下载文档原格式
一、手拉手模型要点一:手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论:（1)△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形:例1。
如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ,证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1)DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ，BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆,连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立? （2）AG 是否与CE 相等?（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ (4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ,问：(1）DBC ABE ∆≅∆是否成立? （2)AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度? （4)HB 是否平分AHC ∠?二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的。
手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？例5：如图，点A. B. C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。
一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，而且顶角的 极点为公共极点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠(7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠CE AG ,,例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是不是成立？ （2）AG 是不是与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是不是平分AHE ∠？结CE AG ,,二者相例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是不是成立？ （2）AG 是不是与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是不是平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是不是成立？ （2）AE 是不是与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？三、截长补短问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________从头组合解决问题．三角形全等之截长补短（一）一、单项选择题(共4道，每道25分)1.已知，如图，BM平分∠ABC，P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你认真观看以下序号所代表的内容：①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥；⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧2.已知，如图，BM平分∠ABC，点P为BM上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+DC．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你认真观看以下序号所代表的内容：①延长BA，过点P作PE⊥BA于点E；②延长BA到E，使AE=DC，连接PE；③延长BA到E，使DC=AE；④；⑤；⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②④⑦B.①⑤⑥C.③④⑥D.①⑤⑦3.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AD平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD．请你认真观看以下序号所代表的内容：①在CD上截取CF=CB，连接AF；②在DC上截取DF=DE，连接AF；③在DC上截取DF=DE；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①④⑨B.③⑤⑧C.①⑥⑦D.②⑤⑨4.已知，如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD．请你认真观看以下序号所代表的内容：①延长DE到F，使EF=BC，连接AF；②延长DE到F，使BC=EF；③延长DE到F，连接AF；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑥⑧B.①④⑥⑨C.①⑤⑥⑨D.②④⑦⑧四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中显现什么的时候，咱们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？【例1】如图，P是正△ABC内的一点，假设将△PBC绕点B旋转到△P＇BA ，那么∠PBP＇的度数是( )A．45°B．60°C．90°D．120°【例2】如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD＝CF并求出∠DOH的度数。
全等三角形重要题型(手拉手模型、截长
补短、中线倍长)
全等三角形是高中数学中的重要题型之一。
其中，手拉手模型是一种常用的构造方法。
这种模型由两个等腰三角形或正方形组成，且顶角的顶点为公共顶点。
例如，在直线ABC的
同侧作两个等边三角形ΔABD和ΔBCE，连结AE和CD，可
以证明ΔABE≅ΔDBC，AE=DC，且AE与DC之间的夹角为
60度。
此外，还可以得到ΔAGB≅ΔDFB和ΔEGB≅ΔCFB，
BH平分∠AHC，XXX等结论。
除此之外，截长补短法也是证明线段和差倍分关系时常用的方法。
具体来说，截长法是在较长线段中截取一段等于另外两条线段中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；而补短法则是将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。
举个例子，如果有两个正方形ABCD和DEFG，连结AG
和CE，二者相交于点H，我们可以通过全等三角形来证明
ΔADG≅ΔCDE，AG=CE，以及AG与CE之间的夹角为多少度。
另外，也可以考虑是否有HD平分∠AHE。
在另一个例子中，如果有两个等腰直角三角形ADC和XXX，连结AG和CE，二者相交于点H，同样可以采用全等三角形的方法来证明ΔADG≅ΔCDE，AG=CE，以及AG与CE之间的夹角为多少度，同时还可以考虑是否有HD平分∠AHE。
三角形全等之手拉手模型倍长中线截长补短法旋转寻找三角形全等方法归纳总结SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆，连结AE与∆与BCECD，证明（1）DBC∆≅ABE∆(2)DCAE=(3)AE与DC之间的夹角为︒60(4)DFB≅∆AGB∆(5)CFB≅∆EGB∆(6)BH平分AHC∠(7)ACGF//变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆，连结AE与CD，∆与BCE证明（1）DBC∆≅ABE∆（2）DCAE=（3）AE与DC之间的夹角为︒60（4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD∆，∆与BCE连结AE与CD，证明（1）DBCABE∆∆≅(2）DCAE=(3）AE与DC之间的夹角为︒60(4）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC∠例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结AG,,二者相交于点HCE问：（1）CDEADG∆∆是否成立≅（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE∠例3：如图两个等腰直角三角形ADC与AG,,二者相交于点HEDG，连结CE问：（1）CDE∆是否成立ADG∆≅（2）AG是否与CE相等（3）AG与CE之间的夹角为多少度（4）HD是否平分AHE∠例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立 （2）AE 是否与CD 相等（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分AHC ∠二、倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
证明举例教案（提高）1)等变换中的“旋转”．2)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．3)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）4)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶常见辅助线的作法有以下几种：．手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60(4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的 顶点为公共顶点结论:（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3)OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1:如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆,连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ，BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆,连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ，BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1)CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度? （4）HD 是否平分AHE ∠？例3:如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：(1）CDE ADG ∆≅∆是否成立? (2)AG 是否与CE 相等?（3)AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4)HD 是否平分AHE ∠？例4:两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ，连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立? （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明:凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的。
手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°ABD BCE与AE与C D例1.如图在直线AB C的同一侧作两个等边三角形ABE DBC（1），连结，证明DC(2)AE(3)(4)(5)(6)B H 平分AHC (7)GFABD BCE与AE C D与变式精练1：如图两个等边三角形ABE DBCDC ，连结，证明（1）60（3）（4）AE与D C的交点设为H,BH 平分AH CABD BCE与AE C D与变式精练2：如图两个等边三角形ABE DBC证明（1），连结，DC(2）AE60AE(4）AE与D C的交点设为H,BH 平分AH C例 2：如图，两个正方形 AB C D 与 D EF G ,连结 AG ,CE,二者相交于点 HAD G CDE 问：（1） （2） A G 是否与C E 相等？（3） A G 与CE 之间的夹角为多少度？（4） H D 是否平分AHE是否成立？ ？例 3：如图两个等腰直角三角形 A D C 与 E D G ，连结 A G ,CE,二者相交于点 HAD G CDE 问：（1） （2） A G 是否与C E 相等？（3） A G 与CE 之间的夹角为多少度？（4） H D 是否平分AHE是否成立？ ？ABD BCE与AB B D CB E B,AB D C BE AE例4：两个等腰三角形问：（1），其中,,连结与C D，ABE DBC是否成立？（2）AE是否与C D相等？（3）AE与C D之间的夹角为多少度？（4）H B 是否平分AH C？例5：如图，点A.B.C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE.连接AE、DC，AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。
i n ga re与，连结与，证BCE ∆AE CDosrofdoogeragnii rb ei n ga re go od fo r二、倍长与中点有关的线段考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
．1()2AB AC <+Aean dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go 三、截长补短问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．三角形全等之截长补短（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知，如图，BM 平分∠ABC，P 为BM 上一点，PD⊥BC 于点D ，BD=AB+CD ．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥；⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧2.已知，如图，BM 平分∠ABC，点P 为BM 上一点，PD⊥BC 于点D ，BD=AB+DC ．求证：∠BAP+∠BCP=180°．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长BA ，过点P 作PE⊥BA 于点E ；②延长BA 到E ，使AE=DC ，连接PE ；③延长BA 到E ，使DC=AE ；④；⑤；⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②④⑦B.①⑤⑥C.③④⑥D.①⑤⑦3.已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，AD 平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD ．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 请你仔细观察下列序号所代表的内容：①在CD 上截取CF=CB ，连接AF ；②在DC 上截取DF=DE ，连接AF ；③在DC 上截取DF=DE ；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①④⑨ B.③⑤⑧ C.①⑥⑦ D.②⑤⑨4.已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD ．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长DE 到F ，使EF=BC ，连接AF ；②延长DE 到F ，使BC=EF ；e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o ③延长DE 到F ，连接AF ；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑥⑧B.①④⑥⑨C.①⑤⑥⑨D.②④⑦⑧r四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？【例1】如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ＇BA ，则∠PBP ＇的度数是( ) A ．45°B ．60° C ．90° D ．120°【例2】如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD ＝CF 并求出∠DOH 的度数。
手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆，连结AE与CD，∆与BCE证明（1）DBC∆≅ABE∆(2)AE与DC之间的夹角为︒60(3)BH平分AHC∠变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆，连结∆与BCEAE与CD，证明（1）DBC∆ABE∆≅（2）AE与DC之间的夹角为︒60（3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆(2）AE 与DC 之间的夹角为︒60(3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立 （2）AG 是否与CE 相等（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立 （2）AG 是否与CE 相等（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立 （2）AE 是否与CD 相等（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度 （4）HB 是否平分AHC ∠例5：如图，点A. B.C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。
【练1】如图，三角形ABC 和三角形CDE 都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB 的度数倍长与中点有关的线段 倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中 方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ，连接BEEDABC方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD【例1】已知：ABC∆中，AM是中线．求证：1()2AM AB AC<+．【练1】在△ABC中，59AB AC==，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么【练2】如图所示，在ABC∆的AB边上取两点E、F，使AE BF=，连接CE、CF，求证：AC BC+>EC FC+．【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上一点，F是AC 延长线上的一点，且BD=CF，连结DF交BC于E．求证：DE=EF(倍长中线、截长补短)【例2】如图，已知在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF EF=，求证：AC BE=．【练1】如图，已知在ABC∆中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC=，延长BE交AC于F，求证：AF EF=【练2】如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD 的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G. 求证：BF=CG.【练3】如图，在ABC∆中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线． 【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB【例3】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【练1】在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【练2】如图，△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分BC 且AD ⊥AC ，则∠BAC=______.【练3】在ABC ∆中，点D 为BC 的中点，点M 、N 分别为AB 、AC 上的点，且MD ND ⊥．（1）若90A ∠=︒，以线段BM 、MN 、CN 为边能否构成一个三角形若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形（2）如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+． 【例4】如图，等腰直角ABC ∆与等腰直角BDE ∆，P 为CE 中点，连接PA 、PD .探究PA 、PD 的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q .探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（证角相等方法）【练2】如图，在ABC ∆中，AB CD =，BDA BAD ∠=∠，AE 是BD 边的中线.求证：AE AC 2= 【例5】如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．【练1】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证：2CD CE =【练2】如图,CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD.【例16】如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q .探究AP 与EF 的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用） 【练1】已知：如图，正方形ABCD 和正方形EBGF ，点M 是线段DF 的中点. ⑴试说明线段ME 与MC 数量关系和关系.⑵如图，若将上题中正方形EBGF 绕点B 顺时针旋转α度数（︒<90α），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的DOEANMDCBA度数说明要求角的度数，进而得到角相等，∆全等)【例10】 如图所示，ABC ∆中，0045,90=∠=∠B C ，AD 平分BAC ∠交BC 于D 。
求证：AB=AC+CD 。
【练1】如图所示，在ABC ∆中，060=∠B ，ABC ∆的角平分线AD 、CE 相交于点O 。
求证：AE+CD=AC 。
【练2】已知ABC ∆中， 60=∠A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【练2】如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，AE 平分∠BAD 交DC 于点E ，连接BE ，且AE ⊥BE ，求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在△ABC 中,∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线。
求证：BC=AB+AD.【练4】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC ．【例11】已知如图所示，在△ABC 中,AD 是角平分线,且AC=AB+BD,试说明∠B=2∠C （不只是边，倍角也适用）【练1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于点D ．求证：∠DBC ＝21∠BAC ．【例12】如图所示，已知21∠=∠，P 为BN 上一点，且D CBOEDA B21DMBCPNA CEDBCADCBABC PD ⊥于D ，AB+BC=2BD ，求证：0180=∠+∠BCP BAP 。
【练1】如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA, AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A【例13】如图所示，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，090=∠BAC ，CBD ABD ∠=∠，CE 垂直于BD 的延长线于E 。
求证：BD=2CE 。
【练1】已知：如图示，在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．求证：CD=2AD ．【练2】如图所示，在ABC ∆中，090=∠ABC ，AD 为BAC ∠的平分线，C ∠=300，AD BE ⊥于E 点，求证：AC-AB=2BE 。
【练3】正方形ABCD,E 是BC 上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F ，求证AE=EF【练4】已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE【例14】如图所示，已知AB BCD ABC ∠∠,探求ED 、AE 和BC 之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、PEDCBACF 之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证：AB-AC ＞PB-PCC【练1】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，OA EC ⊥，OB ED ⊥，垂足为C 、D 。
求证：（1）OC=OD ； （2）DF=CF 。
构造等边三角形1、如图,已知△ABC 中,AB=AC,D 是CB 延长线上一点,∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.练习1、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BE 平分∠ABC,DE ⊥AB 于D,如果AC=3cm,那么AE+DE 等于OA 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、5cm练习2、在△ABC 和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：'''C B A ABC ∆≅∆. （倍长中线）练习3、如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D ，求证：∠2=∠1+∠C练习4、如图（1），已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在A 、E 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E （1）试说明：BD=DE+CE ．（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD ＜CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何请直接写出结果；（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何请直接写出结果，不需说明理由．如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，有过A 的任一条直线AN ，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E ，求证：DE ＝BD －CE ．（思路：截长补短法）AB C DA'B' C'D'如图,在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点,且∠ABD=60°,BD+DC=AB.求证：∠ACD=60°.（截长补短）1、如图，等腰直角ABC∆，P为CE中点，连接PA、PD.∆与等腰直角BDE探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.（辅助线的连法都一样）⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度数α），其他条件不变，上述结论还正确吗若正确，请你证明；若不（︒<90正确，请说明理由.3、已知AM为ABC∆的中线，AMB∠的平分线分别交AB于E、交AC于F．∠，AMC求证：BE CF EF+>．（辅助线的连法都一样）【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt △ADE（AAS）∴∠AED=∠B=90°，DE=DB又∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE=EC．∴AC=AE+EC=AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．如图,已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.（1）求证：AM平分∠DAB（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系直接写出结果。
