三角形、平行四边形面积的向量公式

向量公式汇总Newly compiled on November 23, 2020向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC二AC。

a+b= (x+x‘ , y+y')。

a+0二0+a二a。

向量加法的运算律：交换律：a+b二b+a；结合律：(a+b) +c二a+ (b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a二-b, b二-a, a+b二0. 0的反向量为0 AB-AOCB.即“共同起点，指向被减”a二(x, y) b= (x f, y')贝！| a-b= (x-x‘，y-y' ).3、数乘向量实数X和向量a的乘积是一个向量，记作入a,且| ha |二丨入| | a |。

当入＞0时，Aa与a同方向；当入＜0时，入a与a反方向；当入二0时，X a=0,方向任意。

当a二0时，对于任意实数X,都有X a=0o注：按定义知，如果X a=0,那么入二0或a二0。

实数X叫做向量a的系数，乘数向量入a的儿何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当丨入丨> 1时，表示向量a的有向线段在原方向（入>0）或反方向（X <0）上伸长为原来的|入|倍；当I入I < 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X >0）或反方向（X <0）上缩短为原来的|入|倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入a） b二入（ab）二（a入b）。

向量对于数的分配律（第一分配律）：（A + U）a=Aa+Ua.数对于向量的分配律（第二分配律）：X （a+b）=X a+Xb.数乘向量的消去律：①如果实数入工0且X a=Xb,那么a二b。

②如果aHO且A, a= P a,那么X = p o4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a, b。

作OA=a, OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈a,b〉Wn定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。

向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。

若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。

向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

向量平行四边形法则公式向量平行四边形法则是用于求解平行四边形的向量关系的方法。

平行四边形法则公式可用于计算平行四边形的边长、对角线、面积、向量和角度等问题。

其中，平行四边形的向量和等于对角线的向量和，而平行四边形的对角线等于两个对角向量的矢量和。

在推导平行四边形法则公式时，可以通过向量的加法、减法、数量积与向量积等基本运算进行推导。

首先，考虑平行四边形ABCD，其中两对边分别平行于x轴和y轴。

设平行四边形的对角线AC和BD的向量分别为→AC和→BD。

我们可以将→AC和→BD表示为它们的对角向量的和，即→AC=→AD+→DC和→BD=→BA+→AD。

根据向量平行四边形法则，平行四边形的向量和等于对角线的向量和，即→AB+→BC=→AC。

将上面的式子代入，得到→AB+→BC=(→AD+→DC)+(→BA+→AD)。

使用向量加法的结合律，我们可以将上式改写为→AB+→BC=(→AD+→AD)+(→BA+→DC)。

进一步，我们可以合并相同方向的向量，并使用向量加法的交换律，得到→AB+→BC=2→AD+→BA+→DC。

根据平行四边形的定义，向量→AD和→BA平行且等长，向量→DC和→BA平行且等长。

因此，平行四边形的向量和可写为→AB+→BC=2→AD+2→BA。

使用因子分配律，得到→AB+→BC=2(→AD+→BA)。

这个公式表示平行四边形的向量和等于对角线的向量和的两倍。

换句话说，平行四边形的对角线等于两个对角向量的矢量和。

对于一般情况的平行四边形，我们可以将其平移或旋转，使得两条对角线与坐标轴平行。

然后，我们可以利用上述公式计算平行四边形的向量和或对角线的向量和。

接下来，我们可以利用平行四边形法则公式来解决一些实际问题。

例如，我们可以利用该公式计算平行四边形的边长、对角线的长度以及平行四边形的面积。

假设我们知道平行四边形的边的向量→AB和→BC，我们可以使用平行四边形法则公式计算平行四边形的对角线的向量和：→AB+→BC=2→AD+2→BA。

坐标系中三角形的面积公式给定三个顶点的坐标A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积=，(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))/2这个公式实际上是利用向量叉乘来计算的。

向量的叉乘是一个向量运算，它的结果是一个向量。

对于两个向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的叉乘结果等于A和B确定的平行四边形的面积。

因此，三角形的面积等于它的任意两边所确定的平行四边形的面积的一半。

考虑三角形ABC，我们可以先计算两个向量AB和AC，然后计算这两个向量的叉乘，最后取这两个向量叉乘的模长的一半即可得到三角形的面积。

具体步骤如下：1.计算向量AB的分量：AB=(x2-x1,y2-y1)。

2.计算向量AC的分量：AC=(x3-x1,y3-y1)。

3.计算向量AB和AC的叉乘：AB×AC=(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)。

4.计算叉乘的模长：，AB×AC，=√[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]²。

5.三角形的面积等于叉乘的模长的一半：面积=，AB×AC，/2需要注意的是，这个公式适用于无论顶点的坐标是否为整数、是否为正数、是否为负数的情况。

因为计算的是叉乘的模长，所以结果总是非负数。

下面以实际的例子来说明如何使用这个公式来计算一个三角形的面积。

假设我们有一个三角形ABC，其中A点的坐标为A(1,2)，B点的坐标为B(4,6)，C点的坐标为C(7,1)。

我们可以按照上述步骤计算三角形ABC的面积。

1.计算向量AB的分量：AB=(4-1,6-2)=(3,4)。

2.计算向量AC的分量：AC=(7-1,1-2)=(6,-1)。

3.计算向量AB和AC的叉乘：AB×AC=(3)(-1)-(6)(4)=-3-24=-274.计算叉乘的模长：，AB×AC，=√[(-3)(-3)-(-24)(-24)]²=√[9-576]²=√567²=5675.三角形的面积等于叉乘的模长的一半：面积=，AB×AC，/2=567/2=283.5因此，三角形ABC的面积为283.5平方单位。

平面上三角形的面积可以通过向量的方法进行计算。

设三角形的两边向量为a和b，它们的起点相同，终点分别为A、B，且夹角为θ（θ为a向量到b向量的夹角）。

则三角形的面积S可以用以下公式计算：
S = 1/2 * |a × b|
其中，×表示向量的叉乘运算，|a × b| 表示叉乘结果的模（即叉乘向量的长度）。

需要注意的是，叉乘运算的结果是一个新的向量，其大小表示平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在平面，并满足右手法则。

通过取模运算得到的结果才是三角形的面积。

这个公式适用于一般的平面向量，可以用于计算任意三角形的面积。

平面向量的向量积和行列式向量是数学中的重要概念，它可以用来表示物理量的大小和方向。

而平面向量的向量积和行列式是向量运算中的两个重要概念，用于计算向量之间的关系和性质。

一、平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉乘或者叉积，用符号"×"表示。

对于两个二维向量A和B，它们的向量积C可以通过以下公式计算：C = A × B = |A| |B| sinθ n其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n表示与A和B所在平面垂直的单位向量。

向量积的结果是一个向量，它垂直于A和B所在的平面，并且大小等于|A| |B| sinθ。

当θ为0°或180°时，向量积的大小为0，说明向量A 和B平行或者反向。

当θ为90°时，向量积的大小为|A| |B|，说明向量A和B垂直。

二、平面向量的行列式平面向量的行列式是用矩阵形式来表示的。

对于两个二维向量A和B，它们的行列式可以通过以下公式计算：|A B| = |A| |B| sinθ其中，|A B|表示行列式的值，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。

行列式的值等于向量积的大小，它表示A和B所张成的平行四边形的面积。

当A和B是线性相关时，行列式的值为0，说明A和B共线。

当A和B是线性无关时，行列式的值不为0，说明A和B不共线。

三、平面向量的性质在平面向量的向量积和行列式的运算中，有一些重要的性质需要注意：1. 交换律：A × B = -B × A；|A B| = -|B A|。

向量积和行列式都满足交换律。

2. 分配律：A × (B + C) = A × B + A × C；|A (B + C)| = |A B| + |A C|。

向量积和行列式都满足分配律。

3. 结合律：(A × B) × C = A × (B × C)。

向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。

当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。

若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。

三角形面积公式向量三角形的面积公式可以用向量表示。

设三角形的两个边表示为向量a和向量b，其夹角为θ，则三角形的面积可以表示为向量a和向量b的叉积的模的一半。

首先，我们定义向量的叉积。

对于二维平面上的两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，其叉积定义为：a×b=a1*b2-a2*b1然后，我们来推导三角形面积公式。

设三个顶点分别为A、B、C，边AB和AC分别对应向量a和向量b。

根据向量的叉积定义，我们可以得到向量a和向量b的叉积向量（叉积结果为一个向量）：n=a×b其中，n是垂直于平面ABC的一个向量，其模n的长度等于以向量a和向量b为边构成的平行四边形的面积。

但是，我们需要求的是三角形ABC的面积，而不是平行四边形的面积。

要得到三角形的面积，我们需要将平行四边形的面积除以2所以，我们可以将垂直于平面ABC的向量n的模除以2，即可得到三角形ABC的面积S：S=，n，/2现在，我们来具体推导一下面积公式。

向量a的模可以表示为：a，=√(a1²+a2²)向量b的模可以表示为：b，=√(b1²+b2²)向量a与向量b的夹角θ的余弦可以表示为：cosθ = (a1b1 + a2b2) / (，a，b，)根据向量的叉积定义，我们可以知道向量a和向量b的叉积n的模可以表示为：n， = ，a × b， = ，a，b，sinθ将，a，b，和sinθ代入上面的式子，可以得到：n，= √(a1² + a2²) * √(b1² + b2²) * sinθ = √(a1²b2² - 2a1b1a2b2 + a2²b1²) * sinθ将面积的公式S=，n，/2代入上面的式子，可以得到：S = (√(a1²b2² - 2a1b1a2b2 + a2²b1²) * sinθ) / 2整理上式，可以得到：S=，a×b，/2也就是说，三角形ABC的面积可以表示为向量a和向量b的叉积的模的一半。

平行四边形公式大全平行四边形是初中数学中常见的几何图形，它具有独特的性质和特点。

在学习和解题过程中，掌握平行四边形的相关公式是非常重要的。

本文将为大家详细介绍平行四边形的各种公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用平行四边形的知识。

1. 周长公式。

平行四边形的周长公式为，周长 = 2 (a + b)，其中a和b分别为平行四边形的相邻边长。

这个公式的推导很简单，因为平行四边形的对边相等，所以周长就是相邻边长之和的两倍。

2. 面积公式。

平行四边形的面积公式为，面积 = 底边长高，其中底边长为平行四边形的一条底边，高为底边到对边的垂直距离。

这个公式可以通过将平行四边形分割成两个三角形来推导，也可以通过平行四边形的性质和特点进行推导。

3. 对角线长度公式。

平行四边形的对角线长度公式为，对角线长度 = √(a^2 + b^2 + 2ab cosθ)，其中a和b分别为平行四边形的相邻边长，θ为相邻边之间的夹角。

这个公式可以通过余弦定理来推导，也可以通过向量法和坐标法来推导。

4. 对角线的夹角公式。

平行四边形的对角线夹角公式为，cosθ = (a^2 + b^2 d^2) / (2ab)，其中a和b 分别为平行四边形的相邻边长，d为平行四边形的对角线长度。

这个公式可以通过余弦定理来推导，也可以通过向量法和坐标法来推导。

5. 高公式。

平行四边形的高公式为，高 = |b| sinθ，其中b为平行四边形的一条底边，θ为底边到对边的夹角。

这个公式可以通过三角函数来推导，也可以通过向量法和坐标法来推导。

6. 中线长度公式。

平行四边形的中线长度公式为，中线长度 = 0.5 √(2a^2 + 2b^2 d^2)，其中a和b分别为平行四边形的相邻边长，d为平行四边形的对角线长度。

这个公式可以通过向量法和坐标法来推导。

通过以上公式的介绍，我们可以看到平行四边形的性质和特点在公式中得到了很好的体现。

掌握这些公式，可以帮助我们更好地理解和运用平行四边形的知识，在解题过程中更加得心应手。