(2019·南昌模拟)已知13＋23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622,13＋23＋33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222,13＋23＋33＋43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝3 025，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．11(2)(2019·济宁模拟)已知a i ＞0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式：a 1＋a 22≥a 1a 2；a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3；a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4；……照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn≥______.(1)C (2)na 1a 2…a n [(1)观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是n 3时，等号右边的数为⎝⎛⎭⎪⎫n n ＋22，因此，令⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋22＝3025，则n n ＋2＝55，n ＝10或n ＝－11(舍)．故选C.(2)由题意得a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)．]►考法2 与图形有关的推理【例2】 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．(1)n 级分形图中共有________条线段； (2)n 级分形图中所有线段长度之和为________．(1)3×2n －3(n ∈N *) (2)9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n (n ∈N *) [(1)由题图知，一级分形图中的线段条数为3＝3×2－3，二级分形图中的线段条数为9＝3×22－3，三级分形图中的线段条数为21＝3×23－3，按此规律，n 级分形图中的线段条数为a n ＝3×2n －3(n ∈N *)．(2)∵从分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的13的线段，∴n 级分形图中第n 级的所有线段的长度和为b n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1(n ∈N *)，∴n 级分形图中所有线段长度之和为S n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n1－23＝9－9×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .](1)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80(2)如图的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．(1)D (2)n n ＋2(n ∈N *) [(1)由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…， 可得若99n＝99n具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80.(2)由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .所以总个数为n n ＋2(n ∈N *)．]类比推理【例3】 (1)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定出来x ＝2，类似地不难得到1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12 B ．5－12C.1＋52D ．1－52(2)(2018·南昌一模)平面内直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则斜边长为a 2＋b 2，直角顶点到斜边的距离为aba 2＋b 2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比推理可得底面积为S 21＋S 22＋S 23，则三棱锥顶点到底面的距离为( )A.3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23B ．S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23C.2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23D ．3S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23(1)C (2)C [(1)令1＋11＋11＋…＝x (x ＞0)，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C.(2)设空间中三棱锥O ­ABC 的三条两两垂直的侧棱OA ，OB ，OC 的长分别为a ，b ，c ，不妨设三个侧面的面积分别为S △OAB ＝12ab ＝S 1，S △OAC ＝12ac ＝S 2，S △OBC ＝12bc ＝S 3，则ab ＝2S 1，ac＝2S 2，bc ＝2S 3.过O 作OD ⊥BC 于D ，连接AD (图略)，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，且OB ∩OC ＝O ，得OA ⊥平面OBC ，所以OA ⊥BC ，又OA ∩OD ＝O ，所以BC ⊥平面AOD ，又BC 平面OBC ，所以平面OBC ⊥平面AOD ，所以点O 在平面ABC 内的射影O ′在线段AD 上，连接OO ′. 在直角三角形OBC 中，OD ＝bcb 2＋c 2. 因为AO ⊥OD ，所以在直角三角形OAD 中，OO ′＝OA ·ODOA 2＋OD 2＝a ·bc b 2＋c 2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫bc b 2＋c 22＝abcab 2＋ac 2＋bc2＝ab bccaab2＋ac2＋bc2＝S 1S 2S 3S 12＋S 32＋S 22＝2S 1S 2S 3S 21＋S 22＋S 23.](1)在正项等差数列{a n }中有41426020＝12100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为________．(2)如图(1)所示，点O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO ，并延长交对边于A 1，B 1，C 1，则OA 1AA 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＝1，类比猜想：点O 是空间四面体VBCD 内的任意一点，如图(2)所示，连接VO ，BO ，CO ，DO 并延长分别交面BCD ，VCD ，VBD ，VBC 于点V 1，B 1，C 1，D 1，则有________．(1)20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100 (2)OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1 [(1)由等差数列的性质知，a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 41＋a 6020＝a 1＋a 1002，a 1＋a 2＋…＋a 100100＝a 1＋a 100100＝a 1＋a 1002，所以a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100.在正项等比数列{b n }中，类似的有： 20b 41b 42b 43…b 60＝20b 41b 6010＝20b 1b 10010＝b 1b 100，100b 1b 2b 3…b 100＝100b 1b 10050＝b 1b 100，所以20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100，所以在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.(2)利用类比推理，猜想应有OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝1. 用“体积法”证明如下：OV 1VV 1＋OB 1BB 1＋OC 1CC 1＋OD 1DD 1＝V O ­BCD V V ­BCD ＋V O ­VCD V B ­VCD ＋V O ­VBD V C ­VBD ＋V O ­VBC V D ­VBC ＝V V ­BCDV V ­BCD＝1.] 推理在生活中的应用【例4】 (1)甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖．甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”．四位同学的话恰有两句是对的，则 ( )A ．甲和乙不可能同时获奖B ．丙和丁不可能同时获奖C ．乙和丁不可能同时获奖D ．丁和甲不可能同时获奖(2)(2019·郑州模拟)甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．(1)C (2)乙 [(1)若甲未获奖，则乙、丙、丁三位同学获奖，此时甲、乙、丙说的都错了，与题设矛盾，所以甲一定获奖了；若丙未获奖，则甲、乙、丁三位同学获奖，此时甲、丙、丁说的都对，与题设矛盾，所以丙也一定获奖了，由此可知乙、丁只有一个获奖，不可能同时获奖，故选C.(2)若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．]甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书．丙[因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩D[由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．]2.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]3．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．A[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]。

1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理,步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理,一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确,推理的形式正确,那么推理所得的结论就一定正确．注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析法(1)综合法是“由因导果”,即从已知条件出发,利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”,即从结论逆向转化,寻找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式等)．注意：①分析法是从结论出发,但不可将结论当作条件．②在证明过程中,“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论,即通过否定结论,得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．5．直接证明——数学归纳法(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可,由n＝k⇒n＝k＋1时必须使用归纳假设,否则不算是数学归纳法．(2)数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题,但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．归纳推理[例1] 给出下面的数表序列：表11表21 34表3 …1 3 54 812其中表n(n＝1,2,3,…)有n行,第1行的n个数是1,3,5,…,2n－1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．[解] 表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32,它们构成首项为4,公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论,较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2] 图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是.[解析] 分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9,…归纳可知,第n个叠放图形中共有n层,构成了以1为首项,以4为公差的等差数列,所以S n＝n＋[n(n－1)×4]÷2＝2n2－n,所以S7＝2×72－7＝91.[答案] 91解答此类题目时,需要细心观察图形,寻找每一项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n 个图的蜂巢总数．则f(4)＝________,f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1,f(2)＝7＝1＋6,f(3)＝19＝1＋6＋12, 所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37,所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝3n 2－3n ＋1. 答案：37 3n 2－3n ＋12.如图给出了3层的六边形,图中所有点的个数S 3为28,按其规律再画下去,可得n(n ∈N ＋)层六边形,试写出S n 的表达式．解：设每层除去最上面的一个点的点数为a n , 则a n 是以5为首项,4为公差的等差数列, 则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1＝n[5＋5＋4n －1]2＋1＝2n 2＋3n ＋1(n ∈N ＋).[例3] 在△ABC 中,AB ⊥AC,AD ⊥BC 于D.求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2,那么在四面体ABCD 中,类比上述论据,你能得到怎样的猜想,并说明理由．[证明] 如右图所示,由射影定理, AD 2＝BD·DC ,AB 2＝BD·BC , AC 2＝BC·DC , ∴1AD 2＝1BD·DC＝BC 2BD·BC·DC·BC ＝BC2AB 2·AC 2. ∵BC 2＝AB 2＋AC 2,类比推理∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC2. 猜想：类比AB ⊥AC,AD ⊥BC,猜想四面体ABCD 中, AB,AC,AD 两两垂直,AE ⊥平面BCD, 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 证明上述猜想成立．如右图所示,连接BE 交CD 于F,连接AF. ∵AB ⊥AC,AB ⊥AD, ∴AB ⊥平面ACD. 而AF ⊂平面ACD, ∴AB ⊥AF.在Rt △ABF 中,AE ⊥BF, ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中,AF ⊥CD, ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,则有性质“若S m ＝S n (m,n ∈N *且m≠n),则S m ＋n ＝0.”类比上述性质,相应地,当数列{b n }为等比数列时,写出一个正确的性质：____________________________.答案：数列{b n }为等比数列,T m 表示其前m 项的积,若T m ＝T n (m,n ∈N *,m≠n),则T m ＋n ＝14．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝b,BC ＝a,则△ABC 的外接圆半径为r ＝12 a 2＋b 2,把上述结论类比到空间,写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A­BCD 且AB ＝a,AC ＝b,AD ＝c, 则此四面体的外接球半径为R ＝12a 2＋b 2＋c 2.综合法和分析法[例4] 设a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1,求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 法一：(综合法) ∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1,∴1＝a ＋b≥2ab,ab ≤12,ab≤14,∴1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4,∴1a ＋1b ＋1ab ≥8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立.法二：(分析法)∵a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1,要证1a ＋1b ＋1ab≥8,只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8, 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8, 即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2.由基本不等式可知,当a ＞0,b ＞0时,b a ＋ab≥2成立⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立, 所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法,但两种证明方法思路截然相反,分析法既可用于寻找解题思路,也可以是完整的证明过程,分析法和综合法可相互转换,相互渗透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法和分析法联合运用,转换解题思路,增加解题途径．5．已知函数f(x)＝log a (a x－1)(a>0,a≠1)． (1)证明：函数f(x)的图象在y 轴一侧；(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1<x 2)是图象上的两点,证明：直线AB 的斜率大于零． 证明：(1)由a x－1>0,得a x>1.①当a>1时,x>0,函数图象在y 轴右侧； ②当0<a<1时,x<0,函数图象在y 轴左侧． 故函数图象总在y 轴一侧．(2)由于k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2,又由x 1<x 2,故只需证y 2－y 1>0即可．因为y 2－y 1＝log a (a x2－1)－log a (a x1－1)＝log a a x2－1a x 1－1.①当a>1时,由0<x 1<x 2,得 a 0<a x1< a x2, 即0<a x1－1<a x2－1.故有a x 2－1a x 1－1>1,log a a x2－1a x 1－1>0,即y 2－y 1>0. ②当0<a<1时, 由x 1<x 2<0, 得a 0>a x1>a x2>1. 即a x1－1>a x2－1>0.故有0<a x2－1a x 1－1<1, ∴y 2－y 1＝log a a x2－1a x 1－1>0,即y 2－y 1>0.综上,直线AB 的斜率总大于零.反证法[例5] 已知a,b,c 均为实数,且a ＝x 2－2y ＋π2,b ＝y 2－2z ＋π3,c ＝z 2－2x ＋π6,求证：a,b,c 中至少有一个大于0.[证明] 假设a,b,c 都不大于0, 即a≤0,b≤0,c≤0,得a ＋b ＋c≤0,而a ＋b ＋c ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0,与a ＋b ＋c≤0矛盾,故假设不成立． ∴a,b,c 中至少有一个大于0.(1)用反证法证题时,先假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立．(2)反证法证题的思路是：“假设—归谬—存真”．6．用反证法证明命题“设a,b 为实数,则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案：A数学归纳法[例6] 已知数列{a n }满足：a 1＝1,4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9(n ∈N ＋)． (1)求a 2,a 3,a 4；(2)由(1)的结果猜想a n 用n 表示的表达式； (3)用数学归纳法证明(2)的猜想． [解] (1)由a 1＝1及a n ＋1＝9－2a n4－a n,得 a 2＝9－2a 14－a 1＝73,a 3＝9－2a 24－a 2＝9－2×734－73＝135,a 4＝9－2a 34－a 3＝9－2×1354－135＝197.所以a 2＝73,a 3＝135,a 4＝197.(2)观察a 1,a 2,a 3,a 4的值,分母构成正奇数数列2n －1,分子构成首项为1,公差为6的等差数列,故猜想：a n ＝6n －52n －1,n ∈N ＋.(3)用数学归纳法证明上面的猜想． ①当n ＝1时,a 1＝6×1－52×1－1＝1,猜想正确．②假设当n ＝k(k≥1,k ∈N ＋)时,猜想正确,即a k ＝6k －52k －1.所以当n ＝k ＋1时,a k ＋1＝9－2a k4－a k ＝9－2·6k －52k －14－6k －52k －1＝6k ＋1－52k ＋1－1.这就是说n ＝k ＋1时猜想也成立． 由①②可知,猜想对任意正整数n 都成立．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型,此种问题未给出问题的结论,往往需要由特殊情况入手,归纳、猜想、探索出结论,然后再对探索出的结论进行证明,而证明往往用到数学归纳法．7．在数列{a n }中,a 1＝12,a n ＋1＝3a na n ＋3,求a 2,a 3,a 4的值,由此猜想数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想．解：a 1＝12＝36,a 2＝37,a 3＝38,a 4＝39,猜想a n ＝3n ＋5,下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时,a 1＝31＋5＝12,猜想成立．②假设当n ＝k(k≥1,k ∈N ＋)时猜想成立, 即a k ＝3k ＋5,则当n ＝k ＋1时, a k ＋1＝3a ka k ＋3＝3·3k ＋53k ＋5＋3＝3k ＋1＋5,所以当n ＝k ＋1时猜想也成立． 由①②知,对n ∈N ＋,a n ＝3n ＋5都成立．(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1,…,则式子3⊗5是第( )A．22项B．23项C．24项 D．25项解析：两数和为2的有1个,和为3的有2个,和为4的有3个,和为5的有4个,和为6的有5个,和为7的有6个,前面共有21个,3⊗5为和为8的第3项,所以为第24项．答案：C2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时,假设正确的是( )A．假设2是有理数 B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数解析：应对结论进行否定,则2＋3不是无理数,即2＋3是有理数．答案：D3．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N＋)”时,第一步验证n＝1时,左边应取的项为( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析：当n＝1时,左边的最后一项为4,故为1＋2＋3＋4.答案：D4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( ) A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人,刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的,但没有一种语言四人都懂,现知道：①甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈,又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时,不能只用一种语言；④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译．针对他们懂的语言,正确的推理是( )A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：分析题目和选项,由①知,丁不会说日语,排除B选项；由②知,没有人既会日语又会法语,排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言,排除C选项,故选A.答案：A6．用数学归纳法证明“1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1”时,由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是( )A.2k k＋2B.1k k＋1C.1k＋1k＋2D.2k＋1k＋2解析：由n＝k到n＝k＋1时,左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋k＋1＝2k＋1k＋2.答案：D7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,…,则72 019的末两位数字为( ) A．01 B．43C．07 D．49解析：∵75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543,78＝5 764 801,…∴7n(n∈N＋,且n≥5)的末两位数字呈周期性变化,且最小正周期为4,记7n(n∈N＋,且n≥5)的末两位数为f(n),则f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3),∴72 019与73的末两位数相同,均为43.答案：B8．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,易得下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c； ④由a·b＝a·c(a≠0)可得b ＝c. 以上通过类比得到的结论正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律,不满足结合律,故①③正确, ②错误；由a·b ＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0,从而b －c ＝0或a ⊥(b －c),故④错误．答案：B9．已知a>0,不等式x ＋1x ≥2,x ＋4x 2≥3,x ＋27x 3≥4,…,可推广为x ＋ax n ≥n＋1,则 a 的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2解析：由x ＋1x ≥2,x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3,x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4,…,可推广为x ＋n nx n ≥n＋1,故a ＝n n.答案：B10．已知结论：“在正三角形ABC 中,若D 是边BC 的中点,G 是三角形ABC 的重心,则AGGD ＝2”．若把该结论推广到空间,则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中,若△BCD 的中心为M,四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”,则AOOM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：如图,设正四面体的棱长为1,则易知其高AM ＝63, 此时易知点O 即为正四面体内切球的球心,设其半径为r,利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612,故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64, 故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 答案：C11．设△ABC 的三边长分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,则△ABC 的内切圆半径为r ＝2Sa ＋b ＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S­ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,体积为V,则四面体的内切球半径为r ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O,则球心O 到四个面的距离都是r,所以四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为：V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r,∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n≥2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 11＝12＋12,12＝13＋16,13＝14＋112,…,则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840D.11 260解析：依题意,结合所给的数阵,归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18,17－18,第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19,18－19,⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19,第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110,19－110,⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110,⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＝1840.答案：C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中,D 为BC 的中点,则AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→),将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为________．答案：在三棱锥A­BCD 中,G 为△BCD 的重心,则AG ―→＝13(AB ―→＋AC ―→＋AD ―→)14．有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和315．观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1,…,由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N ＋,1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42,…, ∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2. 答案：n 216．五位同学围成一圈依序循环报数,规定：①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②当报出的数为3的倍数时,则报该数的同学需拍手一次． 当第30个数被报出时,五位同学拍手的总次数为________．解析：设报出的第n 个数为a n ,则有a n ＋a n ＋1＝a n ＋2,n ∈N ＋.a 1＝1,a 2＝1,a 3＝2,a 4＝3,a 5＝5,a 6＝8,a 7＝13,a 8＝21,…,所以a 4,a 8为3的倍数,a 12＝a 10＋a 11＝2a 10＋a 9＝2a 8＋3a 9也为3的倍数,可得规律a 4m ( m ∈N ＋)为3的倍数．则当第30个数被报出时,报出的数中是3的倍数的有a 4,a 8,a 12,a 16,a 20,a 24,a 28,故五位同学拍手的总次数为7.答案：7三、解答题(本大题共6小题,满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)画出图形,可知凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线,…,请归纳猜测凸n(n>3,n ∈N ＋)边形对角线的条数f(n),并证明所得结论．解：由题意得,当n ＝4时,f(4)＝2＝4×12；当n ＝5时,f(5)＝5＝5×22；当n ＝6时,f(6)＝9＝6×32；…,由此猜测f(n)＝nn －32, 即凸n(n>3,n ∈N ＋)边形有nn －32条不同的对角线． 证明：因为凸n(n>3,n ∈N ＋)边形中从每一个顶点出发的对角线有(n －3)条, 所以从所有的顶点出发的对角线有n(n －3)． 又每条对角线都被数了两次,所以凸n(n>3,n ∈N ＋)边形的对角线的条数为n n －32.18．(本小题满分12分)△ABC 的三条高分别为h a ,h b ,h c ,r 为内切圆半径,且h a ＋h b ＋h c ＝9r,求证：该三角形为等边三角形．证明：设三角形三边分别为a,b,c,故只需证a ＝b ＝c. 因为h a ＝2S a ,h b ＝2S b ,h c ＝2Sc ,其中S 为△ABC 的面积,所以h a ＋h b ＋h c ＝2S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c .又因为S ＝12(a ＋b ＋c)r,h a ＋h b ＋h c ＝9r,所以(a ＋b ＋c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝9. 所以a 2b ＋a 2c ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2a ＋c 2b －6abc ＝0. 将上式分解因式,得a(b －c)2＋b(c －a)2＋c(a －b)2＝0. 因为a>0,b>0,c>0,所以(b －c)2＝(c －a)2＝(a －b)2＝0. 所以a ＝b ＝c.∴该三角形为等边三角形．19.(本小题满分12分)如图所示,设SA,SB 是圆锥SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是SB 上一点,求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB, 因为直线SO 在平面SOB 内, 所以SO ⊥AC,因为SO ⊥底面圆O,所以SO ⊥AB. 因为AB∩AC＝A,所以SO ⊥平面SAB. 所以平面SAB ∥底面圆O,这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾, 所以假设不成立,即AC 与平面SOB 不垂直．20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1＝1,a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋),试利用三段论形式证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明：(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ,a n ＋1＝n ＋2n S n ,∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n ),即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn,(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比,1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n≥2),∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3,S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n,都有S n ＋1＝4a n .(结论)21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史,如下图,①②③④为十字绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n 个图案包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n ＋1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn －1(n≥2)的值． 解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得f(5)＝41. (2)可得f(2)－f(1)＝4×1； f(3)－f(2)＝8＝4×2； f(4)－f(3)＝12＝4×3； f(5)－f(4)＝16＝4×4； ……由上式规律,可得f(n)－f(n －1)＝4(n －1)．由以上各式相加可得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n －1)]＝4×1＋n －1n －12＝2n 2－2n,又f(1)＝1,∴f(n)＝2n 2－2n ＋1. (3)当n≥2时,1fn －1＝12n 2－2n ＝12nn －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ,∴原式＝11＋121－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中,数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1,a 2,a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想． 解：(1)S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1,得a 21＝1,∵a n >0,∴a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2,得a 22＋2a 2－1＝0,∴a 2＝2－1,S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3.得a 23＋22a 3－1＝0,∴a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋)．证明如下：①n ＝1时,a 1＝1－0＝1,命题成立； ②假设n ＝k 时,a k ＝k －k －1成立, 则n ＝k ＋1时, a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k , 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k.∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. ∴a k ＋1＝k ＋1－k. 即n ＝k ＋1时,命题成立．由①②知,n ∈N ＋时,a n ＝n －n －1.。

归纳与类比日期：学习目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．重点难点：能利用归纳、类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．学习过程：一、自学课本，解决课后练习；二、交流探究：1、请根据个人理解说出推理的含义及其分类；从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．任何一个推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推导出的命题，它告诉我们推理的知识是什么．2、请给出归纳推理的概念及其特征；3、请给出类比推理的概念及其特征；4、请给出合情推理的含义及其用途；5、请给出演绎推理的含义及其用途；6、请给出例3猜测的证明；7、请给出例4猜测的证明三、学以致用：1、三角形的内角和是180，凸四边形的内角和是360，凸五边形的内角和是540，……由此我们猜想：凸n 边形的内角和是 ．2、221222223,,331332333+++<<<+++，……，由此我们猜想： ． 3、一般人总会这样认为，既然人工智能这门新兴学科是以模拟人的思维为目标，那么，就应该深入地研究人思维的生理机制和心理机制。

其实，这种看法很可能误导这门新兴学科。

如果说，飞机发明的最早灵感是来自于鸟的飞行原理的话，那么，现代飞机从发明、设计、制造到不断改进，没有哪一项是基于对鸟的研究之上的。

上述议论，最可能把人工智能的研究，比作以下哪项?A 对鸟的飞行原理的研究B 对鸟的飞行的模拟C 飞机的不断改进D 飞机的设计制造4、小光和小明是一对孪生兄弟，刚上小学一年级。

一次，他们的爸爸带他们去密云水库游玩，看到了野鸭子。

小光说：“野鸭子吃小鱼。

”小明说：“野鸭子吃小虾。

”哥俩说着说着就争论起来，非要爸爸给评评理。

爸爸知道他们俩说得都不错，但没有直接回答他们的问题，而是用例子来进行比喻。