下载文档原格式
三角形面积公式的八种形式，坐标面积公式、向量面积公式推导证明摘要：1.三角形面积公式概述2.坐标面积公式的推导证明3.向量面积公式的推导证明4.其他六种三角形面积公式的推导证明5.总结与实用技巧正文：【提纲】1.三角形面积公式概述三角形面积公式是几何学中的基本公式之一，它可以用于计算任意三角形的面积。
常见的三角形面积公式有三种：底边高的一半、海伦公式和三角形分割面积公式。
这三种公式在不同的应用场景中具有不同的优势，下面我们将分别进行介绍。
2.坐标面积公式的推导证明坐标面积公式是根据向量叉乘得到的。
设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的坐标面积S可以表示为：S = 1/2 * |(AB × AC)|其中，AB和AC分别为向量AB和向量AC，×表示向量叉乘。
通过坐标面积公式，我们可以直接计算出三角形的面积，从而避免使用复杂数学计算。
3.向量面积公式的推导证明向量面积公式是基于向量的模长和夹角得到的。
设三角形ABC的边长分别为a、b、c，夹角A、B、C分别为θ、φ、ψ，则三角形的面积S可以表示为：S = 1/2 * absin(θ + φ + ψ)其中，absin表示绝对值sin，θ、φ、ψ分别为三角形ABC的夹角。
通过向量面积公式，我们可以方便地计算出三角形的面积，尤其是在已知三角形的三边长度和夹角的情况下。
4.其他六种三角形面积公式的推导证明除了上述两种常见的三角形面积公式外，还有六种常见的三角形面积公式，分别为：（1）Heron公式（海伦公式）：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，p表示半周长，a、b、c分别为三角形ABC的边长。
（2）底边高的一半公式：S = 1/2 * b * h其中，b表示三角形的底边长，h表示底边上的高。
（3）三角形分割面积公式：S = 1/2 * (a + b + c) * h其中，a、b、c分别为三角形ABC的边长，h表示三角形的高。
向量中关于三角形面积比的一个重要结论及其应用
三角形面积比(SAS即Side-Angle-Side)是求出三角形的面积的重要方法之一。
按照定义，
三角形面积比定义为两边分别与连结它们的角形成的比率，即b/a:c/a，其中a,b,c为三角形的三边。
应用三角形面积比，可以判断一个三角形和另一个三角形之间的相似性，还可以
求出三角形的面积。
关于三角形面积比，有一个重要的结论：若两个三角形的三边比例相等，则它们具有相同的面积比。
该结论十分重要，可以提供很多有用的信息。
首先，若我们准确地知道两个三角形的三边
长度，可以用该结论求出其面积比，从而计算出三角形的面积；其次，若我们只能换算出
两个三角形的面积比，我们也可以用这一结论，推知它们的三边比率是相等的。
此外，三角形面积比还可以应用在符号計算过程中。
如果三角形的两个内角同时不变，则
不管三边长度会发生多大的变化，总可以用三角形面积比来改变三角形的面积比，反映出
三边的变化对三角形的影响。
综上所述，三角形面积比是几何学研究中的一个重要维度，它提供了一个简单有效的方法，用于求出三角形的面积，以及分析三角形的相似性、获取三角形内部关系以及符号计算过
程中求解三角形等问题。
三角形面积公式向量
三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。
1.已知三角形底a,高h,则 s＝ah/2
2.未知三角形三边a,b,c,则
（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
3.未知三角形两边a,b,这两边夹角c,则s＝1/2 * absinc
4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2
5.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r
6.海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
s=√[(ma+mb+mc)*(mb+mc-ma)*(mc+ma-mb)*(ma+mb-mc)]/3
其中ma,mb,mc为三角形的中线长.
7.根据三角函数谋面积：
s= ab sinc=2r sinasinbsinc= asinbsinc/2sina
备注:其中r为外切圆半径.
8.根据向量求面积：
sδ)= √(|ab|*|ac|)-（ab*ac）。
三角形面积公式的坐标表示及简单应用作者：付春伟陶丽梅来源：《中学教学参考·理科版》2011年第06期坐标是数学中用于衡量图形具体位置的一个有序实数对，是将几何图形转化为代数形式的有力工具，它在几何学乃至人们的日常生活中起到了极其重要的作用.坐标的出现，为我们定量地研究几何图形的特征、性质提供了方便.三角形作为平面几何中最基本、最重要的图形，其基本元素就是三角形的三条边和三个顶点，那么如何利用三角形的边和顶点坐标来表示三角形的面积公式呢？笔者结合自身的教学实践例谈如下.命题：在△ABC中，已知，，则三角形的面积公式的坐标表示为：△12•=12｜-｜，其中行列式-证明：因为，，所以S△｜｜•｜｜sin〈〉=12｜｜•｜｜1-cos2〈〉=12｜｜•｜｜1-｜｜•｜｜)2=12(｜｜•｜｜)2-＝12（）2----｜-｜＝根据上面的证明，我们可以知道三角形面积公式除了以前学过的△底×高，△之外，还可以用三角形三边的向量坐标表示或三角形的三个顶点坐标表示，即：从三角形某个顶点出发的相邻两边的向量的交叉坐标乘积之差的绝对值的一半就是该三角形的面积.这一公式我们不妨把它称之为三角形面积公式的坐标表示.说明：如果知道了三角形的三个顶点，那么从三角形某个顶点出发的相邻两边的向量也容易表示，为此，还可以直接利用三角形的三个顶点坐标直接表示三角形的面积，即：已知三角形三个顶点坐标分别为 A（）、、，则--，-3-，所以△----｜-----｜=12｜-３)｜.【例1】已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,5)，求△的面积．解析：因为，(2,4)，所以△｜-1•2｜=5.点评：若采用常规解法，则需利用两点间的距离公式分别求出三角形的边长，再利用余弦定理求出三角形的一个夹角，最后代入△＝公式即可求解，步骤较为繁琐.现采用三角形面积公式的坐标表示，口算即可得出结论，并且直观、简洁、方便、灵活.【例2】已知△ABC中，向量，2cos22°)，求△ABC的面积．解析：因为，，所以△＝12｜cos23°•2cos22°-sin23°•2cos68°｜=12｜cos23°•2cos22°-sin23°•2sin22°｜=12｜2•cos(23°+22°)｜=22.【例3】平面直角坐标系内有点P(sinx,cosx)，，x∈［-π24,π12］，O为坐标原点，求△OPQ面积的最值．解析：因为点P(sinx,cosx)，Q(cosx,sinx)，所以，，所以△＝12•sinxcosx cosxsinx=12|sinx•sinx-cosx•cosx|=12|cos2x|.因为x∈［-π24,π12］，所以当x=π12时，△OPQ面积的最小值为34；当x=0时，△OPQ面积的最大值为12．点评：利用三角形面积公式的坐标表示来求解三角形面积时，避免了对夹角和边长的繁琐运算，大大地提高了解题效率，让学生体会到数学的简洁美和对称美.【例4】（由2007年全国卷（Ⅱ）理11改编）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，求△AKF的面积.解析：由题意知抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1，0)，准线为l：x=-1，经过F且斜率为3的直线方程为：y=3(x-1)，直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A的坐标为A(3，23).又因为AK⊥l，所以垂足的坐标为K(－1，23)，所以，-2,23),所以△AKF的面积为：△-2 23=12•|2×23-(-2)•23=43.点评：本题除了可以利用上述办法解决之外，还可以直接联立抛物线方程：y2=4x和直线方程：y=3(x-1)，解出在x轴上方部分相交于点A的坐标(3，，然后易知，点A到准线的距离4为三角形的底边长，点A的纵坐标23为高，此时带入三角形的面积公式S =12×底×高=12×4×23=43.【例5】（由2006年浙江卷理4改编）在平面直角坐标系中，求不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤2表示的平面区域的面积.解析：根据题意，画出不等式组表示的平面区域是一个三角形，由此求不等式组表示的平面区域的面积就转化为求由三条直线相交交点所组成的三角形的面积，所以只要联立方程组分别求出两两直线相交的交点坐标分别为A(2,0),B(0,2),C(2,4)，即-2,2)，，所以三角形的面积为△-2 204=12•|-2×4-0•2|=4.点评：本题不等式组所表示的平面区域刚好是一个三角形区域，为此，要求此区域的面积就可以转换为求已知三角形三个顶点所在直线围成的三角形面积，这样正好可以把三角形的三个顶点分别联立方程解出来，然后利用三角形面积公式的坐标表示，即可把不等式组表示的平面区域的面积求出来，简化了运算，提高了解题效率，同时，也提高了学生分析问题、解决问题的能力.纵观上述五道例题，我们不难发现，三角形面积公式的坐标表示作为三角形面积公式的有力补充，给人以耳目一新的感觉，不但体现了用坐标方法解决三角形面积问题的优越性和简洁性，还为学生解决已知三角形三个顶点坐标或相邻两边的向量坐标求面积问题提供了便利，同时还为解决三角形面积问题提供了全新的思维模式，也为三角形面积公式增添了活力.(责任编辑金铃）注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
三角形内向量对应面积比三角形的面积可以通过向量运算来求解，其中向量的叉积可以反映出面积的大小。
假设有一个三角形ABC，其中向量AB表示从点A指向点B的向量，向量AC表示从点A指向点C的向量，而向量AB和AC的叉积的大小就表示了三角形ABC的面积的大小。
具体来说，向量的叉积可以通过计算向量的坐标分量来进行。
如果向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，向量AC的坐标表示为(ACx, ACy)，那么向量AB和AC的叉积的大小可以通过以下公式计算得到：面积 = |ABx * ACy - ABy * ACx|这个公式是通过计算向量的分量的差异来得到的。
如果三角形ABC 是一个平行四边形，那么AB和AC这两条边就是平行的，此时叉积的大小为0，也就是说面积为0，这符合我们对于平行四边形面积的认知。
而对于一般的三角形，根据叉积的计算公式，可以得出以下几个重要的结论：1. 向量的交换律：由于叉积的计算中包含了向量的差异，所以即使AB和AC的顺序发生变化，对应的叉积的大小并不会改变。
也就是说，|ABx * ACy - ABy * ACx| = |ACx * ABy - ACy * ABx|，这意味着面积的计算并不依赖于向量的排列顺序，只与其坐标分量相关。
2. 比例关系：如果存在一个常数k，使得向量AB和向量AC满足AB = k * AC，那么由于叉积的计算中包含了坐标分量的乘法，所以叉积的结果也会乘以k。
换句话说，面积也会乘以k的平方。
这一点非常重要，它表明了在三角形内向量的比例关系与面积的比例关系是相同的，这也是我们可以利用叉积来计算面积的原因。
以上的结论可以帮助我们更好地理解三角形的面积与向量的关系，并能够在实际问题中灵活地应用。
例如，在计算生活中，当我们需要判断两条线段是否相交时，可以通过计算相应的向量的叉积的正负来判断，进而判断是否相交。
总结起来，通过向量的叉积可以得到三角形的面积，而叉积的大小可以通过计算向量的坐标分量来得到。
在平面直角坐标系中，求三角形面积的求法在平面直角坐标系中, 求三角形面积的求法1. 引言在平面直角坐标系中，我们经常需要计算三角形的面积。
三角形的面积是一个基本的几何概念，它用于很多实际应用中，比如计算土地面积、建筑物的面积或者计算图形的面积等。
在这篇文章中，我们将学习在平面直角坐标系中求解三角形面积的几种不同方法。
2. 方法一：行列式法使用行列式法求解三角形的面积是最常见的方法之一。
该方法基于行列式的性质，通过计算三个点的坐标来求解。
在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B （x2，y2）和C（x3，y3）。
那么，三角形的面积可通过以下公式来计算：S = |(1/2) * (x1 * (y2-y3) + x2 * (y3-y1) + x3 * (y1-y2))|其中，竖线表示计算行列式的值。
3. 方法二：海伦公式海伦公式也是求解三角形面积的另一种常用方法。
该方法是基于三角形的三条边长来计算的。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，半周长为s = (a+b+c)/2，那么三角形的面积可以用以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))海伦公式的优点是在不知道三角形顶点坐标的情况下，只需知道边长即可计算三角形面积。
4. 方法三：向量法向量法是一种通过向量的运算来求解三角形面积的方法。
设三角形的两边向量为a和b，则三角形的面积S可以通过如下公式计算：S = (1/2) * |a × b|其中，× 表示向量的叉积。
叉积的结果是一个向量，其模表示平行四边形的面积，所以需要除以2来得到三角形的面积。
5. 总结和回顾在平面直角坐标系中，我们可以使用行列式法、海伦公式和向量法来求解三角形的面积。
根据不同的情况和已知条件，我们可以选择最合适的方法来计算。
行列式法基于三角形的顶点坐标，适用于已知三个顶点坐标的情况；海伦公式基于三角形的边长，适用于只知道边长的情况；向量法适用于已知两条边的向量的情况。
o 初数研究o三角形面积公式的向量形式杨元军(江苏省姜堰市蒋垛中学,225503)大家知道,三角形的面积公式有:S =12底@高;S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A.在向量的问题中,有时也涉及到有关三角形面积的计算.可是运用上面两个公式,计算比较繁,那么有没有向量形式的面积计算公式呢?答案是肯定的.运用此公式不但可以简化运算,也可以提高思维能力、知识的应用能力和探究能力.一、三角形面积公式的向量形式在直角坐标平面内,O 、A 、B (O 为坐标原点)为不共线三点,向量OA =(x 1,y 1),向量OB =(x 2,y 2),则&OAB 面积S &OAB=12|x 1y 2-x 2y 1|.证明 设向量OA,OB 的夹角为A ,则OA #OB =|OA ||OB |cos A ,_cos 2A =(OA #OB )2OA 2#OB2,_si n A =1-cos 2A=1-(OA #OB )2OA 2#OB )2=OA 2#OB 2-(OA #OB2|OA ||OB |,_S &OAB =12|OA |#|OB |sin A =12OA 2#OB 2-(OA #OB )2=12(x 21+y 21)(x 22+y 22)-(x 1x 2+y 1y 2)2=12|x 1y 2-x 2y 1|.推广1 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,向量AB =(x 1,y 1),向量AC =(x 2,y 2),则&ABC 面积为S &ABC =12|x 1y 2-x 2y 1|.推广2 在平面直角坐标系中,A 、B 、C 为不共线三点,A (x 1,y 1),B =(x 2,y 2),C =(x 3,y 3),则&ABC 面积为S &A BC =12|(x 2-x 1)(y 3-y 1)-(x 3-x 1)(y 2-y 1)|.二、面积公式的应用例1 对于平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),定义f (a #b )=|x 1y 2-x 2y 1|,那么对于直角坐标平面内不共线三点O 、A 、B (O 为坐标原点),f (OA #OB )的值恰好表示( )(A )点O 到直线AB 的距离(B)向量OA 、OB 夹角的正切值(C)&OAB 面积的2倍(D )向量OA 、OB 的数量积解 根据面积公式直接得到f (OA #OB )=|x 1y 2-x 2y 1|=2S &ABC ,从而选C .例2 设i 、j 是平面直角坐标系内x 轴,y 轴正方向上的单位向量且AB =4i +2j ,AC =3i +4j ,则&ABC 的面积等于( )(A )15 (B)10 (C)7.5 (D )5解 因为AB =4i +2j =(4,2),AC =3i +4j =(3,4),所以,根据面积公式得S &A BC =12|x 1y 2-x 2y 1|=12|4@4-2@3|=5,从而选D .#41#第1期 高中数学教与学一道高考题的推广陈小明(重庆市武隆中学,408500)数学命题的推广是数学发展不可缺少的手段,它是一项富有挑战性和创造性的活动.在教学中培养学生对数学问题的推广意识,有利于培养学生的发现意识、探究能力,锻炼创新思维能力和独立思考的习惯.本文笔者结合一道高考题,作如下探究.2006年高考全国理科卷Ò第21题第(1)小题:已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且AF=K FB(K>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,证明:FM#AB为定值.证明由已知条件得F(0,1),设A(x1,y 1),B(x2,y2),由AF=K FB,_(-x1,1-y1)=K(x2,y2-1)._-x1=K x2,¹1-y1=K(y2-1).º将¹式两边平方并把y1=14x21,y2=1 4x22,代入其中得y1=K2y2.»解º、»式得y1=K,y2=1K,且x1x2=-K x22=-4K y2=-4.抛物线方程为y=14x2,求导得y c=12x.所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=12x1x-14x21,y=12x2x-14x22.解出两条切线的交点M的坐标为x1+x22,x1x24=x1+x22,-1,所以FM#AB=x1+x22,-2#(x2-x1,y2-y1)=12(x22-x21)-214x22-14x21=0.所以FM#AB为定值0.抛物线,椭圆,双曲线是否具有类似的性质?现将本题作如下推广.命题1若AB是过抛物线y2=2px的焦点F的弦,过A、B两点分别作抛物线的切线,交于点M,则FM L AB.例3在&OAB中,O为坐标原点,A(1,cos H)、B(sin H,1),H I0,P2,则当&OAB的面积达到最大值时H=()(A)P6(B)P9(C)P4(D)P2解根据面积公式得S&ABC=12|x1y2-x2y1|=12|1-sin H cos H|=121-12si n2H.因为H I0,P2,所以2H I(0,P],所以0[sin2H[1,所以si n2H=0时,S&ABC取得最大值,此时H=P2.从而选D.练习:在平面直角坐标系中,A、B、C为不共线三点,A(1,2),B(4,1),C(3,-1),试求&ABC的面积.#42#高中数学教与学2008年。
三角形面积公式的八种形式，坐标面积公式、向量面积公式推导证明摘要：一、三角形面积公式概述二、坐标面积公式三、向量面积公式推导证明四、总结正文：一、三角形面积公式概述三角形面积公式是计算三角形面积的基础公式，其公式为：面积= 底x 高/ 2。
在几何学中，三角形面积公式有多种形式，包括坐标面积公式和向量面积公式等。
本文将介绍八种形式的三角形面积公式，并着重讲解坐标面积公式和向量面积公式的推导证明。
二、坐标面积公式坐标面积公式是利用三角形三个顶点的坐标来计算其面积的公式。
假设三角形三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2) 和C(x3, y3)，则坐标面积公式为：面积= 1/2 |x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2)|三、向量面积公式推导证明向量面积公式是利用三角形两个相邻边所构成的向量来计算其面积的公式。
假设三角形三个顶点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2) 和C(x3, y3)，则向量AB 的坐标为(x2-x1, y2-y1)，向量AC 的坐标为(x3-x1, y3-y1)。
根据向量的点积公式，两个向量的点积等于它们的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
即：AB·AC = |AB| * |AC| * cos(θ)其中，AB·AC 表示向量AB 和向量AC 的点积，|AB|和|AC|分别表示向量AB 和向量AC 的模，θ表示向量AB 和向量AC 之间的夹角。
将向量AB 和向量AC 的坐标代入点积公式，得：(x2-x1, y2-y1)·(x3-x1, y3-y1) = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2] * √[(x3-x1)^2 + (y3-y1)^2] * cos(θ)根据余弦定理，夹角θ的余弦值等于两个向量的模的乘积与它们的点积的比值。
三角形面积的解析几何推导三角形是几何学中的基本形状之一，它具有广泛的应用。
在解析几何中，我们可以使用坐标系来推导三角形的面积。
本文将使用解析几何的方法，推导三角形面积的计算公式。
假设我们有一个三角形ABC，其中A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)是三个顶点的坐标。
我们的目标是计算出这个三角形的面积。
首先，我们可以根据向量的定义，得到两个向量AB和AC的坐标表示：向量AB = (x2 - x1, y2 - y1)向量AC = (x3 - x1, y3 - y1)然后，我们可以利用向量的叉积来计算三角形的面积。
向量的叉积定义如下：向量的叉积= |AB × AC| = |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB × AC|表示向量AB和AC的叉积的长度，|AB|和|AC|分别表示向量AB和AC的长度，θ表示向量AB和AC的夹角。
根据三角形的面积计算公式，我们知道，三角形的面积等于底边长度乘以高，并且高等于底边长度乘以sinθ。
因此，我们可以将向量的叉积用于计算三角形的面积。
由于向量的叉积的长度等于平行四边形的面积，所以三角形的面积等于平行四边形的面积的一半。
因此，我们可以将向量的叉积的长度除以2，来计算三角形的面积。
综上所述，我们得到了计算三角形面积的公式：三角形面积 = |AB × AC| / 2现在，我们将这个公式应用到具体的三角形ABC的坐标表示中。
假设点A(1, 2)，点B(3, 4)，点C(5, 6)是三角形ABC的顶点。
我们可以计算出向量AB和向量AC的坐标表示：向量AB = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)向量AC = (5 - 1, 6 - 2) = (4, 4)接下来，我们计算向量AB × AC的叉积的长度：|AB × AC| = |2 * 4 - 2 * 4| = 0最后，我们将叉积的长度除以2，来计算三角形ABC的面积：三角形面积 = 0 / 2 = 0因此，三角形ABC的面积为0。
三角形面积向量法公式
三角形面积向量法是一种计算三角形面积的方法，它使用向量来表示三角形的三个顶点，并使用向量积来计算三角形的面积。
三角形面积向量法的基本原理是，三角形的面积可以用向量积来表示，即：面积=1/2|AB×AC|，其中AB和AC分别是三角形的三个顶点A、B、C所确定的两个向量。
三角形面积向量法的计算步骤如下：
1.确定三角形的三个顶点A、B、C，并计算出三角形的三个顶点所确定的两个向量AB和AC。
2.计算向量AB和AC的叉积，即AB×AC。
3.将叉积的结果除以2，即|AB×AC|/2，得到三角形的面积。
三角形面积向量法的优点是，它可以用简单的数学公式来计算三角形的面积，而不需要计算三角形的三条边的长度，因此它可以节省计算时间。
三角形面积向量法的应用非常广泛，它可以用于计算几何图形的面积，也可以用于计算物理学中的力学问题。
此外，它还可以用于计算空间中的向量，以及计算空间中的向量的叉积。
总之，三角形面积向量法是一种非常有用的计算三角形面积的方法，它可以节省计算时间，并且应用非常广泛。
