两个正态总体均值差和方差的假设检验共32页

第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?()()12221212122221,,,,,,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσμσ∙∙∙ 12假设：是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.并记,分别为两样本的均值和方差.()012112.:,:,H H μμμαμ=≠检验假设显著水平22121.σσ当和已知时2212012,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σσ∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.221212σσ-=+X YZ n n 记: 2α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验{}00002212122(1(),.σσ-=≥=-Φ-=+H P P Z z z x yz n n 其中:222122.σσσ当==但未知时2σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量()()22112221211 .2wn S n SS n n -+-=+-1211-=+w X Y T S n n 可取检验统计量为：()21212211wX Y T t n n S n n α-=≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012||||2(2)||11--=≥=+-≥-=+H w P P T t P t n n t x yt P s n n 其中为::值——两样本精确t检验22123.σσ≠当且未知时221212.-=+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212.S S σσ以样本方差分，别代替，{}{}000||||2||,--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理{}/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221212~(01).-=+x y Z N t s sn n 其中: ，，12min(1,1),=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为22211222222112212(//)(/)(/)11+=+--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度{}/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验22112212221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,56.36,211.40,.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算221256.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值不相同。

§7.3 双正态总体参数的假设检验设样本1,,1n X X 取自正态总体211(,)N μσ，样本2,,1n Y Y 取自总体222(,)N μσ，两样本相互独立，它们的样本均值分别为∑==1111n i iX n X ，∑==2121n j jYn Y ，样本方差分别为∑=--=112121)(11n i i X X n S ，∑=--=212222)(11n j j Y Y n S 。

一、 关于两个正态总体方差比的假设检验以双侧检验：2221122210::σσσσ≠↔=H H 为例 选用检验统计量2221S S F =，它在原假设0H 成立的条件下服从F 分布)1,1(21--n n F ；记2221s s f O =表示检验统计量F 的样本观测值，则检验的P 值为⎪⎩⎪⎨⎧<=≥≥=≥=1),/1/1(21),(222212221O O O O f f F P f f F P P 如果如果σσσσ这种检验方法通常称为“F 检验”。

例7.3.1 甲乙两台车床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布),(211σμN ，),(2σμN ，从各自加工的轴中分别抽取若干根，测得其直径如下表所示：试问在显著性水平05.0=α下，两台车床加工的精度是否有显著差异？解：（1）依题意，考虑假设检验问题2221122210::σσσσ≠↔=H H （2）用F 检验，检验统计量为)6,7(~02221F S S F H =或)7,6(~/102122F S S F H =；（3）由样本观测值可得2164.021=s ，2729.022=s ，检验统计量的值为793.0/2221==s s f O 。

故检验的P 值为76.038.02)793.0/1/1(22221=⨯==≥=σσF P P 。

（4） 因为05.0>P ，所以不拒绝原假设0H ，即没有充分理由认为两种机床所加工轴的精度有显著差异。

两个正态总体方差的假设检验哎呀，这可是个大问题啊！今天我们就来聊聊两个正态总体方差的假设检验。

你说，这东西听着挺高深的，其实也就是一种统计方法，用来检验两个正态分布总体的方差是不是相等。

那我们怎么检验呢？别着急，我慢慢给你讲。

我们得明确什么是正态分布。

正态分布是一种特殊的概率分布，它的形状像一个钟形，左右对称，中间最高点，两边逐渐下降。

听起来好像很神奇的样子，但是其实它在我们日常生活中无处不在。

比如说，你把一本书随机翻到任意一页，那么这本书下一页的内容出现的概率就是一个正态分布。

再比如说，你掷一枚硬币，正面和反面的概率也是正态分布。

所以，正态分布是我们生活中的一个常见现象。

那么，正态分布有什么用呢？其实它在很多领域都有广泛的应用，比如物理学、工程学、经济学等等。

因为正态分布在这些领域中都有很多特殊性质，比如中心极限定理、方差分析等等。

而今天我们要讨论的问题，就是基于这些特殊性质来检验两个正态分布总体的方差是不是相等。

好了，废话不多说了，我们开始进入正题。

我们需要明确两个正态分布总体的概念。

所谓两个正态分布总体，就是有两个独立的正态分布随机变量构成的总体。

这两个随机变量可以是任何实数，只要它们的分布都是正态分布就可以。

接下来，我们需要了解如何计算两个正态分布总体的方差。

方差是一个非常重要的概念，它表示一个随机变量离其均值的平均距离。

对于正态分布来说，方差就是标准差，它是衡量正态分布离散程度的一个重要指标。

计算正态分布总体的方差并不难，只需要用到一些数学公式就可以了。

具体来说，我们可以用以下公式来计算：$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i \mu)^2$其中，$s^2$表示方差，$n$表示样本容量，$x_i$表示第$i$个样本的数据点，$\mu$表示均值。

这个公式告诉我们，只要知道样本容量和每个数据点与均值的距离平方之和，就可以计算出方差了。

那么，有了方差以后，我们就可以进行假设检验了。