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高考解答题专项六 概率与统计1.(2020全国Ⅲ,文18)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?附:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),解:(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1100(100×20+300×35+500×45)=350. (3)根据所给数据,可得2×2列联表:根据列联表得χ2=100×(33×8-22×37)255×45×70×30≈5.820.由于5.820>3.841,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.2.(2021江苏无锡下学期2月模拟)已知某班有50位学生,现对该班关于举办辩论赛的态度进行调查,他们综合评价成绩(单位:分)的频数分布以及对举办辩论赛的赞成人数如下表:(1)请根据以上统计数据填写下面2×2列联表,并回答:是否有90%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关?(2)若采用分层抽样在综合评价成绩在[60,70),[70,80)的学生中随机抽取5人进行追踪调查,并选其中2人担任辩论赛主持人,求担任主持人的2人中至少有1人在[60,70)的概率. 附:χ2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),解:(1)2×2列联表为则χ2=50×(28×6-4×12)232×18×40×10=3.125>2.706,所以有90%的把握认为综合评价成绩以80分为分界点与对举办辩论赛的态度有关. (2)采用分层抽样,会在[60,70)里抽3人,用A ,B ,C 表示,[70,80)里抽2人,用D ,E 表示,设M 为事件“担任主持人的2人中没有人在[60,70)内”,则基本事件包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10个,事件M包含DE,只有1个,则所求事件的概率即为P=1-P(A)=1-110=910.3.(2021山西太原二模)2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》,规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类.某市在实施垃圾分类之前,对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量(单位:吨)进行了调查.已知该市这样的社区有200个,如图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.(1)根据上述资料,估计当天这50个社区垃圾量的平均值x(精确到整数)(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)若以上述样本的频率近似代替总体的概率,请估计这200个社区中“超标”社区的个数;(3)市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查,先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个,再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控,求重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率.解:(1)由频率分布直方图得该样本中垃圾量为[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]的频率分别为0.08,0.1,0.2,0.24,0.18,0.12,0.08,所以估计当天这50个社区垃圾量的平均值为x=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08=11.04≈11.(2)由(1)得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2,所以这200个社区中“超标”社区的概率为0.2,所以这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.2=40.(3)由题意知按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中,垃圾量为[14,16)的社区有3个,分别记为a,b,c,按垃圾量为[16,18]的社区有2个,分别记为d,e,从中任选2个的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10个,其中所求事件“至少有1个垃圾量为[16,18]的社区”为(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共7个.所以重点监控社区中至少有1个垃圾量为[16,18]的社区的概率为P=710=0.7.4.(2021江苏南京二模)某公司对项目A进行生产投资,所获得的利润有如下统计数据表:(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系,并用相关系数加以说明;(2)该公司计划用7百万元对A ,B 两个项目进行投资.若公司对项目B 投资x (1≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足:y=0.16x-0.49x+1+0.49,求A ,B 两个项目投资金额分别为多少时,获得的总利润最大?附:①对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其回归直线y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=∑i=1nx i y i -nxy∑i=1nx i 2-nx 2,a=y -b x .②线性相关系数r=∑i=1nx i y i -nx y√(∑i=1x i 2-nx 2)(∑i=1y i 2-ny 2).一般地,相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.参考数据:对项目A 投资的统计数据表中∑i=15x i y i =11,∑i=15y i 2=2.24,√4.4≈2.1.解:(1)由题意可得x =1+2+3+4+55=3,y =0.3+0.3+0.5+0.9+15=0.6,代入公式可得∑i=15x i y i -5xy =11-5×3×0.6=2,∑i=15x i 2-5x 2=55-5×32=10,∑i=15y i 2-5y 2=2.24-5×0.62=0.44, 所以b=∑i=1nx i y i -nxy∑i=1nx i 2-nx 2=210=0.2,a=y -b x =0.6-0.2×3=0,所以y=bx+a=0.2x , 且r=∑i=1nx i y i -nxy√(∑i=1x i 2-nx 2)(∑i=1y i 2-ny 2)=√10×0.44≈22.1≈0.952 4>0.95,则y 与x 的线性相关性较强.(2)由题意,公司对项目B 投资x (1≤x ≤6)百万元,则对项目A 投资(7-x )百万元,则获得的利润y=0.16x-0.49x+1+0.49+0.2(7-x )=1.89-0.49x+1-0.04x=1.93-0.49x+1+0.04(x+1)≤1.93-2√0.49x+1×0.04(x +1)=1.93-0.28=1.65,当且仅当0.49x+1=0.04(x+1),即x=2.5时等号成立,此时取到最大值为1.65百万元,而7-x=4.5百万元.答:对A ,B 两个项目投资金额分别为4.5百万元、2.5百万元时,获得的总利润最大,最大为1.65百万元.。
2023 全国新高考1卷数学解读一、引言2023年全国新高考1卷数学试卷已经出炉，本文将对这份试卷进行详细的解读和分析。
通过解读这份试卷，我们可以了解到2023年新高考数学试题的命题思路、难易程度、考点分布以及备考建议等信息，帮助广大考生和教师更好地理解和应对新高考数学考试。
二、试卷整体分析1. 命题思路2023年全国新高考1卷数学试卷遵循了“立德树人、服务选才、引导教学”的命题原则，注重考查学生的基础知识、基本技能和基本思想方法，突出了数学的综合性、应用性和创新性。
试题设计合理，难度适中，区分度良好，有利于选拔具有数学潜力和创新能力的优秀学生。
2. 难易程度从整体上看，2023年全国新高考1卷数学试卷的难度适中。
试题设计注重基础知识和基本技能的考查，同时也涉及一些较高层次的知识点和解题方法。
部分试题难度较大，需要学生具备较高的思维能力和解题技巧。
3. 考点分布2023年全国新高考1卷数学试卷的考点分布较为广泛，涵盖了代数、几何、概率与统计等多个领域。
其中，代数部分主要考查了函数、数列、不等式等知识点；几何部分主要考查了解析几何和立体几何的相关内容；概率与统计部分则主要考查了概率论和数理统计的基础知识。
三、试题详解1. 选择题选择题部分共12小题，每小题5分，共60分。
这些题目主要考查了学生的基础知识和基本技能，涉及的知识点包括函数、数列、不等式、三角函数等。
其中，部分题目难度较大，需要学生具备较高的思维能力和解题技巧。
2. 填空题填空题部分共4小题，每小题5分，共20分。
这些题目主要考查了学生的基础知识和基本技能的掌握情况，涉及的知识点包括解析几何、立体几何等。
部分题目难度较大，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。
3. 解答题解答题部分共6小题，共计70分。
这些题目主要考查了学生的综合应用能力和创新能力，涉及的知识点包括函数与导数、数列与不等式、三角函数与解三角形、概率与统计等。
部分题目难度较大，需要学生具备较高的思维能力和解题技巧。
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
新高考数学复习：概率与统计随着新高考改革的深入，数学科目的考查范围与难度也在逐年增加。
作为高考复习的重要环节，概率与统计部分的知识点成为了考生们的焦点。
本文将探讨如何有效地进行新高考数学复习，特别是概率与统计部分的知识点。
一、明确考试要求在复习概率与统计之前，首先要了解新高考数学对于这一部分的考试要求。
通常，高考数学对于概率与统计的考查包括以下几个方面：随机事件及其概率、随机变量及其分布、数理统计的基本概念与方法等。
因此，在复习过程中，要着重这些方面的知识点。
二、扎实基础知识概率与统计部分的知识点较为抽象，需要考生具备扎实的数学基础。
在复习过程中，要注重对基础知识点的掌握，例如：集合、不等式、函数等。
只有掌握了这些基础知识，才能更好地理解概率与统计的相关概念与公式。
三、强化解题能力解题能力是高考数学考查的重要方面。
在复习概率与统计时，要注重强化解题能力。
具体而言，可以通过以下几个方面来提高解题能力：1、掌握解题方法对于概率与统计的题目，要掌握常用的解题方法，例如：直接法、排除法、枚举法等。
同时，要了解各类题型的解题步骤与方法，从而在解题时能够迅速找到突破口。
2、多做真题做真题是提高解题能力的有效途径。
通过多做真题，可以了解高考数学对于概率与统计的考查重点与难点，进而有针对性地进行复习。
同时，也可以通过对比历年真题，发现自身的知识盲点，及时查漏补缺。
3、反思与总结在解题过程中，要及时反思与总结。
对于做错的题目，要分析错误原因，并总结出正确的解题方法。
同时，也要总结出各类题型的解题技巧与注意事项，以便在今后的解题中能够更加得心应手。
四、拓展知识面高考数学对于考生知识面的考查也越来越广泛。
在复习概率与统计时，要注重拓展自身的知识面。
具体而言，可以通过以下几个方面来拓展知识面：1、阅读相关书籍可以阅读相关的数学书籍，例如：《概率论与数理统计》、《统计学》等。
通过阅读这些书籍，可以深入了解概率与统计的相关知识点，拓展自身的知识面。
高考大题专项(六)概率与统计1.(2019安徽模拟,19)“学习强国”APP是由中宣部主管,以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台,2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况,研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查,将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示:(1)由频率分布表可以认为,这200名党员这两天在“学习强国”APP上的得分Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为这200名党员得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),σ2近似为这200名党员得分的方差,求P(57.4<Z<83.8);(2)以频率估计概率,若从该地区所有党员中随机抽取4人,记抽得这两天在“学习强国”APP上的得分不低于80分的人数为X,求X的分布列与数学期望.参考数据:√5≈2.2,√6≈2.4,√7≈2.6,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 3.12.近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:表1根据以上数据,绘制了如下图所示的散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·d x(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,求y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如表2.表223已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客,享受7折优惠的概率为16,享受8折优惠的概率为13,享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,估计一名乘客一次乘车的平均费用. 参考数据:其中v i =lg y i ,v =17∑i=17v i3.(2019广东汕尾模拟,19)微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号,很多手机用户加入微信运动后,为了让自己的步数能领先于朋友,运动的积极性明显增强.微信运动公众号为了解用户的一些情况,在微信运动用户中随机抽取了100名用户,统计了他们某一天的步数,数据整理如下:(1)根据表中数据,在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图,并在纵轴上标明各小长方形的高;(2)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取3人,求至少2人步数多于1.2万步的概率;(3)若视频率分布为概率分布,在微信运动用户中随机抽取2人,其中每日走路不超过0.8万步的有X 人,超过1.2万步的有Y人,设ξ=|X-Y|,求ξ的分布列及数学期望.44.(2019广东省六校第一次联考,19)某市大力推广纯电动汽车,对购买用户依照车辆出厂续驶里程R的行业标准,予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:2017年底随机调査该市1 000辆纯电动汽车,统计其出厂续驶里程R,得到频率分布直方图如下图所示.用样本估计总体,频率估计概率,解决如下问题:56(1)求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值;(2)某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数,得到如下的频数分布表.(同一组数据用该区间的中点值作代表)2018年2月,国家出台政策,将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台,每台每天最多可以充电30辆车,每天维护费用500元/台;交流充电桩1万元/台,每台每天最多可以充电4辆车,每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案:方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩; 方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.假设车辆充电时优先使用新设备,且充电一辆车产生25元的收入,用2017年的统计数据,分别估计该企业在两种方案下使用新设备产生的日利润.(日利润=日收入-日维护费用)5.(2019安徽江淮十校联考,21)棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子位于第n站的概率为P n.(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币3次后,求棋手所走步数之和X的分布列与数学期望;(P n-P n-1)(1≤n≤98);(2)证明:P n+1-P n=-12(3)求P99,P100的值.7参考答案高考大题专项(六)概率与统计1.解(1)由题意得:μ=65×0.3+75×0.5+85×0.1+95×0.1=75,σ2=(65-75)2×0.3+(75-75)2×0.5+(85-75)2×0.1+(95-75)2×0.1=30+10+40=80,∵σ=√80=4√5≈8.8,∴P(57.4<Z<83.8)=P(μ-2σ<Z≤μ+σ)=0.6827+0.95452=0.818 6.(2)从该地区所有党员中随机抽取1人,抽得的人得分不低于80分的概率为40200=15.由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B 4,15 ,∴P(X=0)=C40(45)4=256625;89P (X=1)=C 41×15×(45)3=256625; P (X=2)=C 42×(15)2×(45)2=96625;P (X=3)=C 43×(15)3×45=16625; P (X=4)=C 44×(15)4=1625,所以X 的分布列为所以E (X )=4×15=45.2.解 (1)根据散点图判断,y=c·d x 适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.(2)∵y=c·d x ,两边同时取常用对数得lg y=lg (c·d x )=lg c+lg d·x ; 设lg y=v ,∴v=lg c+lg d·x. ∵x =4,v =1.54,∑i=17x i 2=140,∴lg d ^=∑i=17x i v i -7xv∑i=17x i 2-7x2=50.12-7×4×1.54140-7×42=0.25,把样本中心点(4,1.54)代入10v=lg c+lg d ·x ,得lg c ^=0.54,∴v ^=0.54+0.25x ,∴lg y ^=0.54+0.25x ,∴y 关于x 的回归方程式为y ^=100.54+0.25x=100.54×(100.25)x=3.47×100.25x.把x=8代入上式,得y ^=3.47×102=347,所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470. (3)记一名乘客乘车支付的费用为Z , 则Z 的取值可能为2,1.8,1.6,1.4. P (Z=2)=0.1;P (Z=1.8)=0.3×12=0.15;P (Z=1.6)=0.6+0.3×13=0.7,P (Z=1.4)=0.3×16=0.05. 分布列为所以,一名乘客一次乘车的平均费用为2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05=1.66(元). 3.解(1)根据题意,补充下表,11频率组距 0.125 0.5 1.25 0.45 0.075 0.075 0.025根据表中数据,作出频率分布直方图如下:(2)由题意知,步数多于1.2万步的频率为0.25,所以认定步数多于1.2万步的概率为0.25,所以至少有2人多于1.2万步的概率为 P=C 32×142×34+C 33×143=532, 综上所述,至少2人步数多于1.2万步的概率为5.(3)由题知微信好友中任选一人,其每日走路步数不超过0.8万步的概率为1,超过1.2万步的概率为1,且当X=Y=0或X=Y=1时,ξ=0,P (ξ=0)=12×12+C 21×14×14=38, 当X=1,Y=0或X=0,Y=1时,ξ=1,P (ξ=1)=C 21×14×12+C 21×14×12=12, 当X=2,Y=0或X=0,Y=2时,ξ=2,P (ξ=2)=14×14+14×14=18,所以ξ的分布列为ξ 0 1 2P 381 218E(ξ)=1×12+2×18=34.4.解(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为:纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为3×0.2+4×0.5+4.5×0.3=3.95(万元).(2)由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列:若采用方案一,100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为30×100+4×900=6 600(辆).可得实际充电车辆数的分布列如下表:实际充电辆数60006600概率0.20.8于是方案一下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+6 600×0.8)-500×100-80×900=40 000(元).1213若采用方案二,200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200+4×400=7 600(辆);可得实际充电车辆数的分布列如下表:于是方案二下新设备产生的日利润均值约为25×(6 000×0.2+7 000×0.3+7 600×0.5)-500×200-80×400=45 500(元).5.解 (1)由题意可知,随机变量X 的可能取值有3,4,5,6.P (X=3)=(12)3=18,P (X=4)=C 31·(12)3=38,P (X=5)=C 32·(12)3=38,P (X=6)=(12)3=18. 所以,随机变量X 的分布列如下表所示:所以,随机变量X 的数学期望为E (X )=3×1+4×3+5×3+6×1=9.(2)根据题意,棋子要到第(n+1)站,有两种情况,由第n 站跳1站得到,其概率为12P n ,也可以由第(n-1)站跳2站得到,其概率为12P n-1,所以,P n+1=12P n +12P n-1.等式两边同时减去P n 得P n+1-P n =-12P n +12P n-1=-12(P n -P n-1)(1≤n ≤98).(3)由(2)可得P0=1,P1=1,P2=1P1+1P0=3.由(2)可知,数列{P n+1-P n}是首项为P2-P1=14,公比为-12的等比数列,∴P n+1-P n=14·(-12)n-1=(-12)n+1,∴P99=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P99-P98)=12+(-1 2)2+(-12)3+…+(-12)99=12+14[-(-12)98]1-(-12)=231-12100,又P 99-P98=(-12)99=-1299,则P98=231+1299,由于若跳到第99站时,自动停止游戏,故有P100=12P98=131+1299.14。
高考数学概率统计解答题专题一、归类解析题型一：离散型随机变量的期望与方差【解题指导】离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．【例】某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润.(1)求上表中的a，b值；(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及期望E(η)．【变式训练】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及期望．题型二：概率与统计的综合应用【解题指导】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．【例】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？ 【变式训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获得利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的期望． 题型三：概率与统计案例的综合应用【解题指导】 概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．【例】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：每周移动支付次数1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上总计 男 10 8 7 3 2 15 45 女 5 4 6 4 6 30 55 总计1512137845100(1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X ，求X 的分布列及期望． 附公式及表如下：χ2＝nn 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【变式训练】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计 男 女 10 55 合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X )． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.P (χ2≥k 0) 0.10 0.05 0.01 k 02.7063.8416.635二、专题突破训练1．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀 非优秀 合计 男生 15 35 50 女生 30 40 70 合计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和期望． 附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2.2(1)求出y关于x的回归直线方程y＝b x＋a，并在坐标系中画出回归直线；(2)试预测加工10个零件需要的时间．3．为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的期望和方差(精确到0.01)．4．某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：假设每位顾客游泳1(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和期望E(X)．。
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案1.(理)设，那么的展开式中的系数不可能是( )A.10B.40C.50D.80(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )A.20B.30C.40D.502.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有以下四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的以下结论中，正确的选项是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样5.在正方体上任选3个顶点连成三角形，那么所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.6.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就()A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对7.(理)抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，那么在10次试验中，成功次数的期望是( )A. B. C. D.(文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将局部数据丧失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，那么a, b的值分别为( )A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,838.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.这组数据的平均数为10，方差为2，那么|x-y|的值为( )A.1B.2C.3D.49.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。
专练66 高考大题专练(六) 概率与统计的综合运用1．[2022·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），3．[2022·全国乙卷(理)，19]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据：并计算得∑i ＝110x 2i ＝0.038，∑i ＝110y 2i ＝1.6158，∑i ＝110x i y i ＝0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r ＝i ＝1n（x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2i ＝1n （y i －y －）2， 1.896≈1.377.4．[2022·江西鹰潭高三模拟]某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g )与尺寸x(mm )之间近似满足关系式y ＝c·x b(b 、c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(e 9，e7)≈(0.302，0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：①根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；②已知优等品的收益z(单位：千元)与x 、y 的关系为z ＝2y －0.32x ，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本(v i ，u i )(i ＝1，2，…，n)，其回归直线u ＝b·v＋a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1（v i －v ）（u i －u ）∑ni ＝1（v i －v ）2＝∑ni ＝1v i u i －nvu ∑n i ＝1v 2i －nv 2， a ^＝u －b ^v ，e ≈2.7182.5．[2022·河南省六市联考]在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到如下频率分布直方图．(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩，现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率；(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲、乙、丙三人分别在该平台参加一次抢购活动，假定甲、乙、丙抢购成功的概率分别为0.1，0.2，0.3，记三人抢购成功的总次数为X，求X的分布列及数学期望E(X).专练66 高考大题专练(六)概率与统计的综合运用1．解析：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为p＝P(ABC＋A－BC＋A B－C＋AB C－)＝P (ABC )＋P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8) ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04 ＝0.6.(2)由题意得，X 的所有可能取值为0，10，20，30.易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则P (X ＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P (X ＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P (X ＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34， P (X ＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X 的分布列为则E (X )2．解析：(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是150200＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是120200＝0.6.(2)根据题表中的数据可得K 2＝400×（150×80－120×50）2200×200×270×130＝40039≈10.256.因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．3．解析：(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积x －＝0.610＝0.06(m 2)，平均一棵的材积量y －＝3.910＝0.39(m 3).(2)由题意，得i ＝110(x i －x －)2＝i ＝110x 2i －10x －2＝0.038－10×0.062＝0.002，i ＝110(y i －y －)2＝i ＝110y 2i －10y －2＝1.6158－10×0.392＝0.0948，i ＝110(x i －x －)(y i －y －)＝i ＝110x i y i －10x －y －＝0.2474－10×0.06×0.39＝0.0134，所以相关系数r ＝0.01340.002×0.0948＝0.01341.896×0.0001≈0.01340.01377≈0.97.(3)因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k ＝y －x －＝0.390.06＝6.5，所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5＝1209(m 3). 4．解析：(1)由表可知，抽取的6件合格产品中有3件优等品， 所以，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C 33 C 36 ＝120，P(ξ＝1)＝C 13 C 23 C 36 ＝920，P(ξ＝2)＝C 23 C 13 C 36 ＝920，P(ξ＝3)＝C 33C 36＝120， 所以，随机变量ξ的期望为E(ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.(2)①∵y＝c·x b，∴ln y ＝ln c ＋b ln x ，∵∑6i ＝1 (ln x i )＝24.6，∑6i ＝1(ln y i )＝18.3， ∴ln x ＝16∑6i ＝1 (ln x i )＝4.1，ln y ＝16∑6i ＝1(ln y i )＝3.05，∴b ^＝∑6i ＝1（ln x i ·ln y i ）－6×ln x ×ln y∑6i ＝1（ln x i ）2－6×（ln x ）2＝75.3－6×4.1×3.05101.4－6×4.12＝0.5， a ^＝ln y －b ^ln x ＝3.05－0.5×4.1＝1， ∴ln y ＝1＋0.5ln x ，所以，c ＝e, 故y 关于x 的回归方程为y ^＝e x 0.5； ②由①知，y ^＝e x 0.5，∴z ^＝2y ^－0.32x ＝2e x 0.5－0.32x ＝－0.32(x －e 0.32)2＋e 20.32，当x ＝e 0.32，即x ＝(e 0.32)2≈72时，z ^取得最大值，故当优等品的尺寸x 为72mm 时，收益z 的预报值最大．5．解析：(1)由频率分布直方图可得，二级品的频率为10×(0.005＋0.04＋0.03)＝0.75， 一级品的频率为10×(0.02＋0.005)＝0.25，按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，故事件“至少有一个一级品”的概率P ＝C 26 C 12 ＋C 16 C 22 C 38＝914. (2)由题知X 的可能取值为0，1，2，3， P(X ＝0)＝0.9×0.8×0.7＝0.504，P(X ＝1)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398， P(X ＝2)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092， P(X ＝3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006， 所以X 的分布列为E(X)。
2023高考数学新高考1卷压轴题2023年的高考数学新高考1卷中，压轴题是考试中的重点和难点，也是考生们最关注的部分。
本文将对2023高考数学新高考1卷压轴题进行详细分析。
1. 题目描述本次压轴题主要考察了数学中的综合运用能力和解题思维能力。
题目共有四道大题，每道大题都涵盖了多个知识点，并通过情境化的题目描述，考察了学生对数学的理解和应用。
2. 分析与解答第一大题是关于概率与统计的题目。
考生需要根据给定的数据，结合概率与统计的理论知识，计算出相关的概率值，并进行数据分析。
这道题目要求考生综合运用概率与统计的知识，进行推理和判断。
第二大题是关于函数与方程的题目。
题目中给出了一组函数的定义和性质，要求考生利用这些信息，解答与函数相关的各种问题。
通过掌握函数的性质和图像变化规律，考生可以准确地解答问题。
第三大题是关于几何与立体几何的题目。
考生需要运用几何和立体几何的知识，解决与图形属性、空间几何等相关的问题。
这道题目对考生的几何思维和立体几何的应用能力提出了挑战。
第四大题是关于数列与数论的题目。
题目中给出了一些数列的规律和性质，考生需要根据这些信息进行数学推理和证明。
这道题目对于数列与数论的理解和数学思维能力要求较高。
3. 解题思路与方法针对以上四道大题，考生可以根据以下的解题思路和方法进行解答：3.1. 理清题意：仔细阅读题目，理解题目所要求的内容。
可以标注关键信息，帮助记忆和整理思路。
3.2. 确定解题方法：根据题目的特点和要求，选择适合的解题方法。
可以从已学的知识中找到相关的思路和解题技巧。
3.3. 运用合适的工具和方法：根据题目给出的数据和条件，运用函数、图形、方程、计算器等工具和方法，进行计算和分析。
3.4. 注意细节和步骤：在解答题目的过程中，要注意细节和步骤的准确性，避免计算错误和漏解。
可以进行反复的检查和验证，保证解答的正确性。
4. 总结与建议针对2023高考数学新高考1卷压轴题，考生可以通过以下的准备和复习，提高解题能力和应试水平：4.1. 夯实基础知识：加强对数学基础知识的理解和记忆，熟悉各个知识点的定义、性质和应用方法。
高考数学2023新课标一卷高考数学2023新课标一卷一、选择题2023年，高考数学将迎来新的课标，其中的一份试卷备受关注。
本次试卷将继续注重对学生综合素质的评估，た过了简单的计算题，将更加注重对学生的思维能力、解决问题的能力以及数学应用能力的考察。
二、解答题1. 函数与导数首先，新课标试卷中将对函数与导数进行深入考察。
除了求导与极值点的问题外，还将考察对函数图像的分析与应用。
例如，可以考察给定函数图像，要求学生根据图像特征作出函数的解析式或者根据函数解析式作出函数图像等。
2. 平面向量平面向量也是一个难点，在新课标试卷中，对于平面向量将继续加大难度。
考察可能会更加注重向量的应用，如力的合成与分解、平面问题的解决等。
通过这样的设计，可以更好地考察学生解决实际问题的能力。
3. 概率与统计概率与统计也将一直是高考数学试卷的重点。
对于概率与统计的考察，将更多地注重学生的实际能力，如给定实际情境，要求学生通过概率与统计的知识进行推导与计算。
4. 三角函数三角函数一直是高考数学中的重要内容，新课标试卷中对于三角函数的考察，将突出其应用，如角度之间的关系、周期性函数的特征等。
通过这样的考察设计，可以更好地体现学生的综合运用能力。
三、解决问题的能力考察在新课标试卷中，为了准确评估学生的数学应用能力与思维能力，试题的难度将适度加大。
考察内容将与学生日常生活与实际问题相联系，要求学生能够将数学知识灵活应用于实际情境的解决中。
四、综合能力的考查新课标试卷中，还将注重对学生的综合素质进行考查。
除了对知识的考察外，还会加入较多的分析、推理、解决问题的能力的考察。
试题将更强调对学生的综合运用能力，尤其是对于数学推理与证明的能力的考查。
五、总结高考数学2023年新的课标一卷将对学生的数学应用能力、思维能力以及综合素质进行全面深入的考察。
试卷中的选择题将注重对学生基础知识的考查，而解答题则会更注重学生综合运用能力的考察。
通过这样的设计，旨在更全面地评估学生的数学水平，培养学生的创新意识和解决实际问题的能力。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：高考解答题专项六 概率与统计综合问题1.(2021广东揭阳质量检测)某工厂响应“节能减排”的号召,决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响,假设每天的日照情况和日均气温相互独立,该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示:根据调查,当地每天日照充足的概率为25,日照不足的概率为25,日照严重不足的概率为15.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示,区间分组为[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35].(1)求图中a 的值,并求一年中日均气温不低于15 ℃的频率;(2)用频率估计概率,已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时,试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电?(一年以365天计算)2.(2021河北邯郸一模)某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份,对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测,并按照国家土壤重金属污染评价级标准(清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染)进行分级,绘制了如图所示的条形图.(1)从轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村中按分层抽样的方法抽取6个,求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数;(2)规定:轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从(1)中抽取的6个行政村中任选3个,污染度的得分之和记为X ,求X 的数学期望.3.(2021山东日照二模)为保证玉米销售市场稳定,相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研究发现,这一年某地各月份玉米的销售均价(单位:元/斤)走势如图所示.(1)该部门发现,3月到7月,各月玉米销售均价Y (单位:元/斤)与月份T 之间具有较强的线性相关关系,试建立Y 关于T 的线性回归方程(系数精确到0.01),若不调控,依据相关关系预测12月份玉米的销售均价;(2)该部门在这一年的12个月份中,随机抽取3个月份的数据作样本分析,若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考数据:∑i=37t i =25,∑i=37y i =5.36,∑i=37(t i -t )(y i -y )=0.64,对于线性回归方程Y=a ^+b ^X ,b ^=∑i=1nx i y i -nxy∑i=1n x i 2-nx 2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i-x)2,a ^=y −b ^x .4.(2021福建厦门一中模拟)某县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表:并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:(1)求相关系数r 的大小(精确到0.01),并判断管理时间T 与土地使用面积S 的线性相关程度. (2)分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关?(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况,则从该县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X ,求X 的分布列及数学期望. 参考公式:对于线性回归方程Y=a ^+b ^X ,r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2∑i=1n (y i -y)2,χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:√485≈22.02.5.(2021湖北华中师大一附中月考)某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查,通过随机抽样,得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100)数据,统计结果如表所示:(1)把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类,请完成如下2×2列联表,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别是否有关?(2)为增加员工消防安全知识及自救、自防能力,现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛.在每轮比赛中,小组两位成员各答两道题目,若他们答对题目个数和不少于3个,则小组积1分,否则积0分.已知A 与B 在同一小组,A 答对每道题的概率为p 1,B 答对每道题的概率为p 2,且p 1+p 2=1,理论上至少要进行多少轮比赛才能使A ,B 所在的小组的积分的期望值不少于5分? 附:P (χ2>k ) 0.10 0.05 0.01k2.706 3.841 6.635χ2=n(ad-bc)2,n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)6.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有20 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下的统计数据.(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率.(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=361.利用该正态分布,估计该市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于72分的人数.(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:①参加复赛的学生的初始分都设置为100分;②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题得2分,答错得0分;④答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他的复赛成绩的期望值最大?参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 4.高考解答题专项六 概率与统计综合问题1.解(1)依题意得a=15×(1-0.02×5-0.03×5-0.03×5-0.04×5-0.03×5)=0.05. 一年中日均气温不低于15℃的频率为0.03×5+0.04×5+0.05×5+0.03×5=0.75=34.(2)由(1)知,这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为34,即一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为14.设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为X ,X 的所有可能取值为0,5,10,15,20,则P (X=0)=25×34=620=310,P (X=5)=25×34+25×14=820=25,P (X=10)=25×14=220=110,P (X=15)=15×34=320,P (X=20)=15×14=120.所以X 的分布列为所以X 的数学期望EX=0×310+5×25+10×110+15×320+20×120=254=6.25.所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为20-6.25=13.75(千瓦时),所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为13.75×365=5018.75(千瓦时).2.解(1)轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村共9+6+3=18个,所以从轻度污染的行政村中抽取的个数为618×9=3,从中度污染的行政村中抽取的个数为618×6=2,从重度污染的行政村中抽取的个数为618×3=1.(2)X 的所有可能取值为3,4,5,6,7.P (X=3)=C 33C 63=120,P (X=4)=C 32C 21C 63=310,P (X=5)=C 32+C 31C 22C 63=310,P (X=6)=C 31C 21C 63=310,P (X=7)=C 22C 63=120.所以X 的分布列为所以EX=3×120+4×310+5×310+6×310+7×120=5. 3.解(1)由题意t =5,y =1.072,∑i=37(t i -t )2=10,∴b ^=∑i=1n(t i -t)(y i -y)∑i=1n(t i -t)2=0.064≈0.06,a ^=y -b t =0.752≈0.75.∴从3月到7月,Y 关于T 的线性回归方程为Y=0.06T+0.75.当T=12时,代入回归方程得Y=1.47,即可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤.(2)X 的取值为1,2,3,P (X=1)=C 41C 123=155,P (X=3)=C 43C 31C 31C 31C 123=2755,P (X=2)=1-P (X=1)-P (X=3)=2755, X 的分布列为EX=1×155+2×2755+3×2755=13655.4.解(1)由题意可得s =1+2+3+4+55=3,t =9+11+14+26+205=16,∴∑i=15(s i -s )(t i -t )=(-2)×(-7)+(-1)×(-5)+0×(-2)+1×10+2×4=37,∑i=15(s i -s )2∑i=15(t i -t)2=[(-2)2+(-1)2+0+1+22]×[(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42]=1940,∴r=√1940≈0.84,∴管理时间T 与土地使用面积S 具有较强的正相关性. (2)由题意可知,根据列联表中的数据,得χ2=300×(140×60−40×60)2200×100×180×120=25>6.635,有99%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关.(3)由题意可知X 的可能取值为0,1,2,3,X~B (3,15),P (X=0)=(45)3=64125;P (X=1)=C 31(45)2×15=48125;P (X=2)=C 3245×(15)2=12125; P (X=3)=(15)3=1125.∴X 的分布列为∴EX=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35. 5.解(1)根据列联表中的数据,计算可得χ2=500×(120×160−140×80)2260×240×200×300≈8.547>6.635.有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关联.(2)A ,B 在一轮比赛中积1分的概率为P=C 21p 1(1-p 1)C 22(p 2)2+C 22(p 1)2C 21p 2(1-p 2)+C 22(p 1)2C 22(p 2)2=2p 1p 2(p 1+p 2)-3(p 1p 2)2,又p 1+p 2=1,0≤p 2≤1,则p 1p 2=(1-p 2)p 2∈[0,14].∴P=2p 1p 2-3(p 1p 2)2=-3(p 1p 2-13)2+13,且0≤p 1p 2≤14, ∴当p 1p 2=14时,P max =516.设A ,B 所在的小组在n 轮比赛中的积分为ξ, 则ξ~B (n,516),∴E ξ=516n ≥5,解得n ≥16,故理论上至少要进行16轮比赛.6.解(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40人,其中成绩优良的人数为15人,记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,恰有1人预赛成绩优良”为事件A ,则P (A )=C 251C 151C 402=2552.(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为x =10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,则μ=53,由σ2=361,得σ=19,所以P (Z>72)=P (Z>μ+σ)=12(1-P (μ-σ<Z ≤μ+σ))≈0.1587,所以,估计该市参加预赛的全体学生中,成绩高于72分的人数为20000×0.1587=3174, 即全市参赛学生中预赛成绩高于72分的人数为3174.(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B (n ,0.75),且E ξ=0.75n ,记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ,则X=2ξ,所以EX=2E ξ=1.5n ,依题意为了获取答n 道题的资格,甲需要“花”掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n )=0.1(n 2+n ),设甲答完n题后的复赛成绩的期望值为f(n),则f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N*,所以当n=7时,f(n)取最大值104.9.即当他的答题数量n=7时,他的复赛成绩的期望值最大.。
