高中数学 1.1 归纳与类比课件 北师大版选修2-2

⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。 实验，观察概括，推广猜测一般性结论
实验，观察 概括，推广 猜测一般性结论
三、例题讲解： 例 1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结 论，并证明结论的真假。
3 3 sin 2 25 sin 2 85 sin 2 145 ； ； 2 2 3 3 sin 2 60 sin 2 120 sin 2 180 。 sin 2 30 sin 2 90 sin 2 150 ； 2 2 sin 2 15 sin 2 75 sin 2 130
第一章 推理与证明 1.1.1归纳推理
教学目标： 1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合 情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理 的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发 现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法， 通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那 么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发 现一般性规律的重要方法。 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳 法进行简单的推理。 教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。 教学过程： 一、课堂引入： 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的 思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什 么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成， 但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据 此可分为合情推理与演绎推理
分析：由上面四个等式寻求规律：每个等 式左边的三个角都两两相差 ，右边是同一个 值。猜想：把等式左边的三个角中最小一个设 为 ，那么另外两个就分别是： 60 和 120 ； 如果把最小一个角设为 60 ， 那么另外两个就 是： ， 60 ；所以猜想的结果从形式上看并 不唯一。

归纳推理的特点: (1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理; (2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此,归纳推理的结论超出 了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性 的,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的; (3)人们在进行归纳推理的时候,先搜集一定的事实材料,有个别性的、 特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此,归纳推理要在观察和 实验的基础上进行; (4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是科学发现的重要手段.
答案:B
点评
归纳推理是立足于观察、经验或实验的基础上的,认真全面地分析已知 条件是得出正确结论的关键.
探究一
探究二
探究三
������变式训练 1������观察下列等式:
1=1,
13=1,
1+2=3,
13+23=9,
1+2+3=6, 13+23+33=36,
1+2+3+4=10, 13+23+33+43=100,
质为
.
解析:圆心类比椭圆焦点,圆外一点类比椭圆外一点,圆的切线类比椭圆
的切线,∠POA=∠POB 类比∠PFA=∠PFB,于是可得类比结论为:过椭圆
������2 ������2
+
������������22=1(a>b>0)外一点
P
作椭圆的两条切线
PA,PB,其中
A,B
为切点,若
F
为椭圆的一个焦点,则∠PFA=∠PFB.
探究三
探究二类比推理
1.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想). 2.类比推理得到的结论不一定正确,所以我们要进行验证或证明.

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[例 1] 已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17 >32；1＋12＋13＋…＋115>2；……
根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
[思路点拨] 观察不等式左边最后一项的分母特点为 2n－1，不等式右边为n2，由此可得一般性结论．
归纳推理 和 类比推理 是最常见的合情推理．
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2.演绎推理的含义 演绎推理是根据 已知的事实 和 正确的结论 ，按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
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1.归纳推理的特点 （1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论 是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳 推理不能作为数学证明的工具； （2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代 表性，那么推广的一般性结论也就越可靠。
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[例2] 数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱 数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
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[思路点拨] 先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数， 观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．
[精解详析] 正方体：F＝6，V＝8，E＝12； 三棱柱：F＝5，V＝6，E＝9； 五棱柱：F＝7，V＝10，E＝15； 四棱锥：F＝5，V＝5，E＝8； 两个同底面的四棱锥组成的组合体： F＝8，V＝6，E＝12； ……
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2.类比推理的特点 （1）运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象； （2）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性 质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越 可靠； （3）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结 论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类 比推理不能作为数学证明的工具.

⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较
联想、类推
猜想新结论 10
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的 点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集 合.
圆
球
弦
截面圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直径 周长
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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谢谢欣赏！
面积
大圆 表面积 体积
11
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
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类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）；

【例 3】 有对称中心的曲线叫作有心曲线,显然,椭圆、双曲线
都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦叫作有心圆锥曲线的直径. 定理:过圆 x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点与这条
直径的两个端点连线,则两条连线所在直线的斜率之积为定值-1.
(1)写出定理在椭圆
������2 ������2
侧棱长分别为������, ������, ������”, 类比上述处理方法,
可得该三棱锥的外接球半径������ =
.
解析:由求直角三角形外接圆的半径的方法,通过类比得出求三
棱锥的外接球的半径的方法为:将三棱锥补全为长方体,而长方体的
对角线长就是三棱锥的外接球的直径,从而得出该三棱锥的外接球
半径 R=
1.2 类比推理
-1-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三
题型一 等差数列与等比数列之间的类比
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
���������3���
于是 bmbnbp=b1qm-1·b1qn-1·b1qp-1=������ 13qm+n+p-3=������13q3r-3=(b1qr-1)3=���������3��� ,

1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝ 第1个圆环从1到3.
例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和 棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F)
4 5 5
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
顶点数(V)
4 5 6
棱数(E)
6 8 9
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
1
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.

合法、数学归纳法)和间接证明方法(反证法)，从中体会证明的
功能和特点，掌握数学证明的方法．
高中数学中，推理与证明贯穿于每一个章节，每一个知识 点，推理与证明的学习，有利于培养学生的逻辑思维能力，形 成和发展理性思维．通过本章的学习，是对以前所学知识点的 总结和归纳，所以说本章的知识在整个高中数学阶段有着特别
律，对任意自然数n，当n≥2时，有____________．
[答案] n2＝1＋3＋„＋(2n－1) [解析] 数列的和. 分解以后是以1为首项，2为公差，项数为n的等差
类比推理
(1)在公比为4的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn} T20 T30 T40 的前n项积，则有 T ， T ， T 也成等比数列，且公比为4100.类 10 20 30 比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{an}中，若Sn是 {an}的前n项和，可类比得到的结论是________．
[点评] 本区别.
在类比推理中，找出两类事物之间的相似性或一
致性，特别是由平面向空间类比中，注意研究空间和平面的根
1 4 x x 4 已知x>0，由不等式x＋ x ≥2，x＋ x2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ x2 m ≥3，„，启发我们可以推广结论x＋ xn ≥n＋1(n∈N*)，则m＝ ________.
列，且公差为300
[点评] 1.类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性． (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一 个明确的结论(猜想)． 2．类比推理的特点： (1)如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测 的性质之间越相关，那么由类比得出的命题就越可能为真． (2)事物的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系 和相互制约的．如果两类事物在某些性质上相同或相似，那么 它们在另一些性质上也可能相同或相似，因而类比的结论可能 是真的． (3)类比的结论具有偶然性，即可能为真，也可能为假．

马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

[例 1]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 已知：1> ；1＋ ＋ >1；1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 2 3 2 3 4 5 6 7
3 1 1 1 > ；1＋ ＋ ＋…＋ >2；…… 2 2 3 15 根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．
[思路点拨]
n
观察不等式左边最后一项的分母特点为
(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构
成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有 点构成的集合． (2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是 空间中封闭的曲面所围成的对称图形．
通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质. 圆 球
圆心与弦(非直径)中点的连 球心与截面(不经过球心的小 线垂直于弦 圆面)圆心的连线垂直于截面
[一点通]
根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：
(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代
数式的相同或相似之处等；
(2)提炼出数、式的变化规律；
(3)运用归纳推理写出一般结论．
1．(2012· 陕西高考)观察下列不等式： 1 3 1＋ 2< ， 2 2 1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 …… 照此规律，第五个不等式为___________________．
2.演绎推理的含义 演绎推理是根据 已知的事实 和 正确的结论 ，按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
1.归纳推理的特点
（1）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论 是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳 推理不能作为数学证明的工具； （2）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代

【解析】
7.20世纪60年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一 个自然数，如果它是偶数，就用2除它；如果是奇数，则将它 乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到一种结果， 试考查几个数并给出这一结果的猜想. 【解析】取自然数6，按角谷的做法有：
6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷
此表构成的规则是：第一行是0，1，2，„，999，以后下一 行的数是上一行相邻两数的和. 问：第四行的数中能被999整除的数是什么？ 【解析】首先找出第四行数的构成规律，通过观察、分析，可 以看出：第四行的任一个数都和第一行中相应的四个相邻的数 有关，具体关系可以从下表看出：
如果用an表示第四行的第n个数，那么an=8n+4，现在要找出
999的倍数an，设an=999k(k∈N),显然k应是4的倍数，注意到
第四行中最大的数是7 980＜999×8，所以k=4,由此求出第四
行中能被999整除的数是999×4=3 996，这是第四行的第
(3 996-4)÷8=499项，即a499=3 996.
2=2,2÷2=1,其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1,
若取自然数7，则有
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→
4→2→1,
若取自然数100，则有
100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→11→34→
„→1.
归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1.
1.（5分）把1，3，6，10，15，21，„这些数叫做三角形数，
这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形如下图，则第 n个三角形数是（ ）