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9-4两个正态总体假设检验.

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正态总体均值的假设检验

正态总体均值的假设检验
t 检验 用 t 分布
2 用 分布
检验
下，若能求得检验统计量的 极限分布，依据它去决定临界值C.
例 1 (用例中数据,但未知)
n=10, =0.05, 0=10 t10-1(/2)=t9(0.025)=2.2622
X 10.05,S2 0.05, S 0.224 X 10 0.05 , 即未落入拒绝域为 S 10 2.262 0.160 S 10 2.262
抽取 样本
检验 假设
拒绝还是不能 拒绝H0
P(T W)=
类错误的概率， W为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 显著性 水平
还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.）
-----犯第一

一般说来，按照检验所用的统计量的分布, 分为 U 检验 用正态分布
以上检验法叫U检验法.
X ～tn 1 S/ n
0
于是当原假设 H0:μ =μ X 0 ～tn 1 S/ n
成立时,有:
X 0 P tn 1 2 S / n S 即P X 0 tn 1 n 2 S 拒绝域为 X 0 tn 1 n 2 以上检验法叫t检验法.
第八章 第二节
正态总体均值的假设检验
一、单个正态总体N(,2)均值的检验
(I) H0:μ = μ
0
H1:μ ≠ μ
0
设X1,X2, ,Xn为来自总体N(,2)的样本. 求:对以上假设的显著性水平=的假设检验. 方差2已知的情况
根据第一节例1,当原假设 H0:μ =μ , 有:

两个正态总体的假设检验

两个正态总体的假设检验

由样本观察值算出的 F 满足
F0.95 (9 , 9) 1 3.18 F 1.95 3.18 F0.05 (9 , 9) .
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设 H0 ：σ12 = σ22 ，
从而认为两个总体的方差无显著差异。
注意：在 μ1 与 μ2 已知时，要检验假设 H0 ：σ12 = σ22 ，其
检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
1 n1
2
(
X


)
i 1
n1 i 1
F
1 n2
2
(
Y


)
i 2
n2 i 1
其拒绝域参看表8-5。
( 2 )单边检验可作类似的讨论。
F0.05 (n1 , n2 ) .
8-5
概率学与数理统计
体的样本，且 μ1 与 μ2 未知。现在要检验假设 H0 ： σ2 = σ02 ；
H1： σ2 ≠ σ02 。在原假设 H0 成立的条件下，两个样本方差的
比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小。
于是我们选取统计量
S12
F 2.
S2
( 8.21 )
显然，只有当 F 接近1时，才认为有 σ12 = σ22 。
10 10 2
18
由( 8.20 )式计算得
2.063 2.059
t0
3.3 .
0.0000072 (2 10)
对于 α =0.01，查自由度为18的 t 分布表得 t 0.005( 18 )=2.878。
由于| t0|=3. 3 > t 0.005( 18 )=2.878 ，于是拒绝原假设 H0 ：μ1 = μ2 。

第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)

第58讲 两个正态总体参数假设检验(比较两个正态总体均值的检验)

第58讲：两个正态总体参数的假设检验(比较两个正态总体均值的检验)例1：通常认为男女的脉搏率是没有显著差异的. 现在随机地抽取年龄都是25岁的16位男子和13位女子, 测得他们的脉搏率如下:男: 61, 73, 58, 64, 70, 64, 72, 60, 65, 80, 55,72, 56, 56, 74, 65,女: 83, 58, 70, 56, 76, 64, 80, 68, 78, 108,76, 70, 97.问题：假设男女脉搏率都是服从正态分布, 这些数据能否认为男女脉搏率的均值相同?()()12221212122221,,,,,,,,,,,n n X X X N Y Y Y N X Y S S μσμσ∙∙∙ 12假设：是来自的样本是来自的样本，两样本相互独立.并记,分别为两样本的均值和方差.()012112.:,:,H H μμμαμ=≠检验假设显著水平22121.σσ当和已知时2212012,.~(0X Y X Y C H X Y N n n σσ∙--≥∙-+ 检验统计量拒绝域形式 当成立时，，）.221212σσ-=+X YZ n n 记: 2α≥--Z z z 则检验拒绝域为：检验{}00002212122(1(),.σσ-=≥=-Φ-=+H P P Z z z x yz n n 其中:222122.σσσ当==但未知时2σ首先利用合样本给出参数的无偏估计量()()22112221211 .2wn S n SS n n -+-=+-1211-=+w X Y T S n n 可取检验统计量为：()21212211wX Y T t n n S n n α-=≥+-+检验拒绝域为：{}{}00120012||||2(2)||11--=≥=+-≥-=+H w P P T t P t n n t x yt P s n n 其中为::值——两样本精确t检验22123.σσ≠当且未知时221212.-=+X Y T S S n n 取检验统计量为:22221212.S S σσ以样本方差分，别代替，{}{}000||||2||,--=≥=≥H P P T t P Z P t 值为:(1)当两个样本量都很大时，利用中心极限定理{}/2||α≥T z 检验的拒绝域为:0221212~(01).-=+x y Z N t s sn n 其中: ，，12min(1,1),=--k n n (2)当两个样本为小样本时都很大时，统计量近似服从t 分布，自由度为22211222222112212(//)(/)(/)11+=+--S n S n k S n S n n n 或更精确的近似自由度{}/2||()α≥T t k 检验的拒绝域为: {}{}000||||2()||.--=≥=≥H P P T t P t k t P 值为: t ——两样本近似检验22112212221201,~(,),~(,),16,13,65.31,75.69,56.36,211.40,.X Y X N Y N n n x y s s H H μσμσμμμμ=======≠1212检验假设在例1中设分别表示男女的脉搏率，由已知数据计得:,:：算221256.36,211.40,s s t ==注意到相差很大，采用不等方差的检验法，结论：拒绝原假设，认为男女脉搏率的均值不相同。

正态总体的假设检验

正态总体的假设检验
(Xi μ)2
n
(Xi μ)2
P { i1
σ
2 0
χ
2 1
α 2
(
n)}
P{
i 1
σ
2 0
χ
2
α
(
n)}
α
2
所以拒绝域为： W
{
χ2
χ
2 1
α 2
(
n)
，χ
2
χ
2
α
(n)
}
2
2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验 χ2 检验法
类型 原假设 备择假设
H0
H1
检验统计量
双边 检验
σ2
σ
2 0
σ2
得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数均未知，
问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批导线的
标准差显著地偏大？
解: s2 0.0072 0.0052
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H1 : σ 2 0.0052
检验统计量： χ 2 (n 1)S 2
σ2
拒绝域：
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
设总体X~N (, 2). X1 , X2 , … , Xn是取自X的样本，
样本均值 X样，本方差S2
1．已知
T t（α n 1）
例1. 设某次考试的考生的成绩服从正态分布，从中随
机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标 准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为在 这次考试中全体考生的平均成绩为70分？

双正态总体的假设检验

双正态总体的假设检验
1. 方差 , 已知情形
2 1 2 2
(1) 双侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 0 , 其中 0 为已知常数. 当 H 0 为真时，
x y 0 U ~ N (0,1), 2 2 1 专业课件讲义教材 / n1 2 / n文档 PPT 2
P{| U | k } 查标准正态分布表 k u / 2 u0.025 1.96, 从而拒绝域 为 | u | 1.96. 由于 x 1295, y 1230, 1 84, 2 96, 所以
u
x y

n1
2 1


n2
2 1
3.95 1.96,
x1 , x2 ,, xn1
和
专业课件讲义教材PPT文档
y1 , y2 ,, yn2 ,
3
计算出 U 的观察值 u,若 u u / 2 , 则拒绝原假设 H 0 , 若 u u / 2 , 则接受原假设 H 0 .
类似地，对单侧检验有： (2) 右侧检验 H 0 : 1 2 0 , H1 : 1 2 0 , 可得拒绝域为 其中 0 为已知常数，
H 0 : 1 2 2 , H1 : 1 2 2 ,
专业课件讲义教材PPT文档
8
解 检验假设 H 0 : 1 2 2 , 2 4 22 X 2Y ~ N 1 2 2 , . n1 n2
在 H 0 成立下
1
记其观察值为 u, 相应的检 选取 U 作为检验统计量， 验法称为 u 检验法. 由于 X 与 Y 是 1 与 2 的无偏估计量, 当 H 0 成立时,
u 不应太大, 当 H1 成立时, u 有偏大的趋势, 故拒绝

两个总体的假设检验

两个总体的假设检验
3
案例1——哪种安眠药旳疗效好？
为分析甲、乙两种安眠药旳效果，某医院将20个失 眠病人提成两组，每组10人，两组病人分别服用甲、 乙两种安眠药作对比试验。试验成果如下：
两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)
病人
安眠药
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲
1.9 0.8 1.1 0.1 –0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4
∵本例中“P(F<=f)单尾”旳值为 0.1503， 故其双边检验所到达旳明显性水平为
2×0.1503 = 0.3006 > 0.20
故在在水平 ＝ 0.20下，12 与 22 间无明显差别。
23
§8.5 大样本两个总体百分比旳检验
设 P1, P2 分别是两个独立总体旳总体百分比，
原假设为
H0： P1 = P2
两种安眠药延长睡眠时间对比试验(小时)
病人 安眠药
1
2
34
5678
9 10
甲
1.9 0.8 1.1 0.1 –0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4
乙
0.7 –1.6 –0.2 –1.2 –0.1 3.4 3.7 0.8 0.0 2.0
(1)两种安眠药旳疗效有无明显差别？
(2)假如将试验措施改为对同一组10个病人，每人分别 服用甲、乙两种安眠药作对比试验，试验成果仍如 上表，此时两种安眠药旳疗效间有无差别？
～ t ( n1+n2-2 )
其中：
S
2 w
(n1
1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
,
称为合并方差。
完全类似地，能够得到如下检验措施：
统计量
备择假设

正态总体参数的假设检验


578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 572, 596, 584 试判断新生产的铜丝的折断力有无提高(取α=0.05)?
解
H0 : 0 570 H1 : 0
用U检验法,这时拒绝条件为U u , 计算知 X 575.2,
U X 0 575.2 570 2.05 u u0.05 1.645
N (0,1) U u
| T | t / 2 T t T t
2法
2


2 0

2

2


2 0
2


2 0


2 0
2
(n 1)S 2


2 0
2


2 0
2


2 0
0
2

2 1
/
2
或
提出检验假设 H0 : p p 0 0.17 H1 : p 0
用大样本U 检验法,这时拒绝条件为|U| u / 2 将 n 400, x 56 / 400 0.14, p(1 p) 0.17(1 0.17) 0.376代入,得
| u |
U法
( 2已知)
0
0 0
0
T法
( 2未知)
0
0
假设H1
0 0 0
0 0 0
检验统计量
U X 0 / n
T X 0
S/ n
抽样分布 拒绝条件 A (P( A) )
9.2 正态总体参数的假设检验
一、一个正态总体参数的假设检验 二、非正态总体均值的假设检验 三、两个正态总体参数的假设检验 四、两个非正态总体均值的假设检验

两个正态总体方差比的假设检验

市场管理部门可以断定该种大瓶碳酸饮料包装重量不足,可 以对其提出投诉.
三、总体为非正态分布
非正态总体时，大样本情况（n≥30）
近似地，
~ ( ,
2 );
n
如果已知，近似地 ~ (,1);
如果未知，近似地 ~ (,1).
例4、某房地产经纪人宣称某邻近地区房屋的平均 价值低于480000元。从40间房屋组成的一个随机样本 得出的平均价值为450000元，标准差为120000元。在 0.05的置信水平下，是否支持这位经纪人的说法？
犯两错误的概率：在假设检验中， 犯第一类错误的概率记为α，α也称为显著性水 平。
犯二类错误的概率记为β。
两类错误有相反的关系（如下图所示），减小α会引起β 增大，减少β会引起α增大。
可能带来的后果越严重，危害越大的哪一类错误，在假设 检验中作为首要的控制目标！它是谁呢？
假设检验中，遵守首先控制犯α错误原则大家都在执行这 样一个原则。 原因是：原假设是什么常常是明确的，而替换假设是什么 常常是模糊的。所以，人们常把我们最关心的问题作为原 假设提出，将较严重的错误放到了α，这就能够在假设检 验中对α错误实施有效控制。
一、单个总体比率的检验
二、2个总体比率之差的检验
（一）检验2个总体比率是否相等的假设
（二）检验2个总体比率之差为某一个不为0的常数的假设
第五节 总体方差的假设检验
一、单个正态总体方差的假设检验
二、2个正态总体方差比的假设检验
•
如果你指挥不了自己，也就指挥不了 别人。 。22.3.2 222.3.2 2Tuesday, March 22, 2022
用寿命在1000小时以上，该机构当然不会拒绝这批货。因
为灯泡寿命增加，不会给这个机构增加额外的费用。因此，

正态总体均值的假设检验


假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验
3．大样本单个正态总体均值的检验
设总体为 X ，它的分布是任意的，方差 2 未知， X1 ，X2 ， ，Xn 为 来自总体 X 的样本，H0 ： 0（ 0 已知）．当样本容量 n 很大（ n 30 ）
时，无论总体是否服从正态分布，统计量 t X 0 都近似服从正态分 S/ n
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，故选取统计量
H0 ： 0 72，H1 ： 72 ． t X 0 ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | | t |
x 0
s/ n
t
/
2
(n
1)
．
又知 n 26，x 74.2，s 6.2，查表得 t /2 (25) t0.025 (25) 2.06 ，则有 | t | x 0 74.2 72 1.81 2.06 ， s/ n 6.2/ 26
解 依题意，建立假设 由于 2 未知，取检验统计量
H0 ： 0.8，H1 ： 0.8 ．
t X 0 ~ t(n 1) ， S/ n
已知 0.05 ，故此检验问题的拒绝域为
W t | t x 0 s/ n
t (n 1) ．
又知 n 16 ，x 0.92，s 0.32 ，查表得 t0.05 (16 1) t0.05 (15) 1.75，则有 t x 0 0.92 0.8 1.50 1.75 ， s/ n 0.32/ 16
假设检验 H0 ： 0 ，H1 ： 0 的拒绝域为 W {t | t t (n 1)}．
（7-8） （7-9）
假设检验
正态总体均值的假设检验
1.1 单个正态总体均值的假设检验

正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表


（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
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得拒绝域为 F<F1/2(n11, n21) 或F>F/2(n11, n21)
，n2 1)＝9.60 查表 Fb＝F0.025 (n1 1
Fa＝F0.975 (n1 1 ，n2 1)＝
S12 2653.5 计算 F 2 0.23 S2 11784
1 1 ＝ 0.10 F0.025 (n2 1，n1 1) 9.60
2
2 x =998 s1 =2653.5
S 在H 0成立的条件下, F ~ F (n1 1，n2 1) S
2 2
y =820 s 2 2 =11784
对于给定的检验水平α＝0.05,构造小概率事件 p{F<F1/2(n11, n21)∪F>F/2(n11, n21)} =
§9.4两个正态的假设检验
在实际工作中还常常需要对两个正态进行比较。 §9.1 例3就属此种。假设 i N(i , i2 ), i=1,2 关于两个总体中的相应参数比较问题，本节介绍 下面三种： 2 (1) 未知 μ1，μ2，检验假设 H0：12 = 2 2 (2) 未知μ1，μ2， 检验假设 H0：12 2 2 (3) 未知 12， 22 但知道 12＝ 2 检验假设 H0：1＝2
α/2
F1/2(n11, n21)＝
1 Fa＝F1- 2 (n1 1,n2 1)= F 2 (n2 1,n1 1)
2 S1 若F1- 2 (n1 1,n2 1)< 2 <F 2 (n1 1,n2 1) 接受假设H0 S2
否则，拒绝假设H0
二、两个正态总体方差的单边假设检验 2 2 H0：1 2 未知μ1，μ2， 检验假设
2 设X1， ， X n1 ~N (1 , 12 ); Y1， ， Yn2 ~N (2 , 2 )， iid iid
两样本独立, 给定检验水平 , 由观测值
选取统计量 F S12 / 12 S /
2 2 2 2
～F (n1 1,n2 1)
在H 0成立的条件下,
2 2 S12 S1 / 1 F 2 2 2 = F S2 S2 / 2
一、方差比的假设检验 假定1, 2未知
2 设X1， ， X n1 ~N (1 , ); Y1， ， Yn2 ~N (2 , 2 )， 2 1 iid iid
两样本独立, 给定检验水平 , 由观测值
x1， ， xn1；
2 1 2 2
y1， ， yn2
F S12 / 12
2 2 S2 /2
选取统计量
对于给定的检验水平α＝0.05,构造小概率事件
p{T >t (2n 2)} ， 即得拒绝域为 T >t (2n 2)
查表 t (2n 2)＝t0.05 （ 8）＝2.306
计算 t = 998 820 =3.313 2653.5 11784 5
t =3.313>2.306=t0.05 (8)
检验假设 H0： ； 选取统计量
S12 在H 0成立的条件下, F 2 ~ F (n1 1，n2 1) S2
对于给定的检验水平α,构造小概率事件 p{FF1/2(n11, n21)∪FF/2(n11, n21)} =
由p{FF1/2(n11, n21) 或FF/2(n11, n21)} = 得拒绝域 FF1/2(n11, n21) 或FF/2(n11, n21) Fb(n11, n21)可以直接查到 Fa Fb α/2 1－α
对于给定的检验水平α,构造小概率事件
p{F*>F(n11, n21)} =
得拒绝域为： F>F(n11, n21)
三、均值差的假设检验
iid
两样本独立，给定检验水平，由观测值x1， ， xn1； y1， , yn2 检验假设 H 0：1 2；
2 设X1， ， X n1 ~N (u1，12 ); Y1， ， Yn2 ~N (u2， 2 )，
选取统计量 F 2 2 S2 / 2 S12 在H 0成立的条件下, F 2 ~ F (n1 1，n2 1) S2
S12 / 12
对于给定的检验水平α＝0.05,构造小概率事件
解
2 首先建立待检假设 H0：12＝ 2
选取统计量
2 1 2 2
F
S /1 S /
2 1 2 2
iid
假定
2 1 2 2
2
在H 0成立的条件下, T
X Y
2 1 2 2
(n 1 1) S (n2 1) S n1 n 2 2
~ t (n1 n
p{ T t (n1 n2 2)} ，即得拒绝域为 T t (n1 n2 2)
Fa＝0.10<0.23<9.60=Fb
2 接受H0，可以认为12＝ 2
解
然后建立待检假设 H' ：1＝2 0
T X Y X Y
2 S12 S 2 n
2 (n 1 1) S12 (n2 1) S2 1 n1 1 n2 n1 n 2 2 X Y 在H 0成立的条件下, T ～t (2n 2) 2 2 S1 S2 n
拒绝假设H'0：1 2
即认为两种 玉米产量有明显的差异。
关于两个正态总体期望值相等的假设检验，需要 用到(定理7.4推论2中)两个总体方差相等的条件。 这个条件的成立，往往是从已有的大量经验中 得到或者是事先进行了关于两个方差相等的检验， 并且得到了肯定的结论。
例1 在10个相同的地块上对甲，乙两种玉米进行 品比试验，得如下资料（单位：kg） 甲 951 966 1008 1082 983
乙
730
864
742
774
990
给定检验水平α =0.05，则问题是检验两个总体的， 2 是否相等 期望值1与2是否相等 以及方差12与 2
2 2 H ： ＝ 解 首先建立待检假设 0 1 2