正态总体均值的假设检验

上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。

2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。

类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。

右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。

例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。

我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。

8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。

例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。

将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。

比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。

上面，我们假定 σ12=σ22。

当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。

在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。

通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。

J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。

第八章假设检验第二节正态总体均值的假设检验2. 两个正态总体在寿命问题中提出了两个正态总体均值是否相等的假设012:H μμ=112:H μμ≠这种情形经常发生在当研究对象的外界条件发生了改变时，判断研究对象是否受到了这种影响.检验统计量如何构造呢？例3对用两种不同热处理方法加工的金属材料做抗拉强度试验，得到的试验数据如下：方法Ⅰ：31，34，29，26，32，35，38，34，30，29，32，31方法Ⅱ：26，24，28，29，30，29，32，26，31，29，32，28设两种热处理加工的金属材料的抗拉强度都服从正态分布，且方差相等．比较两种方法所得金属材料的平均抗拉强度有无显著差异（）.05.0=α).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设关键问题在于找到拒绝域12k μμ->X Y k->121212()()~(2),11w X Y t n n S n n μμ---+-+222112212(1)(1)2w n S n S S n n -+-=+-其中12221212()()~(0,1)X Y N n n μμσσ---+).,(),,(2221σμσμN N 解：记两总体的正态分布为.:,:211210μμμμ≠=H H 本题是要检验假设1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+检验统计量为21212||(2)11w x y t t n n S n n α-=≥+-+拒绝域为,1221==n n ,75.31=x .67.28=y ,25.112)1(211=-s n ,64.66)1(222=-s n .85.2=w s .647.26185.2|67.2875.31|11||||21=-=+-=n n s y x t w 计算统计值074.2)22()2(025.0212==-+t n n t α查t 分布表，得/212||(2)t t n n α>+-统计判决：由于故拒绝H 0.即认为两种热处理方法加工的金属材料的平均抗拉强度有显著差异．解：休息一下吧。

正态总体参数的假设检验 正态总体中有两个参数：正态均值与正态⽅差。

有关这两个参数的假设检验问题经常出现，现逐⼀叙述如下。

(⼀) 正态均值的假设检验 ( 已知情形) 建⽴⼀个检验法则，关键在于前三步l，2，3。

5.判断(同前) 注：这个检验法称为u检验。

(⼆) 正态均值的假设检验 ( 未知情形) 在未知场合，可⽤样本标准差s去替代总体标准差，这样⼀来，u统计量变为t统计量，具体操作如下： 1.关于正态均值常⽤的三对假设为 5.判断 (同前) 注：这个检验法称为t检验。

(三)正态⽅差的假设检验 检验正态⽅差有关命题成⽴与否，⾸先想到要⽤样本⽅差。

在基础上依据抽样分布特点可构造统计量作为检验之⽤。

具体操作如下： 1.关于正态⽅差常⽤的三对假设为 5.判断(同前) 注：这个检验法称为检验。

注：关于正态标准差的假设与上述三对假设等价，不另作讨论。

(四) ⼩结与例⼦ 上述三组有关正态总体参数的假设检验可综合在表1.5-1上，以供⽐较和查阅。

续表 [例1.5-2] 某电⼯器材⼚⽣产⼀种云母带，其厚度在正常⽣产下服从N(0.13，0.0152)。

某⽇在⽣产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问⽣产是否正常?(取 =0.05)来源:考试通 解：①⽴假设：②由于已知，故选⽤u检验。

③~④根据显著性⽔平 =0.05及备择假设可确定拒绝域为{ >1.96}。

⑤由样本观测值，求得检验统计量： 由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天⽣产正常。

[例1.5-3] 根据某地环境保护法规定，倾⼊河流的废⽔中⼀种有毒化学物质的平均含量不得超过3ppm。

已知废⽔中该有毒化学物质的含量X服从正态分布。

该地区环保组织对沿河的⼀个⼯⼚进⾏检查，测定每⽇倾⼊河流的废⽔中该物质的含量，15天的记录如下(单位：ppm)3.2，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5，2.9 试在⽔平上判断该⼚是否符合环保规定? 解：①如果符合环保规定，那么应该不超过3ppm，不符合的话应该⼤于3ppm。

正态下单个总体的假设检验例题假设有一个总体，其数据符合正态分布。

现在我们想要检验这个总体的均值是否等于某个特定值。

假设总体的均值为μ，我们要检验的假设为:H0: μ = μ0 （均值等于μ0）Ha: μ≠μ0 （均值不等于μ0）我们可以使用 t 检验来检验这个假设。

t 检验的步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。

2. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)其中，n 是样本容量。

3. 根据自由度（df = n-1）和显著性水平，查找 t 分布表得到临界值 t*。

4. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。

如果 t 统计量小于 t*（或大于-t*），则接受 H0 假设，表示数据支持总体均值等于μ0。

如果 t 统计量大于 t*（或小于-t*），则拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于μ0。

例如，我们想要检验一个总体样本的均值是否等于60。

我们从这个总体中随机抽取了10个样本，得到样本均值为65，样本标准差为5。

我们假设显著性水平为0.05。

步骤如下:1. 收集样本数据，并计算样本均值 X 和样本标准差 S。

X = 65， S = 52. 计算 t 统计量:t = (X - μ0) / (S / √n)t = (65 - 60) / (5 / √10) = 4.473. 查找 t 分布表得到临界值 t*。

df = n-1 = 10-1 = 9，根据显著性水平0.05和自由度9，在t 分布表中查找得到：t* = ±2.2624. 判断 t 统计量是否在临界值范围内。

t = 4.47 > 2.262，因此拒绝 H0 假设，表示数据不支持总体均值等于60。

因此，我们可以得出结论，总体均值不等于60。