人教版初中数学全等三角形倍长中线法和截长补短法

全等三角形中常见辅助线的作法一、倍长中线法。

1. 作法。

- 当遇到三角形中线时，可将中线延长一倍，连接相应顶点，构造全等三角形。

- 例如，在△ABC中，AD是BC边上的中线。

延长AD到E，使DE = AD，然后连接BE。

2. 原因。

- 因为BD = CD（AD是中线），∠BDE = ∠CDA（对顶角相等），DE = AD（所作辅助线），根据SAS（边角边）判定定理，可以证明△BDE≌△CDA。

- 这样做的好处是可以将分散的线段和角集中到新构造的全等三角形中，从而便于解决问题，比如可以将AC边转化为BE边，进而在新的三角形△ABE中研究线段之间的关系。

二、截长补短法。

1. 截长法。

- 作法。

- 在较长的线段上截取一段等于已知的较短线段。

- 例如，在△ABC中，要证明AB = AC + CD（假设AC＜AB）。

在AB上截取AE = AC，然后连接DE。

- 原因。

- 截取AE = AC后，我们可以通过证明△ADE≌△ADC（如果有合适的条件，如AD 是角平分线，则可以利用SAS判定），得到DE = CD。

这样就将AB = AC+CD的证明转化为证明BE = DE的问题，将问题简化。

2. 补短法。

- 作法。

- 延长较短的线段，使延长后的线段等于较长的线段。

- 例如，在上述△ABC中，延长AC到F，使CF = CD，然后连接DF。

- 原因。

- 延长AC到F使CF = CD后，如果能证明△ABD≌△AFD（根据具体题目中的条件，可能利用AAS、ASA等判定定理），就可以将AB = AC + CD的证明转化为证明AB = AF的问题，通过构造全等三角形，把线段之间的关系进行转化，从而达到解题目的。

三、作平行线法。

1. 作法。

- 过三角形的一个顶点作某条边的平行线。

- 例如，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，要证明AD/AB = AE/AC。

过D作DF∥AC交BC于F。

2. 原因。

- 因为DF∥AC，根据平行线的性质，可得∠ADF = ∠A，∠AFD = ∠C，∠BDF = ∠B。

倍长中线与截长补短模块一倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法”添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等．但是给出的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以运用“倍长中线法”来解决问题．倍长中线（1）如图，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，求证：AB=CE，且AB//CE.G FEDCBA（2D 是BC 边中点，，求的取值范围.ABCD（3）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE ．【答案】延长AD 到G ，使DG =AD ，连结BG ∵BD =CD ，BDG CDA ∠=∠，AD =GD ∴ADC GDB ≅∴AC =GB ．G EAF ∠=∠又∵AF =EF ，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE =BG ，∴BE =AC ．倍长类中线如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．BCFEDC BAHAF GBE DC【答案】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ． 在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．提示：也可延长GE 至H ，使EH GE =，连接CH倍长三角形中线进阶已知，ABC ∆中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD =AB ． 求证：（1）CD =2CE ；（2）D ACE ∠=∠．【答案】(1) 延长CE 到F ，使EF =CE ，连结BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE =EB ，∴EBF EAC ≅ ∴BF =AC =BD ，EBF EAC ∠=∠，∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴FBC DBC ≅ ∴CD =CF =2CE ．∠FCB =∠BCD ．（2）解法一：又∵AB =AC ∴∠ACB =∠ABC ，∴∠ACB =∠FCB +∠ACE ，F GE DCBAE D CBA FCA EB DFE NABD C∠ABC =∠BCD +∠D ，∴∠D =∠ACE ． 解法二：由①中的两个全等，可以得到： F ACE F D ∠=∠∠=∠，，∴D ACE ∠=∠．倍长中线与角平分线综合已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．【答案】延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ． 易证BND ∆≌CFD ∆，∴BN CF =，又∵ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EDF EDN ∠=∠=，利用SAS 证明EDN ∆≌EDF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．模块二 截长和补短截长补短（1）如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ． 求证：AB +BD =AC ．【答案】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB =AEFE AB D CDC B AABCDEED C B A FM AB CDE ED CB A连结DE ．在ABD △和AED △中 AB =AE ，BAD EAD ∠=∠AD =AD∴ABD AED ≅∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED =EC ∴AB +BD =AC ．方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC =AE ，连结DE ．在AED △和ACD △中，AE =AC EAD CAD ∠=∠，AD =AD∴AED ACD ≅，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE =BD ，∴AB +BD =AC ．方法三：延长DB 到点E 使得AB =BE ，连结AE 则有EAB E ∠=∠ 2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴AE =AC 又∵EAD EAB BAD E DAC C DAC ADE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴AE =DE ，∴AB +BD =EB +BD =ED =AE =AC方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM =FA ，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB =FC ∵AF =FM ，∴M FAM ∠=∠ ∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB =AM ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD =BE 同理MA =ME∵AF =FM ，FB =FC ，∴AC =BM ．∴AC =AB +BD（2）如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．E DCBAABDECMFEDCB A【答案】由AD BC ⊥，2B C ∠=∠知：如果在CD 上截取DE DB =，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形ABE △和AEC △． 如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． 因为AD BC ⊥，DE DB =，所以AE AB =，于是B AEB ∠=∠，又因为AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， 所以CAE C ∠=∠， 于是AE EC =，故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．（3）如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且AE AD BE =+， 求证：180B D ∠+∠=︒．【答案】在AE 上截取一点F ，使得AD =AF ， 证ACD ≌ACF 即可． （4）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠．求证：BE +DF =AE ．【答案】延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM ． ∵AB =AD ，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM =DF ，∴，∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠， ∵AB CD ，∴ADF BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴AMB EAM ∠=∠，∴AE =EM =BE +BM =BE +DF ．C D BAFEDCBAABM ADF △≌△FEDCA截长补短进阶如图所示，在ABC △中，100A ∠=，40ABC ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE【答案】在BC 上取一点F ，使得BF =BA 易证得ADB FDB ≅ ∴DF =AD ， 又∵DA =DE ∴DF =DE∵100A ∠=，AB =AC ∴40ABC ∠= ∵BD 平分ABC ∠， ∴20ABD ∠= ∴60ABD FDB ∠=∠=∵60CDE ADB ∠=∠= ∴ 60FDC EDC ∠=∠= ∴DCF DCE ≅ ∴FC =EC∴BC =BF +FC =AB +CE截长补短应用进阶如图，ABC △中，AB =AC ，108A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：在BC 上截取E 点使BE =BA ，连结DE ． ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．EDCBAAB CDE DCB ADCBAF在ABD △与EBD △中∵AB =EB ，ABD EBD ∠=∠， BD =BD ∴ABD EBD ≅，∴A DEB ∠=∠∵108A ∠=， ∴108DEB ∠=∴72DEC ∠=． 又∵361854ADB ∠=+= ∴72CDE ∠=∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD =CE∵BC =BE +EC ，∴BC =AC +CD方法二：如图，延长CA 到F ，使CF =CB ，连结BF ． ∵AB =AC ，且108BAC ∠=， ∴36ABC C ∠=∠=． ∵CB =CF ，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=．又∵54FDB ∠= ∴BF =AB =AC =FD ．∴AF =CD ．∴BC =AC +CD ．类型之一 轴对称及轴对称图形1．[2017·盐城]下列图形中，不是轴对称图形的是( C )A B C D【解析】选项A，B，D均可以沿一条直线折叠使图形左右两边的部分重合，故均为轴对称图形，只有C选项不是轴对称图形，故选C.2．[2018·武汉]点A(2，－5)关于x轴对称的点的坐标是( A )A．(2，5) B．(－2，5)C．(－2，－5) D．(－5，2)类型之二线段的垂直平分线3．如图13－1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )图13－1A．115°B．120°C．130°D．140°【解析】由题意知∠B′FC＝90°－∠2＝50°，由折叠知∠1＝12(180°＋50°)＝115°.4．[2018·黄冈]如图13－2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( B )图13－2A．50°B．70°C．75°D．80°【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝70°.5．[2018·南充]如图13－3，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝__24__°.图13－3【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC＋19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC＋19°，∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，解得∠C＝24°.6．[2018春·丹东期末改编]如图13－4，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线交AC，BC于点N，F，△AEF的周长为10.图13－4(1)BC＝__10__；(2)若∠B＋∠C＝45°，则△AEF是什么特殊三角形？解：(1)∵ME是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵NF是边AC的垂直平分线，∴AF＝FC，∵△AEF的周长为10，∴AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10，则BC＝10；(2)由(1)知∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∵∠B＋∠C＝45°，∴∠B＋∠C＋∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是直角三角形．7．[2017·连云港]如图13－5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.图13－5(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△∠ACD.∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.类型之三等腰三角形的性质与判定8．[2018·邵阳]如图13－6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝3，则BC的长是__3__．图13－6【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠BCD＝72°.∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处， ∴根据折叠的性质，得△AED ≌△CED ， ∴AE ＝CE ，∠A ＝∠ECD ＝36°， ∴∠BCE ＝∠BCD －∠ECD ＝36°， ∴∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ，∴BC ＝CE . ∵AE ＝3，∴BC ＝CE ＝AE ＝ 3.9．[2018·镇江]如图13－7，△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC .图13－7(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC 的度数是多少？ 解： (1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACF .在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF ；(2)∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE ＝30°， ∴∠CAF ＝∠BAE ＝30°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠ADC ＝180°－30°2＝75°.10．如图13－8，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC 交CD 于点F ，交BC 于点E ，试说明△CEF 是等腰三角形．图13－8解： 由已知得∠DAF ＋∠AFD ＝90°， ∠FAC ＋∠CEF ＝90°，又∵∠AFD ＝∠CFE ，∠FAC ＝∠DAF ， ∴∠CFE ＝∠CEF ，即△CEF 是等腰三角形．11．如图13－9，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE .图13－9(1)若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，求证：AD ＝BE ； (2)在(1)的条件下，求∠AEB 的度数．解： (1)∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ， ∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE .∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC ＝BC ，DC ＝E C.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD ＝BE ； (2)∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC . ∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°， ∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°. ∵∠BEC ＝∠CED ＋∠AEB ，且∠CED ＝50°， ∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°.类型之四 等边三角形的判定与性质12．[2018·福建A 卷]如图13－10，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于( A )图13－10A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠ACE＝60°－45°＝15°.类型之五含30°角的直角三角形的性质的运用13．如图13－11，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝__2__．图13－11【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AD＝2CD＝2.14．如图13－12，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD＝8 cm.求：图13－12 第14题答图(1)∠ADG 的度数； (2)线段DC 的长度．解： (1)∵在△ABC 中，BA ＝BC ， ∴∠A ＝∠C ，又∵∠B ＝120°， ∴∠A ＝12×(180°－120°)＝30°，∵MN ⊥AB ，∴∠AGD ＝90°， ∴∠ADG ＝90°－30°＝60°； (2)如答图，连接BD . ∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∠A ＝∠ABD ＝30°，∴∠CBD ＝90°， 由(1)知∠A ＝∠C ＝30°，∴BD ＝12CD ，∴DC ＝2BD ＝2AD ，又∵AD ＝8 cm ，∴DC ＝16 cm.类型之六 等腰三角形探究型问题15．[2017·莱芜]已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形． (1)如图13－13①，连接AE ，DB .试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．图13－13解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.理由：∵CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，∴Rt△ACE≌Rt△BCD，∴AE＝DB.如答图①，延长DB交AE于点M，∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，∴在△AMD中，∠AMD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DB；(2)DE＝AF，DE⊥AF.第15题答图理由：如答图②，设ED与AF相交于点N，由题意可知BE＝AD. ∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，A EF∴△EBD ≌△ADF ，∴DE ＝AF ，∠E ＝∠FAD ＝45°， ∵∠EDC ＝45°，∴∠AND ＝90°，∴DE ⊥AF .类型之七 倍长中线与截长补短（选做）16. 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【答案】延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG ∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌．∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG =∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．17. 已知，如图，ABC 中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.【答案】BE +CF >EF过点B 作AC 的平行线，交FD 的延长线于点G ∵BG AC ≤（已知）∴1C ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵D 是BC 中点（已知）FED CBA FEDCBAED CBA∴BD =CD （中点定义） 在BGD 和CFD 中，123CBD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已证）（已知） ∴()BGD CFD ASA ∆∆≌∴BG =CF ，GD =FD 全等三角形对应边相等） ∵DE DF ⊥（已知）∴（垂直定义） 在EDG 和EDF 中，4ED EDEDG GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共边）（已证）（已证） ∴()EDG EDF SAS ∆∆≌∴EG =EF （全等三角形对应边相等）∵在BEG 中，BE +BG >EG （三角形中两边之和大于第三边） ∴BE +CF >EF （等量代换）18. 如图，在ABC 中，AB +BD =AC ，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．【答案】在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，连结DE ．在ABD 和AED 中， AB =AE ，BAD EAD ∠=∠， AD =AD ．∴ABD AED ∆∆≌，∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵AB +BD =AC ，∴EC =BD =ED2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．其他方法参考例题．490EDG ∠=∠=°D CB A。

倍长中线与截长补短法证三角形全等(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2 巧添辅助线——倍长中线【夯实基础】例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC方法1：作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积方法3：倍长中线AD【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD 到AD 是BC 边中线使DE=AD ， 连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 作BE ⊥AD 使连接连接CD【经典例题】例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE3例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE中线倍长法的应用 练习：1、已知：△ABC 中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD 是AC 边上的中线，求BD 的取值范围。

2、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( )A 、1<AB<29B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<193、已知：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA=BD ，如图求证：AE=21AC4、已知：如图CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD求证：∠C=∠BAEB 第 1 题图 A B FD E C C C E45、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF6、△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，DA ⊥AC 于点A ，∠BAC=120°， 求证：AB=2BC.7、如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．C CE A M D O E CB A5【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系【例3】 如图2-9所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .N E B M A DFE DC B A【例5】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDECE DB AABDEFC【例6】如图所示，ABC∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D为顶点作一个60︒的MDN∠，点M、N分别在AB、AC上，求AMN∆的周长．NMD CBA6。

全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =　EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。

专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED=证明∵//CE AB （已知）∴ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∴()A.A.S ABD ECD △△≌，∴AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

ADBCE图2-1截长补短法人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DFDE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF ∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，ABCD图1-1FEDCBA图1-2ADB CEF1234图2-2∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ， ∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ， 在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PDPE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE 即DC =BE -AB =AE . 在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PE ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD 又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）ABCDP12N图3-1P12NABCDE 图3-2DCB A 12图4-1延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ， 在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21 ∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE . 又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC . 方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3 在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21 ∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB . ∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。

倍长中线与截长补短定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线ABCD【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ．⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．Q PMDCBA典题精练EDCBAFEDCBA MED BED CBAD CB A定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．D CB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=．例题精讲思路导航典题精练题型二：截长补短【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【例8】 ⑴正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分∠DAC ，求证：2ACAD EO =-；⑵正方形ABCD 中，M 在CD 上，N 在DA 延长线上，CM =AN ，点E 在BD 上，NE 平分∠DNM ，EF ⊥MN ，请问MN 、AD 、EF 有什么数量关系？MFEDCBANO EDCBAD CBA训练1. 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MED CBA训练2. ABC △中，AB AC >，AD 、AE 分别是BC 边上的中线和A ∠的平分线，则AD 和AE 的大小关系是AD ______AE ．（填“>”、 “<”或“=”）训练3. 已知：如图，BDE △是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD AC =，求证：DE DC AE +=．训练4. 已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，求证：BD AD BC +=．思维拓展训练(选讲)D C B AE C BA题型一 倍长中线 课后演练【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．FEDCBA题型二 截长补短 课后演练【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )NEB M A D【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，求证：AC CD AB +=． 复习巩固DCBA【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .F EDCB A。

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆，连∆与BCE结AE与CD，证明（1）DBC≅∆ABE∆(2)DCAE=(3)AE与DC之间的夹角为︒60(4)DFBAGB∆∆≅(5)CFB∆EGB∆≅(6)BH平分AHC∠(7)ACGF//变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆，连∆与BCE结AE与CD，证明（1）DBCABE∆∆≅（2）DCAE=（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

初中数学试卷一、截长补短法证明三角形全等例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE3如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．4在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等PEDCBA吗？请说明理由例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°.例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.2、倍长中线法证三角形全等例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

ABCD图1-1ABCDP12N图3-1练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例3已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠B第 1 题图ABFDECCEDB A练习3已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业1、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .2、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE3、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

倍长中线与截长补短模块一倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法”添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等．但是给出的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以运用“倍长中线法”来解决问题．倍长中线（1）如图，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，求证：AB=CE，且AB//CE.G FEDCBA（2D 是BC 边中点，，求的取值范围.ABCD（3）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE ．【答案】延长AD 到G ，使DG =AD ，连结BG ∵BD =CD ，BDG CDA ∠=∠，AD =GD ∴ADC GDB ≅∴AC =GB ．G EAF ∠=∠又∵AF =EF ，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE =BG ，∴BE =AC ．倍长类中线如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．BCFEDC BAHAF GBE DC【答案】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ． 在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．提示：也可延长GE 至H ，使EH GE =，连接CH倍长三角形中线进阶已知，ABC ∆中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD =AB ． 求证：（1）CD =2CE ；（2）D ACE ∠=∠．【答案】(1) 延长CE 到F ，使EF =CE ，连结BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE =EB ，∴EBF EAC ≅ ∴BF =AC =BD ，EBF EAC ∠=∠，∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴FBC DBC ≅ ∴CD =CF =2CE ．∠FCB =∠BCD ．（2）解法一：又∵AB =AC ∴∠ACB =∠ABC ，∴∠ACB =∠FCB +∠ACE ，F GE DCBAE D CBA FCA EB DFE NABD C∠ABC =∠BCD +∠D ，∴∠D =∠ACE ． 解法二：由①中的两个全等，可以得到： F ACE F D ∠=∠∠=∠，，∴D ACE ∠=∠．倍长中线与角平分线综合已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．【答案】延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ． 易证BND ∆≌CFD ∆，∴BN CF =，又∵ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EDF EDN ∠=∠=，利用SAS 证明EDN ∆≌EDF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．模块二 截长和补短截长补短（1）如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ． 求证：AB +BD =AC ．【答案】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB =AEFE AB D CDC B AABCDEED C B A FM AB CDE ED CB A连结DE ．在ABD △和AED △中 AB =AE ，BAD EAD ∠=∠AD =AD∴ABD AED ≅∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED =EC ∴AB +BD =AC ．方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC =AE ，连结DE ．在AED △和ACD △中，AE =AC EAD CAD ∠=∠，AD =AD∴AED ACD ≅，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE =BD ，∴AB +BD =AC ．方法三：延长DB 到点E 使得AB =BE ，连结AE 则有EAB E ∠=∠ 2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴AE =AC 又∵EAD EAB BAD E DAC C DAC ADE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴AE =DE ，∴AB +BD =EB +BD =ED =AE =AC方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM =FA ，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB =FC ∵AF =FM ，∴M FAM ∠=∠ ∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB =AM ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD =BE 同理MA =ME∵AF =FM ，FB =FC ，∴AC =BM ．∴AC =AB +BD（2）如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．E DCBAABDECMFEDCB A【答案】由AD BC ⊥，2B C ∠=∠知：如果在CD 上截取DE DB =，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形ABE △和AEC △． 如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． 因为AD BC ⊥，DE DB =，所以AE AB =，于是B AEB ∠=∠，又因为AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， 所以CAE C ∠=∠， 于是AE EC =，故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．（3）如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且AE AD BE =+， 求证：180B D ∠+∠=︒．【答案】在AE 上截取一点F ，使得AD =AF ， 证ACD ≌ACF 即可． （4）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠．求证：BE +DF =AE ．【答案】延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM ． ∵AB =AD ，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM =DF ，∴，∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠， ∵AB CD ，∴ADF BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴AMB EAM ∠=∠，∴AE =EM =BE +BM =BE +DF ．C D BAFEDCBAABM ADF △≌△FEDCA截长补短进阶如图所示，在ABC △中，100A ∠=，40ABC ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE【答案】在BC 上取一点F ，使得BF =BA 易证得ADB FDB ≅ ∴DF =AD ， 又∵DA =DE ∴DF =DE∵100A ∠=，AB =AC ∴40ABC ∠= ∵BD 平分ABC ∠， ∴20ABD ∠= ∴60ABD FDB ∠=∠=∵60CDE ADB ∠=∠= ∴ 60FDC EDC ∠=∠= ∴DCF DCE ≅ ∴FC =EC∴BC =BF +FC =AB +CE截长补短应用进阶如图，ABC △中，AB =AC ，108A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：在BC 上截取E 点使BE =BA ，连结DE ． ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．EDCBAAB CDE DCB ADCBAF在ABD △与EBD △中∵AB =EB ，ABD EBD ∠=∠， BD =BD ∴ABD EBD ≅，∴A DEB ∠=∠∵108A ∠=， ∴108DEB ∠=∴72DEC ∠=． 又∵361854ADB ∠=+= ∴72CDE ∠=∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD =CE∵BC =BE +EC ，∴BC =AC +CD方法二：如图，延长CA 到F ，使CF =CB ，连结BF ． ∵AB =AC ，且108BAC ∠=， ∴36ABC C ∠=∠=． ∵CB =CF ，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=．又∵54FDB ∠= ∴BF =AB =AC =FD ．∴AF =CD ．∴BC =AC +CD ．类型之一 轴对称及轴对称图形1．[2017·盐城]下列图形中，不是轴对称图形的是( C )A B C D【解析】选项A，B，D均可以沿一条直线折叠使图形左右两边的部分重合，故均为轴对称图形，只有C选项不是轴对称图形，故选C.2．[2018·武汉]点A(2，－5)关于x轴对称的点的坐标是( A )A．(2，5) B．(－2，5)C．(－2，－5) D．(－5，2)类型之二线段的垂直平分线3．如图13－1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )图13－1A．115°B．120°C．130°D．140°【解析】由题意知∠B′FC＝90°－∠2＝50°，由折叠知∠1＝12(180°＋50°)＝115°.4．[2018·黄冈]如图13－2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( B )图13－2A．50°B．70°C．75°D．80°【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝70°.5．[2018·南充]如图13－3，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝__24__°.图13－3【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC＋19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC＋19°，∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，解得∠C＝24°.6．[2018春·丹东期末改编]如图13－4，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线交AC，BC于点N，F，△AEF的周长为10.图13－4(1)BC＝__10__；(2)若∠B＋∠C＝45°，则△AEF是什么特殊三角形？解：(1)∵ME是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵NF是边AC的垂直平分线，∴AF＝FC，∵△AEF的周长为10，∴AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10，则BC＝10；(2)由(1)知∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∵∠B＋∠C＝45°，∴∠B＋∠C＋∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是直角三角形．7．[2017·连云港]如图13－5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.图13－5(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△∠ACD.∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.类型之三等腰三角形的性质与判定8．[2018·邵阳]如图13－6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝3，则BC的长是__3__．图13－6【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠BCD＝72°.∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处， ∴根据折叠的性质，得△AED ≌△CED ， ∴AE ＝CE ，∠A ＝∠ECD ＝36°， ∴∠BCE ＝∠BCD －∠ECD ＝36°， ∴∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ，∴BC ＝CE . ∵AE ＝3，∴BC ＝CE ＝AE ＝ 3.9．[2018·镇江]如图13－7，△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC .图13－7(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC 的度数是多少？ 解： (1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACF .在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF ；(2)∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE ＝30°， ∴∠CAF ＝∠BAE ＝30°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠ADC ＝180°－30°2＝75°.10．如图13－8，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC 交CD 于点F ，交BC 于点E ，试说明△CEF 是等腰三角形．图13－8解： 由已知得∠DAF ＋∠AFD ＝90°， ∠FAC ＋∠CEF ＝90°，又∵∠AFD ＝∠CFE ，∠FAC ＝∠DAF ， ∴∠CFE ＝∠CEF ，即△CEF 是等腰三角形．11．如图13－9，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE .图13－9(1)若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，求证：AD ＝BE ； (2)在(1)的条件下，求∠AEB 的度数．解： (1)∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ， ∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE .∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC ＝BC ，DC ＝E C.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD ＝BE ； (2)∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC . ∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°， ∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°. ∵∠BEC ＝∠CED ＋∠AEB ，且∠CED ＝50°， ∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°.类型之四 等边三角形的判定与性质12．[2018·福建A 卷]如图13－10，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于( A )图13－10A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠ACE＝60°－45°＝15°.类型之五含30°角的直角三角形的性质的运用13．如图13－11，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝__2__．图13－11【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AD＝2CD＝2.14．如图13－12，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD＝8 cm.求：图13－12 第14题答图(1)∠ADG 的度数； (2)线段DC 的长度．解： (1)∵在△ABC 中，BA ＝BC ， ∴∠A ＝∠C ，又∵∠B ＝120°， ∴∠A ＝12×(180°－120°)＝30°，∵MN ⊥AB ，∴∠AGD ＝90°， ∴∠ADG ＝90°－30°＝60°； (2)如答图，连接BD . ∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∠A ＝∠ABD ＝30°，∴∠CBD ＝90°， 由(1)知∠A ＝∠C ＝30°，∴BD ＝12CD ，∴DC ＝2BD ＝2AD ，又∵AD ＝8 cm ，∴DC ＝16 cm.类型之六 等腰三角形探究型问题15．[2017·莱芜]已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形． (1)如图13－13①，连接AE ，DB .试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．图13－13解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.理由：∵CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，∴Rt△ACE≌Rt△BCD，∴AE＝DB.如答图①，延长DB交AE于点M，∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，∴在△AMD中，∠AMD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DB；(2)DE＝AF，DE⊥AF.第15题答图理由：如答图②，设ED与AF相交于点N，由题意可知BE＝AD. ∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，A EF∴△EBD ≌△ADF ，∴DE ＝AF ，∠E ＝∠FAD ＝45°， ∵∠EDC ＝45°，∴∠AND ＝90°，∴DE ⊥AF .类型之七 倍长中线与截长补短（选做）16. 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【答案】延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG ∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌．∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG =∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．17. 已知，如图，ABC 中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.【答案】BE +CF >EF过点B 作AC 的平行线，交FD 的延长线于点G ∵BG AC ≤（已知）∴1C ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵D 是BC 中点（已知）FED CBA FEDCBAED CBA∴BD =CD （中点定义） 在BGD 和CFD 中，123CBD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已证）（已知） ∴()BGD CFD ASA ∆∆≌∴BG =CF ，GD =FD 全等三角形对应边相等） ∵DE DF ⊥（已知）∴（垂直定义） 在EDG 和EDF 中，4ED EDEDG GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共边）（已证）（已证） ∴()EDG EDF SAS ∆∆≌∴EG =EF （全等三角形对应边相等）∵在BEG 中，BE +BG >EG （三角形中两边之和大于第三边） ∴BE +CF >EF （等量代换）18. 如图，在ABC 中，AB +BD =AC ，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．【答案】在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，连结DE ．在ABD 和AED 中， AB =AE ，BAD EAD ∠=∠， AD =AD ．∴ABD AED ∆∆≌，∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵AB +BD =AC ，∴EC =BD =ED2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．其他方法参考例题．490EDG ∠=∠=°D CB A。

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60(4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。