正态总体的假设检验

数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。

假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。

根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。

设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。

⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。

以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。

对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。

单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。

2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。

根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。

3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。

4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。

如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。

5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。

根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。

下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。

假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。

我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。

现在我们要进行假设检验。

1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。

2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。

z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。

4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。

5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。

在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。

如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。

§2一．已知方差2σ, 检验假设：:Hμμ=（1）提出原假设：:Hμμ=(μ是已知数)（2）选择统计量：X U μ-=（3）求出在假设H 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布：(0,1)UN（4）选择检验水平α，查正态分布表（附表1），得临界值12u α- ，即12()X P uαμα-->=（5） 根据样本值计算统计量的观察值u ，给出拒绝或接受H 。

的判断： 当12u u α-> 时， 则拒绝H 。

；当12uuα-≤ 时， 则接受H 。

．【例1】某厂生产干电他，根据长期的资料知道，干电他的寿解：现取0.05α=，即1.96)0.05XP>=因而，拒绝原假设，即这批干电他的平均寿命不是200小时.【例２】P.191 ――例2.1（0.05α=，0.01）P.193――例2．2二．未知方差2σ, 检验假设：:Hμμ=：（1）提出原假设：:Hμμ=(μ是已知数)（2）选择统计量：XTμ-=（3）求出在假设H成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布：(1)T t n -（4）选择检验水平α，查自由度为1n-的t-分布表（附表2），得临界值λ，即()XPμλα->=（5）根据样本值计算统计量的观察值t，且给出拒绝或接受H。

的判断：当tλ>时，则拒绝H。

；当t λ≤时，则接受H。

．【例2】 某糖厂用自动打包机包装糖，每包重量服从正态分布，其标准重量μ＝100斤．某日开工后测得9包重量如下：99.3， 98.7, 100.5，101.2， 98.3， 99.7， 99.5， 102.1，100.5， 问：这一天打包机的工作是否正常?(检验水平α=5％) 解：（０）计算样本均值与样本均方差：1.21S = （1）提出原假设：:100Hμ=（2）选择统计量：100X T -=（3）求出在假设H 成立的条件下，确定该统计量服从的概率分布： (8)T t（4）检验水平α=0.05，查自由度为８的t -分布表（附表2），得临界值2.36λ= ，即(2.36)0.05X P >=（5） 根据样本值计算统计量的观察值t=∴0.0552.36t =< 故接受原假设，即所打包机重量的总体的平均重量仍为100斤，也就是说打包机工作正常．【例3】 用一仪器间接测量温度5次1250，1265，1245，1260，1275(℃)．而用另一种精密仪器测得该温度为1277℃(可看作真值)，问用此仪器测温度有无系统偏差(测量的温度服从正态分布)？(参看 P.187 –-- 例1.2)则(4)Tt , 自由度＝1514n -=-=，。

单个正态总体参数的假设检验一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种方法，其基本思想是通过抽样来对总体参数进行推断，并判断总体参数是否满足其中一种假设。

在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0），这是一个既定的假设，表示总体参数满足其中一种特定的值或不满足其中一种特定的关系。

同时，我们还提出一个备择假设（H1），表示总体参数不满足原假设。

通过对样本数据的统计推断，我们可以对原假设进行拒绝或不拒绝的判断。

二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1.提出假设：根据问题的需求和背景条件，提出原假设和备择假设。

2.确定显著性水平：显著性水平（α）是指当原假设成立时，我们愿意犯第一类错误的概率。

一般情况下，我们常使用0.05作为显著性水平。

3.选择检验统计量：根据所需检验的问题，选择适当的检验统计量。

在单个正态总体参数的假设检验中，常用的检验统计量有Z检验和t检验。

4.计算检验统计量的观察值：根据样本数据计算出检验统计量的观察值。

5.根据显著性水平查找拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，查找拒绝域的临界值。

6.判断并作出结论：如果检验统计量的观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。

三、应用领域1.药物临床试验：在新药物的临床试验中，可以通过对患者进行抽样，检验患者服用药物前后的药效差异是否显著，以判断药物的疗效。

2.市场调研：在市场调研中，可以通过对一定数量的顾客进行问卷调查，检验顾客对其中一种产品的满意度是否显著不同，以了解产品在市场中的竞争力。

3.品质控制：在生产过程中，可以通过抽样检验产品的质量是否符合设定的标准。

例如，食品加工厂可以通过抽样检验产品的营养成分是否达到设定的要求。

4.经济学研究：在经济学研究中，可以通过对一定数量的经济指标进行抽样，检验指标的差异是否显著，以判断宏观经济政策的有效性。

总结：单个正态总体参数的假设检验是统计学中一种重要的方法，通过对样本数据的统计推断，判断总体参数是否满足其中一种假设。

正态总体参数的假设检验 正态总体中有两个参数：正态均值与正态⽅差。

有关这两个参数的假设检验问题经常出现，现逐⼀叙述如下。

(⼀) 正态均值的假设检验 ( 已知情形) 建⽴⼀个检验法则，关键在于前三步l，2，3。

5.判断(同前) 注：这个检验法称为u检验。

(⼆) 正态均值的假设检验 ( 未知情形) 在未知场合，可⽤样本标准差s去替代总体标准差，这样⼀来，u统计量变为t统计量，具体操作如下： 1.关于正态均值常⽤的三对假设为 5.判断 (同前) 注：这个检验法称为t检验。

(三)正态⽅差的假设检验 检验正态⽅差有关命题成⽴与否，⾸先想到要⽤样本⽅差。

在基础上依据抽样分布特点可构造统计量作为检验之⽤。

具体操作如下： 1.关于正态⽅差常⽤的三对假设为 5.判断(同前) 注：这个检验法称为检验。

注：关于正态标准差的假设与上述三对假设等价，不另作讨论。

(四) ⼩结与例⼦ 上述三组有关正态总体参数的假设检验可综合在表1.5-1上，以供⽐较和查阅。

续表 [例1.5-2] 某电⼯器材⼚⽣产⼀种云母带，其厚度在正常⽣产下服从N(0.13，0.0152)。

某⽇在⽣产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问⽣产是否正常?(取 =0.05)来源:考试通 解：①⽴假设：②由于已知，故选⽤u检验。

③~④根据显著性⽔平 =0.05及备择假设可确定拒绝域为{ >1.96}。

⑤由样本观测值，求得检验统计量： 由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天⽣产正常。

[例1.5-3] 根据某地环境保护法规定，倾⼊河流的废⽔中⼀种有毒化学物质的平均含量不得超过3ppm。

已知废⽔中该有毒化学物质的含量X服从正态分布。

该地区环保组织对沿河的⼀个⼯⼚进⾏检查，测定每⽇倾⼊河流的废⽔中该物质的含量，15天的记录如下(单位：ppm)3.2，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5，2.9 试在⽔平上判断该⼚是否符合环保规定? 解：①如果符合环保规定，那么应该不超过3ppm，不符合的话应该⼤于3ppm。

正态总体中参数的假设检验正态总体参数的假设检验是统计推断中的一种方法，用于判断总体参数是否符合我们的假设。

下面将详细介绍正态总体参数的假设检验原理和步骤。

一、假设检验原理正态总体参数的假设检验是通过收集样本数据，计算样本统计量来推断总体参数的方法，其中包括均值和标准差。

在进行正态总体参数的假设检验时，我们首先假设总体参数的值，并设立一个零假设和一个备择假设。

其中零假设（H0）是我们希望证伪的假设，备择假设（H1）是我们希望证明的假设。

然后，我们根据样本数据计算得到样本统计量，比如样本均值和样本标准差，并将其与假设中的总体参数进行比较。

通过计算假设检验统计量的值，我们可以判断是否拒绝零假设，即总体参数是否符合我们的假设。

二、假设检验步骤1.确定假设：我们首先需要确定我们要研究的总体参数是均值还是标准差，并设立零假设和备择假设。

通常情况下，零假设是总体参数等于一些特定值，备择假设可以是总体参数大于、小于或者不等于该特定值。

2.收集样本数据：我们需要从总体中取得一个样本，并记录相应的观测值。

3.计算样本统计量：根据样本数据，我们可以计算得到样本均值和样本标准差。

4.计算假设检验统计量：根据样本数据和零假设中的总体参数值，我们可以计算得到假设检验统计量的值，该值用于判断是否拒绝零假设。

5.设定显著性水平：我们需要设定一个显著性水平，通常为0.05或0.01、显著性水平表示拒绝零假设的程度，如果得到的结果小于显著性水平，则可以拒绝零假设。

6.判断拒绝或接受零假设：根据计算得到的假设检验统计量的值与临界值进行比较，如果假设检验统计量的值小于临界值，则拒绝零假设；如果假设检验统计量的值大于等于临界值，则接受零假设。

7.得出结论：根据拒绝或接受零假设的结果，我们可以得出总体参数是否符合我们的假设。

三、举例说明假设我们要研究厂生产的产品的重量是否符合标准，假设标准重量为500克。

我们收集了一个包含30个产品的样本，并计算得到样本的平均重量为495克，标准差为10克。