新高考数学二轮总复习课件专题六统计与概率问题综合应用

(文)第2讲概率与统计的综合应用[考情考向·高考导航]1．以客观题的形式、考查古典概型、几何概型的简单应用，难度中低档．2．在解答题中以实际生活为背景，考查概率与统计的实际应用，概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：B [设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)，因为P(A)＝0.45，P(AB)＝0.15，P(A∪B)＝0.45＋P(B)＋0.15＝1，所以P(B)＝0.4.] 2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4解析：B [不妨设正方形边长为a，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，所求概率为＝π8，选B.]3．(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老、中、青员工分别有72人，108人，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.员工项目A B C D E F子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人○○×××○(1)(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ⅱ)设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)(ⅰ)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }，共15种．(ⅱ)由表格知，符合题意的所有结果为{A ，B }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，F }，{E ，F }，共11种．所以，事件M 发生的概率P (M )＝1115.[主干整合]1．随机事件的概率(1)随机事件的概率范围：0≤P (A )＜1. (2)必然事件的概率为1. (3)不可能事件的概率为0. 2．互斥事件、对立事件的概率公式 (1)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (2)P (A )＝1－P (B )． 3．古典概型的概率公式P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.4．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．区分互斥、对立事件：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．关注条件：概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.热点一几何概型1．(2019·日照三模)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34 解析：B [如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.]2．从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n m B.2n m C.4m n D.2mn解析：C [如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12，故π＝4mn.]3．(2018·全国Ⅰ卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3解析：A [设直角三角形ABC 的边AB ＝a ，AC ＝b ，则BC ＝a 2＋b 2， 则区域Ⅰ的面积S Ⅰ＝12ab ，区域Ⅲ的面积S Ⅲ＝12π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 222－12ab ＝π8(a 2＋b 2)－12ab ， 区域Ⅱ的面积S Ⅱ＝12π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋12π⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－S Ⅲ＝π8(a 2＋b 2)－π8(a 2＋b 2)＋12ab ＝12ab . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ，S Ⅱ＋S Ⅲ＝π8(a 2＋b 2)≠S Ⅰ，由几何概型的概率公式可知p 1＝p 2，故选A.]求解几何概型的关注点(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．热点二古典概型[例1] (1)(2019·全国Ⅱ卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A.23B.35C.25D.15[解析] B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.](2)(2019·昆明二模)某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等．①求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；②求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．[解析]将2名文科生和4名理科生依次编号为1,2,3,4,5,6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种．①被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6种．记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，则P(A)＝615＝25.②记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况．其对立事件为“被选中的4名同学中没有文科生”，只有一种结果(3,4,5,6)．所以P(B)＝115，所以P(B)＝1－P(B)＝1－115＝14 15.利用古典概型求事件概率的关键及注意点(1)关键：正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数．(2)注意点：①对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏．②当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率．(1)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130解析：C [输入一次密码能成功开机的概率P＝13×5＝115.故选C.](2)(天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：C [从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝410＝25.]热点三概率与统计的综合问题概率与数字特征、统计图表的交汇[例2－1] 某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工月收入(单位：元)的频数分布表以及B企业员工月收入(单位：元)的统计图如下．A企业员工月收入的频数分布表(1)若将频率视为概率，现从B 企业中随机抽取一名员工，求该员工月收入不低于5 000元的概率．(2)(ⅰ)若从A 企业的月收入在[2 000,5 000)的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，则这2人月收入都不在[3 000,4 000)的概率是多少？(ⅱ)若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业？并说明理由．[审题指导] (1)由题中B 企业员工月收入的统计图知100人中月收入超过5 000元的人数，即可得所求概率．(2)(ⅰ)由古典概型的概率计算公式可得所求概率；(ⅱ)分别求出A ，B 两企业员工的平均月收入，结合所求说出合理理由即可．[解析] (1)由题中B 企业员工月收入的统计图知100人中月收入不低于5 000元的有68人，故所求概率为68100＝0.68.(2)(ⅰ)A 企业月收入在[2 000,3 000)，[3 000,4 000)，[4 000,5 000)的人数比为1∶2∶4，则按分层抽样的方法抽取的7人中，月收入在[3 000,4 000)的人数为2，设月收入在[3 000,4 000)的2人分别为A ，B ，其余5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，从这7人中抽取2人共有21种情况，分别为(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(A ，d )，(A ，e )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(B ，d )，(B ，e )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，符合抽取的2人月收入都不在[3 000,4 000)的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，故所求事件的概率为1021.(ⅱ)A 企业员工的平均月收入为1100×(2 500×5＋3 500×10＋4 500×20＋5 500×42＋6 500×18＋7 500×3＋8 500×1＋9 500×1)＝5 260(元)．B企业员工的平均月收入为1×(2 500×2＋3 500×7＋4 500×23＋5 500×50＋6 500×16＋7 500×2)＝5 270(元)．100[参考答案1] 选B企业，B企业员工的平均月收入高．[参考答案2] 选A企业，A企业员工的平均月收入只比B企业低10元，但是A企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8 000元以上的高收入是有可能的．[参考答案3] 选B企业，B企业员工的平均月收入高，且低收入人数少．(如有其他情况，只要理由充分，也可)概率与统计案例的交汇[例2－2] (2020·武汉模拟)2019年，在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会于2019年10月18日至27日在美丽的江城武汉举行，有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他们的成绩(单位：分)频率分布直方图如下：(注：答卷满分为100分，成绩≥80的答卷为“优秀”等级)(1)从现有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(2)求下面列联表中a，b，c，d的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”？男女总计优秀 a b a＋b非优秀 c d c＋d总计 1 000 1 000 2 000(3)附：P(K2≥k0)0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635K2＝n2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.[审题指导] (1)根据频率分布直方图求解即可；(2)首先由条件完成列联表，然后由公式求得K2，从而与临界表比较得出结论；(3)从中位数与成绩分布的集中程度进行分析得出结论．[解析](1)男生答卷成绩为“优秀”等级的概率P＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，女生答卷成绩为“优秀”等级的概率P1＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53.(2)男女总计优秀580530 1 110非优秀 420 470 890 总计1 0001 0002 000∴a ＝580，b ＝530，c ＝420，d ＝470. 由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得，K 2＝2 000×580×470－530×42021 110×890×1 000×1 000≈5.061＞5.024，∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”． (3)根据男、女生成绩频率分布直方图可得，男、女生成绩的中位数均在80到85之间，但男生的成绩分布集中程度较女生成绩分布集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定．以实际问题为背景，以统计图表为载体考查抽样方法、数字特征、概率、独立性检验等知识是高考常考点，处理的关键是仔细阅读题目，准确获取信息，成功地将应用问题转化为统计概率问题求解．(2019·南昌二模)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3 600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．(用频率估计概率)(1)根据频率分布直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；(2)根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支，若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的数量；(3)若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．解析：(1)由题图可知，各组中值依次为3 100,3 300，3 500，3 700，对应的频率依次为0.1,0.3,0.4,0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为3 100×0.1＋3 300×0.3＋3 500×0.4＋3 700×0.2＝3 400(小时)．(2)由题图可知，使用寿命不超过3 600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换5×0.8＝4(支)．(3)若选择A型节能灯，一年共需花费5×120＋3 600×5×20×0.75×10－3＝870(元)；若选择B型节能灯，一年共需花费(5＋4)×25＋3 600×5×55×0.75×10－3＝967.5(元)．因为967.5＞870，所以该商家应选择A型节能灯．限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.(2020·吉林百校联盟联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象地表达了阴阳轮转，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.136 B.118C.112D.19解析：B [由题意，所求事件的概率模型是一个与面积相关的几何概型． 由图可知，大圆的直径等于函数y ＝3sin π6x 的周期T .设大圆的半径为R ，则R ＝T 2＝12×2ππ6＝6，则大圆面积为S 1＝πR 2＝36π.两个小圆的半径都为1，故其面积和为S 2＝π×12×2＝2π， 由几何概型可得，所求事件的概率P ＝2π36π＝118.故选B.]2．(课标全国Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56解析：C [从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P ＝46＝23，故选C.]3．(2020·海口模拟)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50～8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是( )A.15B.14C.13D.12解析：B [他在8：50～9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50～9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是1040＝14.]4．(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析：D [本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12.故选D.]5．(2020·保定模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学成绩及班级平均分(单位：分)如表所示：A ．甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定B ．乙同学的数学成绩平均值是81.5分C ．从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次，这2次中至少有1次成绩超过70分的概率为56D ．在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的概率为12解析：D [由统计表知，甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A 正确；乙同学的数学成绩平均值是16×(88＋80＋85＋78＋86＋72)＝81.5，故B 正确；从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次的所有可能情况为(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6种，至少有1次成绩超过70分的情况为(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5种，故所求概率为56，故C 正确；在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的次数为2，所以超过班级平均分的概率为13，故D 不正确．故选D.]6．(2019·潍坊三模)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )A.19B.110C.15D.18解析：B [当日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的3天，日销售量为21个的有2天．日销售量为20个的3天，分别记为a ，b ，c ，日销售量为21个的2天，分别记为A ，B ，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P ＝110.]二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7．已知1,4,2,8，y 这5个数的平均值为4，在2,0,1，y 这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个不同数的中位数的概率为________．解析：由题意得4×5＝1＋4＋2＋8＋y ，得y ＝5，从数2,0,1,5中随机取出3个不同的数，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4种不同情况，其中2是取出的3个不同数的中位数的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2种，∴对应的概率P ＝24＝12.答案：128．(2019·江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．解析：计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环．在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，设3名男同学为A 1、A 2、A 3,2名女同学为B 1、B 2，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，A 1A 2、A 1A 3、A 1B 1、A 1B 2、A 2A 3、A 2B 1、A 2B 2、A 3B 1、A 3B 2、B 1B 2共10种情况．若选出的2名学生恰有1名女生，有A 1B 1、A 1B 2、A 2B 1、A 2B 2、A 3B 1、A 3B 2共6种情况， 若选出的2名学生都是女生，有B 1B 2共1种情况， 所以所求的概率为6＋110＝710.答案：710三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2020·武汉模拟)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x (单位：万元)与年利润增长量y (单位：万元)的数据如表：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 投资金额x /万元 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 年利润增长量y /万元6.07.07.48.18.99.611.1的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)(2)现从2013年至2019年这7年中抽出两年进行调查，记λ＝年利润增长量－投资金额，求这两年都是λ＞2万元的概率．解析：(1)x ＝6，y ＝8.3,7x y ＝348.6，a ^＝y ＝b ^x ＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，所以回归直线方程为y ^＝1.57x －1.13.将x ＝8代入方程得y ^＝1.57×8－1.13＝11.43， 即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元． (2)由题意可知，年份2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 λ/万元1.521.92.12.42.63.62013，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种，抽出的两年都是λ＞2万元的情况为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6种，所以抽出的两年都是λ＞2万元的概率P ＝621＝27.10．(2019·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额 支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A 27人 3人 仅使用B24人1人(1)(2)从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解析：本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．(1)由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A，B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有100－30－25－5＝40，所以全校学生中两种支付方式都使用的有40100×1 000＝400(人)．(2)因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2 000元，所以该学生上个月支付金额大于2 000元的概率为125.(3)由(2)知支付金额大于2 000元的概率为125，因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多．答案：(1)400人(2)125(3)见解析11．(2020·辽宁六校协作体联考)十九大报告指出，坚决打赢脱贫攻坚战．某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售．为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚测量它们的质量(单位：克)，其质量分布在区间[1 500,3 000]内，根据统计质量的数据作出频率分布直方图如图所示．(1)按分层抽样的方法从质量落在[1 750,2 000)，[2 000，2 250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚的质量均小于2 000克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A．所有蜜柚均以40元/千克的价格收购；B．质量低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购，质量高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购．请你通过计算为该村选择收益最好的方案．解析：(1)由题意得蜜柚质量在[1 750,2 000)内和在[2 000，2 250)内的比例为2∶3，所以应分别从质量在[1 750,2 000)内和在[2 000，2 250)内的蜜柚中各抽取2个和3个．记抽取质量在[1 750,2 000)内的蜜柚为A1，A2，质量在[2 000,2 250)内的蜜柚为B1，B2，B3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}．其中2个蜜柚的质量均小于2 000克的仅有{A1，A2}这1种情况，故所求概率为1 10 .(2)方案A好，理由如下．由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[1 500,1 750)内的频率为250×0.000 4＝0.1，同理可得，蜜柚质量在[1 750,2 000)，[2 000,2 250)，[2 250，2 500)，[2 500,2 750)，[2 750,3 000]内的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收购，根据题意可得各组蜜柚的个数依次为500,500,750，2 000，1 000,250.则总收益为(1 500＋1 7502×500＋1 750＋2 0002×500＋2 000＋2 2502×750＋2 250＋2 5002×2 000＋2 500＋2 7502×1 000＋2 750＋3 0002×250)×40÷1 000＝2502×250×[(6＋7)×2＋(7＋8)×2＋(8＋9)×3＋(9＋10)×8＋(10＋11)×4＋(11＋12)×1]×40÷1 000＝1 250×(26＋30＋51＋152＋84＋23)＝457 500(元)．若按方案B收购，易知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1＋0.1＋0.15)×5 000＝1 750，蜜柚质量不低于2 250的个数为5 000－1 750＝3 250.所以总收益为1 750×60＋3 250×80＝250×20×(7×3＋13×4)＝365 000(元)．因为457 500＞365 000，即方案A的收益比方案B的收益高，所以应该选择方案A.(文)高考解答题·审题与规范(六) 概率与统计类考题。

核心考点2 用样本估计总体核心知识· 精归纳1.频率分布直方图的相关结论(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积． (3)直方图中每组样本的频数为频率×总数． 2.中位数、众数、平均数、百分位数 (1)中位数 将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的_中位数__.(2)众数一组数据中出现次数_最多__的数据称为这组数据的众数．(3)平均数 一组数据的_算术平均数__即为这组数据的平均数，n 个数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝ 1n(x 1＋x 2＋…＋x n ) . (4)百分位数①第p 百分位数的定义：一般地，一组数据的第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p %的数据_小于或等于__这个值，且至少有 (100－p)% 的数据大于或等于这个值．②计算一组n 个数据的第p 百分位数的步骤：第1步，按_从小到大__排列原始数据．第2步，计算i ＝_n ×p %__.第3步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第_(i ＋1)__项数据的平均数．3.样本的数字特征如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么：平均数为x ＝ 1n(x 1＋x 2＋…＋x n ) ， 标准差为s ＝1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]，方差为s 2＝ 1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] .多维题组· 明技法角度1：统计图表1. (2023·郑州三模)为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5∶3∶2，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为( C )A．30棵B．50棵C．72棵D．80棵【解析】由题意可知，梧桐树苗有40%×600＝240颗，根据人数占比可得中年教师应分得梧桐的数量为240×35＋3＋2＝72颗．故选C.2. (2023·市中区校级二模)某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中(35岁以上含35岁)的信息，关于该样本的结论不一定正确的是( C )A．男性比女性更关注地铁建设B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高【解析】由等高条形图可得：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，所以男性比女性更关注地铁建设，故A正确；由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女性人数的比例少，所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．故选C.3. (2023·雁塔区校级模拟)某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图(将频率视为概率)，则下列说法正确的是( B )A ．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间(25,30]内的最少B ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465C ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16D ．估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15【解析】 该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间(20,25]内的最少，A 错误；估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为(0.06＋0.013＋0.02)×5＝0.465，B 正确；(0.02＋0.04)×5＝0.3，(0.02＋0.04＋0.047)×5＝0.535，∴中位数落在区间[10,15)，设中位数为x ，则：0.3＋(x －10)×0.047＝0.5，解得x ≈14，C 错误；0.013×5×52＋0.04×5×5＋102＋0.047×5×10＋152＋0.06×5×15＋202＋0.013×5×20＋252＋0.02×5×25＋302≈14，D 错误．故选B. 角度2：样本与总体数据的估计4. (2023·长沙模拟)某校1 000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( D )A ．频率分布直方图中a 的值为0.004B ．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C ．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为150【解析】 由频率分布直方图，得：10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a )＝1，解得a ＝0.005，故A错误；前三个矩形的面积和为10(2a＋3a＋7a)＝0.6，∴这20名学生数学考试成绩的第60百分数为80，故B错误；这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误；总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3a×10×1 000＝150，故D正确．故选D.5. (多选)(2023·台江区校级模拟)在某市高三年级举行的一次调研考试中，共有30 000人参加考试．为了解考生的某科成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在[50,100]，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间[50,60)的人数为16，则由样本估计总体可知下列结论正确的为( AC )A．x＝0.016B．n＝1 000C．考生成绩的第70百分位数为76D．估计该市全体考生成绩的平均分为71【解析】因为(x＋0.030＋0.040＋0.010＋0.004)×10＝1，解得x＝0.016，故A正确；因为成绩落在区间[50,60)内的人数为16，所以样本容量n＝160.016×10＝100，故B错误；因为(0.016＋0.030)×10＝0.46＜0.7，(0.016＋0.030＋0.040)×10＝0.86＞0.7，所以考生成绩的第70百分位数落在区间[70,80)，设考生成绩的第70百分位数为x，则0.46＋(x－70)×0.04＝0.7，解得x＝76，即考生成绩的第70百分位数为76，故C正确；学生成绩平均分为0.016×10×55＋0.030×10×65＋0.040×10×75＋0.010×10×85＋0.004×10×95＝70.6，故D错误．故选AC.角度3：样本数据的数字特征6. (2023·河南三模)某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续5周的量化打分不低于80分，则为优秀班级．下列能断定该班为优秀班级的是( D ) A．某班连续5周量化打分的平均数为83，中位数为81B．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差大于0C．某班连续5周量化打分的中位数为81，众数为83D．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差为1【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，若数据为88,87,81,80,79，满足平均数为83，中位数为81，但不能断定该班为优秀班级；对于B，若数据为88,87,81,80,79，满足平均数为83，其方差一定大于0，但不能断定该班为优秀班级；对于C ，若数据为83,83,81,80,79，满足中位数为81，众数为83，但不能断定该班为优秀班级；对于D ，设数据的最低分为x ，若数据平均数为83，方差为1，则有(83－x )2＜5，必有x ＞80，可以断定该班为优秀班级．故选D.7. (2023·雁峰区校级模拟)若数据x 1＋m 、x 2＋m 、…、x n ＋m 的平均数是5，方差是4，数据3x 1＋1、3x 2＋1、…、3x n ＋1的平均数是10，标准差是s ，则下列结论正确的是( A )A ．m ＝2，s ＝6B ．m ＝2，s ＝36C ．m ＝4，s ＝6D ．m ＝4，s ＝36 【解析】 根据题意，设数据x 1、x 2、…、x n 的平均数为x －，标准差为σ，数据3x 1＋1、3x 2＋1、…、3x n ＋1的平均数是10，则3x 1＋1＋3x 2＋1＋…＋3x n ＋1n ＝3x 1＋x 2＋…＋x n n＋1＝3x －＋1＝10，可得x －＝3，而数据x 1＋m 、x 2＋m 、…、x n ＋m 的平均数是5，则有x 1＋m ＋x 2＋m ＋…＋x n ＋m n ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＋m ＝x －＋m ＝5，可得m ＝2，由方差公式可得[x 1＋m －x －＋m ]2＋[x 2＋m －x －＋m ]2＋…＋[x n ＋m －x －＋m ]2n ＝x 1－x －2＋x 2－x －2＋…＋x n －x －2n＝σ2＝4，s 2＝[3x 1＋1－3x －＋1]2＋[3x 2＋1－3x －＋1]2＋…＋[3x n ＋1－3x －＋1]2n ＝9x 1－x －2＋9x 2－x －2＋…＋9x n －x －2n ＝9σ2＝36，解得s ＝6.故选A. 方法技巧· 精提炼1.关于平均数、方差的计算(1)利用平均数、方差的性质可简化运算，要熟记．(2)方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度．2.频率分布直方图中数字特征的计算(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．加固训练· 促提高1. (2023·湖北模拟)云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量、价格走势、市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播＋电商”销售新模式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网＋旅游”聚焦特色农产品、绿色食品、生态景区资源．下面是2022年7月到12月份该镇甲、乙两村销售收入统计数据(单位：百万)：甲：5,6,6,7,8,16；乙：4,6,8,9,10,17.根据上述数据，则( B )A ．甲村销售收入的第50百分位数为7百万B ．甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的平均数C ．甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数D ．甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差【解析】 因为6×0.5＝3，所以这组数据的第50百分位数为6＋72＝6.5，故A 错误；x 甲＝16×(5＋6＋6＋7＋8＋16)＝8，x 乙＝16×(4＋6＋8＋9＋10＋17)＝9，故甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的平均数，故B 正确；甲村销售收入的中位数为6＋72＝6.5，乙村销售收入的中位数为8＋92＝8.5，则甲村销售收入的中位数小于乙村销售收入的中位数，故C 错误；甲村销售收入的方差s 21＝16×[(5－8)2＋(6－8)2＋(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(16－8)2]＝413，乙村销售收入的方差s 22＝16×[(4－9)2＋(6－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(17－9)2]＝503，所以甲村销售收入的方差小于乙村销售收入的方差，故D 错误．故选B.2. (2023·碑林区校级模拟)如图，一组数据x 1，x 2，x 3，…，x 9，x 10的平均数为5，方差为s 21，去除x 9，x 10这两个数据后，平均数为x －，方差为s 22，则( D )A.x －＞5，s 21＞s 22B ．x －＜5，s 21＜s 22 C.x －＝5，s 21＜s 22 D ．x －＝5，s 21＞s 22【解析】 由题意可得：110∑i ＝110x i ＝5，x 9＝1，x 10＝9，则∑i ＝110x i ＝50，故x ＝18∑i ＝18x i ＝18(∑i ＝110x i －x 9－x 10)＝18(50－1－9)＝5，∵x 9，x 10是波幅最大的两个点的值，则去除x 9，x 10这两个数据后，整体波动性减小，故s 21＞s 22.故选D.。