2015年湘教版八年级数学下册单元测试题2.5.2 矩形的判定

第五节矩形同步测试一．选择题1．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量四边形其中的三个角是否都为直角2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A．∠ACD＝∠BCD B．AD＝BD C．CD⊥AB D．CD＝AC3．已知▱ABCD，对角线AC，BD相较于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是（）A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DAC C．AC⊥BD D．AB＝BC4．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（）A．∠BAC＝∠ACB B．∠BAC＝∠ACD C．∠BAC＝∠DAC D．∠BAC＝∠ABD5．下列各种判定矩形的说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．有三个角相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形D．对角线相等且互相垂直的四边形是矩形6．下列说法错误的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．矩形的对角线互相平分D．有一个角是直角的平行四边形是矩形7．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（）A．5个B．8个C．9个D．11个二．填空题1．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ 成为矩形．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．3．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．三．解答题1．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、BC边上的中点，且△ABM≌△DCM；E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．（2）求证：EF与MN互相垂直．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC＝∠ACB．求证：四边形ABCD是矩形．3．如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F．（1）求证：BF＝CF；（2）若∠A∠EFC，求证：四边形BECD是矩形．4．如图，E为▱ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：▱ABCD为矩形．5．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB ＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝30°，求DE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．。

初中数学试卷 鼎尚图文**整理制作2015-2016学年湘教版八年级数学下册第2章第5节《矩形》同步测试与解析一．选择题（共10小题）1．（2016•灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC 是等边三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°；④S △AOE =S △COE ， 其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，矩形CEFG 上的点G 在CD 边，EF=a ，CE=2a ，连接BD 、BF 、DF ，则△BDF 的面积是（ ）A ．32B ．16C ．8D ．16+a 23．（2016•鄂州一模）如图，在矩形AOBC 中，点A 的坐标（﹣2，1），点C 的纵坐标是4，则B 、C 两点的坐标分别是（ ）A ．（74，72）、（﹣12，4） B ．（32，3）、（﹣23，4） C ．（32，3）、（﹣12，4） D ．（74，72）、（﹣23，4）4．（2014•大庆校级模拟）下列各组条件中，能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）A ．∠A+∠B=90°B ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BDC ．AB ∥CD ，AD=BC ，AC=BD D ．AC=BD ，∠A=90°5．（2014•吴江市模拟）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知下列6个条件：第1题图第2题图①AB ∥DC ；②AB=DC ；③AC=BD ；④∠ABC=90°；⑤OA=OC ；⑥OB=OD ． 则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．②⑤⑥D ．④⑤⑥6．（2014春•曲阜市期末）已知：线段AB ，BC ，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD ．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对7．（2016春•丹阳市校级月考）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．2.48．（2015春•武汉校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值 是（ ）A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．29．（2014•永嘉县校级模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ）第7题图第8题图A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.510．（2014•乐清市二模）如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，动点P 从点B 出发，沿着BC 匀速向终点C 运动，则线段EF 的值大小变化情况是（ ）A ．一直增大B ．一直减小C ．先减小后增大D ．先增大后减少二．填空题（共7小题）11．（2015春•太康县期末）如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，则最快 s 后，四边形ABPQ 成为矩形．12．（2014春•淮阴区校级月考）已知平面上四点A （0，0），B （4，0），C （4，2），D （0，2），直线y=mx ﹣m+2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为 ．13．（2012•团风县模拟）如图．△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是 ．14．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD 的边DC 延长到E ，使CE=CD ，连接AE 交BC 于F ，∠AFC=n ∠D ，当n= 时，四边形ABEC 是矩形．第11题图第13题图 第14题图第15题图15．（2013秋•扬中市校级月考）如图1，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B=；如图2，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是（填上你认为正确的一个答案即可）．16．（2016•淅川县一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P 是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是．17．（2016春•建湖县校级月考）矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为．三．解答题（共6小题）18．（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．19．（2015•枣庄校级模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．（1）证明：△A1AD1≌△CC1B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形．（直接写出答案）20．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．21．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．22．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．23．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为；对图（3）的探究结论为；证明：如图（2）试题解答参考一．选择题（共10小题）1．（2016•灵璧县一模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等边三角形，∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=12（180°﹣∠OBE）=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S COE，∴④正确；故选C．2．（2016•姜堰区校级模拟）矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（）A．32 B．16 C．8 D．16+a2解：根据题意得：△BDF的面积=8×4+2a•a+12×2a（4﹣a）﹣12×8×4﹣12a（2a+8）=32+2a2+4a﹣a2﹣16﹣a2﹣4a=16；故选：B．3．（2016•鄂州一模）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（74，72）、（﹣12，4）B．（32，3）、（﹣23，4）C．（32，3）、（﹣12，4）D．（74，72）、（﹣23，4）解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、∵点A坐标（﹣2，1），点C纵坐标为4，∴AF=1，FO=2，AE=3，∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，∴∠EAC=∠AOF，∵∠E=∠AFO=90°，∴△AEC∽△OFA，∴，∴EC=32，∴点C坐标（﹣12，4），∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，∴CN=2，BN=1，BM=MN﹣BN=3，BM=AE=3，OM=EC=32，∴点B坐标（32，3），故选C．4．（2014•大庆校级模拟）下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．∠A+∠B=90°B．AB∥CD，AB=CD，AC=BDC．AB∥CD，AD=BC，AC=BD D．AC=BD，∠A=90°解：A、不能判断四边形ABCD为矩形，故A选项错误；B、由AB∥CD，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，所以平行四边形ABCD为矩形．故B正确．C、不能判断四边形ABCD为矩形，故C选项错误；D、AC=BD，∠A=90°，不能判断四边形ABCD为矩形，故D选项错误；故选B．5．（2014•吴江市模拟）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．则不能使四边形ABCD成为矩形的是（）A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥解：A、①AB∥DC；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，再加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出全等三角形，进而得出四边形是矩形进行判定，故此选项不合题意；C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故此选项符合题意；D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据有一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故此选项不符合题意；故选：C．6．（2014春•曲阜市期末）已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对解：由甲同学的作业可知，CD=AB ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD 是矩形．所以甲的作业正确；由乙同学的作业可知，CM=AM ，MD=MB ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵∠ABC=90°，∴▱ABCD 是矩形．所以乙的作业正确；故选A ．7．（2016春•丹阳市校级月考）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．2.4解：连结AP ，如图所示：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC=2234+=5，∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ．∵M 是EF 的中点，∴PM=12 AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP=345=2.4，∴AP最短时，AP=2.4，∴当PM最短时，PM=12AP=1.2．故选A．8．（2015春•武汉校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2解：如图，连接CD．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFDE是矩形，∴EF=CD，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC=12BC•AC=12AB•CD，即12×4×3=12×5•CD，解得CD=2.4，∴EF=2.4．故选B．9．（2014•永嘉县校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5解：连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，由三角形面积公式得：12×4=12×5×AP，∴AP=2.4，即EF=2.4，故选C．10．（2014•乐清市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（）A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少解：如图，连接AP．∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．故选C．二．填空题（共7小题）11．（2015春•太康县期末）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快4s后，四边形ABPQ成为矩形．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得3x=20﹣2x．解得x=4，故答案为：4．12．（2014春•淮阴区校级月考）已知平面上四点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直线y=mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为﹣1．解：∵点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），∴四边形ABCD为矩形，∵直线y=mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线y=mx﹣m+2过矩形的对角线的交点，而矩形的对角线的交点坐标为（2，1），∴2m﹣m+2=1，∴m=﹣1．故答案为﹣1．13．（2012•团风县模拟）如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是23．解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，∴DF为三角形ABC的中位线，∴DE∥BC，DF=12 BC，又∠ADF=90°，∴∠C=∠ADF=90°，又BE⊥DE，DE⊥AC，∴∠CDE=∠E=90°，∴四边形BCDE为矩形，∵BC=2，∴DF=12BC=1，在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，∴tan30°=，即AD=3，∴CD=AD=3，则矩形BCDE的面积S=CD•BC=23．故答案为：2314．（2014春•武昌区期中）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=2时，四边形ABEC是矩形．解：当∠AFC=2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由题意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC=2∠D时，则有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．15．（2013秋•扬中市校级月考）如图1，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B=50°；如图2，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是∠A=90°（填上你认为正确的一个答案即可）．解：（1）∵∠BAC=80°，∴∠EAC=100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC=50°，∵AD∥BC，∴∠B=∠EAD=50°；（2）添加的条件是∠A=90°，理由是：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：50°，∠A=90°．16．（2016•淅川县一模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P 是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是4＜a＜5．解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴对角线AC==10，∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），∴8＜AP＜10，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=12 AP，∴4＜a＜5．故答案为：4＜a＜5．17．（2016春•建湖县校级月考）矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为10cm2或15cm2．解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC又∵BE平分∠ABC，即∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE．当AE=2cm，DE=3cm时，AD=BC=5cm，AB=CD=AE=2cm．∴矩形ABCD的面积是：2×5=10cm2；当AE=3cm，DE=2cm时，AD=BC=5cm，AB=CD=AE=3cm，∴矩形ABCD的周长是：5×3=15cm2．故矩形的周长是：10cm2或15cm2．故答案是：10cm2或15cm2．三．解答题（共6小题）18．（2015•云南）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由（1）知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴（6﹣x）2+22=x2，解得：x=所以AP=．19．（2015•枣庄校级模拟）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．（1）证明：△A1AD1≌△CC1B；（2）若∠ACB=30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形．（直接写出答案）（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD，BC∥AD∴∠DAC=∠ACB∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1．∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1∴AA1=CC1，∠A1=∠ACB，A1D1=CB．∴△A1AD1≌△CC1B（SAS）．（6分）（2）解：∵∠CAB=60°，又∵四边形ABC1D1是菱形，∴∠BC1A=60°，∴△ABC1是等边三角形，∴AC1=BC1，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°∴∠C1BC=∠ACB=30°，∴BC1=CC1=AC1，即C1为AC的中点，∴当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．（9分）20．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴MD∥BC，∴∠AMF=∠EBF，∠E=∠MAF，又FA=FE，∴△AFM≌△EFB，∴AM=BE，FB=FM，∵矩形ABCD中，∴AC=BD，AD=BC，∴BC+BE=AD+AM，即CE=MD，∵CE=AC，∴AC=CE=DM，∵FB=FM，∴BF⊥DF．21．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′，除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）请选择其中一对加以证明．解：有两对全等三角形，分别为：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE．解法一：求证：△AA′E≌△C′CF．证明：由平移的性质可知：∵AA′=CC′，又∵∠A=∠C′，∠AA′E=∠C′CF=90°，∴△AA′E≌△C′CF．解法二：求证：△A′DF≌△CBE．证明：由平移的性质可知：A′E∥CF，A′F∥CE，∴四边形A′ECF是平行四边形．∴A′F=CE，A′E=CF．∵A′B=CD∴DF=BE，又∵∠B=∠D=90°，∴△A′DF≌△CBE．22．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm，求这个平行四边形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，∵△AOB是等边三角形，∴AO=BO．∴AC=BD．∴平行四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，∴BC==43cm，∴S平行四边形ABCD=AB×BC=4cm×43cm=163cm2．23．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为PA2+PC2=PB2+PD2；对图（3）的探究结论为PA2+PC2=PB2+PD2；证明：如图（2）解：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2．（1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，根据（1）中的结论可得，在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2，两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2，∴PA2+PC2=PB2+PD2．（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，同样根据（1）中的结论可得，在矩形BCNM中有PC2+PM2=PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2=PD2+PM2，两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PD2+PM2+PB2+PN2，∴PA2+PC2=PB2+PD2．。

课时作业（十八）[2.5.2 矩形的判定]课堂达标）一、选择题1 •下列四边形中，不一定是矩形的是（）链接听课例2归纳总结A. 四个角都相等的四边形B. 有三个角是直角的四边形C. 一组对边平行，且对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相平分的四边形2. 如图K—18- 1,四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E,EC DB添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A. AB= BE B . DEI DCC.Z ADB= 90 ° D . CE! DE3. 2020 •上海在平行四边形ABCD中, AC, BD是它的两条对角线,能判断这个平行四边形为矩形的是（）A.Z BAC=Z DCAB.Z BAC=Z DACC.Z BAC=Z ABDD.Z BAC=Z ADB二、填空题4. ・龙东如图K—18—2，在平行四边形ABCD中，添加一个条件:四边形ABCD是矩形.图K—18—25. 如图K—18 —3,在四边形ABCD中，对角线AC! BD,垂足为劳实基础过关检测使DE= AD,连接EB,那么下列条件中,________ ，使平行E ,F ,G H分别为图K—18—1边AD, AB BC, CD的中点，则四边形EFGH为___________ 形.6. __________ 如图K — 18— 4,在？ABCD 中，对角线 AC, BD 相交于点 0,且OA= OB / OAD= 65°, 则/ ODC= _ ° .7. 如图 K — 18— 5, AB// CD / A =Z B = 90°, AB = 3 cm , BC = 2 cm ,贝U AB 与 CD 之间 的距离为 _________ cm.&如图K — 18— 6，为了检查平行四边形书架 ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工 人师傅用一根绳子比较其对角线AC BD 的长度•若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理:三、解答题9. 如图 K — 18— 7,在 Rt △ ABC 中，/ ACB= 90° , DE DF 是厶 ABC 的中位线，连接 EF , CD.求证：EF = CD.链接听课例2归纳总结图 K — 18-3图 K — 18 —4 图 K — 18— 5图 K — 18—610. ・青岛如图K—18-8,在？ABCD中，对角线AC与BD相交于点E, G为AD的中点，连接CG CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.⑴求证：AB= AF;(2)若AG= AB, / BCD= 120 °,判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.链接听课例3归纳总结11. 如图K—18—9, E为？ABCD外一点，且AE丄EC, BE X ED.求证：？ABCD是矩形.12. 如图K—18—10,在厶ABC中, O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点0作直线MN/ BC.设MN交/ BCA的平分线于点E,交/ BCA的外角平分线于点F,连接AE AF.那么当点0运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.图K—18—8DN13. 2020 •娄底如图K—18- 11,在？ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E, F, GH.⑴求证：△ ABG^A CDE(2)猜一猜：四边形EFGH是什么样的特殊四边形？证明你的猜想;⑶若AB= 6, BC= 4,Z DAB= 60°，求四边形EFGH勺面积.图K—18—11素养提升）思维拓展分类讨论思想如图K— 18 —12,以厶ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作等边三角形等边三角形BCE等边三角形ACF.请回答下面的问题：⑴当厶ABC满足什么条件时，以A，D, E，F为顶点的四边形不存在?⑵当/ BAO 60°时，四边形ADEF是什么四边形？⑶当厶ABC W足什么条件时，四边形ADEF是矩形？能力提升ABD图K—18—12详解详析课堂达标1．C2．B3. ［解析］C A项，由/ BAC=Z DCA不能判断四边形ABCD是矩形；B项，由/ BAC= / DAC能判定四边形ABCD是菱形，但不能判定四边形ABCD是矩形；C项，/ BAC=Z ABD能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D项，由/ BAC=Z ADB不能判断四边形ABCD 是矩形.故选 C.4. ［答案］AC = BD或/ ABC= 90° 或/ BCD- 90° 或/ CDA= 90° 或/ DAB= 90° 或AB 丄BC等（答案不唯一）［解析］根据矩形的判定可知：添加AC= BD或/ ABC= 90°或/ BCD- 90°或/ CDA=90°或/ DAB= 90°或AB丄BC后可使平行四边形ABCD是矩形.5. ［答案］矩［解析］•/E, F, G, H分别为边AD, AB, BC, CD 的中点，二HE// AC, GF // AC,二HE// GF同理，HG// EF,「.四边形EFGH是平行四边形.由ACL BD,易证/ EHG= 90°, A四边形EFGH 是矩形.6. ［答案］ 25［解析］•••四边形ABCD是平行四边形，A OA= OC OB= OD.：OA= OB A OA= OB= OC= OD A AC- BD A四边形ABCD是矩形，A/ ADC= 90° . v/ ODA=Z OAD-65°, A/ ODC =Z ADC- / ODA= 25°.7. ［答案］ 2［解析］v AB/ CD a/ A＋/ D- 180° / B＋/ C- 180°. v/ A-/ B- 90° a/ C =/ D- 90°, A四边形ABCD为矩形，A AB与CD之间的距离为BC的长.v BC- 2 cm , A AB与CD之间的距离为2 cm.8. 对角线相等的平行四边形是矩形9. 证明：v DE DF是厶ABC的中位线，a DE/ BC DF/ ACA四边形DECF是平行四边形.又v/ ACB= 90° ,A四边形DECF是矩形,a EF- CD.10. 解：（1）证明：v四边形ABCD是平行四边形，a AB/ CD AB- CD•••/ AFG=Z DCG.•/ GA= GD / AGF=Z DGC•△AGF^A DGC•AF= CD•AB= AF.⑵四边形ACDF是矩形.证明：••• AF= CD AF// CD•四边形ACDF是平行四边形.•••四边形ABCD是平行四边形，•/ BAD=Z BCD= 120 ° ,•/ FAG= 180° -Z BAD= 60°.•/ AB= AG= AF,•△ AGF是等边三角形，•AG= GF.•/△AGF^A DGC•FG= CG.•/ AG= GD•AD= CF,•四边形ACDF是矩形.11•证明：连接AC, BD,相交于点0,连接0E. •••四边形ABCD是平行四边形，•0A= 0C 0B= 0D.•/ AE± EC,•Z AEC= 90° ,1•0E=— AC.2•/ BE X ED,•Z BED= 90° ,1•0E=— BD.2•AC= BD,•?ABCD是矩形.12.解：当点0运动到AC的中点（或0A= 0C时,四边形AECF是矩形.KiXT证明：如图，••• CE平分/ BCA•••/ 1=Z 2.又••• MN BC,1 =Z 3,•••/ 3=Z 2,•OE= OC.同理可证OF= OC•OE= OF.又：OA= OC•- OE= OF= OC= OA•AC= EF,•四边形AECF是矩形.13•解：(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，•AB= CD，/ ABC=Z CDA.•/ BG平分/ ABC DE平分/ CDA.1 1•/ ABG=勺/ ABC / CD= / CDA•/ ABG=Z CDE.同理可证/ GAB=Z ECD.•△ABG^A CDE(ASA).⑵四边形EFGH是矩形.证明：•••四边形ABCD是平行四边形，•/ ADO Z DAB= 180 °.•/ DE平分Z CDA AG平分Z DAB1 1•Z EDA^Z DAG= —Z ADCF—Z DAB= 90°, •/ AHD= 90°2 2•Z GHE= 90°.同理可证Z HEF= 90°, Z EFG= 90° .•四边形EFGH是矩形.⑶如图，延长DE交AB于点M.•••/ ADC= 180° - 60°= 120°,•••/ DAB= 60°,•••/ ADM= 2/ ADC= 2x 120°= 60•△ ADM是等边三角形,•AM= AD= 4.•/ AB= 6,•BM= 2.过点M作MN L BF于点N,1 1•••/ ABG^-Z AB(=-X 120°= 60°,2 2 '•MN= 3.由题可知四边形EFNM为矩形，EF= MN= 3.1 1延长CE交AB于点O.由题可知/ ABC= 120。

2.5.2 矩形的判定基础题知识点1 三个角是直角的四边形是矩形1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是(D)A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否为直角D ．测量四边形的其中三个角是否都为直角2．如图，直角∠AOB 内的任意一点P 到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为12．3．(湘西中考)如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F.(1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)求证：四边形BFDE 为矩形．证明：(1)∵DE ⊥AB ，BF ⊥CD ， ∴∠AED ＝∠CFB ＝90°.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C. 在△ADE 和△CBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CFB ，∠A ＝∠C ，AD ＝CB.∴△ADE ≌△CBF(AAS)．(2)∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD ∥AB.∴∠CDE ＋∠DEB ＝180°. ∵∠DEB ＝90°， ∴∠CDE ＝90°.∴∠CDE ＝∠DEB ＝∠BFD ＝90°. ∴四边形BFDE 为矩形．知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形4．如图，要使▱ABCD 成为矩形，需添加的条件是(C)A ．AB ＝BC B ．AC ⊥BD C ．AC ＝BD D ．∠1＝∠25．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OB ，则∠DAB ＝90°．6．(龙东中考)如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为60度时，四边形ABFE为矩形．8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠1＝∠2，∴BO＝CO，即2BO＝2CO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝OD.∴AC＝2CO，BD＝2BO.∴AC＝BD.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．中档题9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC ＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是(C)A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥10．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(C)A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD ．AB ＝DC11．(菏泽中考)在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有(B)①AC ＝5；②∠A ＋∠C ＝180°；③AC ⊥BD ；④AC ＝BD. A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④12．如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是(A)A ．2 3B ．3 3C ．4D ．4 313．(聊城中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ，四边形ABED 是平行四边形，DE 交BC 于点F ，连接CE.求证：四边形BECD 是矩形．证明：∵AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ， ∴BD ⊥AC ，AD ＝CD.∵四边形ABED 是平行四边形， ∴BE ∥AD ，BE ＝AD. ∴BE ＝CD ，BE ∥CD.∴四边形BECD 是平行四边形． ∵BD ⊥AC ， ∴∠BDC ＝90°.∴四边形BECD 是矩形．14．(枣庄中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知点O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE.(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．解：(1)证明：∵点O 是AC 的中点， ∴OA ＝OC.∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF.∵DF ∥BE ，∴∠OEB ＝∠OFD.又∵∠EOB ＝∠FOD ，∴△BOE ≌△DOF. (2)四边形ABC D 是矩形，证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OD ＝OB.∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵OD ＝12AC ，OD ＝12BD ，∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．综合题15．(张家界中考)如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO.∴OF ＝OC. 同理可证：OC ＝OE ，∴OE ＝OF.(2)∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ， ∴∠ACE ＝12∠ACB ，∠ACF ＝12ACD.∵∠ACB ＋∠ACD ＝180°，∴∠ACE ＋∠ACF ＝12∠ACB ＋12∠ACF ＝90°，即∠ECF ＝90.∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝132.(3)当点O 运动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形．理由：由(1)知，OE ＝OF.当点O 运动到AC 中点时，有OA ＝OC ， ∴四边形AECF 为平行四边形． 又∵∠ECF ＝90°， ∴四边形AECF 为矩形．。

湘教版数学八年级下册2.5.2《矩形的判定》同步练习一、选择题1.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BDB．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BDD．∠A=∠B=90°，AC=BD2.下列命题中，假命题是（）A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形3.下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对）5.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥7.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分8.如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在∠MON的边OM，ON上，若OA=OC，要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线．小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE 平分∠MON．有以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”．小明的作法依据是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题9.如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.10.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__________(添加一个条件即可).11.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.三、解答题13.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE=CF，EF=BD．求证：四边形EBFD是矩形．14.如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE，求证:四边形BCDE是矩形.15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。

湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,D为边AC上一动点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC 于点F,则EF的最小值为（）A．4.8B．C．D．132．如图,四边形ABCD中,以对角线AC为斜边作Rt△ACE,连接BE、DE,BE⊥DE,AC,BD互相平分．若2AB＝BC＝4,则BD的值为（）A．2B．C．3D．43．如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA＝OB,若AD＝4,∠AOD＝60°,则AB 的长为（）A．4B．2C．8D．84．如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定5．如图,矩形ABCD中,点E在BC上,且AE平分∠BAC,AE＝CE,BE＝2,则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．126．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠COD＝50°,那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题7．如图,在矩形纸片ABCD中,边AB＝12,AD＝5,点P为DC边上的动点（点P不与点D,C 重合）,将纸片沿AP折叠,则CD′的最小值为．8．如图,四边形ABDE是长方形,AC⊥DC于点C,交BD于点F,AE＝AC,∠ADE＝62°,则∠BAF的度数为．9．如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE ＝15°,则∠BOE的度数等于．10．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD＝120°,AB＝1,则BC的长为．11．如图,矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,点P在对角线BD上,且BP＝BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为．三．解答题12．如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H,求证：四边形EFGH是矩形．13．在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,AF＝CE,连接DF,CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时,若CE＝3,BC＝5,求CD的长．14．如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点A作AF⊥CD,垂足为F,延长DC到点E,使CE＝DF,连接BE．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若AB＝5,CF＝2,AC⊥BD,连接OE,求OE的长．15．如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO＝CO,BO＝DO,且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC,若∠ADF：∠FDC＝2：1,则∠BDF的度数是多少？16．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°．（1）求作点D,使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下,连接BD,若AB＝3,BC＝1,求BD的长．17．如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE＝DF,∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF,若AB＝4,∠ABC＝60°,BF平分∠ABC,求平行四边形ABCD的面积．18．如图,在▱ABCD中,过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上,AE＝CF,连结BE、CE．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若DE＝AB,∠ABC＝130°,求∠DEC的度数．19．如图,已知点E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若△AFD是等边三角形,且边长为6,求四边形ABFC的面积．20．如图,已知四边形ABCD是平行四边形,延长AB到E,使BE＝AB,连接BD、ED、EC．若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连结AC、若AD＝5,CD＝2,求AC的长．参考答案一．选择题1．解：如图,连接BD,∵∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,∴AC＝＝＝13,∵DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,∴四边形DEBF是矩形,∴EF＝BD,由垂线段最短可得BD⊥AC时,线段BD最短,则EF最小,此时,S△ABC＝BC•AB＝AC•BD,即×12×5＝×13•BD,解得：BD＝,∴EF的最小值为．故选：B．2．解：连接OE,如图所示：∵2AB＝BC＝4,∴AB＝2,∵AC,BD互相平分,∴OA＝OC,OB＝OD,四边形ABCD是平行四边形,∵以AC为斜边作Rt△ACE,∴OE＝OA＝OC＝AC,∵BE⊥DE,∴OE＝OB＝OD＝BD,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC＝4,∠BAD＝90°,∴BD＝＝＝2,故选：A．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形,∴OD＝OB＝BD,OA＝OC＝AC,∵OA＝OB,∴OA＝OD,AC＝BD,∴▱ABCD是矩形,又∵∠AOD＝60°,∴△AOD为等边三角形．∴∠ADB＝60°．∴tan∠ADB＝＝．∴AB＝AD＝4．故选：A．4．解：连接OP,如图所示：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝BD,OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∠ABC＝90°,S△AOD＝S矩形ABCD,∴OA＝OD＝AC,∵AB＝15,BC＝20,∴AC＝＝＝25,S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75,∴OA＝OD＝,∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75,∴PE+PF＝12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝90°,∴∠BAC+∠BCA＝90°,∵AE平分∠BAC,AE＝CE,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA,∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°,∴AE＝CE＝2BE＝4,AB＝2,∴BC＝BE+CE＝6,∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．6．解：∵矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∴DB＝AC,OD＝OB,OA＝OC,∴OA＝OD,∴∠CAD＝∠ADO,∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO,∴∠CAD＝25°,故选：B．二．填空题7．解：连接AC,当点D'在AC上时,CD'有最小值,∵四边形ABCD是矩形,AB＝12,AD＝5,∴∠D＝∠B＝90°,AD＝BC,∴AC＝,由折叠性质得：AD＝AD'＝5,∠AD'P＝∠D＝90°,∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8,故答案为：8．8．解：∵四边形ABDE是矩形,∴∠BAE＝∠E＝90°,∵∠ADE＝62°,∴∠EAD＝28°,∵AC⊥CD,∴∠C＝∠E＝90°∵AE＝AC,AD＝AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠EAD＝∠CAD＝28°,∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°,故答案为：34°．9．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC＝BD,OA＝OC,OB＝OD,∠BAD＝90°,∴OA＝OB,∠DAE＝∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB,∴AB＝BE,∵∠CAE＝15°,∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°,∠BAC＝60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB＝OB,∠ABO＝60°,∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°,∵AB＝OB＝BE,∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故答案为75°．10．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°,OA＝AC,OB＝BD,AC＝BD,∴OA＝OB,∵∠AOD＝120°,∴∠AOB＝60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA＝AB＝1,∴AC＝2OA＝2,∴BC＝＝＝；故答案为：．11．解：∵矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,∠BAD＝∠BCD＝90°,∴BD＝＝13,∵BP＝BA＝5,∴PD＝BD﹣BP＝8,∵BA＝BP,∴∠BAP＝∠BP A＝∠DPQ,∵AB∥CD,∴∠BAP＝∠DQP,∴∠DPQ＝∠DQP,∴DQ＝DP＝8,∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3,∴在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得BQ＝＝＝3．故答案为：3．三．解答题12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD＝180°,∵BH,CH分别平分∠ABC与∠BCD,∴∠HBC＝∠ABC,∠HCB＝∠BCD,∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°,∴∠H＝90°,同理∠HEF＝∠F＝90°,∴四边形EFGH是矩形．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵AF＝CE,∴FB＝ED．∴四边形DFBE是平行四边形,∵BE⊥CD,∴∠BED＝90°．∴四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形,∴DE＝BF,∵CF平分∠DCB,∴∠DCF＝∠BCF,∵AB∥CD,∴∠DCF＝∠CFB,∴∠BCF＝∠CFB,∴BF＝BC＝5,∴DE＝BF＝5,∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵CE＝DF,∴CE+CF＝DF+CF,即EF＝CD,∴AB＝EF,∴四边形ABEF是平行四边形,又∵AF⊥CD,∴∠AFE＝90°,∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴OB＝OD,平行四边形ABCD是菱形,∴AD＝CD＝AB＝5,∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3,∵AF⊥CD,∴∠AFD＝90°,∴AF＝＝＝4,由（1）得：四边形ABEF是矩形,∴∠BEF＝90°,BE＝AF＝4,∵CE＝DF＝3,∴DE＝CD+CE＝8,∴BD＝＝＝4,又∵OB＝OD,∴OE＝BD＝2．15．（1）证明：∵AO＝CO,BO＝DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠ADC,∵∠ABC+∠ADC＝180°,∴∠ABC＝∠ADC＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°,四边形ABCD是矩形,∵∠ADF：∠FDC＝2：1,AC＝BD,∴∠FDC＝30°,∵DF⊥AC,∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°,∵AO＝CO,BO＝DO,∴OC＝OD,∴∠ODC＝∠DCO＝60°,∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．16．解：（1）如图所示：四边形ABCD就是所求作的矩形．（2）在Rt△ABC中,AB＝3,BC＝1,∴AC＝＝＝,∵四边形ABCD是矩形,∴BD＝AC＝．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD,BC∥AD,又∵BE＝DF,∴BC﹣BE＝AD﹣DF,即EC＝AF,∴四边形AECF为平行四边形,又∵∠AEC＝90°,∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵∠AEB＝90°,∠ABE＝60°,∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°,∴BE＝AB＝2,∴AE＝＝＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AFB＝∠CBF,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF＝∠CBF,∴∠AFB＝∠ABF,∴AF＝AB＝4,∵四边形AECF是矩形,∴EC＝AF＝4,∴BC＝BE+EC＝2+4＝6,∵∠AEC＝90°,∴AE⊥BC,∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∴ED∥BF．∵ED＝AD﹣AE,BF＝BC﹣CF,AE＝CF,∴ED＝BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∵DF⊥BC,∴∠DFB＝90°．∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,∠ADC＝∠ABC＝130°,∵DE＝AB,∴DE＝CD,∴．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AB∥CD,∴∠BAE＝∠CFE,∵点E是▱ABCD中BC边的中点,∴BE＝CE,∵∠AEB＝∠FEC,∴△ABE≌△FCE（AAS）,∴AB＝FC,∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形,又∵AF＝BC,∴平行四边形ABFC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形,∴∠ACF＝90°,∵△AFD是等边三角形,∴AF＝DF＝6,CF＝DF＝3,∴AC＝＝＝3,∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵BE＝AB,∴BE＝CD,∴四边形BECD是平行四边形,∵AD＝BC,AD＝DE,∴BC＝DE,∴平行四边形BECD是矩形；（2）解：∵CD＝2,∴BE＝AB＝CD＝2．∴AE＝2AB＝4,由（1）得：四边形BECD是矩形,∴CE＝BD,∠DBE＝90°,∴∠ABD＝90°,∴CE＝BD＝＝＝,在Rt△ACE中,由勾股定理得：AC＝＝＝．。

湘教版8年级下册数学2.5.2矩形的判定同步练习一、选择题(本大题共8小题)1. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角2. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠1=∠24. 已知：如图，□ABCD的四个内角的角平分线分别交于E,F,G,H.试说明四边形EFGH的形状是（）.A.平行四边形B.矩形C.任意四边形D.不能判断其形状5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥6. 在□ABCD中，AC交BD于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的条件是( )A.AB=ADB.OA=OBC.AC=BDD.DC⊥BC7. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC8. 如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是( )二、填空题(本大题共6小题)9. 如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB 为__________度时，四边形ABFE为矩形.10. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．11. 在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．若DE=BC，则判断四边形BFCE是形．12. 如图，从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为__________(只填写拼图板的代码).13. 如图所示，折叠矩形纸片ABCD，•先折出折痕（•对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG．若AB=2，BC=1，则AG的长是．14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、计算题(本大题共3小题)15. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．16. 如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：四边形BFDE为矩形．17. 如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1. D分析：根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选D．2. B分析：根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．3. C分析：根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可．解：A、是邻边相等，不能判定平行四边形ABCD是矩形；B、是对角线互相垂直，不能判定平行四边形ABCD是矩形；C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；D、是对角线平分对角，不能判定平行四边形ABCD是矩形．故选C．4. B分析：可利用角的变化来证明所形成的图形形状。