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第1章 利息理论基础08

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第一章 利息理论基础

第一章 利息理论基础


⇒ d (1 + i ) = i ⇒ i − d = id
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) −1 δ ⇒ 1 + = 1 + i = e = (1 − d ) = 1 − m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) ⇒ 1 + = 1 − m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * ⇒ − = m m m m
k =1 k =1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
a (t ) = e
∫ δ (s )ds
0
t
= e ∫0
1
δ1ds
e ∫1
2
δ 2ds
∫t −1δs ds Le
t
= e δ1e δ 2 Le δt
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δn − 1 a (n − 1)
d (4) 1− 4
4
(m )
d (4) 1− 4
3
d (4) 1− 4
2
1−
d
(4)
4
1 1
1− d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
(2) 1、 1 + i = 1 + i = 1 + 8% ⇒ i (2) = 7.85% 2
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δ −1 a (n − 1)
第一章 利息理论基础

第一章 利息理论基础


名义利率

(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
1 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率

名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
利息度量二——积累方式不同

线形积累


指数积累

单利
a (t ) 1 it i in 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i

单贴现
a
1

复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
dn
(t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
4
(m )
d ( 4) 1 4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1 1
1 d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
2、
t 0.05(1 t )2
例1.3.1答案
1、1000 10 1000 100.05 1648 72 e e .
10
2、 1000 0 e
0.05(1t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 50 .
利息的度量（四）变利息
利息论第一章

利息论第一章

14
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4） 解：利用总累积函数单利时 A5 5000 a 5 5000 1 5 6% 6500元 用复利计算有 5 A 5 5000 a 5 5000 1 6% 6691.13 元
2、增长形式不同。单利在同样长时间增 长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si (仅仅与s有关) a t s a t s t s t 1 i 1 1 i 1 仅仅与s有关 a t
27
m
名义贴现率—— d 类似，可以定义 d ( m) 为在一个标准度量期 ( m) 内，换算m次，以实质贴现率 d /m在每 一个1/m期初支付利息一次。 同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
m m d m d 1 1 d m m 1 d 1 m 1 1 m m m d m 1 1 d m 1
i1 ka(1) k i a(1) 1 A(0) k
9
例1.2.1(P3例1-1) 解：显然利用总量累积函数有
A 0 1000 元 A 1 1000 a 1 1050 元 A 2 1000 a 2 1100 元 A 0 A 1 A 2 A 1 50 50 则：i1 5%; i2 4.762% A 0 1000 A 1 1050
4
3.折现函数 a t 1 a t 为t时的1元钱在0时的现值. 1 a 1 为折现因子.
1
利息理论

利息理论


通过上述各种信用工具的收益率可以看出，简易贷款和贴现债 券只在到期日偿付，所以收益率具有相对简单的形式；而固定分 期支付贷款和附息债券在到期日之前要不断地定期支付，所以收 益率的形式要复杂得多。 在学习本课程的过程中，我们需要对以下概念达成共识： 资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实 现的价值增值就越大。 等额的货币在不同的时间点上，由于受通货膨胀因素的影响，其 实际价值也是不同的。 货币的所有者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得 与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。 支付利息就是掌握和运用他人资金所付的代价，获取利息就是转 让货币使用权所得到的报酬。 利息就其实质而言是货币资金使用者在经济活动中获得利润的一 部分。
例：按复利计息，n年后的本利和为 n年后的本利和为
A(n) A(0) (1 i)n
n1 A ( n 1 ) A ( 0 ) ( 1 i ) 则第n-1年的利率为
A(n) A(n 1) A(0) (1 i) n A(0) (1 i) n1 in A(n 1) A(0) (1 i) n1 (1 i) 1 i
在以上的例子中，如果按单利计息，则实际利率为：
A(n) A(n 1) a(n) a(n 1) in A(n 1) a(n 1) (1 in) (1 i (n 1)) i (1 i(n 1)) 1 i (n 1)
可见，随着n的增大 in 将变小。以上例子说明，按单利计息时， 各年的利息率并不相同的。
以上例子说明，按复利计息时，任何一年的利息率都是相同的。
2、1、2 单利和复利 利息的计算方法有单利和复利两种。单利只在本金 上计算利息，其累积函数的形式为 a(t)=1+it (t≥0) 当 t=0时， a(0)=1 ，当 t=1时， a(1)=1+ ｉ，说明它经过 （0，1）和（1，1+ i）点。 见P12图2一2。
第1章利息理论

第1章利息理论


2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个 价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息， 年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时 通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把 的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小
第一章利息的基本概念

第一章利息的基本概念

28
计息方法
单利 标准复利
复利
一般复利 连续复利
2011-9-13
29
复利
单利具有这样的性质：利息并不再投资以赚取附加 的利息。例如，考虑$100的本金以10％的单利投资2 年。对于单利而言，投资者在两年中每一年末将收 入$10，但实际上，投资者在第2年中是有$110可用 以投资的。显然，如果用10％的利率投资$110将会 10 $110 更好，因为投资者将在第2年收入$11而不是$10。 复利理论用假设得到的利息自动再投资来处理这个 问题。 “复”这个词在这里是指利息再投资以得到 额外利息的过程。对复利而言，在任何时侯本金和 到该时为止得到的利息，总是都用去投资。
18
几种累积函数的比较
1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0 5 10 15 20
系列1 系列2 系列3
累积值
时间
2011-9-13 19
§1.1 利息度量
利息的基本概念 积累值与积累函数
积累值 积累函数 积累函数与单位积累函数的关系
2011-9-13
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不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时 期的长短有关系而与该时期的具体位置无关
2011-9-13 26
单利是由满足如下条件的连续函数a(t) 所相应的累 积函数所给出的：
a ( s + t ) − a ( s ) = a (t ) − 1, t ≥ 0, s ≥ 0
或等价的
a ( s + t ) = a ( s ) + a (t ) − 1, t ≥ 0, s ≥ 0
租用期或投资期
利用本金的时间长度
计息期
在投资过程中，相邻两次计算利息的时间间隔 每一计息期一般是等长度的，如有：日、周、月、 季、半年、一年或几年不等
第一章 利息的基本概念

第一章 利息的基本概念


对整数 n≥1
(1-10B)
假设常数复利利率为 i，那么， 对任意正整数 n，有 a(n)=(1+i)n ，于是
a(n) a(n 1) (1 i ) n (1 i ) n 1 dn = = (1 i ) n a ( n)
i = d 1 i
(1-10C)
与 n 无关，为一常数。这意味着， 常数的复利下，贴现率也也为常数。
单贴现
考虑贴现函数： a-1(t)=1-dt 0≤t<1/d (1-13) 称这种贴现函数对应的贴现方式为单贴现， 其中d为常数的单贴现率。 这里，要求0≤t<1/d是为了保证a-1(t)>0。
单贴现仅在短期业务中使用以及用作复 贴现在非整数时期内的近似。
单贴现和单利具有类似但反向的关系： 1．当投资时期加长时，常数的单利利率意 味着实质利率递减，而常数的单贴现意味 着实质贴现率(以及利率)递增。 2．单贴现和复贴现对单个时期产生的结果 相同。对较长时期，单贴现比复贴现产生 较小的现值，而对较短的时期则相反。
例1-3 某银行以单利计息，年息为4%，某 人存入8000元，问3年后的积累值是多少？
例1-4 如果上述银行以复利计息，其他条件 不变，重解上例。
例1-5 已知年实质利率为5.5%，求10年后 200000元的现值。
例1-6A 设0<i<1，证明：
（1）(1+i)t<(1+it) 若0<t<1； （2）(1+i)t=(1+it) 若t=1； （3）(1+i)t>(1+it) 若t>1。
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)

例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
第1章利息理论

第1章利息理论



i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i

例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
第一章利息理论

第一章利息理论

30
p P-300
P+336 p
0
1.

336 i p
p 2800 300 i
p 300
1

2.

Байду номын сангаас
336 p 336 300
d
d

p

2800
p
31
3.pi 336,pd=300 i d 336 300 1 i i 0.12 p 2800
4.i d id (产生36元利息差的原因是本金少了300元) 336-300=300i i=0.12 Q 0.12p 336 p=2800
32
1.2名义利率与名义贴现率
名义利率：
（1）一个度量周期内结转m次利息的利率
（2）度量的是资本在一个小区间
1 内的实际利率
m
（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相
12
保险精算的基本原理
➢ 大数法则：即对于大量的随机现象
（事件），由于偶然性相互抵消所呈 现的必然数量规律的一系列定理的统 称。常见的有三个大数法则： ✓切比雪夫（Chehyshev）大数法则 ✓贝努里（Bermulli）大数法则 ✓泊松（Poisson）大数法则
13
教材
李秀芳，傅安平，王静龙 《保险精算》， 中国人民大学出版社（教育部，保监会推 荐教材）
➢ 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。
利息理论第一章 利息的基本概念

利息理论第一章 利息的基本概念

t t t 0
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：
利息理论 第1章 利息的基础知识

利息理论 第1章 利息的基础知识


3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
1 ) m2
1 [( 1+ i ) m 1 ( m )'
。
1 ] '
m→∞
1 ln(1+i )(1+ i ) m
(
12 m
= lim (1 + i) ln(1 + i)
（1）单利 设年利率为i ，期初本金为1
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
2
t
at=1+it
复利
设利率为i，期初本金为1。

利息理论第一章 利息的基本概念


A′(t ) a′(t ) δt = = A(t ) a(t )
称 δ t 该投资在t时的利息强度，即 δ t 为利息在时刻t一 该投资在t 为利息在时刻t 种度量，通过如上定义可将 δ 表示为如下形式：
t
d d δ t = ln A(t ) = ln a (t ) dt dt
对两边积分可得，
A(t ) ∫0 δ s ds = ∫0 d ln A(s) = ln A(s) | = ln A(0)
利息理论
绪论
利息是债务人（borrower） 利息是债务人（borrower）对债权人 （lender）因为资金被借用而牺牲了当前消费， lender） 以及对其面对的机会成本的一种补偿。不同经济 学以及货币银行学等课程讨论利息是如何形成的 以及分析决定利息大小的具体因素，在本门课程 中假定存在于债权人和债务人之间的利息是一种 既定的事实，并在此基础上分析债权人和债务人 之间的权利与义务的关系。
假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， 张三将还给银行100元。 张三将还给银行100元。 由此可见，实际利率和实际贴现率反映的 是一个先后付息的问题。
就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： ）如果单位投资在t a(t)=(1+i)t )=(1+i) 那么，则称该笔投资以每期复利i计息, 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。

利息理论课后习题答案

第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。

利息理论——第一章1.1


1

这里我们引入一个新的概念：现值。我们把 为了在t期末得到某个积累值，而在开始时 投资的本金金额称为该积累值的现值（或折 现值，Present Value）。

我们将 k a (t ) 代入(1.1.1)式，可以得到
1
1 A(t ) ka(t ) a(t ) 1 a(t )

例1 甲向乙借款1 000元，两人商定从2006年 12月31日归还，且归还时，甲一次性向乙支 付利息100元。
在该项借贷往来中，可将乙借钱给甲看成是一项投 资，其初始投资为1 000元，即本金为1 000元 （ P=1 000元）；投资期从2006年1月1日至2006年12月 31日，为期1年（ n=1年）；乙的该项投资在1年后除 了收回本金外，还额外可得100元，即利息（ I=100元）。 因为两人商定利息是在1年结束时才一次性支付，即1年 才计算一次利息，所以计息期为1年。且其单位本金获得 的利息为0.1元（ 100/1 000=0.1），所以年利率为10% （ i=10%）。在2006年12月31日时，该项投资的积累值 为1 100元。
利息

我们将从投资日起第n个时期所得到的利息 金额记为I n ，则 I n A(n) A(n 1) 对整数n≥1 (1.1.2)

注：这里注意 I n 表示的是一个时间区间上 所得利息的量，而A(n)则是在一特定时刻的 积累量。
§1.1.1

实际利率



定义：某一度量期的实际利率（Effective Rate of Interest） 是指该度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常， 实际利率用字母i表示。 实际利率i是利息的第一种度量方式，由定义可 以看出，实际利率是一个不带单位的数，实务 中常用百分数来表示； 它与给定的时期有关； 它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。

利息理论第一章



本课程以北美精算师协会考试课程2中利息理 论部分的内容为主要线条，对其中基础部分进 行了压缩，介绍利息的基本计算概念和方法， 以及年金计算基本工具函数，这些内容是进入 金融定量分析领域的基础。随后是金融计算和 分析中的常用的两大类方法：投资收益率分析 和现金流的本金利息分解过程。

从实务的角度看，金融学可以分为投资和融资 两大部分，在金融市场中，大多数参与者及其 进行的活动都可以归在这两类中。而其中尤以 投资学中的计算问题为多。本课程在引进基本 的现金流计算方法之后，对主要的投资工具： 固定收益产品（债券为主）的计算问题进行了 详细的介绍。
利息理论及其应用
福州大学管理学院财金系 陈志军
课程简介


金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征 和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金 流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。 例如：银行的资产负债分析、融资成本和投资 收益分析、金融市场产品的定价和保险精算分 析等。 本课程的基本目的：掌握基本的金融计算的概 念和原则，同时对一些基础性的金融工具的进 行现金流价值分析。


利息理论是北美精算师协会（Society of Actuaries, SoA）的准精算师（Associate-ship） 资格考试中的经济金融课程的主要部分 。 北京大学金融系从1997-1998学年第一学期 （1997年秋季）开始，将课程“利息理论与应 用”作为金融系本科生的第一门专业基础课。

最后，用两章的篇幅介绍学生深入进行金融数学 学习的准备知识：利率风险分析和随机模型。利 率风险分析和管理是金融领域很重要的一个主题， 已有一些现成的工具和算法；随机模型在金融风 险分析，特别是衍生工具定价和套期保值技术中 成为基本和必不可少的一部分，本课程只是介绍 了最基本的工具和方法，希望对进入这个领域有 一定的帮助。

《利息理论复习》PPT课件

i
na
=
n
i
(2-55B)
(Ds) = s + s s + s s +…+ s s + s s
n
n
n
1n
2
n
n2 n
n1
=n s -( s + s +…+ s + s )
n
12
n2 n1
n(1 i)n s
=
n
i
(2-56B)
永续变额年金
lim (P a
n
n
+Q
a n
nvn i
)=
P i
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
现金流出：O0
现金流入 I0
时间
0
O1
O2 …
On-1
On
I1
I2 …
I n-1
In
1
2…
n-1
n
图(3-1) 投资记录时间图
3-2 收益率的定义
• 使得净现值为0的利率i为相应投资
项目的收益率
n
P(i)= vt Rt =0 t0
(3-2)
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
j)mn j
1 1 vn = i(m)
(2-35B) (2-36B)
a(m n
)
=
1 v i(m)
n
1 vn =
i
i
× i
(
m
)
i
= i(m)
a n
s(m) n
=
i
i
(m
)
s n
(2-37A) (2-37B)

利息理论第一章.ppt

7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
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本金 利率：单位金额在一个度量时期所产生的利息。 时期长度 计息方式
二、利息的度量
0
积累函数 a(t ) 1------------------------------ a(t ) K------------------------------ A(t ) 金额函数 A(t ) 贴现函数 a 1 (t ) a 1 (t ) -----------------------------1 第N期利息 I (n) I (n) A(n) A(n 1)
3、利息度量——名义利率与名义贴现率

名义利率：将一个度量时期复利多次的利率称为名 义利率。
若每度量时期复利m次的名义利率以 i 表示，它 (m) 意味着每1/m度量时期的实质利率为 j i m ，即 有 i ( m ) mj 。 名义贴现率的定义与名义利率类似。
(m )


名义利率与实质利率关系
12
i ( 4) d (12) 1 1 3、 4 12
i
( 4)
0.06 3 41 1 12 6.0605 %
名义利率与瞬间利率

在名义利率 i 中，当m趋于无穷大时，就 得到瞬间利率，即恒定利息力 ，则有：

连续变化场合：函数利息力 (t )
a (t ) exp{ ( s ) ds}
0

t
离散变化场合：i1 ,, it (d1 ,, d t )
a(t ) (1 ik ) (1 d k ) 1
k 1 k 1 t t
例1.5
1、如果 t 1 t ，试确定1在n年末的积累值。 2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%， 最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累 值。 3、假定一笔资金头3年以半年度计息年利率6%计 息，随之2年以季度计息8%的年贴现率计息，若 5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额 应该为多少？

(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
名义利率 1 实质利率 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率与实质贴现率关系
成绩计算


平时成绩占30-40%： 主要包括出勤、作业等 考试成绩占60-70%
第一章

利息理论基础
利息的度量 利息问题求解 年金
第一节 利息的度量
一、利息的定义

定义：

利息的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补 偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

影响利息大小的要素：
实质利率与实质贴现率计算

已知期初本金和支付利息，计算实质利率

第N期实质利率
in
I ( n) A(n 1)

已知贴现利息和期末投资额，计算实质贴现率

第N期实质贴现率
dn
I ( n) A( n)
A(n )
A(0)
A(1) A( 2)
A(n 2) A(n 1)
0
1
2
I (n )
n
实质利率与实质贴现率关系
初始值 利息 积累值
1
i
d
0
1 i
1
t
v
v 1 d 1 i）1 （
v（ i） 1 1
d
i d ,i 1 i 1 d
例1.1 实质利率/贴现率

某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年末存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
(m )
lim
m
i ( m) 1 m
m
lim
m
i ( m ) i (m ) m (1 m )
i ( m)
e

一般地，关于利息力，有，
4、利息度量——利息力与贴现力

利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。
例1.2

某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
例1.2答案
(1) 2%单利计息 A(5) 5000 (1 5 2%) 5500 ( 2) 2%复利计息 A(5) 5000 (1 2%)5 5520 (3) 2%单贴现计息 5000 5556 1 5 2% ( 4) 2%复贴现计息 A(5) 5000 A(5) 5531 （ 2% 5 1 ）
p0
现金流
p1
p2

pn
时间坐标 0

t1
方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现 时值相等。
t2

tn
例1.6：求本金

某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
t
1、利息度量——实质利率与实质贴现率

期末计息——利率

实质利率：某一度量时期的实质利率是指以期初 一单位投资在一个度量时期末所支付的利息。 实质贴现率：某一度量时期的实质贴现率是指以 期末一单位投资在该度量时期期初所支付的利息。

期初计息——贴现率


实质利率通常记为i，实质贴现率通常记为d。 利息的度量时期通常取1年。
1 A(t m ) A(t ) t lim 1 m m A(t )
t
lim
t
A(t t ) A(t ) t A(t )
A(t ) d ln A(t ) Nhomakorabea A(t ) dt a(t ) d ln a (t ) a (t ) dt limi ( m ) limd ( m )

名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
d (4) 1 4
4
(m)
名义贴现率
d ( 4) 1 4
3
d (4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1 1
实质贴现率 1 d
d
例1.3
1、确定500元以季度计息8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%年利，按半年为期预付计息，到 第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度计息的名义利率，使其等于月度 计息6%名义贴现率。
例1.6答案

以第7年末为时间参照点，有
1.06 6 4 1.06 4 x 1.06 10 x 3.7435 千元

以第8年末为时间参照点，有
1.06 7 4 1.065 x 10 1.06 x 3.7435千元
例1.7：求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元， 问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元， 这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率 =？
复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
单复利计息之间的相关关系
in

i d d n 1 ( n 1)i 1 ( n 1)d


单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒 定。 t 1时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生 更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产 生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。

参考答案 ： 各利率分别为2%、2.94%、1.96%和2.86%。
2、利息度量——单利与复利

线形积累


指数积累

单利
a (t ) 1 it in i 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i


单贴现
a 1 (t ) 1 dt dn d 1 ( n 1) d
保险精算学
主讲教师： 李少斌 Tel： 85221808 Email： tlishb@

保险精算内容


寿险精算 以生命表和利息理论为基础 本课程主要学习寿险精算 非寿险精算 经验损失函数 风险保费 未决赔偿准备金
寿险精算内容结构

基础
利息理论基础 （要求具备一定的数学运算基础） 生命表基础（要求一定的概率论和数理统计基础）
4 2 23
第二节
利息问题求解
一、利息问题求解四要素 原始投资本金A(0) 投资时期长度t 利率及计息方式



期末/期初计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息计息次数：实质利率、名义利率、利息效力

本金在投资期末的积累值A(t)
二、利息问题求解原则

本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对 四要素知三求一的问题 工具：现金流图
例1.3答案
1、 2、
i (4) P 1 4
4n
0.08 500 1 742.97 4
2n
20
d ( 2) A0 An 1 2
4