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三角形面积坐标公式三角形的面积可以通过三个顶点的坐标来计算。
我们可以使用向量的方法来求解三角形的面积。
设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)。
首先，我们可以得到两个向量AB和AC的坐标表示：AB=(x2-x1,y2-y1)AC=(x3-x1,y3-y1)接下来，我们可以计算AB和AC的叉积，得到一个新的向量N：N=AB×AC=(x2-x1,y2-y1)×(x3-x1,y3-y1)=[(x2-x1)*(y3-y1)-(y2-y1)*(x3-x1)]*k其中，k是一个常数。
我们可以看到，N的长度和k成正比，所以，N的长度可以表示三角形ABC的面积的两倍。
因此，我们可以通过求解N的长度并除以2来得到三角形的面积。
N的长度可以通过以下公式计算：N， = sqrt((x2 - x1) * (y3 - y1) - (y2 - y1) * (x3 - x1))^2)最后，我们将，N，除以2即可得到三角形ABC的面积。
下面是一个具体的例子来演示如何使用上述公式来计算三角形的面积：假设三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(4,5)和C(7,3)。
我们可以计算向量AB和AC的坐标表示：AB=(4-1,5-2)=(3,3)AC=(7-1,3-2)=(6,1)然后，我们可以计算叉积N：N=(3,3)×(6,1)=(3*1-3*6)*k=-15kN的长度可以计算为：N， = sqrt((-15)^2)=15最后，我们将，N，除以2得到三角形ABC的面积：面积=，N，/2=15/2=7.5所以，三角形ABC的面积为7.5平方单位。
需要注意的是，在计算叉积N时，我们可以交换向量的顺序，得到的结果只需要考虑正负号的问题。
如果N为负，我们可以将其取绝对值再除以2来得到三角形的面积。
上述的方法可以计算任意三角形的面积，无论三角形是锐角、直角还是钝角。
向量面积公式三角形向量面积公式是计算三角形面积的一种方法，它通过向量的叉乘来得到三角形的面积。
在这篇文章中，我们将介绍向量面积公式的原理和应用，以及如何使用它来计算三角形的面积。
在几何学中，三角形是最简单的多边形之一，它由三条线段组成。
三角形的面积是一个重要的概念，它可以帮助我们计算物体的面积、建筑物的面积等。
传统的方法是使用底边和高来计算三角形的面积，但这种方法对于任意形状的三角形并不适用。
因此，我们需要一种更通用的方法来计算三角形的面积，这就是向量面积公式的作用。
向量面积公式是基于向量的叉乘运算来计算三角形的面积的。
向量是一种有方向和大小的量，可以用箭头表示。
在二维空间中，向量通常由两个坐标表示，一个是横坐标，另一个是纵坐标。
例如，向量AB可以表示为向量(3, 4)，其中3是横坐标，4是纵坐标。
在向量面积公式中，我们需要计算两个向量的叉乘来得到三角形的面积。
假设我们有三个点A、B、C，它们可以确定一个三角形。
我们可以将向量AB表示为向量B减去向量A，即向量AB = 向量B - 向量A。
同样地，向量AC可以表示为向量C减去向量A，即向量AC = 向量C - 向量A。
然后，我们可以计算向量AB和向量AC的叉乘。
向量的叉乘可以通过以下公式计算：向量AB × 向量AC = |向量AB| * |向量AC| * sinθ，其中|向量AB|和|向量AC|分别是向量AB和向量AC的长度，θ是向量AB和向量AC之间的夹角。
我们可以用上述公式计算三角形的面积。
三角形的面积等于向量AB × 向量AC的长度，即S = |向量AB × 向量AC| / 2。
通过向量面积公式，我们可以计算任意形状的三角形的面积。
这种方法不依赖于三角形的底边和高，因此适用于各种形状的三角形。
此外，向量面积公式还可以推广到三维空间中，以计算三维物体的体积。
除了计算三角形的面积，向量面积公式还可以应用于其他几何问题。
三角形面积向量公式与应用设三角形的三个顶点分别为A、B、C，以A为原点建立坐标系，则三个顶点的位置向量分别为a、b、c。
则三角形的面积S可以通过以下公式计算：S=1/2*，axb其中，axb是a与b的叉乘（向量积），axb，表示axb的模（大小）。
三角形的面积向量公式的证明可以通过以下两个步骤完成：1.证明当三角形的一个顶点与原点重合时，面积向量公式成立。
当A为原点时，a=(0,0)，则面积S=1/2*，(0,0)xb，=0，即面积为零。
2.证明当三角形的一个顶点不与原点重合时，面积向量公式成立。
设三个顶点的位置向量分别为a、b、c，则三角形的面积可以通过以下公式计算：S=1/2*，axb如果将a、b根据平行四边形法则进行平移，得到位置向量a'和b'，则有：a'=a-cb'=b-c此时，如果计算a'和b'的叉乘，得到的结果与计算a和b的叉乘的结果相同，即有：axb=a'xb'因此，可以将S=1/2*，axb，转化为S=1/2*，a'xb'，的计算，并使用这一公式计算三角形的面积。
除了直接计算三角形的面积，三角形面积向量公式还可以应用于以下几个方面：1.平行四边形的面积计算平行四边形的面积等于其对角线所代表的向量的叉乘的模的一半。
通过利用三角形面积向量公式，可以方便地计算平行四边形的面积。
2.判断三点共线性对于三个点A、B、C，如果它们的三角形面积为零，则可以判断这三个点共线。
根据三角形面积向量公式，当S=0时，a与b共线。
3.判断线段相交对于两条线段AB和CD，通过计算向量AC和向量AD的叉乘与向量AC和向量BC的叉乘的乘积，可以判断这两条线段是否相交。
具体步骤为，计算(ACxAD)*(ACxBC)和(ACxBD)*(ACxBC)的乘积，如果两个乘积都小于零，则可以判断线段AB和CD相交。
总结起来，三角形面积向量公式是一种通过向量运算计算三角形面积的方法，它比传统的三角函数计算更简便，且能应用于其他几何问题的解决。
向量面积公式三角形向量面积公式是三角形面积的计算公式之一，相比于传统的基本面积公式，它更加简便易懂，计算起来也更加方便快捷。
向量面积公式的原理是通过向量运算来求取三角形所组成的平行四边形的面积，然后再将其除以二得出三角形的面积。
在学习向量面积公式之前，我们需要先了解一些基本的向量概念。
向量是指具有大小和方向的物理量，常用箭头表示，在平面直角坐标系中表示为一个有序数对(x,y)。
向量的本质是描述一个物体从起点到终点的距离和方向，因此向量的运算主要包括加减、数乘、内积等。
对于给定的三角形ABC，我们可以通过向量表示其三个顶点的坐标，设向量AB=a，向量AC=b，则向量AB与AC 所组成的平行四边形S的面积等于向量a与向量b的叉积的模长，即S=|a×b|。
接下来，我们将根据向量面积公式来求取一个三角形的面积。
例1：已知三角形ABC，其中A点的坐标为(1,2)，B 点的坐标为(3,4)，C点的坐标为(5,6)，求取三角形ABC的面积。
首先，我们将三角形的三个顶点坐标表示为向量形式：AB=(3-1, 4-2)=(2,2)AC=(5-1, 6-2)=(4,4)然后，求取向量AB与向量AC所构成的平行四边形的面积：S=|AB×AC|=|(2,2)×(4,4)|=|0,0,8|=8最后，将面积S除以2即可得出三角形ABC的面积：S(△ABC)=8/2=4因此，三角形ABC的面积为4平方单位。
从上面的例子中可以看出，使用向量面积公式可以很轻松地求取三角形的面积，且计算过程非常简单。
在实际应用中，向量面积公式也常常被用于计算多边形的面积，只需要将多边形分割成若干个三角形，然后依次求取每个三角形的面积，最后将其相加即可。
值得注意的是，向量面积公式可以直接推广到三维空间中，对于三维空间中的任意三角形，其面积可以通过向量运算来求取。
此时，向量的表示需要用到三元组(x,y,z)来表示三维物理量，并且向量叉积的计算规则是先对应元素计算行列式，再取行列式的值的模长。
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，2）D．∅2．（5分）设z＝i（2+i），则＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）A．B．2C．5D．504．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+17．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．（5分）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2B．C．1D．9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．810．（5分）曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝011．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．12．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三角形面积向量公式大全
三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。
1.已知三角形底a,高h,则 s＝ah/2
2.未知三角形三边a,b,c,则
（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
3.未知三角形两边a,b,这两边夹角c,则s＝1/2 * absinc
4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2
5.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r
6.海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
s=√[(ma+mb+mc)*(mb+mc-ma)*(mc+ma-mb)*(ma+mb-mc)]/3
其中ma,mb,mc为三角形的中线长.
7.根据三角函数谋面积：
s= ab sinc=2r sinasinbsinc= asinbsinc/2sina
备注:其中r为外切圆半径.
8.根据向量求面积：
sδ)= √(|ab|*|ac|)-（ab*ac）。
三角形面积向量公式与应用
三角形面积向量公式是用来求三角形的面积的一种向量公式，它的英文名是“Cavalieri三角形面积方程”。
它的形式如下：
面积A=|A||B||sinC|；
其中，A、B和C分别指三角形三条边的向量；A和B之间的角度为C。
所以，三角形面积向量公式是一种利用三角形实际边长、以及三条边之间的角度来求三角形面积的公式。
这个公式的优势在于，它可以直接由边长来求三角形的面积，不再需要额外的求椭圆体积的附加步骤，大大提高了求解的效率。
此外，这个公式在现代几何学中也有广泛的应用，例如在寻找流体流动场形状中可以用来计算流变区域和流速分布以及其他用途；还可以用来计算物体外形贴合度等，可以说是一种非常实用的向量公式。
总之，三角形面积向量公式是一种实用而方便的办法来求解三角形的面积，也可以广泛应用于几何学的研究和非空间形状的推理中。
三角形面积用坐标表示的公式坐标表示三角形面积的公式有几个，它们分别是：1. 用三角形的三个坐标点表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}|(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1)|$ 2. 用三角形的两条对角线表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}(d_1\cdot d_2\cdot \sin \alpha)$其中，$d_1$和$d_2$分别表示三角形的两条对角线，$\alpha$代表连接两条对角线的角的大小。
3. 用三角形的一条边及其垂直交点表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}a\cdot h$其中，$a$表示三角形的边，$h$代表垂直交点到三角形底线的距离。
4. 用三角形的一条边和角度表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin(\theta)$其中，$a$和$b$分别表示三角形的两条边，$\theta$表示两条边之间的夹角度数。
5. 用三角形另外两条边以及它们之间夹角度数表示三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin(\theta)$其中，$a$和$b$分别表示三角形的两条边，$\theta$表示两条边之间的夹角度数。
上述几个公式均可用于坐标图中求出三角形的面积。
但除了上述几个公式以外，还可以用其它多边形的表示方式来表示三角形的面积，例如：- Heron公式：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$其中，$a$，$b$，$c$分别表示三角形的三边，而$p$则由以下加权平均得出：$p=\frac{a+b+c}{2}$，也即半周长$p$。
- 斯特林公式（Pick's theorem）：$S=i+\frac{b}{2}-1$其中，$i$是三角形内部格点数（也称为介角数），$b$是三角形边界上格点数。
向量面积公式三角形向量是具有大小和方向的量。
用于表示向量的常用符号是一个带箭头的小写字母，例如a、b、c等。
在数学上，一般将向量表示为一个有序数字组成的列向量或行向量。
例如，一个二维向量可以表示为(a，b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴方向的分量。
我们可以使用向量进行多种操作，包括加法、减法、标量乘法以及点乘和叉乘等。
其中，点乘用于计算向量之间的夹角，而叉乘用于计算向量的垂直投影。
在三角形中，我们可以使用向量面积公式来计算三角形的面积。
向量面积公式是基于叉乘运算的，它的形式为：S=1/2*，ABxAC其中，S表示三角形的面积，AB和AC分别是三角形两边的向量。
为了更好地理解向量面积公式，我们可以通过一个具体的例子进行说明。
假设我们要计算顶点分别为A(1,2)、B(4,2)和C(3,6)的三角形ABC的面积。
首先，我们需要计算AB和AC两个向量。
根据坐标的差值，我们得到：AB=(4-1,2-2)=(3,0)AC=(3-1,6-2)=(2,4)然后，我们利用叉乘公式计算向量的叉乘：ABxAC=(3*4-0*2)i+(0*2-3*4)j=12i-12j最后，我们计算向量的模，ABxAC，并乘以1/2得到三角形的面积：ABxAC，=√(12^2+(-12)^2)=√(144+144)=√288≈16.97S=1/2*16.97≈8.49因此，三角形ABC的面积约为8.49平方单位。
需要注意的是，在实际应用中，我们可以将向量面积公式应用到三维空间中的任意三角形，并且不限制于特定坐标系。
无论是平面几何还是立体几何，向量面积公式都能够提供一种简单而常用的计算方法。
总结起来，向量面积公式是一种通过叉乘运算来计算三角形面积的方法。
通过计算两边向量的叉乘，并取其模的一半，我们可以得到三角形的面积。
最后，我们需要指出，虽然向量面积公式是一种方便且广泛使用的方法，但实际计算时也可以使用其他方法，如海伦公式等。
不同的方法适用于不同的情况，根据具体问题的要求选择合适的方法进行计算。
由向量形式的三角形面积公式得到的坐标式三角形面积公式及其应用高考题1 (2010年高考辽宁卷理科第8题)平面上B A O ,,三点不共线，设b OB a OA ==,，则OAB ∆的面积等于( )A.222)(b a b a ⋅- B.222)(b a b a ⋅+ C.222)(21b a b a ⋅- D.222)(21b a b a ⋅+答案：C.这道高考题的结论就是向量形式的三角形面积公式：定理1 若三点B A O ,,不共线，则222)(21OB OA OB OA S OAB ⋅-=∆. 证明 2222)(21cos 121OB OA OB OA AOB OB OA S OAB ⋅-=∠-=∆. 由此结论，还可证得定理2 若三点B A O ,,不共线，且点O 是坐标原点，点B A ,的坐标分别是),(),,(2211y x y x ，则122121y x y x S OAB -=∆. 证法1 由定理1，得1221221212222212121)())((21y x y x y y x x y x y x S OAB -=+-++=∆ 证法2 可得直线AB 的方程是0)()()(12212121=-+---y x y x y x x x y y所以坐标原点O 到直线AB 的距离是ABy x y x 1221-，进而可得AOB ∆的面积是122112212121y x y x ABy x y x AB S OAB -=-⋅=∆. 下面用定理2来简解10道高考题.高考题2 (2014年高考四川卷理科第10题)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10解 B.得⎪⎭⎫⎝⎛0,41F ，可不妨设)0)(,(),,(212211y y y x B y x A >>.由22122212121=+=+=⋅y y y y y y x x OB OA ，可得221-=y y ，所以由定理2，得212121211222211221212121y y y y y y y y y y y y y x y x S ABO -=-=-⋅=-=-=∆ 所以38928941212121121=-≥-=⋅+-=+∆∆y y y y y y y S S AFO ABO (可得当且仅当89,3421-==y y 时取等号)所以选B.高考题3 (2011年高考四川卷文科第12题)在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数m ，则=n m( ) A.215B.15C.415 D.13解B.所有满足题意的向量有6个)5,4(),3,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(654321======αααααα，以其中的两个向量为邻边的平行四边形有15C 26==n 个.设),(),,(2211y x y x j i ==αα，得)5,3,1(,);4,2(,2121∈∈y y x x ，由定理2得，以j i αα,为邻边的平行四边形的面积是2211221=-=y x y x S ，可得这样的向量j i αα,有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(.所以51153==n m . 高考题4 (2011年高考四川卷理科第12题) 在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a =α.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过4的平行四边形的个数为m ，则=n m( ) A.154 B.31 C.52 D.32解 基本事件是由向量)3,4(),5,4(),1,4(),5,2(),3,2(),1,2(中任取两个向量为邻边作平行四边形，得15C 26==n .由定理2可得：组成面积为2的平行四边形的向量有3对：)1,4(),1,2();3,4(),1,2();5,4(),3,2(. 组成面积为4的平行四边形的向量有2对：)3,2(),1,2();5,2(),3,2(.组成面积为6的平行四边形的向量有2对：)5,4(),1,2();3,4(),3,2(.组成面积为8的平行四边形的向量有3对：)5,4(),3,4();3,4(),1,4();5,2(),1,2(. 组成面积为10的平行四边形的向量有2对：)5,4(),5,2();1,4(),3,2(. 组成面积为14的平行四边形的向量有1对：)3,4(),5,2(. 组成面积为16的平行四边形的向量有1对：)5,4(),1,4(. 组成面积为18的平行四边形的向量有1对：)1,4(),5,2(. 满足条件的事件有523=+=m 个，所以31155==n m . 高考题 5 (2009年高考陕西卷文科、理科第21题)已知双曲线C 的方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，离心率25=e ，顶点到渐近线的距离为552. (1)求双曲线C 的方程；(2)如图1所示，P 是双曲线C 上一点， B A ,两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,31,λλPB AP ，求AOB ∆面积的取值范围.图1解 (1)(过程略)1422=-x y . (2)可设0,0),2,(),2,(>>-t s s s B t t A ，由定理2及题设可得st S AOB 2=∆. 由PB AP λ=，可得⎪⎭⎫⎝⎛+++-λλλλ122,12s t s t P ，把它代入双曲线C 的方程，化简得st λλ4)1(2=+，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆2311121λλλAOB S 可得AOB ∆面积的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡382，.高考题 6 (2007年高考陕西卷理科第21题即文科第22题)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率是36，短轴的一个端点与右焦点的距离是3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ∆面积的最大值.解 (1)(过程略)1322=+y x . (2)设),(),,(2211y x B y x A ，由定理2及题设得12212y x y x S AOB -=∆由椭圆的参数方程知，可设ββααsin ,cos 3,sin ,cos 32211====y x y x ，得)sin(321221αβ-=-=∆y x y x S AOB从而可得，当且仅当点B A ,是椭圆C 的两个顶点且2π=∠AOB 时AOB ∆的面积取到最大值，且最大值是23. 高考题7 (2010年高考重庆卷理科第20题)已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；(2)如图2所示，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N (其中12x x ≠)的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于H G 、两点，求OGH ∆的面积.图2解 (1)(过程略)双曲线C 的标准方程为1422=-y x ，其渐近线方程为02=±y x .(2)由“两点确定一直线”可得直线MN 的方程为：44=+y y x x E E . 分别解方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+0244,0244y x y y x x y x y y x x E E E E ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++E E E EE E E E y x y x H y x y x G 22,24,22,24. 因为点E 在双曲线C 上，所以4422=-E E y x . 由定理2，得24848484821222222==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∆E E E E E E OGHy x y x y x S 注 下面将指出图2的错误：因为点E 关于x 轴的对称点),(E E y x E -'也在双曲线C 上，而双曲线C 在点E '处的切线方程为1)(4=--y y xx E E 即44=+y y x x E E 也即直线MN ，所以直线MN 与双曲线C 应当相切，而不是相离.高考题8 (2011年高考山东卷理科第22题)已知动直线l 与椭圆123:22=+y x C 交于),(),(2211y x Q y x P 、两不同点，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点. (1)证明：2221x x +和2221y y +均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值；(3)椭圆C 上是否存在三点G E D 、、，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ∆的形状；若不存在，请说明理由.解 (1)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(ββααQ P 、，由定理2，得26)(sin 26=-=∆βαOPQ S 0)cos(,1)(sin ,26)(sin 26=-=-=-=∆βαβαβαOPQ S ∈++=k k (2ππβαZ )所以3,3)cos (sin 3)cos (cos 3222122222221==+=+=+=+ y y x x βββα. (2)在(1)的解答中： 当k 为奇数时，得)sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+)cos (sin 22),cos (sin 23ββββM ，所以β2sin 25212-=⋅PQ OM . 当k 为偶数时，得)sin 2,cos 3()cos 2,sin 3(ββββQ P 、-，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-)sin cos (22),sin cos (23ββββM ，所以β2sin 25212-=⋅PQ OM . 所以PQ OM ⋅的最大值是25. (3)可设)sin 2,cos 3()sin 2,cos 3()sin 2,cos 3(γγββααG E D 、、，由(1)的解答知∈+=-+=-+=-m l k m l k ,,(2,2,2ππαγππγβππβαZ )把这三式相加，得∈+++++=m l k m l k (23)(0ππZ )，这不可能！所以椭圆C 上不存在三点G E D 、、，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S . 高考题9 (2013年高考山东卷文科第22题)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP tOE =，求实数t 的值.解 (1)(过程略)1222=+y x .(2)当直线OE 的斜率不存在时，可求得2=t 或332. 当直线OE 的斜率存在时，可设)sin ,cos 2(),sin ,cos 2(ββααB A ，由定理2得212cos ,21)cos(,23)sin(,46)sin(22=-=-=-=-=∆βαβαβαβαOAB S 或23. 可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+2cos 2sin ,2cos 2cos 2βαβαβαβαE ，所以直线2tan 2:βα+=x y OE ，求得⎪⎭⎫ ⎝⎛+±+±2sin ,2cos 2βαβαP ，所以 22cos1=-==βαEP y y t 或332总之，2=t 或332. 高考题10 (2008年高考海南、宁夏卷理科第21题)设函数1()()f x a x a b x b=+∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y =． (1)求()f x 的解析式.(2)证明：函数()y f x =的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．答案：(1)11-+=x x y .(2)略.(3)2. 高考题11 (2008年高考海南、宁夏卷文科第21题)设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案：(1)xx y 3-=.(2)6. 下面给出这两道高考题结论的推广.定理 3 (1)双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任一点的切线与两条渐近线x aby x a b y -==,围成三角形的面积是ab S =； (2)曲线)0(≠+=b xbax y 上任一点的切线与两条渐近线ax y x ==,0围成三角形的面积是b S =；(3)曲线)0(≠+++=b dx bc ax y 上任一点的切线与两条渐近线c ax yd x +==+,0围成三角形的面积是b S =.证明 (1)如图3所示，可求得过双曲线上任一点))(,(2220220200b a y a x b y x P =-的切线方程是220202b a y y a x x b =-，还可求得它与两条渐近线x aby x a b y -==,的交点分别为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002002002002,,,ay bx ab ay bx b a N ay bx ab ay bx b a M ，再由定理2可立得欲证成立.图3(2)由)0(≠+=b x b ax y ，得2x ba y -='.所以过该曲线上任一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+000,x b ax x P 的切线方程是)(02000x x x b a x b ax y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--从而可求得它与两条渐近线ax y x ==,0的交点分别为)2,2(,2,0000ax x N x b M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛，再由定理2可立得欲证成立.因为ad c dx bd x a d x b c ax y -++++=+++=)(，所以曲线)0(≠+++=b dx bc ax y 是由曲线)0(≠+=b x b ax y 沿向量),(ad c d --平移后得到的，所以由结论(2)立得结论(3)成立.用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系n n a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n 1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n 123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a .解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3a 时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.所以当a<1且1所以选D.注小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.(3)(4)。
