8.2 单个正态总体的假设检验

单正态总体的参数假设检验一、引言在统计学中，参数假设检验是一种常用的统计推断方法，用于对总体参数的假设进行验证。

在本文中，我们将讨论单正态总体的参数假设检验方法。

单正态总体是指样本来自一个服从正态分布的总体。

二、参数假设检验的基本步骤参数假设检验的基本步骤包括以下几个方面：1. 提出假设：在进行参数假设检验时，首先需要提出原假设和备择假设。

原假设（H0）是对总体参数的一个特定取值或一组取值的陈述，备择假设（H1）是对原假设的补充或对立假设。

2. 选择检验统计量：检验统计量是一个用于判断是否拒绝原假设的量。

在单正态总体的参数假设检验中，常用的检验统计量有样本均值、样本比例等。

3. 确定显著性水平：显著性水平是在进行假设检验时所允许的犯第一类错误的概率。

通常情况下，显著性水平取0.05或0.01。

4. 计算检验统计量的观察值：根据样本数据，计算检验统计量的观察值。

5. 确定拒绝域：拒绝域是一组检验统计量的取值，如果观察到的检验统计量的取值落在这个区域内，则拒绝原假设。

6. 做出决策：根据观察到的检验统计量的取值和拒绝域的关系，做出接受或拒绝原假设的决策。

三、单正态总体均值的参数假设检验在单正态总体均值的参数假设检验中，常用的检验方法有Z检验和t检验。

1. Z检验：当总体的标准差已知时，可以使用Z检验。

Z检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准差的样本标准差。

根据中心极限定理，当样本容量较大时，检验统计量近似服从标准正态分布。

2. t检验：当总体的标准差未知时，使用t检验。

t检验的检验统计量为样本均值与总体均值之差除以标准误差的样本标准差。

根据学生t分布的性质，当样本容量较小时，检验统计量服从t分布。

四、实例分析为了更好地理解单正态总体的参数假设检验方法，我们以某电商平台的订单发货时间为例进行分析。

假设我们关注的是该电商平台订单的平均发货时间。

我们提出如下的原假设和备择假设：原假设（H0）：订单的平均发货时间为3天。

上一段中， H0:μ=μ0 ; H1: μ≠μ0 的对立假设为H1:μ≠μ0 ,该假设称为双边对立假设。

2. 单边检验 H0: μ=μ0; H1: μ>μ0而现在要处理的对立假设为 H1: μ>μ0, 称为右边对立假设。

类似地，H0: μ=μ0; H1: μ<μ0 中的对立假设H1: μ<μ0，假设称为左边对立假设。

右边对立假设和左边对立假设统称为单边对立假设，其检验为单边检验。

例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为μ0 ；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为µ。

我们想了解“µ是否显著地大于μ”,即产品的质量指标是否显著地增加了。

8.2.2 两个正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)均值的比较在应用上，经常会遇到两个正态总体均值的比较问题。

例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。

将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体N(µ1, σ12) 和N(µ2, σ22)。

比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值µ1和µ2的的问题。

上面，我们假定 σ12=σ22。

当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的 t 检验。

在实用中，只要我们有理由认为σ12和σ22相差不是太大，往往就可使用上述方法。

通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节), 就认为σ12和σ22相差不是太大。

J 说明小结本讲首先介绍假设检验的基本概念；然后讨论正态总体均值的各种假设检验问题，给出了检验的拒绝域及相关例题。

单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。

2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。

根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。

3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。

4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。

如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。

5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。

根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。

下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。

假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。

我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。

现在我们要进行假设检验。

1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。

2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。

z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。

4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。

5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。

在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。

如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。

单个正态总体参数的假设检验一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种方法，其基本思想是通过抽样来对总体参数进行推断，并判断总体参数是否满足其中一种假设。

在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0），这是一个既定的假设，表示总体参数满足其中一种特定的值或不满足其中一种特定的关系。

同时，我们还提出一个备择假设（H1），表示总体参数不满足原假设。

通过对样本数据的统计推断，我们可以对原假设进行拒绝或不拒绝的判断。

二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1.提出假设：根据问题的需求和背景条件，提出原假设和备择假设。

2.确定显著性水平：显著性水平（α）是指当原假设成立时，我们愿意犯第一类错误的概率。

一般情况下，我们常使用0.05作为显著性水平。

3.选择检验统计量：根据所需检验的问题，选择适当的检验统计量。

在单个正态总体参数的假设检验中，常用的检验统计量有Z检验和t检验。

4.计算检验统计量的观察值：根据样本数据计算出检验统计量的观察值。

5.根据显著性水平查找拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，查找拒绝域的临界值。

6.判断并作出结论：如果检验统计量的观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。

三、应用领域1.药物临床试验：在新药物的临床试验中，可以通过对患者进行抽样，检验患者服用药物前后的药效差异是否显著，以判断药物的疗效。

2.市场调研：在市场调研中，可以通过对一定数量的顾客进行问卷调查，检验顾客对其中一种产品的满意度是否显著不同，以了解产品在市场中的竞争力。

3.品质控制：在生产过程中，可以通过抽样检验产品的质量是否符合设定的标准。

例如，食品加工厂可以通过抽样检验产品的营养成分是否达到设定的要求。

4.经济学研究：在经济学研究中，可以通过对一定数量的经济指标进行抽样，检验指标的差异是否显著，以判断宏观经济政策的有效性。

总结：单个正态总体参数的假设检验是统计学中一种重要的方法，通过对样本数据的统计推断，判断总体参数是否满足其中一种假设。

单正态总体的参数假设检验在统计学中，假设检验是一种用于判断总体参数是否符合某种特定假设的方法。

而单正态总体的参数假设检验则是指对一个正态分布总体的参数进行假设检验。

单正态总体的参数假设检验通常涉及两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。

原假设是我们想要进行检验的假设，而备择假设则是与原假设相反的假设。

在单正态总体的参数假设检验中，我们通常关注的参数有均值（μ）和标准差（σ）。

下面将分别介绍如何进行均值和标准差的参数假设检验。

1. 均值参数假设检验对于均值参数的假设检验，常用的方法有Z检验和T检验。

Z检验适用于总体的标准差已知的情况，而T检验适用于总体的标准差未知的情况。

假设我们要对一个正态分布总体的均值进行假设检验，原假设为均值等于某个特定值（H0: μ = μ0），备择假设为均值不等于特定值（H1: μ ≠ μ0）。

我们需要计算样本的均值（X̄）和标准差（S），然后根据样本量（n）和总体标准差（σ）的已知情况选择对应的检验方法。

如果总体标准差已知，可以使用Z检验。

计算Z统计量的公式为：Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)然后，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的Z统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。

如果Z统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；否则，接受原假设。

如果总体标准差未知，可以使用T检验。

计算T统计量的公式为：T = (X̄ - μ0) / (S / √n)同样地，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的T统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。

2. 标准差参数假设检验对于标准差参数的假设检验，常用的方法有卡方检验和F检验。

卡方检验适用于单个总体标准差的假设检验，而F检验适用于两个总体标准差的假设检验。

假设我们要对一个正态分布总体的标准差进行假设检验，原假设为标准差等于某个特定值（H0: σ = σ0），备择假设为标准差不等于特定值（H1: σ ≠ σ0）。