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《电磁场和电磁波》讲义一、什么是电磁场在我们生活的这个世界里，电磁场无处不在。
从你手中的手机发出的信号，到照亮房间的灯光，再到地球上的闪电，都与电磁场有着密切的关系。
那么，究竟什么是电磁场呢？简单来说，电磁场是由带电粒子的运动产生的一种物理场。
电荷的存在会在其周围产生电场，而当电荷运动起来，比如电流在导线中流动时，就会产生磁场。
电场和磁场总是相互关联、相互依存的，它们共同构成了电磁场。
想象一下，一个静止的电荷会在周围空间产生一个静电场，这个电场的强度会随着距离电荷的远近而变化。
当这个电荷开始运动，比如在导线中形成电流时，就会产生一个磁场，这个磁场的方向可以通过右手定则来判断。
电磁场具有能量和动量，它能够传递电磁力，对处于其中的带电粒子产生作用。
电磁场的性质和行为可以用麦克斯韦方程组来描述，这是一组非常重要的数学方程，它们统一了电学和磁学的现象。
二、电磁波的产生既然电磁场是由带电粒子的运动产生的，那么电磁波又是如何产生的呢？当一个带电粒子加速运动时，它周围的电磁场就会发生变化。
这种变化的电磁场会以波的形式向周围空间传播，这就是电磁波。
举个例子，一个电子在天线中来回振动，就会产生变化的电流。
这个变化的电流会导致周围的电磁场不断变化，从而产生电磁波并向外辐射。
电磁波的频率取决于带电粒子振动的频率。
电磁波的产生需要一个源，比如天线、振荡器等。
这些源能够提供能量，使得电磁场不断变化从而产生电磁波。
同时，电磁波的产生还需要一个传播介质，在真空中电磁波同样可以传播，这是因为真空中存在着电磁场的相互作用。
三、电磁波的特性电磁波具有许多独特的特性，这些特性使得它在现代科技中有着广泛的应用。
首先，电磁波是横波，这意味着它的电场和磁场的振动方向与波的传播方向垂直。
电磁波的电场和磁场在空间和时间上相互垂直，并且它们的振幅和相位之间存在着一定的关系。
其次，电磁波的传播速度是恒定的，在真空中，电磁波的传播速度约为 3×10^8 米/秒，这个速度通常被称为光速。
《电磁场和电磁波》讲义一、引言在我们的日常生活中，电磁场和电磁波无处不在。
从手机通信到微波炉加热食物，从无线电广播到卫星导航，电磁场和电磁波的应用已经深入到我们生活的方方面面。
那么，什么是电磁场和电磁波？它们是如何产生、传播和相互作用的？这就是我们在本讲义中要探讨的内容。
二、电磁场的基本概念电磁场是由电荷和电流产生的一种物理场。
电场是由电荷产生的，它描述了电荷之间的相互作用力；磁场是由电流产生的，它描述了电流之间以及电流与磁铁之间的相互作用力。
当电荷和电流随时间变化时，电场和磁场也会随之变化，并且相互关联，形成了电磁场。
电场的强度用电场强度 E 来表示，单位是伏特每米（V/m）。
电场强度的方向是正电荷在该点所受电场力的方向。
磁场的强度用磁感应强度 B 来表示，单位是特斯拉（T）。
磁感应强度的方向可以用右手螺旋定则来确定。
三、电磁波的产生电磁波是由时变的电场和磁场相互激发而产生的。
当电荷做加速运动或者电流随时间变化时，就会产生电磁波。
例如，一个振荡的电荷会在周围空间产生交变的电场和磁场，从而形成电磁波向远处传播。
最常见的电磁波产生方式是通过天线。
天线中的电流在来回振荡时，会向周围空间辐射电磁波。
不同频率的振荡电流会产生不同频率的电磁波。
四、电磁波的传播电磁波在真空中以光速传播，速度约为3×10^8 米每秒。
在介质中，电磁波的传播速度会变慢，并且与介质的性质有关。
电磁波的传播不需要介质，可以在真空中传播。
这与机械波（如声波）需要介质来传播是不同的。
电磁波在传播过程中，电场和磁场相互垂直，并且都垂直于电磁波的传播方向，形成了横波。
电磁波具有波动性和粒子性。
从波动性的角度来看，电磁波具有波长、频率和波速等特征。
波长是相邻两个波峰或波谷之间的距离，频率是单位时间内电磁波振动的次数，波速等于波长乘以频率。
从粒子性的角度来看，电磁波可以看作是由一个个光子组成的，光子具有能量和动量。
五、电磁波的频谱电磁波的频谱非常广泛，按照频率从低到高可以分为无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X 射线和伽马射线等。
《电磁场和电磁波》讲义一、什么是电磁场在我们生活的世界中，电磁场是一种无处不在但又常常被我们忽视的存在。
简单来说，电磁场是由带电物体产生的一种物理场。
当电荷静止时，会产生静电场；当电荷运动时，就会产生磁场。
而当电荷的运动状态发生变化时，电场和磁场也会相互影响、相互作用，从而形成了电磁场。
想象一下，一个电子在空间中移动，它的周围就会产生一个变化的电场，同时这个变化的电场又会产生一个磁场，如此循环往复，就形成了电磁场。
电磁场具有能量和动量，它能够传递电磁力。
我们日常使用的各种电器设备，比如手机、电视、电脑等，都是通过电磁场来实现信号的传输和能量的传递。
二、电磁波的产生既然有了电磁场，那么电磁波又是怎么产生的呢？电磁波的产生通常是由于电荷的加速运动。
比如，在一个天线中，电流迅速地变化，导致电荷加速运动，从而产生了电磁波。
电磁波的产生过程可以类比为在池塘中扔一块石头，产生的涟漪会向四周扩散。
电荷的加速运动就像石头入水，产生的电磁波就像扩散的涟漪。
不同的电荷加速运动方式会产生不同频率和波长的电磁波。
从无线电波到微波，从红外线到可见光，从紫外线到 X 射线和伽马射线，它们都是电磁波的不同表现形式。
三、电磁波的性质电磁波具有一些重要的性质。
首先，电磁波是横波，这意味着它的电场和磁场振动方向与波的传播方向垂直。
其次，电磁波在真空中的传播速度是恒定的，大约为3×10⁸米/秒，这个速度被称为光速。
电磁波的频率和波长之间存在着一个简单的关系：速度等于频率乘以波长。
这意味着，频率越高，波长就越短；频率越低，波长就越长。
另外，电磁波具有能量，其能量大小与电磁波的频率有关，频率越高，能量越大。
四、电磁波的应用电磁波在我们的生活中有着广泛的应用。
无线电广播和电视就是利用无线电波来传输声音和图像信号。
手机通信则依靠微波频段的电磁波。
红外线在遥控器、夜视仪等设备中发挥着重要作用。
可见光让我们能够看到这个五彩斑斓的世界。
《电磁场和电磁波》讲义一、什么是电磁场在我们生活的世界中，电磁场是一种无处不在但又常常被我们忽略的存在。
简单来说，电磁场就是由带电粒子的运动所产生的一种物理场。
想象一下，当一个电子在空间中移动时，它的周围就会产生一个电场。
这个电场会对周围的其他带电粒子产生力的作用。
与此同时，如果这个电子在移动的过程中还在不断地改变速度，那么就会产生磁场。
电场和磁场就像是一对好兄弟，它们总是同时出现，相互关联，并且相互影响。
这种相互作用的结果就是我们所说的电磁场。
电磁场的强度和方向可以用数学上的向量来描述。
电场强度用 E 表示，磁场强度用 B 表示。
它们的大小和方向会随着带电粒子的运动状态以及空间位置的变化而变化。
二、电磁场的特性电磁场具有一些非常重要的特性。
首先，电磁场可以在空间中传播。
这就像我们扔一块石头到水里，会产生一圈圈的水波向外扩散一样，电磁场也能以电磁波的形式在空间中传播能量和信息。
其次，电磁场遵循一定的规律。
比如，库仑定律描述了两个静止点电荷之间的电场力作用；安培定律则描述了电流与磁场之间的关系。
再者，电磁场具有能量。
当电磁场发生变化时，能量会在电场和磁场之间相互转换。
这也是电磁波能够传播的一个重要原因。
三、电磁波的产生电磁波的产生通常需要一个源，比如一个加速运动的电荷或者一个变化的电流。
以天线为例，当电流在天线中快速变化时，就会产生迅速变化的电磁场，并向周围空间发射出去，形成电磁波。
另外，原子内部的电子在不同能级之间跃迁时，也会释放出电磁波。
这种电磁波的频率和能量与电子跃迁的能级差有关。
四、电磁波的性质电磁波具有波动性和粒子性双重性质。
从波动性的角度来看，电磁波和其他波一样，具有波长、频率、振幅等特征。
波长是相邻两个波峰或波谷之间的距离；频率则是单位时间内波振动的次数；振幅表示波的能量大小。
电磁波的频率范围非常广泛，从极低频率的无线电波到高频率的伽马射线。
不同频率的电磁波在性质和应用上有着很大的差异。
Lect.10 引言1.课程简介1) 课程内容“电磁场与电磁波”或者叫电磁学，涉及到很多方面的内容。
翻开书本的话，会看到有矢量分析，电磁学的学习的数学基础，有静态电磁场、时变电磁场、电磁波、波导、天线等很多方面的内容。
但可以用一句话来概括：电磁学研究静止及运动电荷相关效应的一门学科，它是物理学的一个分支。
由基础物理学的知识可知，电荷产生电场。
电荷的移动构成电流，而电流则会在空间中产生磁场。
静止的电荷产生静电场。
恒定电流产生静磁场。
如果电荷或者电流随时间变化，则产生时变电场及时变磁场。
时变电场和时变磁场还可以相互激发，形成在空间中独立传播的时变电磁场，即电磁波。
所有的电磁场的唯一来源就是静止或者运动状态的电荷。
所以我们说《电磁场及电磁波》或者《电磁学》这门课程，不干别的，就是研究静止及运动电荷所产生的效应。
2) 核心概念这门课程的核心概念有两个，一个是场(field)，一个是波(wave)。
那么，什么是场？场是一个数学概念，只某个量在空间中的分布。
这个量可以不随时间变化，也可以随时间改变，前者称为静态场，后者称为时变场。
例如，在地球表面或者附近，任意位置，任意一个有质量的物体都受到重力的吸引，我们说地球在其周围的空间中形成了重力场。
例如，一个流体，流动的液体或者气体，每一个位置上流体的质点都对应一个速度，我们说，空间存在流体的一个速度场。
对于物理学上的场而言，空间上，每个点都对应有某个物理量的一个值。
这个物理学上的场，根据物理量本身的性质，有标量场和矢量场之分，我们之后会学到。
波(wave)的概念。
振动在空间的传播，伴随能量的传播过程。
举例：声波。
电磁波电磁波相关内容：波的描述、界面上的反射与折射、波在开放及封闭空间中的传播等。
3) 电磁理论的发展早期：电及磁现象被视为两种独立的不同的现象。
希腊人琥珀中国《吕氏春秋》司南富兰克林正负电荷、电荷守恒。
风筝实验库伦库伦定律定量电学1820，Hans Christian Orsted: 电流可以造成磁针的偏转.即电流可以产生磁场。
《电磁场与电磁波》讲义在我们的日常生活中，电磁场与电磁波无处不在，从手机通信到广播电视，从微波炉加热食物到 X 射线的医疗应用，它们都在默默地发挥着重要作用。
那么，什么是电磁场与电磁波呢？这就是我们接下来要深入探讨的内容。
首先，让我们来了解一下电磁场。
电磁场是由带电物体产生的一种物理场。
电荷的存在会导致周围空间产生电场，而当电荷运动时，就会产生磁场。
电场和磁场相互关联、相互作用，形成了电磁场。
想象一下，一个静止的电荷会在其周围产生一个静电场，就像一颗石子投入平静的湖面，引起的涟漪向外扩散一样。
而当电荷开始移动，比如电流在导线中流动时，就会产生磁场，这个磁场就像是围绕着导线的一圈圈“磁力线”。
电磁波则是电磁场的一种运动形式。
当电场和磁场以一定的规律变化时，就会产生电磁波，并以光速向周围空间传播。
电磁波具有很宽的频谱，包括无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X 射线和伽马射线等。
不同频率的电磁波具有不同的性质和应用。
例如，无线电波常用于通信，像我们熟悉的广播、电视和手机信号都是通过无线电波来传输的。
微波则在雷达、微波炉等设备中得到应用。
红外线具有热效应，常用于遥控器和热成像仪。
可见光让我们能够看到周围的世界。
紫外线可以用于杀菌消毒。
X 射线在医学成像和工业检测中发挥着重要作用。
伽马射线则具有很强的穿透力，常用于医疗放疗和放射性检测。
那么，电磁波是如何产生的呢？一种常见的方式是通过电荷的加速运动。
比如，在天线中，电流的快速变化会产生电磁波。
另外，原子和分子内部的电子跃迁也会产生电磁波。
例如，当一个原子中的电子从高能级跃迁到低能级时，就会释放出光子，也就是电磁波。
接下来，我们来看看电磁波的传播特性。
电磁波在真空中以光速传播，速度约为 3×10^8 米/秒。
在介质中传播时，电磁波的速度会变慢，并且会发生折射、反射和衍射等现象。
折射就像是光线从空气进入水中时发生的弯曲；反射则类似于光线照在镜子上被反弹回来；衍射则是指电磁波在遇到障碍物时，会绕过障碍物继续传播。
《电磁场和电磁波》讲义一、什么是电磁场在我们生活的这个世界里，电磁场是一种看不见、摸不着，但却无处不在的“神秘力量”。
简单来说，电磁场就是由带电物体产生的一种物理场。
当电荷静止时，它只产生电场；而当电荷运动时，就会同时产生电场和磁场。
电场和磁场相互关联、相互作用，形成了电磁场。
想象一下，一个带电荷的小球，它周围的空间就存在着电场。
如果这个小球开始移动，那么它就像一个奔跑的运动员，在身后留下了磁场的“足迹”。
电场的强度可以用电场强度这个物理量来描述，它告诉我们电场对电荷的作用力有多大。
而磁场的强度则用磁感应强度来表示，反映了磁场对运动电荷或电流的作用能力。
二、电磁波的产生既然有了电磁场，那么电磁波又是怎么来的呢？当带电粒子加速运动时，它产生的电磁场就会发生变化。
这种变化的电磁场会在空间中传播出去，就形成了电磁波。
比如说，一个电子在天线中来回振荡，就会不断地产生变化的电磁场，从而发射出电磁波。
电磁波的产生需要有一个源，这个源可以是一个振荡的电路、一个原子的跃迁，甚至是宇宙中的天体活动。
三、电磁波的特性电磁波具有很多独特的特性。
首先，电磁波是横波，也就是说它的振动方向与传播方向垂直。
这就像一根绳子上下抖动，而波却沿着水平方向传播一样。
其次，电磁波在真空中的传播速度是恒定的，约为3×10^8 米每秒，这个速度被称为光速。
电磁波的频率和波长是两个重要的参数。
频率是指电磁波在单位时间内振动的次数，而波长则是电磁波在一个周期内传播的距离。
它们之间存在着一个简单的关系：速度＝频率×波长。
不同频率的电磁波具有不同的性质和用途。
例如，无线电波可以用于通信和广播，微波可以用于加热食物，红外线可以用于遥控和热成像，可见光让我们看到五彩斑斓的世界，紫外线可以杀菌消毒，X 射线可以用于医学成像，伽马射线则在核物理和天文学中有重要应用。
四、电磁波的传播电磁波可以在不同的介质中传播，包括真空、空气、水、玻璃等等。
《电磁场与电磁波》讲义一、什么是电磁场与电磁波在我们的日常生活中，电和磁的现象无处不在。
从电动机的转动到手机的通信，从微波炉的加热到卫星的导航，都离不开电磁场与电磁波的作用。
电磁场，简单来说，就是由带电物体产生的一种物理场。
电荷的运动或者静止都会产生电场，而电流的流动则会产生磁场。
当电场和磁场相互作用、相互影响时，就形成了电磁场。
电磁波呢，则是电磁场的一种运动形态。
它是由同相且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，其传播方向垂直于电场与磁场构成的平面。
二、电磁场的基本原理要理解电磁场，首先得了解库仑定律和安培定律。
库仑定律描述了两个静止点电荷之间的电场力的大小和方向，它表明电场力与两个电荷的电荷量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
安培定律则阐述了电流元之间的磁场相互作用规律。
通过这两个定律，我们可以初步认识到电场和磁场的产生和作用方式。
麦克斯韦方程组是电磁场理论的核心。
这组方程由四个方程组成，分别描述了电场的高斯定律、磁场的高斯定律、法拉第电磁感应定律和安培麦克斯韦定律。
电场的高斯定律表明，通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷量除以真空介电常数。
磁场的高斯定律指出，通过任何一个闭合曲面的磁通量恒为零，这意味着不存在磁单极子。
法拉第电磁感应定律说明，当穿过一个闭合回路的磁通量发生变化时，会在回路中产生感应电动势。
安培麦克斯韦定律则将安培定律进行了扩展，引入了位移电流的概念，使得在时变电磁场中，磁场的旋度不仅与传导电流有关，还与位移电流有关。
三、电磁波的特性电磁波具有很多独特的特性。
首先是波动性，它以正弦波的形式传播，具有波长、频率和波速等特征。
波长是指相邻两个波峰或波谷之间的距离，频率则是单位时间内电磁波振动的次数，而波速等于波长乘以频率。
电磁波在真空中的传播速度是恒定的，约为 3×10^8 米/秒。
不同频率的电磁波在介质中的传播速度会有所不同。
电磁波还具有偏振性。
Lect.10 引言1.课程简介1) 课程内容“电磁场与电磁波”或者叫电磁学，涉及到很多方面的内容。
翻开书本的话，会看到有矢量分析，电磁学的学习的数学基础，有静态电磁场、时变电磁场、电磁波、波导、天线等很多方面的内容。
但可以用一句话来概括：电磁学研究静止及运动电荷相关效应的一门学科，它是物理学的一个分支。
由基础物理学的知识可知，电荷产生电场。
电荷的移动构成电流，而电流则会在空间中产生磁场。
静止的电荷产生静电场。
恒定电流产生静磁场。
如果电荷或者电流随时间变化，则产生时变电场及时变磁场。
时变电场和时变磁场还可以相互激发，形成在空间中独立传播的时变电磁场，即电磁波。
所有的电磁场的唯一来源就是静止或者运动状态的电荷。
所以我们说《电磁场及电磁波》或者《电磁学》这门课程，不干别的，就是研究静止及运动电荷所产生的效应。
2) 核心概念这门课程的核心概念有两个，一个是场(field)，一个是波(wave)。
那么，什么是场？场是一个数学概念，只某个量在空间中的分布。
这个量可以不随时间变化，也可以随时间改变，前者称为静态场，后者称为时变场。
例如，在地球表面或者附近，任意位置，任意一个有质量的物体都受到重力的吸引，我们说地球在其周围的空间中形成了重力场。
例如，一个流体，流动的液体或者气体，每一个位置上流体的质点都对应一个速度，我们说，空间存在流体的一个速度场。
对于物理学上的场而言，空间上，每个点都对应有某个物理量的一个值。
这个物理学上的场，根据物理量本身的性质，有标量场和矢量场之分，我们之后会学到。
波(wave)的概念。
振动在空间的传播，伴随能量的传播过程。
举例：声波。
电磁波电磁波相关内容：波的描述、界面上的反射与折射、波在开放及封闭空间中的传播等。
3) 电磁理论的发展早期：电及磁现象被视为两种独立的不同的现象。
希腊人琥珀中国《吕氏春秋》司南富兰克林正负电荷、电荷守恒。
风筝实验库伦库伦定律定量电学1820，Hans Christian Orsted: 电流可以造成磁针的偏转.即电流可以产生磁场。
1820-1827 Ampere的贡献：实验：两平行通电电线之间的吸引与排斥。
安培定律Farady的贡献：电磁感应：由磁产生电。
Maxwell：所有电磁现象用一组方程表示。
光是一种电磁波。
（对爱因斯坦的启发。
）1873 电磁通论。
量子化之后的量子电动力学(Quantum Electrodynamics)。
4) 麦克斯韦方程组静电场与静磁场时变电磁场麦克斯韦方程+边界条件电磁波传播、反射、折射(自由空间)电磁波的辐射（天线）2.电磁学的重要性电磁作用是宇宙中四种基本相互作用之一。
日常生活中绝大部分现象与电磁有关。
包括各种化学现象。
维系着生命现象。
增进文化修养：各种辐射谬论。
专业基础：电磁学对于物理专业、电信专业、光电子专业或者光学工程专业都是一门重要的基础课程。
无论是学电还是学光，尤其是光学的深入掌握离不开电磁理论知识。
电磁学理论是我们理解对撞机、阴极射线管、雷达、卫星通信、遥感、微波器件等的基础。
光波本身就是电磁波的一部分。
对光波传播行为的理解，需要电磁学的支撑。
无论是理解光波在空间中的传播行为，还是光波导中的传播，电磁学都是必备的基础。
所以电磁学对光电子专业非常重要。
需要认真对待。
3.课程特点课程特点1：难。
课程特点2：抽象。
4.学习方法：听课+自学+习题习题时间+自学时间>上课时间反求诸己（孟子：行有不得者，皆反求诸己）5.考试与成绩:平时成绩：30% （提问、讨论及鼓励性加分）考试成绩：70%6.教材及主要参考书目:教材：电磁场与电磁波（第四版）谢处方，饶克勤，高等教育出版社.1 矢量分析概述：电磁理论主要研究包括电场强度、磁场强度、电位等在空间中的分布及变化规律。
电磁理论主要使用场的语言。
场的概念：一个物理量在空间中每一点均有一个确定的值，称此空间确定了该物理量的场。
（简单讲，场即物理量在空间中的分布。
）电磁场与电磁波所涉及的场电磁场是分布在三维空间中的矢量场，因此矢量分析是研究电磁场空间分布及变化规律的基本工具。
本章主要内容：基本的矢量运算、两种场、三种度、四个定理标量场和矢量场梯度散度旋度散度定理、旋度定理、格林定理及亥姆霍兹定理。
1.1矢量代数1. 标量和矢量标量和矢量的概念Scalars: Quantities that have magnitude but no direction.任意的代数量都可以称为标量。
如果标量被赋予物理单位，则成为一个具有一定物理意义的标量。
物理中的标量：温度T，电压U，电荷量Q，质量m，能量E等。
Vectors: Quantities with magnitude and direction注：由位移（displacement,矢量）引出矢量的概念。
一人（你）向北走了4km又向东走了3km，你距离起点的位移不是4km+3km，而是5km。
这是由于位移是既有大小又有方向的量，即是矢量，无法用简单直接相加的方法进行计算。
物理中的矢量：电场强度E ，磁场强度H ，力F, 速度v （要求学生举更多例子）矢量的表示：书面：,A B ；手写：,A B ；图示：有长度的箭头。
矢量大小：A ，or A ，几何表示为箭头长度。
矢量方向：单位矢量ˆA AeA= 因此 ˆA A Ae =.2. 矢量的加法和减法两矢量A 和B 相加会得到另一矢量C , 即C A B =+。
可用平行四边形法则计算。
矢量的运算规则：【增加图示】1) 加法交换律A B B A +=+；几何证明。
2) 加法的分配律()()A B C A B C ++=++3) 矢量的减法：()A B A B -=+-负矢量：A 的负矢量表示为A -；与A 大小相等，方向相反。
*Vectors have magnitude and directions but not location.只有大小和方向，与位置无关。
3. 矢量的乘法1）标量乘以矢量()a A B aA aB +=+2）矢量与矢量的点乘（标量积）① 定义：两矢量的点乘是一个标量，大小为两矢量大小之积乘以两矢量之间夹角的余弦。
cos A B A B θ⋅=⋅② 矢量的点乘服从交换律以及分配律。
交换律：A B B A ⋅=⋅ 分配律()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅③ 几何解释：A B ⋅是B 在A 上的投影乘以A Pr oj A A B ⋅，或A 在B 上的投影乘以B Pr oj B B A ⋅。
如果A B ，A B AB ⋅=。
如果A B ⊥，0A B ⋅=。
④ 对于任意矢量A ，2A A A ⋅=。
例1.1 C A B =-，求C C ⋅。
解：()()2C C A B A B A A A B B A B B A A A B B B⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅=⋅-⋅+⋅即2222cos C A B AB θ=+-(余弦定理)3）矢量的叉乘（矢量积） ① 两矢量之间的叉乘定义为ˆsin A B nABθ⨯= 【增加图示】② 不满足交换律：A B B A ⨯=-⨯ ③ 满足分配律()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯()A B C A C B C +⨯=⨯+⨯④ 几何上，A B ⨯为以A 和B 为边的平行四边形的面积。
⑤ 对于∀A ，0A A ⨯≡。
例(补充)：证明拉格朗日恒等式，即对于任意两个力量A 和B ，有()()()222A B A B A B A B ⨯⋅⨯=-⋅证明：例(补充)：用矢量方法推导三角形的正弦定理。
4. 矢量代数：分量形式考虑直角坐标系。
3条相互正交(垂直)的直线构成坐标系的坐标轴，分别称为x 轴、y 轴和z 轴。
用单位矢量ˆx e 、ˆy e 和ˆz e (或者ˆx 、ˆy及ˆz )分别表示其正向。
1) 位置矢量：点P 坐标(),,x y z ，由坐标原点O 指向P 点的矢量定义为位置矢量。
有ˆˆˆr xxyy zz =++ 2) 任意矢量A 在直角坐标系中表示为ˆˆˆx y z A A xA y A z =++ 3) 矢量加法()()()()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆx y z x y z x x y y z z A B A xA y A zB x B y B z A B xA B y A B z +=+++++=+++++注:两矢量之和为两矢量各分量分别求和构成的矢量。
4) 标量乘以矢量ˆˆˆx y z A A xA y A z αααα=++ 注:标量乘以矢量为标量与各分量分别相乘得到的矢量。
5) 标量积(点乘)单位矢量： ˆˆˆˆˆˆ==1xx y y z z ⋅=⋅⋅；ˆˆˆˆˆˆ==0x y x z y z ⋅=⋅⋅()()()()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ+++++++x y z x y z x x x y x z y x y y y z z x z y z z x x y y z zA B A xA y A zB x B y B z A B xx A B x y A B x z A B y x A B y y A B y z A B z x A B z y A B z z A B A B A B ⋅=++⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=++ 注:两个矢量的标量积为各分量分别相乘再求和。
6) 矢量积(叉乘) 单位矢量ˆˆˆˆˆˆ0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆx x y y z z x yy x z y z z y x zx x z y ⨯=⨯=⨯=⎧⎪⨯=-⨯=⎪⎨⨯=-⨯=⎪⎪⨯=-⨯=⎩()()()()()ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ+x y z x y z y z z y z x x z x y y x A B A xA y A zB x B y B z A B A B xA B A B y A B A B z ⨯=++⨯++=--+-或者用行列式表示ˆˆˆxy z xyzxy z A B A A A B B B ⨯=注:两矢量的叉乘可以写为行列式形式，第一行为ˆx 、ˆy及ˆz ，第二行为A 的三个分量，第三行为B 的三个分量。
7) 标量三重积()A B C ⋅⨯几何解释：,,A B C 构成平行六面体的体积。
交换关系：()()()A B C C A B B C A ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ ()()()A CBC B A B A C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯分量形式()xy z xy z xyzA A A ABC B B B C C C ⋅⨯=8) 矢量三重积()A B C ⨯⨯BAC-CAB 规则：()()()=A B C B A C C A B ⨯⨯⋅-⋅注：可以拆解为分量形式证明。
思考题：()A B C ⨯⨯与()A B C ⨯⨯是否相等？为什么？例1.2 求立方体两相邻面对角线之间的夹角。
