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两个平面垂直判定定理
两个平面垂直判定定理是解析几何中的基本原理，它可以用来判断两个平面是否垂直。
下面我将以人类的视角，用简练的语言来描述这个定理。
我们先来了解一下什么是平面。
平面是一个无限扩展的二维空间，可以用一个平面上的点和法向量来唯一确定。
垂直是指两个物体或者事物之间的夹角为90度，即呈直角。
而两个平面的垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
具体来说，设有两个平面A和B，它们的法向量分别为n1和n2。
如果向量n1和向量n2的点积为0，即n1·n2=0，那么平面A和平面B就是垂直的。
这是因为两个向量的点积等于它们的模长乘积再乘以它们的夹角的余弦值，而当夹角为90度时，余弦值为0。
这个定理在解析几何中有着广泛的应用。
例如，在空间几何中，我们可以通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。
在物理学中，我们可以利用这个定理来解决力的合成和分解问题。
在工程学中，我们可以利用这个定理来设计建筑物的结构。
总结起来，两个平面垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。
这个定理在解析几何中有着重要的应用，可以帮助我们解决各种问题。
希望通过这篇文章
的描述，读者能够更好地理解和应用这个定理。
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。
如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。
垂直的性质
①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂直一定会出现90°。
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
两平面垂直的判定方法在几何学中，平面是一个重要的概念。
平面可以被定义为一个无限大的、无限薄的、无边界的二维空间。
平面可以通过一个点和一个法向量来表示。
两个平面的关系也是几何学中的一个重要概念，特别是两平面是否垂直的关系。
本文将介绍两平面垂直的判定方法。
一、两平面垂直的定义两平面垂直是指它们的法向量互相垂直。
法向量是一个垂直于平面的向量，它的长度等于平面的面积，方向指向平面的外侧。
如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面就是垂直的。
二、两平面垂直的判定方法1. 向量法向量法是判定两平面垂直的最常用方法之一。
假设两个平面分别为P1和P2，它们的法向量分别为n1和n2。
那么，如果n1和n2的点积等于0，那么P1和P2就是垂直的。
点积可以通过以下公式计算：n1·n2 = |n1| × |n2| × cosθ其中，θ是n1和n2之间的夹角。
如果n1和n2垂直，那么cos θ等于0，n1·n2等于0。
2. 坐标法坐标法是另一种用于判定两平面垂直的方法。
假设两个平面分别为P1和P2，它们的一般式方程分别为ax + by + cz + d1 = 0和ax + by + cz + d2 = 0。
那么，如果a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0，那么P1和P2就是垂直的。
这个公式的推导非常简单。
假设n1和n2分别是P1和P2的法向量，那么有：n1 = (a1, b1, c1)n2 = (a2, b2, c2)n1·n2 = a1a2 + b1b2 + c1c2如果n1·n2等于0，那么P1和P2就是垂直的。
三、实例分析下面通过一个实例来说明如何使用向量法和坐标法判定两平面是否垂直。
例：判定平面P1：3x + 2y - z = 0和平面P2：2x - y + 4z = 0是否垂直。
1. 向量法首先，我们需要计算P1和P2的法向量。
由于P1和P2的一般式方程已知，我们可以直接读出它们的法向量：n1 = (3, 2, -1)n2 = (2, -1, 4)接下来，我们计算n1和n2的点积：n1·n2 = 3×2 + 2×(-1) + (-1)×4 = 0由于n1·n2等于0，所以P1和P2是垂直的。
高二数学两个平面垂直的判定和性质知识精讲人教版【基础知识精讲】1.二面角半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β，有时也可以全用大写拉丁字母表示，例平面PAB与平面QAB形成的二面角记作P—AB—Q.注意：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样一个二面角也可以看作以一个半平面以其棱为轴旋转而成的.2.二面角的平面角平面与平面的位置关系，总的来说只有相交或平行两种.为了对相交平面的相互位置作进一步的对探讨，有必要研究二面角的大小问题.如图，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA，OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱a上另取一点O′，按同样方法作∠A′O′B′.因为OA和O′A′，OB和O′B′都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，因此∠AOB＝∠A′O′B′，可见∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.注意：①它是一个“平面角”，因此两边必须在同一平面内.②二面角的平面角的两边都必须与棱垂直.画二面角和它的平面角，最常见的两种形式：(1)直立式(2)平卧式二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.特别地：平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角Q 的X 围是［0，π］3.两个平面垂直的判定(i)定义：两个平面所成二面角为直二面角；如果α与β垂直，记作α⊥β，画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直，如图：(ii)两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.AB ⊥β，AB ⊂α⇒α⊥β.建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，就是依据这个定理.(iii)垂直于平行平面中的一个平面必垂直于另一个平面. α∥β,r ⊥α⇒r ⊥β说明 平面与平面的垂直问题可以转化为直线与平面的垂直问题，即线面垂直可以导致面面垂直.4.两个平面垂直的性质(i)两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.α⊥β，α∩β＝a,b ⊂α,b ⊥a ⇒b ⊥β(ii)过一平面内一点而垂直于另一平面的直线必在这平面内. (iii)相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三平面. (iv)过不垂直于平面的一直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 从两个平面垂直的性质可以看出面面垂直可以得出线面垂直.5.两条异面直线上两点的距离公式设a 、b 是异面直线，AA ′是a 、b 的公垂线，A ′∈b,A ∈b ，AA ′＝d.E ∈a,F ∈b ，A E '＝m,FA ＝n.且a 、b 成θ角，则EF ＝θcos 2222mn n m d ±++.说明 (i)两条异面直线公垂线的存在性.(ii)可证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离.(iii)可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题.【重点难点解析】二面角及其平面角是本节重点概念，应熟练掌握找平面角的各种基本办法，两个平面垂直的判定定理及性质定理，是本节的两个重要定理，应弄清定理内容，灵活使用定理处理综合问题.如何选取恰当位置作出二面角的平面角是本节的难点，应在掌握找平面角的各种方法之后，通过加强练习达到灵活熟练的程度.同时，异面直线上两点间距离的计算也是本节的一个难点.例1 直线a 、b 是异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，a ⊥b ，求证：α⊥β.证明 过b 上任意一点作直线a ′，使a ∥a ′.∵a ⊥b,∴a ′⊥b.设相交直线a ′、b 确定一个平面γ,γ∩β＝c.∵b ⊥β,c ⊂β,∴b ⊥c.在平面γ内，b ⊥c,b ⊥a ′,∴a ′∥c.∴a ∥a ′∥c.又∵a ⊥α,∴c ⊥α,c ⊂β，∴β⊥α例2 在三棱锥S —ABC 中，∠ASB ＝∠BSC ＝60°，∠ASC ＝90°，且SA ＝SB ＝SC ，求证：平面ASC ⊥平面ABC.证明 取AC 的中点O ，连SO 、BO ，由已知，得ΔSAB 、ΔSBC 都是正三角形.∴BC ＝AB ＝a,SA ＝SC ＝a,又SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴∠SOB 就是二面角S —AC —B 的平面角.又∵SA ＝AB ＝a,SC ＝BC ＝a,AC ＝AC,∴ΔACS ≌ΔACB.∴SO ＝BO ＝22a.在ΔSOB 中，∵SB ＝a,∴∠SOB ＝90°. 即平面SAC ⊥平面ABC.另证：过S 作SO ⊥平面ABC ，垂足是O.∵SA ＝SB ＝SC ，∴S 在平面内的射影是ΔABC 的外心，同前面的证明，可知ΔABC 是直角三角形，∴O 在斜边AC 上.又∵平面SAC 经过SO ，∴平面SAC ⊥平面ABC说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.例3 如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A —BD—C 、A —BC —D 、B —AC —D 的大小.解 (1)取BD 的中点O ，连AO 、OC. 在ΔABD 中，∵AB ＝AD ＝2，BD ＝2，∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，同理OC ⊥BD. ∴∠AOC 是二面角A —BD —C 的平面角 又AO ＝OC ＝1，AC ＝2，∴∠AOC ＝90°.即二面角A —BD —C 为直二面角.(2)∵二面角A —BD —C 是直二面角，AO ⊥BD ，∴AO ⊥平面BCD. ∴ΔABC 在平面BCD 内的射影是ΔBOC. ∵S ΔOCB ＝21,S ΔABC ＝23,∴cos θ＝33.即二面角A —BC —D 的大小是arccos33. (3)取AC 的中点E ，连BE 、DE. ∵AB ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BED 就是二面角的平面角. 在ΔBDE 中，BE ＝DE ＝26，由余弦定理，得cos α＝-31 ∴二面角B —AC —D 的大小是π—arccos31. 评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S ′＝S ·cos θ求得.例4 如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB ，SB ＝SC.求以BD 为棱，以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.解法一：由于SB ＝BC ，且E 是SC 中点，因此BE 是等腰三角形SBC 的底边SC 的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE ， ∴SC ⊥BD ，又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 上， ∴SA ⊥BD.而SA ∩SC ＝S ， 所以BD ⊥平面SAC.∵DE ＝平面SAC ∩平面BDE ，DC ＝平面SAC ∩平面BDC ， ∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角. ∵SA ⊥底面ABC ， ∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC.设SA ＝a,则AB ＝a,BC ＝SB ＝2a. 又AB ⊥BC ，所以AC ＝3a.在Rt ΔSAC 中 tg ∠ACS ＝AC SA ＝31，所以∠ACS ＝30°. 又已知DE ⊥SC ，所以∠EDC ＝60°，即所求的二面角等于60°.解法二：由于SB ＝BC ，且E 是SC 的中点，因此BE 是等腰ΔSBC 的底边SC 的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E.∴SC ⊥平面BDE ，SC ⊥BD.由于SA ⊥底面ABC ，且A 是垂足，所以，AC 是SC 在平面ABC 上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ；又E ∈SC ，AC 是SC 在平面内的射影，所以E 在平面ABC 内的射影在AC 上，由于D ∈AC ，所以DE 在平面ABC 内的射影在AC 上，根据三垂线定理得BD ⊥DE.∵DE ⊂平面BDE ，DC ⊂平面BDC. ∴∠EDC 是所求二面角的平面角. 以下解法同解法一.例5 在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB ′＝1，直线B ′C 与平面ABC 成30°的角.(如图所示)(1)求点C ′到平面AB ′C 的距离； (2)求二面角B —B ′C —A 的余弦值.解 (1)∵ABC —A ′B ′C ′是直三棱柱，∴A ′C ′∥AC ，AC ⊂平面AB ′C ，∴A ′C ′∥平面AB ′C ，于是C ′到平面AB ′C 的距离等于点A ′到平面AB ′C 的距离，作A ′M ⊥AB ′于M.由AC ⊥平面AB ′A ′A 得平面AB ′C ⊥平面AB ′A ′A ，∴A ′M ⊥平面AB ′C ，A ′M 的长是A ′到平面AB ′C 的距离.∵AB ＝BB ′＝1，∠B ′CB ＝30°，∴B ′C ＝2，BC ＝3，AB ′＝2，A ′M ＝AA AA B A ''⨯''＝22. 即C ′到平面AB ′C 的距离为22； (2)作AN ⊥BC 于N ，则AN ⊥平面B ′BCC ′，作NQ ⊥B ′C 于Q ，则CQ ⊥B ′C ，∴∠AQN 是所求二面角的平面角，AN ＝BCAC AB ⨯＝36，AQ ＝C B B A AC ''⨯＝1.∴sin ∠AQN ＝AQ AN ＝36,cos ∠AQN ＝33.说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB ＝BB ′＝1，∴AB ′＝2，又∠B ′CB ＝30°，∴BC ＝3,B ′C ＝2,AC ＝2.作AM ⊥B ′C 于M ，BN ⊥B ′C 于N ，则AM ＝1，BN ＝23，＝23，CM ＝1，∴MN ＝21.∵BN ⊥B ′C,AM ⊥B ′C ，∴BN 与AM 所成的角等于二面角B —B ′C —A 的平面角.设为θ.由AB 2＝AM 2+BN 2+MN 2-2AM ×BN ×cos θ得cos θ＝31＝33.例6 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD. (2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小.解 (1)设O 是AC ，BD 的交点，连结EO. ∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 、BD 的中点，∵E 是PA 的中点，∴EO ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABCD. (2)EO ∥PC ，PC ⊂平面PBC ， ∴EO ∥平面PBC ，于是点O 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离.作OF ⊥BC 于F ， ∵EO ∥平面ABCD ，PC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，于是OF ⊥平面PBC ，OF 的长等于O 到平面PBC 的距离.由条件可知，OB ＝2a ,OF ＝2a×23＝43a ，则点E 到平面PBC 的距离为43a.(3)过O 作OG ⊥EB 于G ，连接AG∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ∴AC ⊥平面BDE∴AG ⊥EB(三垂线定理)∴∠AGO 是二面角A —EB —D 的平面角 ∵OE ＝21PC ＝21a,OB ＝23a∴EB ＝a.∴OG ＝EB OB OE ⋅＝43a 又AO ＝21a.∴tan ∠AGO ＝OG AO ＝332∴∠AGO ＝arctan332. 评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及某逆定理的应用.例7 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23，以AC 为轴翻折半平面，使二平面角B —AC —D 为120°，求：(1)翻折后，D 到平面ABC 的距离；(2)BD 和AC 所成的角.分析 研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解 分别过B 、D 作AC 的垂线，垂足是E 、F ，过F 作FB ′∥BE ，过B 作BB ′∥AC ，交点B ′，则四边形EFB ′B 是矩形.∵AC ⊥DF ，AC ⊥B ′F ，∴AC ⊥平面B ′FD ，即∠DF ′B 就是二面角B —AC —D 的平面角，亦即∠DFB ′＝120°.过D 作DO ⊥′BF ，垂足为O.∵DO ⊂平面DFB ′，AC ⊥平面DFB ′.∴DO ⊥AF ，DO ⊥平面ABC.在Rt ΔADC 中，CD ＝2，AD ＝23，∴DF ＝3，OD ＝OF ·sin60°＝23. (2)在ΔDFB ′中，DB ′＝︒⋅'⋅⋅-'+120cos 22F B DF F B DF ＝3.又由(1)可知，AC ∥BB ′，AC ⊥平面DFB ′.∴BB ′⊥平面DFB ′，∴ΔDBB ′是直角三角形，又BB ′＝EF ＝2.∴tan ∠DBB ′＝23. ∵AC ∥BB ′,∴AC 与BD 所成的角就是∠DBB ′，即为arctan23. 说明 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF 、BE 上两点B 、D 间的距离，先求出BD 2＝EF 2+DF 2+BE 2-2DF ·BE ·cos120°＝13，从而得出∠DBB ′＝arccos132.【难题巧解点拨】例1 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： (1)α∥β⇒l ⊥m (2)α⊥β⇒l ∥m (3)l ∥m ⇒α⊥β (4)l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是( )A.(1)与(2)B.(3)与(4)C.(2)与(4)D.(1)与(3)分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.解法一：在l ⊥α，m ⊂β的前提下，当α∥β时，有l ⊥β，从而l ⊥β，从而l ⊥m ，得(1)正确；当α⊥β时，l 垂直于α、β的交线，而m 不一定与该交线垂直，因此，l 与m 不一定平行，故(2)不正确.故应排除A 、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B ，得D.解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由l ∥m,l ∥α知m ⊥α，从而由m ⊂α得α⊥β.即(3)正确.故选D.解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l ⊥α,m ⊥β不能否定m 是α、β的交线，因此α∥β不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除B 、C.依据A 和D 的内容可知(1)必定是正确的，否则A 和D 也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断.例2 一X 正方形的纸ABCD ，BD 是对角线，过AB 、CD 的中点E 、F 的线段交BD 于O ，以EF 为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD 等于( )A.120°B.150°C.135°D.90°分析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。
