初二数学几何证明Ⅱ：倍长中线法及截长补短法专题B学科教师版

倍长中线与截长补短模块一倍长中线中线是三角形中的重要线段之一，当题目的条件中有中线时，我们常采用“倍长中线法”添加辅助线，构造一组旋转型的全等，利用全等的结论来解决问题．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字型”全等．但是给出的条件并不一定要仅限于三角形的中线才可以，有些时候，只要已知条件中有中点就可以运用“倍长中线法”来解决问题．倍长中线（1）如图，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，求证：AB=CE，且AB//CE.G FEDCBA（2D 是BC 边中点，，求的取值范围.ABCD（3）如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE ．【答案】延长AD 到G ，使DG =AD ，连结BG ∵BD =CD ，BDG CDA ∠=∠，AD =GD ∴ADC GDB ≅∴AC =GB ．G EAF ∠=∠又∵AF =EF ，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE =BG ，∴BE =AC ．倍长类中线如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．BCFEDC BAHAF GBE DC【答案】延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ． 在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．提示：也可延长GE 至H ，使EH GE =，连接CH倍长三角形中线进阶已知，ABC ∆中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD =AB ． 求证：（1）CD =2CE ；（2）D ACE ∠=∠．【答案】(1) 延长CE 到F ，使EF =CE ，连结BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE =EB ，∴EBF EAC ≅ ∴BF =AC =BD ，EBF EAC ∠=∠，∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴FBC DBC ≅ ∴CD =CF =2CE ．∠FCB =∠BCD ．（2）解法一：又∵AB =AC ∴∠ACB =∠ABC ，∴∠ACB =∠FCB +∠ACE ，F GE DCBAE D CBA FCA EB DFE NABD C∠ABC =∠BCD +∠D ，∴∠D =∠ACE ． 解法二：由①中的两个全等，可以得到： F ACE F D ∠=∠∠=∠，，∴D ACE ∠=∠．倍长中线与角平分线综合已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．【答案】延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ． 易证BND ∆≌CFD ∆，∴BN CF =，又∵ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，∴90EDF EDN ∠=∠=，利用SAS 证明EDN ∆≌EDF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．模块二 截长和补短截长补短（1）如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ． 求证：AB +BD =AC ．【答案】方法一：在AC 上取一点E ，使得AB =AEFE AB D CDC B AABCDEED C B A FM AB CDE ED CB A连结DE ．在ABD △和AED △中 AB =AE ，BAD EAD ∠=∠AD =AD∴ABD AED ≅∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠EDC C ∠=∠，ED =EC ∴AB +BD =AC ．方法二：在AB 的延长线上取一点E 使得AC =AE ，连结DE ．在AED △和ACD △中，AE =AC EAD CAD ∠=∠，AD =AD∴AED ACD ≅，∴C E ∠=∠又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE =BD ，∴AB +BD =AC ．方法三：延长DB 到点E 使得AB =BE ，连结AE 则有EAB E ∠=∠ 2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠又∵2ABC C ∠=∠，∴AE =AC 又∵EAD EAB BAD E DAC C DAC ADE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠∴AE =DE ，∴AB +BD =EB +BD =ED =AE =AC方法四：如图，作BF 平分ABC ∠交AD 、AC 于E 、F 点 延长BF 到M ，使FM =FA ，连结AM ∴ABF FBC ∠=∠∵2ABC C ∠=∠，∴FBC C ∠=∠．∴FB =FC ∵AF =FM ，∴M FAM ∠=∠ ∵AFE FBC C ∠=∠+∠，又AFE M FAM ∠=∠+∠ 即22AFE M C ∠=∠=∠．∴C M ∠=∠ ∴M ABM DBF C ∠=∠=∠=∠．∴AB =AM ∵ADB C DAC ∠=∠+∠ 且DEB EBA BAE ∠=∠+∠∵BAD DAC ∠=∠，∴ADB DEB ∠=∠．∴BD =BE 同理MA =ME∵AF =FM ，FB =FC ，∴AC =BM ．∴AC =AB +BD（2）如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．E DCBAABDECMFEDCB A【答案】由AD BC ⊥，2B C ∠=∠知：如果在CD 上截取DE DB =，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形ABE △和AEC △． 如图，在CD 上截取DE DB =，连接AE ． 因为AD BC ⊥，DE DB =，所以AE AB =，于是B AEB ∠=∠，又因为AEB C CAE ∠=∠+∠，2B C ∠=∠， 所以CAE C ∠=∠， 于是AE EC =，故AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=．（3）如图，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，且AE AD BE =+， 求证：180B D ∠+∠=︒．【答案】在AE 上截取一点F ，使得AD =AF ， 证ACD ≌ACF 即可． （4）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠．求证：BE +DF =AE ．【答案】延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM ． ∵AB =AD ，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM =DF ，∴，∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠， ∵AB CD ，∴ADF BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴AMB EAM ∠=∠，∴AE =EM =BE +BM =BE +DF ．C D BAFEDCBAABM ADF △≌△FEDCA截长补短进阶如图所示，在ABC △中，100A ∠=，40ABC ∠=，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ．求证：BC =AB +CE【答案】在BC 上取一点F ，使得BF =BA 易证得ADB FDB ≅ ∴DF =AD ， 又∵DA =DE ∴DF =DE∵100A ∠=，AB =AC ∴40ABC ∠= ∵BD 平分ABC ∠， ∴20ABD ∠= ∴60ABD FDB ∠=∠=∵60CDE ADB ∠=∠= ∴ 60FDC EDC ∠=∠= ∴DCF DCE ≅ ∴FC =EC∴BC =BF +FC =AB +CE截长补短应用进阶如图，ABC △中，AB =AC ，108A ∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC =AC +CD ．【答案】方法一：在BC 上截取E 点使BE =BA ，连结DE ． ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．EDCBAAB CDE DCB ADCBAF在ABD △与EBD △中∵AB =EB ，ABD EBD ∠=∠， BD =BD ∴ABD EBD ≅，∴A DEB ∠=∠∵108A ∠=， ∴108DEB ∠=∴72DEC ∠=． 又∵361854ADB ∠=+= ∴72CDE ∠=∴CDE DEC ∠=∠ ∴CD =CE∵BC =BE +EC ，∴BC =AC +CD方法二：如图，延长CA 到F ，使CF =CB ，连结BF ． ∵AB =AC ，且108BAC ∠=， ∴36ABC C ∠=∠=． ∵CB =CF ，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠． ∴72FAB ∠=．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=．又∵54FDB ∠= ∴BF =AB =AC =FD ．∴AF =CD ．∴BC =AC +CD ．类型之一 轴对称及轴对称图形1．[2017·盐城]下列图形中，不是轴对称图形的是( C )A B C D【解析】选项A，B，D均可以沿一条直线折叠使图形左右两边的部分重合，故均为轴对称图形，只有C选项不是轴对称图形，故选C.2．[2018·武汉]点A(2，－5)关于x轴对称的点的坐标是( A )A．(2，5) B．(－2，5)C．(－2，－5) D．(－5，2)类型之二线段的垂直平分线3．如图13－1，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( A )图13－1A．115°B．120°C．130°D．140°【解析】由题意知∠B′FC＝90°－∠2＝50°，由折叠知∠1＝12(180°＋50°)＝115°.4．[2018·黄冈]如图13－2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为( B )图13－2A．50°B．70°C．75°D．80°【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝25°，∵∠B＝60°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝70°.5．[2018·南充]如图13－3，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝__24__°.图13－3【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC＋19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC＋19°，∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴70°＋2(∠C＋19°)＋∠C＝180°，解得∠C＝24°.6．[2018春·丹东期末改编]如图13－4，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB，BC于点M，E，边AC的垂直平分线交AC，BC于点N，F，△AEF的周长为10.图13－4(1)BC＝__10__；(2)若∠B＋∠C＝45°，则△AEF是什么特殊三角形？解：(1)∵ME是边AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∵NF是边AC的垂直平分线，∴AF＝FC，∵△AEF的周长为10，∴AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10，则BC＝10；(2)由(1)知∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∵∠B＋∠C＝45°，∴∠B＋∠C＋∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是直角三角形．7．[2017·连云港]如图13－5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.图13－5(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△∠ACD.∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知，∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC.类型之三等腰三角形的性质与判定8．[2018·邵阳]如图13－6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE＝3，则BC的长是__3__．图13－6【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠BCD＝72°.∵将△ABC 中的∠A 沿DE 向下翻折，使点A 落在点C 处， ∴根据折叠的性质，得△AED ≌△CED ， ∴AE ＝CE ，∠A ＝∠ECD ＝36°， ∴∠BCE ＝∠BCD －∠ECD ＝36°， ∴∠BEC ＝180°－∠B －∠BCE ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ，∴BC ＝CE . ∵AE ＝3，∴BC ＝CE ＝AE ＝ 3.9．[2018·镇江]如图13－7，△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在边BC 上，BE ＝CF ，点D 在AF 的延长线上，AD ＝AC .图13－7(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE ＝30°，则∠ADC 的度数是多少？ 解： (1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACF .在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF ；(2)∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE ＝30°， ∴∠CAF ＝∠BAE ＝30°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ， ∴∠ADC ＝180°－30°2＝75°.10．如图13－8，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AE 平分∠BAC 交CD 于点F ，交BC 于点E ，试说明△CEF 是等腰三角形．图13－8解： 由已知得∠DAF ＋∠AFD ＝90°， ∠FAC ＋∠CEF ＝90°，又∵∠AFD ＝∠CFE ，∠FAC ＝∠DAF ， ∴∠CFE ＝∠CEF ，即△CEF 是等腰三角形．11．如图13－9，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE .图13－9(1)若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，求证：AD ＝BE ； (2)在(1)的条件下，求∠AEB 的度数．解： (1)∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ， ∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE .∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形， ∴AC ＝BC ，DC ＝E C.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)，∴AD ＝BE ； (2)∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC . ∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°， ∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°. ∵∠BEC ＝∠CED ＋∠AEB ，且∠CED ＝50°， ∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°.类型之四 等边三角形的判定与性质12．[2018·福建A 卷]如图13－10，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC ＝45°，则∠ACE 等于( A )图13－10A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠ACE＝60°－45°＝15°.类型之五含30°角的直角三角形的性质的运用13．如图13－11，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝__2__．图13－11【解析】∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AD＝2CD＝2.14．如图13－12，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD＝8 cm.求：图13－12 第14题答图(1)∠ADG 的度数； (2)线段DC 的长度．解： (1)∵在△ABC 中，BA ＝BC ， ∴∠A ＝∠C ，又∵∠B ＝120°， ∴∠A ＝12×(180°－120°)＝30°，∵MN ⊥AB ，∴∠AGD ＝90°， ∴∠ADG ＝90°－30°＝60°； (2)如答图，连接BD . ∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∠A ＝∠ABD ＝30°，∴∠CBD ＝90°， 由(1)知∠A ＝∠C ＝30°，∴BD ＝12CD ，∴DC ＝2BD ＝2AD ，又∵AD ＝8 cm ，∴DC ＝16 cm.类型之六 等腰三角形探究型问题15．[2017·莱芜]已知△ABC 与△DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形． (1)如图13－13①，连接AE ，DB .试判断线段AE 和DB 的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②，连接DB ，将线段DB 绕D 点顺时针旋转90°到DF ，连接AF ，试判断线段DE 和AF 的数量和位置关系，并说明理由．图13－13解：(1)AE＝DB，AE⊥DB.理由：∵CA＝CB，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，∴Rt△ACE≌Rt△BCD，∴AE＝DB.如答图①，延长DB交AE于点M，∵Rt△ACE≌Rt△BCD，∴∠AEC＝∠BDC.又∵∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠BDC＋∠EAC＝90°，∴在△AMD中，∠AMD＝180°－90°＝90°，∴AE⊥DB；(2)DE＝AF，DE⊥AF.第15题答图理由：如答图②，设ED与AF相交于点N，由题意可知BE＝AD. ∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，∴∠EBD＝∠ADF，又∵DB＝DF，A EF∴△EBD ≌△ADF ，∴DE ＝AF ，∠E ＝∠FAD ＝45°， ∵∠EDC ＝45°，∴∠AND ＝90°，∴DE ⊥AF .类型之七 倍长中线与截长补短（选做）16. 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【答案】延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG ∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌．∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG =∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．17. 已知，如图，ABC 中，D 是BC 的中点，DE DF ⊥，试判断BE +CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论.【答案】BE +CF >EF过点B 作AC 的平行线，交FD 的延长线于点G ∵BG AC ≤（已知）∴1C ∠=∠（两直线平行，内错角相等） ∵D 是BC 中点（已知）FED CBA FEDCBAED CBA∴BD =CD （中点定义） 在BGD 和CFD 中，123CBD CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已证）（已知） ∴()BGD CFD ASA ∆∆≌∴BG =CF ，GD =FD 全等三角形对应边相等） ∵DE DF ⊥（已知）∴（垂直定义） 在EDG 和EDF 中，4ED EDEDG GD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共边）（已证）（已证） ∴()EDG EDF SAS ∆∆≌∴EG =EF （全等三角形对应边相等）∵在BEG 中，BE +BG >EG （三角形中两边之和大于第三边） ∴BE +CF >EF （等量代换）18. 如图，在ABC 中，AB +BD =AC ，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．【答案】在AC 上取一点E ，使得AB =AE ，连结DE ．在ABD 和AED 中， AB =AE ，BAD EAD ∠=∠， AD =AD ．∴ABD AED ∆∆≌，∴BD =ED ，B AED ∠=∠又∵AB +BD =AC ，∴EC =BD =ED2AED EDC C C B ∠=∠+∠=∠=∠．其他方法参考例题．490EDG ∠=∠=°D CB A。

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

学科教师辅导讲义 年 级： 科 目：数学 课时数：3课 题 几何证明教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题.教学内容【例题讲解】题型一：截长补短法【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明）ABDC【提示】截长补短，2种方法‘方法一：方法二：【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC ，∠B =60°.求证：∠ACB =90°.【提示】截长补短（两种方法）方法一：方法二：【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法.题型二：倍长中线法（一）求线段取值范围【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围.【提示】倍长中线（二）证明线段不等【例4】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．【提示】延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．在△ACE 中，因为AC +EC ＞AE =2AD ，所以AB +AC ＞2AD ．（三）证明线段相等.求证：AC=BF. 【例5】已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段.（如下题）【例6】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．【分析】可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．方法二：延长GE到H使得EH=EG（四）证明线段倍分【例7】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．CAD B E【分析】延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD（五）证明两直线垂直【例8】如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．FEB CDAMHG【分析】设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠F AH=180°．因为∠BAC+∠F AH=180°，所以∠AFN=∠BAC．又因为AF=AB，所以△AFN ≌△BAC，得∠1=∠2．因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．【借题发挥】1．已知：如图，DA⊥AC，FC⊥AC，ADB BDF∠=∠，CFB DFB∠=∠.求证：DF AD CF=+.【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP=+.求证：2BAP BAM∠=∠.AD CBMP【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：3．已知：如图，C是AB的中点，点E在CD上，且AE BD=.求证：AEC BDC∠=∠.【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：+=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：【课堂总结】【课后作业】1．已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：AD平分∠BAC【提示】倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG，联结CG2．已知如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB BD DC+=.求证:∠2B=∠C.【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：二、综合提高训练1．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。

全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD =　EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。

《倍长中线法与截长补短法》教学设计教学目标：知识与技能：掌握运用倍长中线法与截长补短法构造全等三角形、解决几何图形问题的方法。

过程与方法：通过学生的自主合作探究，灵活运用倍长中线法与截长补短法解决问题。

情感态度与价值观：通过学生间的合作交流，增强学生的学习信心。

教学重点：倍长中线法与截长补短法的应用。

教学难点：如何运用倍长中线法与截长补短法构造全等三角形解决问题。

教学准备：多媒体课件教学过程：一、问题导入课前互动：同学们，想想我们这段时间学习全等三角形的过程中，遇到的难点是什么呢？（辅助线）课件出示初中几何常见辅助线做法口诀（让学生读，体会其中的含义）问：在三角形中常见的辅助线有哪些？课件展示。

教师引入本节学习内容：倍长中线法与截长补短法（板书课题）二、探究活动，解决问题活动一：倍长中线法在三角形中有中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

出示例题：已知：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：2AD<AB+AC教师引导学生分析解题思路，出示辅助线做法，学生合作解决问题。

课件展示完整解题过程：证明：延长AD至E，使DE=AD,连接CE.∵AD为BC边的中线∴BD=CD在△ADB和△EDC中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴△ADB≌△EDC (SAS)∴AB=CE∵AD+DE<CE+AC∴2AD<AB+AC练习巩固：在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角形△ABD和△ACE，F为BC边的中点，FA的延长线与DＥ交于点Ｇ．求证：（１）ＤＥ＝２AF （２）ＦＧ⊥ＤＥ教师引导学生画出辅助线，学生讨论解决问题。

活动二：截长补短法课件出示截长补短法的辅助线做法与应用：要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。

截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段线段。

所谓补短，即把两短线段补成一条线段，再证它与长线段相等。

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC) 分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。

证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDCBD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACC例2: 中线一倍辅助线作法△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD ， 连接BE 连接CD例3：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

倍长中线与截长补短互动精讲知识点一.倍长中线【知识梳理】∆ABC中AD是BC边中线方式延长AD到E,使DE二AD,连接BE•E方式2：间接倍长，延长MD到N,使DfMD,连接CN作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、∆ABC 中，AB 二5, AC=3,求中线AD 的取值范围。

.∙. BD= CD I∙.∙ BD = CD t ZADC=ZBDE t AD=DE t ：.AADC 9 ΔEDB t：.EB=AC I 根据三角形的三边关系定理：5-3<∕lE<5 + 3 r .•・ 1 < AD < 4.例2、已知：如图，在ΔABC 中，ABHAC, D 、E 在BC 上，且DE 二EC,过D 作DF//BA 交AE 于点F, DF=AC.求证：AE 平分ZBAC≡ΔPEF 和 ZSCEG 中. ED= EC ZDEF = ZCEG , FE=EG・・^DEF 竺ΔCEG. ∖ DF=GC t ZDFE=ZG. ・• DF // AB l ・.ZDFE=乙BAE. :DF = AC l •・ GC=AC.・.厶G =ECAE..ZBAE=ZCA E .即AE 平分上BAC.{证明：如图，延长FE 到G,使EG=EF ,连接CG.E'：AD 是厶ABC 的中线，【课堂练习】1、在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF = EFOCG-AD是BC边上的中线（已知），•・.DC=DB .在厶ADC和AGDB中，'AD=DG< Z4DC-ZGDB(对顶角相等)DC=DBj.^ADC ^GDB(SAS) I:•厶CAD =厶G ■ BG=ACXv BE=AC e・・.BE=BG ,・・・ZBED ZG ,・.・ ZBED= ZAEF t .∖ΛΛEF^= Z.CAD t 即：/.AEF≈ΔFAE t.・・ AF = EF.2、如图，∆ABC中，E、F分别在AB、AC ±, DE丄DF, D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小・BE + CF > FP = EF・延长ED 至P , ^DP = DE t连接FP l CP t•・・D是BC的中点，/. BD= CD I在HBDE和ΔCZ)Pφf(DP=DE< 乙EDB=乙CDP[BD=CD・•・ 5BDE ^^CDP(SAS) f.∙. BE=CP l∖∙ DELDF I DE=DP J.∙. EF = FP,(垂直平分线上的点到线段两端点距离相等) 在厶CFP中.CP + CF = BE+ CF > FP = EF・知识点二.截长补短 【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

Lt ： .1 -J J? 初二秋季•第2讲•提高班•教师版眉螂*毎牆毎嬉尹严注沖£*尹戸芒倍长中线三角形7级 倍长中线与截长补短 三角形8级 Q 全等三角形的经典模型（一） 三角形9级 ° 全等三角形的经典模型（二） 漫画释义倍长中线与截长补短知识互联网侶长川线倍长中线与截长补短截长补短思路导航例题精讲CDCB EAB 二 AC.BAD = CAD .CED 二.CAD AD 平分-BAC题型一：倍长中线CE =AC【例1】 已知 △ ABC 中，AD 平分/BAC ，且BD =CD ，求证：AB =AC 【解析】延长AD 到E ，使DE =AD ，连接CE .A则△ CDE ◎△ BDA ,••• CE =AB , . CED - . BAD定义 示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得 延长后的线段是原中线的两倍.其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角.AB, DC1\ /VE其中BD =CD ,延长AD 使得DE = AD , 则△ BDE ◎△ CDA .A初二秋季•第2讲•提高班•教师版【教师备选】教师可借用例 1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳:已知角平分线+中线证等腰三角形，如例 1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展 1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展 2.【拓展1】已知△ ABC 中，AD 平分/ BAC ,且AD 丄BC ,求证：AB=AC . 【解析】•/ AD 平分/ BAC , •••/ BAD= / CAD•/ AD 丄 BC , ADB = / ADC=90°• △ ABD ◎△ ACD (SAS) • AB=AC .【拓展2】已知△ ABC 中，AD 丄BC ,且BD =CD ，求证：AB=AC . 【解析】•/ AD 丄BC ,且BD =CD• AD 所在直线是线段 BC 的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等【例2】 ⑴如图，已知 △ ABC 中，AB 二AC , CE 是AB 边上的中线，延长AB 至U D ，使BD 二 AB .给出下列结论：①AD=2AC;②CD=2CE ;③/ ACE= / BCD :④CB 平分/ DCE , 则以上结论正确的是 ______________________ .【解析】 ①正确.••• AB =AC , BD =AB , • AD=2AC .②、④正确.延长CE 到F ,使EF =CE ，连接BF .•••CE 是 AB 的中线，• AE 二EB .在△ EBF 和△ EAC 中AE 二 BE ■■: ZAEC ZBEFCE =FEC故 AB=AC ..••BF 二 AC 二 AB 二 BD ，.匕EBF ZEAC •Z FBC ZFBE ZEBC 乙 A ZACB ZDBC在厶FBC 和厶DBC 中FB =DB I'ZFBC /DBC BC =BC FBC 也厶 DBC•CD =CF =2CE ，/FCB=ZDCB 即 CD=2CE , CB 平分ZDCE .③错误.•••/FCB = / DCB ，而 CE 是AB 边上中线而不是 / ACB 的角平分线故 / ACE 和/ BCD 不一定相等.⑵如图，在△ ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：① BD=DE=EC ;②AB+AE > 2AD ;③AD+AC > 2AE ;④AB+AC > AD+AE ,则以上结论正确的 是 .【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，• BD=DE=CE 延长AD 至点M ,AE 至点N ，使得DM =AD ,EN=AE ，连接 EM 、CN ，则可证明 △ ABDMED ，进而可得 AB+AE > 2AD ，再证明△ ADENCE ，进而可得 AD+AC > 2AE ，将两式相加可得到 AB+AE+AD+AC >2AD+2AE ,即卩 AB+AC >AD+AE .•••①②③④ 均正确.【例3】 如图，已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ,AF 二 EF ，求证：AC =BE .f ：?.初二秋季•第2讲•提高班•教师版41 ：M【解析】延长AD到G，使DG二AD，连接BG•/ BD =CD , . BDG =/CDA , AD =GD••• △ ADC ◎△ GDB ,••• AC =GB , . G =/EAF又••• AF 二EF ,•. EAF 二.AEF = . BED•. G =/BED ,•- BE = BG , •- AC =BE .易证△ PMQ NMD ,• PB=PQ = DN , / PQD = / NDM•PQ // DN，又I / BPQ= / BDN= 90•/ PBQ = / BDC= / NDC=45° 再证△ BPC◎△ DNC (SAS)易证△ PCN为等腰直角三角形，又••• PM = MN , • PM 丄MC,且PM=CM .【例4】MP与MC的关系.【解析】在正方形ABCD中，PQ丄BD于P,延长PM至点N,使PM=MN，连结M为QD的中点，试探究CP、CN、DN .B」AD CACD题型二：截长补短思路导航___ W定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段A^\C 在线段AB上截取AD — AC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等A\\¥延长AC，使得AD=AB例题精讲押訂【例5】在厶ABC中，A的平分线交BC于D , A^AC CD，.匕B =40，求乙C的大小.（希望杯培训题）【解析】在AB上截取AE二AC，连接DE .•/ AE =AC，乙.BAD ZCAD , AD = AD ,••• △ ACD ◎△ AED ,••• /C =• AED , CD =DE ,•/ AB =AC CD , AE = AC , /. CD = BE = DE• •• • EBD =• EDB =40 , . C = • AED =80【例6】典题精练 fy如图，在△ ABC 中，.B =2. C , . BAC 求证：AB BD =AC . A的平分线 AD 交BC 于点D .【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB=AE ，连接DE .在△ ABD 和△ AED 中 AB =AE , BAD =/EAD , AD =AD ••• △ ABD AED••• BD =ED , B =/AED又••• /AED ZEDC £C =• B =2^C . EDC =/C , ED =EC • •• AB BD = AC .方法二：（补短）延长 AB 到点E 使得AC =AE ，连接DE . 在厶 AED 和厶 ACD 中，AE =AC , EAD = CAD , AD 二 AD • △ AED ACD , • /C Z E又••• • ABC 二 E ： -BDE =2・ C =2・ BDE • . E =/BDE • BE =BD , AB BD = AC .方法三：（补短）延长 DB 到点E 使得AB =B E ,连接AE 贝U 有 EAB 二 E ，/ABC « ^EAB =2^E 又4ABC =2 £C ,•••• C =/E••• AE =AC.EAD =. EAB . BAD =. E . DAC =. C . DAC = ADE• AE =DE ,• •• AB BD =EB BD = ED =AE =AC • - AB+BD=AC 若题目条件或求证结论中含有“ a =b c ”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”. 建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法 【例 7】 已知：在△ ABC 中，AB 二CD -BD , AD _ BC ，求证：• B =2. C . A 初二秋季【解析】在厶 ABD 和厶 AED 中，AD —BC , BD = ED , AD =AD . 方法一：在DC 上取一点 E ，使BD =DE ，如图1,••• △ ABD 刍\ AED .••• AB =AE , B = AED .又 T AE =AB =CD -BD =CD - DE =EC••• . C =/EAC ,••• . C 梟/EAC =/AED =2. C•. B =2. C .图1 图2方法二：延长DB到点E，使BE=AB，如图2,•. E =. EAB.•/ AB 二CD -BD , • ED 二CD .在厶AED 和厶ACD 中，AD _BC , ED =CD , AD =AD .•△ AED ACD .•/E /C .••• ABD =2 EB = 2C .【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤21(AB+AC)分析：要证明AD ﹤21(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。

待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。

在△ADB 和△EDC 中，AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤21(AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。

它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习:ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=ACC例2:中线一倍辅助线作法△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值围例4：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE交AC 于F ，求证：AF=EF例5：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE第 1 题图 A B F DEC作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。

全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。

1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

精锐教育学科教师辅导讲义 年级：初二科目：数学课时数：3课题 几何证明教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题.教学内容【例题讲解】题型一：截长补短法【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明）【提示】截长补短，2种方法‘方法一：方法二：【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC =，∠B =60°.求证：∠ACB =90°.【提示】截长补短（两种方法）方法一：方法二：【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法. 题型二：倍长中线法【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围.【提示】倍长中线【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段.【借题发挥】1． 已知：如图，DA ⊥AC ，FC ⊥AC ，ADB BDF ∠=∠，CFB DFB ∠=∠.求证：DFAD CF =+. 【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：2． 已知：如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，点P 在DC 边上，且AP AB CP =+.求证：2BAP BAM ∠=∠. 【提示】截长补短，2种方法 方法一：方法二：3．已知：如图，AD 为△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE EF =.求证：AC =BF .【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：4． 已知：如图，△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，作DH ⊥BC 于点H .求证：DC CHBH +=.【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：【课堂总结】【课后作业】1．已知D 为EC 的中点，EF ∥AB ，且EF=AC ，求证：AD 平分∠BAC【提示】倍长中线法：延长FD 至G ，使FD=DG ，联结CG2．已知如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB BD DC +=.求证:∠2B =∠C .【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：二、综合提高训练1．已知：如图，C 是AB 的中点，点E 在CD 上，且AE BD =.求证：AEC BDC ∠=∠.【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：2．如图，已知在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC,∠B 的平分线与AC 交于点D ，过点C 作CH ⊥BD ，H 为垂足。