计数应用题-课件
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简单计数问题 ppt课件
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
9
例1 在1,2,3，…，200中，能被5整除的数共 有几个？ 第一类：末位数字是0时，一共有20个； 第二类：末位数字是5时，一共有20个； 根据加法原理，共有40个
南昌
郑州
北京
5
思 考：比较问题1,变式与3有什么异同。
目的地：都是从南昌到北京 方 式：火车或者飞机 区别在于：问题3先要去郑州，而问题1,变式 直接去北京，即问题3不能一个步骤就能完成 从南昌到北京这件事。
6
完成一件事：有n类办法。 第一类办法中有m1种不同的方法； 第二类办法中有m2种不同的方法； 第三类办法中有m3种不同的方法； …… 第n类办法中有mn种不同的方法。
13
课堂小结：
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的 前提和条件.这两个原理都是指完成一件事,区别在于：
（1）分类加法计数原理是“分类”，每类办法 中的每一种方法都能独立完成一件事；
（2）分步乘法计数原理是“分步”；每种方法 都只能做这件事的一步, 不能独立完成这件事, 只有各个步骤都完成才算完成这件事情!
10
例2 书架取书问题：书房上层书架共有书15
本，中层16本，下层14本：
Q1：从中任取一本，有多少种取法；
Q2：从中取三本，要求每层各取一本，有多
少种不同取法。
Q1：第一类：从上层书架取：有15种
第二类：从中层书架取：有16种
第三类：从下层书架取：有14种
根据加法原理：共有45种
Q2：第一步：从上层书架取：有15种
《简单计数问题》ppt课件
������!
组合
元素的
,
������������ ������ =
������������ ������ ������(������-������)(������-������)·…·(������-������+������) ������������ ������
=
������!
=
������!
������!(������-������)!
(m,n∈N+,m≤n)
.. 导. 学 固思
问题4
解决排列组合应用题常见的解题策略
① 特殊 优先的策略; ②合理分类与准确分步的策略; ③排列、组合混合问题先选后 排 的策略; ④ 正 难则 反 、等价转化的策略;
⑤相邻问题
捆绑 处理的策略;
⑥不相邻问题 插空 处理的策略; ⑦分排问题 直排 处理的策略;
⑧定序问题先 排
后
除 处理的策略;
⑨“小集团”排列问题先 整体 后 局部 的策略.
.. 导. 学 固思
1
如图所示,用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四 个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一 种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( A ). A.180 种 B.120 种 C.96 种 D.60 种
.. 导. 学 固思
有十个年轻人在一家饭店吃饭,几个人商议想吃免费的 午餐.老板说“你们每次来吃饭由我安排座位,如果我安 排的座位与前面的哪一次完全重复了,就免去全部费用.”
大家以为很快能吃到免费餐,结果一年以后还没吃到.你 认为他们有可能吃到吗?
.. 导. 学 固思
问题1
上述情境中,老板安排10个人的座位共有 10!=3628800 种
组合
元素的
,
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������!(������-������)!
(m,n∈N+,m≤n)
.. 导. 学 固思
问题4
解决排列组合应用题常见的解题策略
① 特殊 优先的策略; ②合理分类与准确分步的策略; ③排列、组合混合问题先选后 排 的策略; ④ 正 难则 反 、等价转化的策略;
⑤相邻问题
捆绑 处理的策略;
⑥不相邻问题 插空 处理的策略; ⑦分排问题 直排 处理的策略;
⑧定序问题先 排
后
除 处理的策略;
⑨“小集团”排列问题先 整体 后 局部 的策略.
.. 导. 学 固思
1
如图所示,用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四 个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一 种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有( A ). A.180 种 B.120 种 C.96 种 D.60 种
.. 导. 学 固思
有十个年轻人在一家饭店吃饭,几个人商议想吃免费的 午餐.老板说“你们每次来吃饭由我安排座位,如果我安 排的座位与前面的哪一次完全重复了,就免去全部费用.”
大家以为很快能吃到免费餐,结果一年以后还没吃到.你 认为他们有可能吃到吗?
.. 导. 学 固思
问题1
上述情境中,老板安排10个人的座位共有 10!=3628800 种
高中数学新教材苏教版高二课件：计数应用题
2023
1.4 计数应用题
苏教版高二 选修2-3
例1 高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，
2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共
有多少种不同的选法？
解：完成这件事情可分三步进行：
第一步：从30名男生中选3名男生，有∁
种方法；
第二步：从20名女生中选2名女生，有∁
5 × 个；
3
5~9
根据分类计数原理，满足条件的五位数共有
8A + A + A =26418（个）
例3 从0,1,2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，
其中大于13000的有多少个？
思考
在例3中，大于13500的数有多少个？
解法二：由例3知，大于13000的五位数共有26544个；
数，即为
；
第二步：排4名男生，将4名男生在剩下的4个位置上进
行排列的方法数有
种.
根据分步计数原理，共有 =360种排法
解法二：如果将6名学生全排列，共有 种
不同的排法，其中，在男生位置确定之后，
女生的排法数有 种，因为女生的顺序已
经确定，所以这 种排法中，只有一种符
相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，
2名女生不相邻的排法种数共有
−240=480
根据分步计数原理，共有 =480种排法
思考
插空法：用来解决不相邻问题
若有3名女生，4名男生排成一排，其中3名女生
不相邻的不同排法共有多少种？
间接法
=1440
例2 2名女生、4名男生排成一排.
少种？
规律与方法
1.明确问题中涉及的元素：女生，男生，位置
1.4 计数应用题
苏教版高二 选修2-3
例1 高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，
2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共
有多少种不同的选法？
解：完成这件事情可分三步进行：
第一步：从30名男生中选3名男生，有∁
种方法；
第二步：从20名女生中选2名女生，有∁
5 × 个；
3
5~9
根据分类计数原理，满足条件的五位数共有
8A + A + A =26418（个）
例3 从0,1,2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，
其中大于13000的有多少个？
思考
在例3中，大于13500的数有多少个？
解法二：由例3知，大于13000的五位数共有26544个；
数，即为
；
第二步：排4名男生，将4名男生在剩下的4个位置上进
行排列的方法数有
种.
根据分步计数原理，共有 =360种排法
解法二：如果将6名学生全排列，共有 种
不同的排法，其中，在男生位置确定之后，
女生的排法数有 种，因为女生的顺序已
经确定，所以这 种排法中，只有一种符
相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，
2名女生不相邻的排法种数共有
−240=480
根据分步计数原理，共有 =480种排法
思考
插空法：用来解决不相邻问题
若有3名女生，4名男生排成一排，其中3名女生
不相邻的不同排法共有多少种？
间接法
=1440
例2 2名女生、4名男生排成一排.
少种？
规律与方法
1.明确问题中涉及的元素：女生，男生，位置
1.4计数应用题 ppt课件(36张) 高中数学苏教版 选修2-3
4 据分步计数原理，共有 A2 · A 2 4＝48 种站法．
(6)甲在左端的站法有 A5 5 种，乙在右端的站法有
4 A5 种，且甲在左端而乙在右端的站法有 A 5 4种，所 5 4 以甲不站左端，乙不站右端共有 A6 － 2A ＋ A 6 5 4＝
504 种站法．
组合问题
先根据元素无顺序确定是组合问题，然后结合分
【名师点评】
较复杂的排列问题要注意模型化归，
转化为常见常用的方法．如解决元素不相邻的排列 问题，一般采用“插空法”，解决元素相邻的排列
问题，一般采用“捆绑法”，此时别忘考虑大元素
内部之间的排列问题．如有的元素顺序保持不变，
一般采用“除法”，如正面求解较复杂，一般采用
“排除法”．
变式训练1
六人按下列要求站一横排，分别有
重复数字的 4 位数，其中，必含数字 2 和 3 ，并
且2和3不相邻的四位数有多少个？
【思路点拨】 从特殊元素0入手分类．
【规范解答】 注意到“0”的特殊性，故分两类来 讨论． 第一类：不含 “0” 的符合条件的四位数，首先从 2 1,4,5 这三个数字中任选两个作排列有 A3种；进而 将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首 尾位置，又有 A2 3种排法，于是不含 0 且符合条件 2 的四位数共有 A2 A 3 3＝36(个).4 分 第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正 面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先 从 1,4,5 这三个数字中任选一个，而后与 0,2,3 进
顺序 有关则为排 顺序 有关，若与________ 的元素的________ 组合 ． 列，否则为________
2．对于排列组合的综合问题，求解时要注意分类与
(6)甲在左端的站法有 A5 5 种，乙在右端的站法有
4 A5 种，且甲在左端而乙在右端的站法有 A 5 4种，所 5 4 以甲不站左端，乙不站右端共有 A6 － 2A ＋ A 6 5 4＝
504 种站法．
组合问题
先根据元素无顺序确定是组合问题，然后结合分
【名师点评】
较复杂的排列问题要注意模型化归，
转化为常见常用的方法．如解决元素不相邻的排列 问题，一般采用“插空法”，解决元素相邻的排列
问题，一般采用“捆绑法”，此时别忘考虑大元素
内部之间的排列问题．如有的元素顺序保持不变，
一般采用“除法”，如正面求解较复杂，一般采用
“排除法”．
变式训练1
六人按下列要求站一横排，分别有
重复数字的 4 位数，其中，必含数字 2 和 3 ，并
且2和3不相邻的四位数有多少个？
【思路点拨】 从特殊元素0入手分类．
【规范解答】 注意到“0”的特殊性，故分两类来 讨论． 第一类：不含 “0” 的符合条件的四位数，首先从 2 1,4,5 这三个数字中任选两个作排列有 A3种；进而 将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首 尾位置，又有 A2 3种排法，于是不含 0 且符合条件 2 的四位数共有 A2 A 3 3＝36(个).4 分 第二类：含有“0”的符合条件的四位数，注意到正 面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先 从 1,4,5 这三个数字中任选一个，而后与 0,2,3 进
顺序 有关则为排 顺序 有关，若与________ 的元素的________ 组合 ． 列，否则为________
2．对于排列组合的综合问题，求解时要注意分类与
高二数学计数应用题(PPT)5-4
案件做出处理，分为判决和裁定两种。②动根据体育运动的竞赛规则，对运动员竞赛的成绩和竞赛中发生的问题做出评判。③名在体育竞赛中执行评判工作 的人：足球～｜国际～。也叫裁判员。 【裁判员】名裁判?。 【裁汰】〈书〉动裁减（多余的或不合用的人员）。 【裁员】动（机关、企业）裁减人员。 【裁酌】动斟酌决定：处理是否妥当，敬请～。 【采】（採）①动摘（花儿、叶子、果子）：～莲｜～茶◇到海底～珠子。②动开采：～煤｜～矿。③动搜 集：～风｜～矿样。④选取；取：～购｜～取。 【采】①精神；神色：神～｜兴高～烈。②（）名姓。 【采】同“彩”。 【采办】动采购；置办：～年货。 【采编】动采访和编辑：新闻～｜电视台的～人员。 【采茶戏】名流行于江西、湖北、广西、安徽等地的地方戏，由民间歌舞发展而成，跟花鼓戏相近。 【采伐】动
例1
• 高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学 生中选3名男生,育委员， 共有多少种不同的选法？
～茂盛｜发展经济，开辟～。 【财运】名发财的运气：～亨通。 【财政】名政府部门对资财的收入与支出的管理活动：～收入｜～赤字。 【财政赤字】年 度财政支出大于财政收入的差额，会计上通常用红字表示，所以叫财政赤字。也叫预算赤字。 【财主】?名占有大量财产的人：土～｜大～。 【裁】①动用 刀、剪等把片状物分成若干部分：～纸｜～衣；发光字 / 不锈钢字 楼顶大字 ；服。②量整张纸分成的相等的若干份；开○：对～ （整张的二分之一）｜八～报纸。③动把不用的或多余的去掉；削减：～军｜～员｜这次精简机构，～了不少人。④安排取舍（多用于文学艺术）：别出 心～｜《唐诗别～》。⑤文章的体制、格式：体～。⑥衡量；判断：～判｜～决。⑦控制；抑止：～制｜制～｜独～。 【裁编】∥动裁减编制：～定岗。 【裁兵】∥ī动旧指裁减军队。 【裁并】动裁减合并（机构）。 【裁撤】动撤销；取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。 【裁处】动考虑决定并加以处 置：酌情～。 【裁定】动①裁决。②法院在审理案件或判决执行过程中，就某个问题做出处理决定。 【裁断】动裁决判断；考虑决定：这件事究竟怎样处理， 还望领导～。 【裁夺】动考虑决定：此事如何处置，恳请～。 【裁度】〈书〉动推测断定。 【裁缝】动剪裁缝制（衣服）：虽是布衫布裤，但～得体。 【裁缝】?名做衣服的工人。 【裁减】动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 【裁剪】动缝制衣服时把衣料按一定的尺寸裁开：～技术｜这套衣服～得 很合身。 【裁决】动经过考虑，做出决定：如双方发生争执，由当地主管部门～。 【裁军】动裁减武装人员和军事装备。 【裁判】①动法院依照法律，对
例1
• 高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学 生中选3名男生,育委员， 共有多少种不同的选法？
～茂盛｜发展经济，开辟～。 【财运】名发财的运气：～亨通。 【财政】名政府部门对资财的收入与支出的管理活动：～收入｜～赤字。 【财政赤字】年 度财政支出大于财政收入的差额，会计上通常用红字表示，所以叫财政赤字。也叫预算赤字。 【财主】?名占有大量财产的人：土～｜大～。 【裁】①动用 刀、剪等把片状物分成若干部分：～纸｜～衣；发光字 / 不锈钢字 楼顶大字 ；服。②量整张纸分成的相等的若干份；开○：对～ （整张的二分之一）｜八～报纸。③动把不用的或多余的去掉；削减：～军｜～员｜这次精简机构，～了不少人。④安排取舍（多用于文学艺术）：别出 心～｜《唐诗别～》。⑤文章的体制、格式：体～。⑥衡量；判断：～判｜～决。⑦控制；抑止：～制｜制～｜独～。 【裁编】∥动裁减编制：～定岗。 【裁兵】∥ī动旧指裁减军队。 【裁并】动裁减合并（机构）。 【裁撤】动撤销；取消（机构等）：～关卡｜～重叠的科室。 【裁处】动考虑决定并加以处 置：酌情～。 【裁定】动①裁决。②法院在审理案件或判决执行过程中，就某个问题做出处理决定。 【裁断】动裁决判断；考虑决定：这件事究竟怎样处理， 还望领导～。 【裁夺】动考虑决定：此事如何处置，恳请～。 【裁度】〈书〉动推测断定。 【裁缝】动剪裁缝制（衣服）：虽是布衫布裤，但～得体。 【裁缝】?名做衣服的工人。 【裁减】动削减（机构、人员、装备等）：～军备。 【裁剪】动缝制衣服时把衣料按一定的尺寸裁开：～技术｜这套衣服～得 很合身。 【裁决】动经过考虑，做出决定：如双方发生争执，由当地主管部门～。 【裁军】动裁减武装人员和军事装备。 【裁判】①动法院依照法律，对
——解决计数问题的方法.ppt
加法法则
要数出分为两个集合的事物时，可以使用加法法则。 思考题： 在一副扑克牌中，有10张红桃数字牌（A、2、3、4、5、6、7、8、9、 10），3张红桃花牌（J、Q、K）。那么红桃共有多少张？ 答案： 数字牌10张，加上花牌3张，共有13张。
4
加法法则
加法法则就是将无“重复”元素的两个集合A、B相加，得到A U B的元素数。 A U B的元素数=A的元素数+B的元素数 |A U B|=|A|+|B| 注意： 加法法则只在集合中没有重复元素的条件下成立。有重复的情况下，必 须减去重复才能得到正确的数量。
5
容斥原理
思考题：控制亮灯的扑克牌 在一副扑克牌中，有13个级别（A、2、3、4、5、6、7、8、9、J、Q、 K）。我们将A、J、Q、K设为级数1、11、12、13。在你的面前有一个 装置，只要往里面放一张牌，它会根据牌的级数控制灯光的亮灭。 (1)若n是2的倍数，亮灯。 (2)若n是3的倍数，亮灯。 (3)若n不是2的倍数，也不是3的倍数，灭灯。 往这个装置依次放入13张牌，最后亮灯的有多少张牌？
9
8
乘法法则
假设A为扑克牌花色的集合，B为扑克牌级别的集合 集合A=｛红桃，黑桃，方片，梅花｝ 集合B=｛A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K｝ 而集合A×B列举如下： A×B= ｛
（红桃，A），（红桃，2），（红桃，3），……（红桃，K） （黑桃，A），（黑桃，2），（黑桃，3），……（黑桃，K） （方片，A），（方片，2），（方片，3），……（方片，K) （梅花，A），（梅花，2），（梅花，3），……（梅花，K) ｝ 共52张牌
答案： 在1-13中，2的倍数有2、4、6、8、10、12共6张。 在1-13中，3的倍数有3、6、9、12共4张。 在1-13中，既是2的倍数，又是3的倍数的有6、12共2张。 因此，亮灯的牌有6+4-2=8（张）
高二数学计数应用题(PPT)5-1
部分：晚霞映红了～。②人们常形容新社会妇女的巨大力量能顶起半边天，因此用“半边天”借指新社会的妇女。 【半彪子】?〈方〉名不通事理，行事鲁 莽的人。 【半…不…】……略同“半…半…”（多含厌恶意）：～明～暗｜～新～旧｜～生～熟｜～死～活。 【半成品】名加工制造过程未全部完成的产品。 也叫半制品。 【半大】形属性词。形体介乎大小之间的：～小子｜～桌子。 【半大不小】指人未到成年但已不是儿童的年龄。 【半导体】名导电能力介于
过～。 【半…半…】……分别用在意义相反的两个词或词素前面，表示相对的两种性质或状态同时存在：～文～白（白话里面夹杂着文言）｜～明～暗｜～ 信～疑｜～吞～吐（说话含糊不清，不直截了当）｜～推～就。 【半半拉拉】?ɑ〈口〉形状态词。不完全；没有全部完成的：工作做了个～就扔下了。 【半 辈子】?名指中年以前或中年以后的生活时间：前（或上）～｜后（或下）～｜当了～教员。 【半壁】〈书〉名半边，特指半壁江山：江南～。 【半壁江山】 指保存下来的或丧失掉的部分国土。 【半边】（～儿）名指某一部分或某一方面：～身子｜这个苹果～儿红，～儿绿｜广场东～。 【半边天】名①天空的一
导体和绝缘体之间的物质，如锗、硅、硒和某Байду номын сангаас化合物。这种物质具有单向导电等特性。 【半岛】名伸入海洋或湖泊的陆地，三面临水，如我国的辽东半岛、
雷州半岛等。 【半道儿】名半路：～折回。 【半点】（～儿）数量词。表示极少：一星～儿｜知识的问题是一个科学问题，来不得～的虚伪和骄傲。 【半
吊子】?名①不通事理，说话随便，举止不沉稳的人。②知识不丰富或技术不熟练的人。③做事不认真、有始无终的人。 【半封建】形属性词。封建国家遭 受
例1
• 高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学 生中选3名男生,2名女生分别担任班长、副 班长、学习委员、文娱委员、体育委员， 共有多少种不同的选法？
过～。 【半…半…】……分别用在意义相反的两个词或词素前面，表示相对的两种性质或状态同时存在：～文～白（白话里面夹杂着文言）｜～明～暗｜～ 信～疑｜～吞～吐（说话含糊不清，不直截了当）｜～推～就。 【半半拉拉】?ɑ〈口〉形状态词。不完全；没有全部完成的：工作做了个～就扔下了。 【半 辈子】?名指中年以前或中年以后的生活时间：前（或上）～｜后（或下）～｜当了～教员。 【半壁】〈书〉名半边，特指半壁江山：江南～。 【半壁江山】 指保存下来的或丧失掉的部分国土。 【半边】（～儿）名指某一部分或某一方面：～身子｜这个苹果～儿红，～儿绿｜广场东～。 【半边天】名①天空的一
导体和绝缘体之间的物质，如锗、硅、硒和某Байду номын сангаас化合物。这种物质具有单向导电等特性。 【半岛】名伸入海洋或湖泊的陆地，三面临水，如我国的辽东半岛、
雷州半岛等。 【半道儿】名半路：～折回。 【半点】（～儿）数量词。表示极少：一星～儿｜知识的问题是一个科学问题，来不得～的虚伪和骄傲。 【半
吊子】?名①不通事理，说话随便，举止不沉稳的人。②知识不丰富或技术不熟练的人。③做事不认真、有始无终的人。 【半封建】形属性词。封建国家遭 受
例1
• 高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学 生中选3名男生,2名女生分别担任班长、副 班长、学习委员、文娱委员、体育委员， 共有多少种不同的选法？
§1.4计数应用题
5 2 A5 A2 120 2 240
（2）解法1：分2步完成： 第一步，将4名男生排成一排，共有
A
4 种方法 4
第二步，排2名女生，由于2名女生不相邻，于 是可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选 2 出2个排2名女生，共有 A5 种方法 根据分步计数原理，不同排法种数是
A A 24 20 480
N m1 m2 mn 种不同的方法．
3 、A
m n
nn 1n 2 n m 1
其中n, m N , m n.
4、A
5、C
6、C
m n
m n
n! n m!
n! m!n m !
m n
n (n 1)( n 2) (n m 1) m!
自学检测：P28 练习 1
例1 高二(1)班有30个男生,20名女生,从50名学生中选 3名男生,2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、 文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？ 解：完成这件事情可分成三步进行：
3 第一步，从30名男生中选3名男生，共有 C3 0 种方法 2 C2 0 种方法 第二步，从20名女生中选2名女生，共有
4 4 2 5
解法2：因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种 情况，所以由（1）的结果可知，两名女生不相邻 6 5 2 的排法种数是 A6 A5 A2 720 240 480
（3）分2步完成:
第一步 排2名女生，由于女生的顺序已经确定，这2名 女生的排法种数为6个位置中选出2个位置的组合数， 即为 C 2
第三步，从选出的5名学生进行分工，即全排列，共 5 A5 种方法 有
3 2 5 根据分步计数原理，共有 C3 0 C2 0 A5 92568000 种选法。
（2）解法1：分2步完成： 第一步，将4名男生排成一排，共有
A
4 种方法 4
第二步，排2名女生，由于2名女生不相邻，于 是可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选 2 出2个排2名女生，共有 A5 种方法 根据分步计数原理，不同排法种数是
A A 24 20 480
N m1 m2 mn 种不同的方法．
3 、A
m n
nn 1n 2 n m 1
其中n, m N , m n.
4、A
5、C
6、C
m n
m n
n! n m!
n! m!n m !
m n
n (n 1)( n 2) (n m 1) m!
自学检测：P28 练习 1
例1 高二(1)班有30个男生,20名女生,从50名学生中选 3名男生,2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、 文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？ 解：完成这件事情可分成三步进行：
3 第一步，从30名男生中选3名男生，共有 C3 0 种方法 2 C2 0 种方法 第二步，从20名女生中选2名女生，共有
4 4 2 5
解法2：因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种 情况，所以由（1）的结果可知，两名女生不相邻 6 5 2 的排法种数是 A6 A5 A2 720 240 480
（3）分2步完成:
第一步 排2名女生，由于女生的顺序已经确定，这2名 女生的排法种数为6个位置中选出2个位置的组合数， 即为 C 2
第三步，从选出的5名学生进行分工，即全排列，共 5 A5 种方法 有
3 2 5 根据分步计数原理，共有 C3 0 C2 0 A5 92568000 种选法。
苏教版高中数学选修2-3 1.4 计数应用题课件(37张)
18
跟踪训练2 (1)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务 活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工
作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、 丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________.
解析 按从事司机工作的人数进行分类：
①有 1 人从事司机工作：C13C24A33(或 C13C13C24A22)＝108(种)； ②有 2 人从事司机工作：C23·A33＝18(种).
1.4 计数应用题
11
(2)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活 动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有__1_4_0__种. 解析 C37C34＝140.
1.4 计数应用题
12
题型二 有限制条件的排列、组合问题 例2 将5个不同的元素a，b，c，d，e排成一排.
(1)a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？ 解 按首位是a还是e分类计数.
答案 14
1.4 计数应用题
34
课堂小结
排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决 此类问题通常有三种途径：①以元素为主考虑，应先满足特 殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先 满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条
1.4 计数应用题
35
件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或 组合数.前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法， 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题； 再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后 分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子 计算作答.
4×3×2×1＝24 种排法. 第二类：a不排在末位，此时可按照先排a，再排e，最后 排b，c，d分步计数： 第一步：a 排在中间，有 A13＝3 种排法.
计数1(PPT)5-2
看下面的问题：
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车. 一天中,火车有3班,汽车有2班,那么一天中乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法?
因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种
走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以共
有3+2=5种不同走法. 火车1火车2Βιβλιοθήκη 甲火车3乙
汽车1 汽车2
源：想象力是创造力的～之一。 【本愿】名本心：学医是我的～。 【本真】①名原来的面目；本相；本性：恢复～。②形符合本色而真实：为人～。 【本 证】名负有证明责任的当事人证明其主张的事实存在的证据（跟“反证”相对）。 【本职】名自己担任的职务：做好～工作。 【本旨】名本来的或主要的用 意和目的。 【本质】名指事物本身所固有的，决定； 少儿口才加盟 少儿口才加盟 ；事物性质、面貌和发展的根本属性。事物的本质是隐 蔽的，是通过现象来表现的，不能用简单的直观去认识，必须透过现象掌握本质。 【本主儿】名①本人：～一会儿就来，你问他得了。②失物的所有者：物 归～｜这辆招领的自行车，～还没来取。 【本子】?名①把成沓的纸装订在一起而成的东西；册子：笔记～。②版本：这两个～都是宋本。③演出的底本： 写～｜改～。④指某些成本儿的证件：考～（通过考试取得驾驶证或其他合格证书）。 【本字】名一个字通行的写法与原来的写法不同，原来的写法就称为 本字，如“掰”的本字是“擘”，“搬”的本字是“般”，“喝”（喝酒）的本字是“欱”。 【苯】名有机化合物，化学式。无色液体，有芳香气味，容易 挥发和燃烧。可做燃料、溶剂等，也用来合成有机物质。［英］ 【苯并芘】名有机化合物，化学式，黄色针状晶体，难溶于水，易溶于各种有机溶剂，有强 烈的致癌作用，主要存在于汽车尾气、香烟烟雾和熏烤食品中。 【苯甲基】ī名苄基的旧称。 【畚】①簸箕?。②〈方〉动用簸箕撮：～土｜～炉灰。 【畚斗】 〈方〉名簸箕（专用于撮、簸粮食）。 【畚箕】ī〈方〉名簸箕。 【夯】同“笨”（见于《西游记》、《红楼梦》等书）。 【坋】〈书〉尘埃。 【坌】〈方〉 动翻（土）；刨：～地。 【坌】〈书〉①尘埃：尘～｜微～。②聚：～集。③粗劣。④用细末撒在物体上面。⑤笨；不灵巧。 【奔】（逩）①动直向目的地
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车. 一天中,火车有3班,汽车有2班,那么一天中乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的 走法?
因为一天中乘火车有3种走法,乘汽车有2种
走法,每一种走法都可以从甲地到乙地,所以共
有3+2=5种不同走法. 火车1火车2Βιβλιοθήκη 甲火车3乙
汽车1 汽车2
源：想象力是创造力的～之一。 【本愿】名本心：学医是我的～。 【本真】①名原来的面目；本相；本性：恢复～。②形符合本色而真实：为人～。 【本 证】名负有证明责任的当事人证明其主张的事实存在的证据（跟“反证”相对）。 【本职】名自己担任的职务：做好～工作。 【本旨】名本来的或主要的用 意和目的。 【本质】名指事物本身所固有的，决定； 少儿口才加盟 少儿口才加盟 ；事物性质、面貌和发展的根本属性。事物的本质是隐 蔽的，是通过现象来表现的，不能用简单的直观去认识，必须透过现象掌握本质。 【本主儿】名①本人：～一会儿就来，你问他得了。②失物的所有者：物 归～｜这辆招领的自行车，～还没来取。 【本子】?名①把成沓的纸装订在一起而成的东西；册子：笔记～。②版本：这两个～都是宋本。③演出的底本： 写～｜改～。④指某些成本儿的证件：考～（通过考试取得驾驶证或其他合格证书）。 【本字】名一个字通行的写法与原来的写法不同，原来的写法就称为 本字，如“掰”的本字是“擘”，“搬”的本字是“般”，“喝”（喝酒）的本字是“欱”。 【苯】名有机化合物，化学式。无色液体，有芳香气味，容易 挥发和燃烧。可做燃料、溶剂等，也用来合成有机物质。［英］ 【苯并芘】名有机化合物，化学式，黄色针状晶体，难溶于水，易溶于各种有机溶剂，有强 烈的致癌作用，主要存在于汽车尾气、香烟烟雾和熏烤食品中。 【苯甲基】ī名苄基的旧称。 【畚】①簸箕?。②〈方〉动用簸箕撮：～土｜～炉灰。 【畚斗】 〈方〉名簸箕（专用于撮、簸粮食）。 【畚箕】ī〈方〉名簸箕。 【夯】同“笨”（见于《西游记》、《红楼梦》等书）。 【坋】〈书〉尘埃。 【坌】〈方〉 动翻（土）；刨：～地。 【坌】〈书〉①尘埃：尘～｜微～。②聚：～集。③粗劣。④用细末撒在物体上面。⑤笨；不灵巧。 【奔】（逩）①动直向目的地
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分析：
依题意知，恰好有两个球的编号与盒子的编 号相同，则其它三个球必不能投放到与球的编号 相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒 子，就成了受限制的特殊元素与特殊位置。
解：分二个步骤：
第一步：先在五个球中任选两个球放到与球
编号相同的盒子内，共有 C
2 5
种投放法。
第二步：放另外三个球。剩下的三个球，不
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
改变一下男女生的人数自己编题练习。
例3
从0，1，2，…，9这10个数字中选出5 个不同的数字组成五位数，其中大于 13000的有多少个？
变题：
从0，1，2，…，9这10个数字中选出5 个不同的数字组成五位数，其中大于 13500的有多少个？
练习：
1)平面M内有5个点，平面N内有4个点，且平面M 与平面N互相平行，这九个点最多能构成多少个四
失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号
球的方法数为
C
1 2
种，投放4、5号球的方法
只有一种，共有
C
1 2
种放法。
列举法是对数字不大的问题最有效的方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1:四名同学坐在椅子上，站起来后重新 坐下，每位同学都不坐在自己原来的 位置的坐法有多少种？ 9
例2:在一块并排10垄的田地中，选择2垄分
别种植两种AB作物，每种作物种植一垄，
1.4 计数应用题
例1
• 高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学 生中选3名男生,2名女生分别担任班长、副 班长、学习委员、文娱委员、体育委员， 共有多少种不同的选法？
例2: 2名女生、4名男生排成一排。 （1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？ （2） 2名女生不相邻的不同排法共有多少种？ （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相 邻）的不同排法共有多少种?
注意：确定分类的标准
3)课本28页1、2、3、4、5
以下为供选讲例题
排列、组合综合问题 先选后排
例1：从1，3，5，7，9五个数字中选2个，0，2，4， 6，8五个数字中选三个，能组成多少个无重复数字
的五位数？ C52C4 3A55C52C42C4 1A4410560
练：
从5名男生、3名女生中选5名担任5门不同学科的 课代表，求符合下列条件的方法数：
例5:有编号为1～5的5个盒子和编号
为1～5号的小球，对应编号的小球不
能放到与编号相同的盒子中。一共有
多少种做法。
如果有6个盒子，6个球。
7
7
8
8
....
.... 又会怎么样？
补例 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为 1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放 入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球， 并且恰好有两个球与盒子的编号相同，则这 样的投放方法有多少种？
（1）女生甲担任语文课代表；A74 840 （2）男生乙必须是课代表，但不担任数学课代表；C74A41A44 3360
（3）女生甲必须担任语文课代表，男生乙必须担任课代表，
但不担任数学课代表； C63A31A33 360
例2：3个人坐在一排8个座位上，若每个人的左右 两边都有空座位，求坐法的种数。
A43 24 插入法
练：某城新修建的一条路上有12只灯，为了节约用 电而不影响正常的照明，可以熄灭其中3只灯，但两 端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄
灯的方法有几种？ C83 56
例3:某中学高二年级有7个班,从中选 出12名同学参加市中学生数学竞赛,每 班至少有1人，问名额分配方案有多 少种?
C161 462
隔板法
分组、分配问题： 例4：6本不同的书，按下列条件，各有 多少种不同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本； （2）分给甲、乙、丙三人，一人1本， 一人2本,一人3本； （3）分为三份，一份1本，一份2本， 一份3本； （4）甲、乙、丙各得2本； （5）分为三份，每份各2本；
问：1）共有多少种放法（允许盒为空） C93 84
2）每个盒子至少有一球的不同放法有多少种？
2)C53 10
隔板法
1、四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取 4个不共面的点,不同的取法共有( D )种:
A.150 B.147 C.144 D.141
2、有两个同心圆，在外圆周上有不的6个点，在内圆
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/52021/3/5Marc h 5, 2021
面体？ 1 )C 5 1 C 4 3 C 5 2 C 4 2 C 5 3 C 4 1 1 2 0
2）由12人组成的课外文娱小组，其中5人只会跳舞， 5人只会唱歌，2人既会跳舞又会唱歌。若选4个会 跳舞和4个会唱歌的去排节目，共有多少种选法？
2 )C 2 2 C 5 2 C 5 4 C 2 1 C 5 3 C 6 4 C 2 0 C 5 4 C 7 4 5 2 5
为有利于作物生长，要求AB两种作物的间
隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少
种？
12
练：6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中， 问：1）共有多少种放法（允许盒为空）？ 2）每个盒子至少有一球的不同放法有多少种？ 3）恰有一个盒子为空的不同放法有多少种？
2)C6 2C A2 2 4 2C A2 2 2 1C1 1A4 4C6 3C A 3 1C 3 32 1C1 1A4 41560 3)7920 例：6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，
周上有不重合的3个点，由这9个点决定的直线最
少有（ B）条： A.18 B.21 C．33
D.36
例3、如图小圆圈表示网络的 结点，结点之间的连线表示它 们有网线相连。连线标注的数 字表示该段网线单位时间内可 以通过的最大信息量。现从结 点A 向结点B传递信息，信息 可以分开沿不同的路线同时传 递。则单位时间内传递的最大 信息量为 D (A)26 (B)24 (C)20 (D)19
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
A
12
12
5 6
6 8
3 47
6
B
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 4:23:25 PM
•
依题意知，恰好有两个球的编号与盒子的编 号相同，则其它三个球必不能投放到与球的编号 相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒 子，就成了受限制的特殊元素与特殊位置。
解：分二个步骤：
第一步：先在五个球中任选两个球放到与球
编号相同的盒子内，共有 C
2 5
种投放法。
第二步：放另外三个球。剩下的三个球，不
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/5
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
改变一下男女生的人数自己编题练习。
例3
从0，1，2，…，9这10个数字中选出5 个不同的数字组成五位数，其中大于 13000的有多少个？
变题：
从0，1，2，…，9这10个数字中选出5 个不同的数字组成五位数，其中大于 13500的有多少个？
练习：
1)平面M内有5个点，平面N内有4个点，且平面M 与平面N互相平行，这九个点最多能构成多少个四
失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号
球的方法数为
C
1 2
种，投放4、5号球的方法
只有一种，共有
C
1 2
种放法。
列举法是对数字不大的问题最有效的方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1:四名同学坐在椅子上，站起来后重新 坐下，每位同学都不坐在自己原来的 位置的坐法有多少种？ 9
例2:在一块并排10垄的田地中，选择2垄分
别种植两种AB作物，每种作物种植一垄，
1.4 计数应用题
例1
• 高二(1)班有30名男生,20名女生.从50名学 生中选3名男生,2名女生分别担任班长、副 班长、学习委员、文娱委员、体育委员， 共有多少种不同的选法？
例2: 2名女生、4名男生排成一排。 （1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？ （2） 2名女生不相邻的不同排法共有多少种？ （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相 邻）的不同排法共有多少种?
注意：确定分类的标准
3)课本28页1、2、3、4、5
以下为供选讲例题
排列、组合综合问题 先选后排
例1：从1，3，5，7，9五个数字中选2个，0，2，4， 6，8五个数字中选三个，能组成多少个无重复数字
的五位数？ C52C4 3A55C52C42C4 1A4410560
练：
从5名男生、3名女生中选5名担任5门不同学科的 课代表，求符合下列条件的方法数：
例5:有编号为1～5的5个盒子和编号
为1～5号的小球，对应编号的小球不
能放到与编号相同的盒子中。一共有
多少种做法。
如果有6个盒子，6个球。
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....
.... 又会怎么样？
补例 设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为 1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放 入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球， 并且恰好有两个球与盒子的编号相同，则这 样的投放方法有多少种？
（1）女生甲担任语文课代表；A74 840 （2）男生乙必须是课代表，但不担任数学课代表；C74A41A44 3360
（3）女生甲必须担任语文课代表，男生乙必须担任课代表，
但不担任数学课代表； C63A31A33 360
例2：3个人坐在一排8个座位上，若每个人的左右 两边都有空座位，求坐法的种数。
A43 24 插入法
练：某城新修建的一条路上有12只灯，为了节约用 电而不影响正常的照明，可以熄灭其中3只灯，但两 端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄
灯的方法有几种？ C83 56
例3:某中学高二年级有7个班,从中选 出12名同学参加市中学生数学竞赛,每 班至少有1人，问名额分配方案有多 少种?
C161 462
隔板法
分组、分配问题： 例4：6本不同的书，按下列条件，各有 多少种不同的分法？
（1）甲得1本，乙得2本，丙得3本； （2）分给甲、乙、丙三人，一人1本， 一人2本,一人3本； （3）分为三份，一份1本，一份2本， 一份3本； （4）甲、乙、丙各得2本； （5）分为三份，每份各2本；
问：1）共有多少种放法（允许盒为空） C93 84
2）每个盒子至少有一球的不同放法有多少种？
2)C53 10
隔板法
1、四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取 4个不共面的点,不同的取法共有( D )种:
A.150 B.147 C.144 D.141
2、有两个同心圆，在外圆周上有不的6个点，在内圆
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月5日星期 五2021/3/52021/3/52021/3/5
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/52021/3/5Marc h 5, 2021
面体？ 1 )C 5 1 C 4 3 C 5 2 C 4 2 C 5 3 C 4 1 1 2 0
2）由12人组成的课外文娱小组，其中5人只会跳舞， 5人只会唱歌，2人既会跳舞又会唱歌。若选4个会 跳舞和4个会唱歌的去排节目，共有多少种选法？
2 )C 2 2 C 5 2 C 5 4 C 2 1 C 5 3 C 6 4 C 2 0 C 5 4 C 7 4 5 2 5
为有利于作物生长，要求AB两种作物的间
隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有多少
种？
12
练：6个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中， 问：1）共有多少种放法（允许盒为空）？ 2）每个盒子至少有一球的不同放法有多少种？ 3）恰有一个盒子为空的不同放法有多少种？
2)C6 2C A2 2 4 2C A2 2 2 1C1 1A4 4C6 3C A 3 1C 3 32 1C1 1A4 41560 3)7920 例：6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，
周上有不重合的3个点，由这9个点决定的直线最
少有（ B）条： A.18 B.21 C．33
D.36
例3、如图小圆圈表示网络的 结点，结点之间的连线表示它 们有网线相连。连线标注的数 字表示该段网线单位时间内可 以通过的最大信息量。现从结 点A 向结点B传递信息，信息 可以分开沿不同的路线同时传 递。则单位时间内传递的最大 信息量为 D (A)26 (B)24 (C)20 (D)19
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/52021/3/52021/3/5M ar-215- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/52021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/52021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021
A
12
12
5 6
6 8
3 47
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/52021/3/52021/3/53/5/2021 4:23:25 PM
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