高等数学(1)-07-08-2期中考试

安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、下列陈述正确的是（ ）。

(A) 若方程组0m n A x ⨯=有唯一解，则方程组m n A x b ⨯=有唯一解(B) 若方程组m n A x b ⨯=有唯一解，则方程组0m n A x ⨯=有唯一解(C) 若方程组0m n A x ⨯=有无穷多解，则方程组m n A x b ⨯=有无穷多解(D) 若方程组m n A x b ⨯=无解，则方程组0m n A x ⨯=无解2、已知n 维向量组12,,,(2)s s ααα≥线性相关，则下列选项中必正确的是( )。

(A) 对于任何一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(B) 12,,,s ααα中任何两个向量线性相关 (C) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++=(D) 对于每一个i α都可以由其余向量线性表出3、设0()1,0()1P A P B <<<<，且(|)(|)1P A B P A B +=，则 ( )。

(A) 事件A 与事件B 互不相容 (B) 事件A 与事件B 对立 (C) 事件A 与事件B 不独立 (D) 事件A 与事件B 独立4、设~()X E λ（指数分布），n X X X ,,,21 是总体X 的样本，则参数λ的矩估计是( )。

(A) }{max 1i ni X ≤≤ (B) X 2 (C) X (D) 1/X5、设n X X X ,,,21 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，则下列结论正确的是( )。

(A) 22211()~()n i i X n μχσ=-∑ (B) 2211()~(1)ni i X X n nχ=--∑(C) 22211()~()ni i X X n χσ=-∑ (D) 2211()~(1)1nii X X n n χ=---∑院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------二、填空题（每小题2分，共10分）6、若齐次线性方程组1231231230020kx x x x kx x x x x +-=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则k ＝ 。

一、填空题（每题3分，共24分），请把答案写在下面表格中对应的位置。

1．设1ln()z x y =+的定义域为 0x y +>且1x y +≠2. 过原点且与直线10240x y z x y +++=⎧⎨-+=⎩垂直的平面方程为 123x y z==-3. 已知,,a b c 都是单位向量，且满足++0a b c =，求++a b b c c a ⋅⋅⋅= 32-4. 两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角是3π 5. 将xoz 坐标面上的曲线x z 52=绕x 轴旋转所生成的旋转曲面方程为5y z x +=6. 设 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x xy z ln ,则 2z x y ∂=∂∂______0_7. 微分方程y xy x y'=+的通解是sin y Cx x =8. 函数23u xy z xyz =+-在点0(0,1,2)P -沿方向(1l =的方向导数0P ul∂=∂152二、选择题：（每题2分，共20分）请把答案写在下面表格中对应的位置。

1．向量(,,)x y z a a a a =与x 轴垂直，则[ A ](A).0x a = (B).0y a = (C).0z a = (D).0x y a a == 2．设1(,,)()zx f x y z y=，则(1,1,1df ＝[ B ]A. dx dy +B.dx dy - C.dx dz - D. dx dz +3．在空间直角坐标系中，方程 22120x y --=所表示的曲面是 [ D ](A) 椭球面 (B) 椭圆抛物面 (C) 单叶双曲面 (D) 椭圆柱面（A）)ln(y x -（B ）)ln(2y x -（C）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x -4. 设函数(,)0(,)0,(,)(0,0)xy x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则函数(,)f x y 在(0,0)处[ C ]（A ）不连续 （B ）连续但不可微 （C ）可微 （D ）偏导数不存在5. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是 [ C ] （A ）0)sin(=+ydy dx xy x （B ）)ln(y x y +='（C ）y x dxdysin = （D ）21y e y xy x =+'6．已知函数22(,)f xy x y x y xy +=++，则(,)f x y x ∂∂，(,)f x y y∂∂分别为[ D ]. (A). 2, 2y x ; (B).22,2x y y x ++; (C).2,1y -; (D).1,2y -.7. 设函数22)(4),(y x y x y x f ---=，则)2,2(-是),(y x f 的[ A ]（A ）极大值点 （B ）极小值点 （C ）驻点而非极值点 （D ）非驻点 8.设2(,,),(,)0x f x y z yz e z g x y x y z xyz ==+++=其中是由方程确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-=[ C ](A). 0 (B). -1(C).1 （D ）.-29．微分方程0294=+'+''y y y ，0|0==x y ，15|0='=x y 的特解是=y [ B ]（A ）x ex5cos )1(32-- （B ）x ex3sin 52-（C ）x e x5sin 32- （D ）x e x 3cos )1(52--10. 判断极限22200lim x y x yx y →→=+[ C ] (A). 不存在 (B). 1 (C). 0 （D ）.无法确定（A ）0)sin(=+ydy dx xy x （B ）)ln(y x y +=' （C ）y x dxdysin = （D ）21y e y xy x =+' 三、计算题（每题6分，共35分）1、求直线1010x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面:0x y z ∏++=上的投影直线方程.解：设过该直线的平面束方程为：(1)(1)0x y z x y z λ+--+-++= 即(1)(1)(1)(1)0x y z λλλλ++-+-+-=--------------------------2分又要找一个和平面∏垂直的平面(1)1(1)1(1)101λλλλ∴+⋅+-⋅+-⋅=⇒=--------------------------------------4分 即得平面：10y z --=与平面∏垂直----------------------------------------5分∴该投影直线方程为100y z x y z --=⎧⎨++=⎩-----------------------------------------6分2、求曲面222y x z +=平行于平面022=-+z y x 的切平面方程.解：令(,,)=F x y z 222+-x y z ，则(,,)(,2,1==-x y z n F F F x y ---------------------2分又平面220+-=x y z 的法向量为(2,2,1)-根据题意知21221-==-x y ， 2,1==x y ，---------------------------------------4分从而(2,2,=-n ，切点为(2,1------------------------------------------5分 所以该曲面平行与平面220+-=x y z 的切平面方程为：-------------------------------5分3、设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解：x 对方程两边同时对求导：()0zz ze y z x x x∂∂-+=∂∂-------------------------------------------------------2分∴zz yzx e xy∂=∂- ----------------------------------------------------------3分222()()()z z z z z ye xy yz e y zx x xe xy ∂∂---∂∂∂∴=∂----------------------------------------5分2322322()z zz y ze xy z y z e e xy --=-------------------------------------6分4、设(,),y z f xy f x=且可微，求dz . 解：122z yf y f x x∂''=⋅-⋅∂ -----------------------------------------------------6分121z f x f y x∂''=⋅+⋅∂---------------------------------------------------------2分2)0∂∂++=∂∂z z xz xy y y -------------------------------------------------------- 2分 解出：z zx z∂=∂y zy y ∂=∂---------------------------------------------1分四、解答题（每题7分，4小题共计共28分）。

高等数学2竞赛参考答案一. 填空题1、3 2、ln (22+-3、0()f x '4、35、2e 二. 选择题. 1. (C) 2. (A) 3. (A) 4.(B) 5.(D)三. 计算题 1.解：1(1)sin lim(1)(1)x x x x x x →-++-1sin12=x = –1 为第一类可去间断点1lim ()x f x →=∞x = 1 为第二类无穷间断点0lim ()1,x f x +→=-0lim ()1,x f x -→=x = 0 为第一类跳跃间断点2.解2sin 2(cos 2 )x y e x x '=⋅⋅2sin 21(2)x e x x +222sin sin 2cos x x x x e =3. 解: (1) 利用对称性. 2d d DI x x y =⎰⎰ 22d d xy Dxye x y ++⎰⎰213001d d 2r r πθ=⎰⎰(2) 积分域如图:添加辅助线,y x =-将D 分为12,,D D 利用对称性 , 得2212d d d d xy DD I x x y xye x y +=+⎰⎰⎰⎰222d d xy D xye x y ++⎰⎰1211d d 00xx x y --=++⎰⎰,221()d d 02D x y x y =++⎰⎰4π=23=四．应用题1.解：设观察者与墙的距离为 x m ,2.4(0,)x =∈+∞则1.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)x x xθ+=-∈+∞ 2222222223.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)x x x x x θ---'=+=++++, 令0,θ'=得驻点 2.4(0,)x =∈+∞根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在,驻点又唯一,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.2.解：方法1 利用球坐标方程.设球面方程为r a =，球面面积元素为2222d sin d d d sin d 4A a A aaππϕϕθθϕϕπ=∴==⎰⎰方法2 利用直角坐标方程.3. 解：12012:0(1)01z x y y x x ≤≤--⎧⎪Ω≤≤-⎨⎪≤≤⎩，121(1)1200d d d d d d x x y x x y z x x y z ---Ω∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)d (12)d xx x x y y -=--⎰⎰123011(2)d 448x x x x =-+=⎰ 五．证明题1. 证：令sin 2(),x f x x π=-则()f x 在(0,]2π上连续，在(0,)2π上可导，且 22cos sin cos ()(tan )0x x x xf x x x x x⋅-'==-<， ()(0,),2f x π因此在内单调递减(),2f x π又在处左连续 因此()()02f x f π≥=，从而sin 2,(0,]2x x x ππ≥∈。

高等数学期中考试试题满分100分 时间100分钟 专业班级 姓名 成绩 一、填空题(每小题4分, 共32分)1. 设,0()cos ,0x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则2(1)f x -= .2. ()xx x2cot 2tan 31lim +→=.3. 设ln y x y =+, 则dy dx=.4. 曲线sin 2cos t tx e ty e t ⎧=⎨=⎩在点（0，1）处的切线方程是 . 5. 10100(2tan )(2sin )lim sin x x x x→+--= .6. 若221lim 2(1)x ax bx c x →++=-，则a = ，b = ，c = .7. 设()()f x g x '=，则2(sin )df x = .8. ()x x x f e =的带拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式为_________ . 二、选择题 (每小题4分, 共32分)1．函数()sin f x x x =（ ）（A ） 在（- ∞,+ ∞）内无界； （B ） 在（- ∞,+ ∞）内有界； （C ） 当x →∞时为无穷大； （D ） 当x →∞时极限存在.2. 设曲线ax x y +=3与c bx y +=2在点(-1,0)处相切，其中a ,b ,c 为常数，则（ ）。

（A ）1,1,1=-=-=c b a （B ）2,2,1-==-=c b a （C ）2,2,1=-==c b a （D ）1,1,1=-==c b a3.设31(),()11xf xg x x x-==-+，则当1x →时，（ ）（A ）f 与g 为等价无穷小； （B ）f 是较g 为高阶的无穷小；（C ）f 是较g 为低阶的无穷小； （D ）f 与g 为同阶无穷小，但不等价.4.函数()2f x x =+在点0x =处 ( )(A)连续，但不可导; (B)连续且可导; (C)不连续，故不可导; (D)具有连续的导数. 5.设111()23x xef x e+=+, 则0x =是()f x 的( )(A)可去间断点; (B)跳跃间断点; (C)第二类间断点; (D)不是间断点.6. 若函数()y f x =满足01'()2f x =，则当△0→x 时，0x x dy =是（ ）。

2008-2009学年第二学期高等数学A 期中考试试卷一．选择题(每题3分，共21分)1．曲面x y z a 2222++=与x y az a 2220+=>()的交线是( A )。

（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线2．直线53702370x y z x y z +−−=+−−=⎧⎨⎩ ( B )。

（A ）与yoz 平面垂直 （B ）在yoz 平面内 （C ）与x 轴平行 （D ）在xoy 平面内3．设u x bxy cy =−+222，∂∂u x(,)218=，∂∂u y (,)214=，则∂∂∂2ux y = ( C )。

(A) 2 (B) －2 (C) 4 (D) －44．曲线2sin ,4cos ,x t y t z t ===在点(,,)202π处的法平面方程是( D )。

(A) 242x z −=−π(B) 224x z −=−π(C) 42y z −=π (D) 42y z −=−π5．函数z x y =+22在点(1,1 )沿{}K l =−−11,方向的方 向导数为( B )。

(A) 最大 (B) 最小 (C) 0 (D) 16．设函数(,)f x y 连续，交换二次积分ln 10(,)ex dx f x y dy ∫∫积分次序的结果为( D )。

(A) ln 1(,)e x dy f x y dx ∫∫(B) 1(,)y eedy f x y dx ∫∫(C)ln 01(,)x e dy f x y dx ∫∫ (D) 10(,)ye e dyf x y dx ∫∫7．设函数(,)f x y 在221x y +≤上连续，使2211(,)4(,)x y f x y dxdy dx f x y dy +≤=∫∫∫∫成立的充分条件是( B )。

(A) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −=− (B) (,)(,)f x y f x y −=，(,)(,)f x y f x y −= (C) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=− (D) (,)(,)f x y f x y −=−，(,)(,)f x y f x y −=二．填空题(每题3分，共21分)1．过点(,,)121且与向量{1,2,3},{0,1,1}a b =−−=−−G G平行的平面方程为 _____________________________________。

大一期中高数知识点一、极限与连续性1. 极限的概念与性质a. 函数极限的定义b. 极限存在的充分条件c. 极限的唯一性d. 极限的四则运算法则2. 连续性与间断点a. 连续函数的定义b. 连续函数的性质c. 间断点与间断函数d. 无穷间断点与无界函数二、导数与微分1. 导数的定义与性质a. 导数的几何意义b. 导数的定义及基本性质c. 左右导数与可导函数2. 导数的计算法则a. 基本函数的导数b. 基本运算的导数法则c. 复合函数的导数法则d. 链式法则与隐函数求导3. 微分学的应用a. 切线与法线b. 极值问题与优化c. 高阶导数与泰勒公式三、定积分与不定积分1. 定积分的定义与性质a. 定积分的几何意义b. 定积分的定义与性质c. 定积分的计算法则2. 不定积分的定义与性质a. 不定积分的基本性质b. 不定积分的计算法则c. 分部积分与换元积分法3. 定积分与不定积分的关系a. 牛顿-莱布尼茨公式b. 微积分基本定理c. 定积分的应用四、微分方程1. 一阶微分方程a. 可分离变量的微分方程b. 齐次方程与一般线性方程c. 可化为齐次方程的一阶线性方程2. 高阶线性微分方程a. n阶齐次线性微分方程的解法b. n阶非齐次线性微分方程的解法c. 变系数线性微分方程3. 常微分方程的应用a. 弹簧振子与简谐运动b. 生物衰变与人口增长c. 电路问题与控制系统五、级数1. 数项级数的概念与性质a. 数项级数的定义b. 数项级数的收敛与发散c. 数项级数的性质2. 正项级数与一般级数a. 正项级数的审敛法b. 比较判别法与极限判别法c. 收敛级数的运算法则3. 幂级数与泰勒级数a. 幂级数的收敛半径b. 幂级数的求和与求导c. 泰勒级数的构造与应用以上所列知识点是大一期中考试中高等数学的重点内容。

熟练掌握这些知识，能够准确应用于求解问题和解决数学推理题。

希望同学们能够认真学习，理解每个知识点的概念、性质和应用方法，加强练习，提升解题能力。

《高等数学（Ⅰ）》试卷学院：______ 班级：_____学号：________姓名：________任课教师：_____题类一二三四五总分阅卷人得分一、选择题（每题2分，共16分）1、 下列极限存在的是…………………………………………………………( )（A ）（B ） （C ） （D ） xx 21lim ∞→1310lim -→x x x e x 1lim ∞→xx 3lim ∞→2、，，则下列不正确的是…………………………()0)(lim =→x f ax ∞=→)(lim x g ax （A ）（B ） ∞=+→)]()([lim x g x f ax ∞=→)]()([lim x g x f ax （C ）（D ） 0][lim )()(1=+→x g x f ax 0)](/)(lim[=→x g x f ax 3、则下列正确的是…………………………(),0)(lim >=→A x f ax ,0)(lim <=→B x g ax （A ） f (x )>0, （B ） g(x )<0, （C ） f (x )>g (x ) （D ）存在a 的一个空心邻域，使f (x )g (x )<0。

4、已知， 则………………………………………………( ),2lim)(0=→xx f x =→)2x (sin3x 0limf x （A ） 2/3, （B ） 3/2 （C ） 3/4 （D ） 不能确定。

5、若函数在[1，2]上连续，则下列关于函数在此区间上的叙述，不正确的是……（ ）（A ） 有最大值 （B ） 有界 （C ） 有零点 （D ）有最小值6、下列对于函数y =x cos x 的叙述，正确的一个是………………………………………( )（A ）有界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（B ）有界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大，（C ） 无界，且是当x 趋于无穷时的无穷大，（D ）无界，但不是当x 趋于无穷时的无穷大。