计数应用题(二)

【导语】成功根本没有秘诀可⾔，如果有的话，就有两个：第⼀个就是坚持到底，永不⾔弃；第⼆个就是当你想放弃的时候，回过头来看看第⼀个秘诀，坚持到底，永不⾔弃，学习也是⼀样需要多做练习。

以下是⽆忧考为⼤家整理的《⼩学奥数计数问题练习与答案【三篇】》供您查阅。

【第⼀篇：整体法经典练习题】经典例题展⽰1：有⼀类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字⽐左右两个数字⼤，⼗位数字也⽐左右两个数字⼤；另有⼀类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字⽐左右两个数字⼩，⼗位数字也⽐左右两个数字⼩。

请问符合要求的数M和W，哪⼀类的个数多？多多少？ 经典例题展⽰2：游乐园的门票1元1张，每⼈限购1张。

现在有10个⼩朋友排队购票，其中5个⼩朋友只有1元的钞票，另外5个⼩朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱。

问有多少种排队⽅法,使售票员总能找得开零钱?【第⼆篇：递推⽅法的概述及解题技巧】在不少计数问题中，要很快求出结果是⽐较困难的，有时可先从简单情况⼊⼿，然后从某⼀种特殊情况逐渐推出与以后⽐较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的⽅法叫递推⽅法。

线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上⼀共有多少条不同的线段？ 分析与解答：从简单情况研究起： AB上共有2个点，有线段：1条 AB上共有3个点，有线段：1＋2＝3（条） AB上共有4个点，有线段：1＋2＋3＝6（条） AB上共有5个点，有线段：1＋2＋3＋4＝10（条） …… AB上共有10个点，有线段：1＋2＋3＋4＋…＋9＝45（条） ⼀般地，AB上共有n个点，有线段： 1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）＝n×（n－1）÷2 即：线段数＝点数×（点数－1）÷2【第三篇：计数习题标数法和加法原理的综合应⽤】★★★★）有20个相同的棋⼦，⼀个⼈分若⼲次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋⼦数不是3或4的倍数，有（）种不同的⽅法取完这堆棋⼦. 【分析】把20、0和20以内不是3或4的倍数的数写成⼀串，⽤标号法把所有的⽅法数写出来： 考点说明：本题主要考察学⽣对于归纳递推思想的理解，具体来说就是列表标数法的使⽤，难度⼀般，只要发现了题⽬中的限制条件，写出符合条件的剩余棋⼦数，然后进⾏递推就可以了。

三年级数学计数应用题在三年级的数学课程中，计数应用题是培养学生逻辑思维和数学计算能力的重要部分。

以下是一些适合三年级学生的数学计数应用题，旨在帮助他们巩固计数技巧，并解决实际问题。

1. 水果店的苹果小明的水果店有三箱苹果，每箱里有20个苹果。

如果小明卖出了两箱苹果，请问他还剩下多少个苹果？2. 班级的图书三年级一班有40名学生，每个学生借了2本书。

如果学校图书馆又给班级增加了10本书，现在班级里总共有多少本书？3. 动物园的动物动物园里有5只大象，每只大象有4条腿。

如果动物园又增加了3只长颈鹿，每只长颈鹿也有4条腿，现在动物园里总共有多少条腿？4. 班级的文具三年级二班有25名学生，每个学生有3支铅笔和2块橡皮。

如果老师又给每个学生发了1支铅笔，现在班级里总共有多少支铅笔？5. 运动会的奖牌学校运动会上，三年级共有5个项目，每个项目有3名获奖者。

如果每个获奖者都能得到1枚奖牌，那么总共需要准备多少枚奖牌？6. 植树节的树木植树节那天，三年级的学生们计划种植树木。

如果每个学生种2棵树，而班级里有30名学生，那么他们一共能种植多少棵树？7. 学校食堂的餐盘学校食堂每天为三年级的100名学生提供午餐。

如果每个学生需要2个餐盘，那么食堂每天需要准备多少个餐盘？8. 数学竞赛的分数在一次数学竞赛中，每个参赛者需要回答10个问题，每答对一个问题得10分。

如果小明答对了其中的7个问题，他总共能得到多少分？9. 班级的座位三年级三班的教室有6排座位，每排有8个座位。

如果今天有2个座位被占用了，那么还剩下多少个空座位？10. 文具店的铅笔文具店有4盒铅笔，每盒有12支。

如果每支铅笔卖1元，那么4盒铅笔一共能卖多少钱？11. 图书馆的借书图书馆规定，每个学生一次可以借5本书，借期为2周。

如果三年级有50名学生，那么图书馆一次需要准备多少本书供学生借阅？12. 学校的校车学校有3辆校车，每辆校车可以坐40名学生。

如果今天有120名学生需要乘坐校车，那么需要多少辆校车才能满足需求？13. 班级的绘画比赛班级举行了一次绘画比赛，每个学生提交了2幅作品。

小学生数学计数问题练习题题1：一共有10个小朋友，他们很喜欢玩积木。

小明比小杰多玩了3个积木，小杰比小强少玩了4个积木，小强又比小丽多玩了2个积木。

那么小丽一共玩了多少个积木？解析：设小丽玩的积木数为x，根据题意可得小明玩的积木数为x+3，小杰玩的积木数为x+3-4=x-1，小强玩的积木数为x-1+2=x+1。

根据题意将上述数量相加，并将结果等于10，得到方程：x + (x + 3) + (x - 1) + (x + 1) = 10。

化简得4x + 4 = 10，继续化简得4x = 6，最终解得x = 1.5。

因为小丽的积木数应为整数，所以小丽一共玩了1.5个积木。

题2：甲、乙、丙三位同学一起参加了一个比赛，根据获得的奖牌数，已知甲获得了5个金牌，乙获得了3个金牌和2个银牌，丙获得了4个银牌和1个铜牌。

请问，他们一共获得了多少个奖牌？解析：甲获得金牌5个，乙获得金牌3个，丙获得金牌0个。

甲获得银牌0个，乙获得银牌2个，丙获得银牌4个。

甲获得铜牌0个，乙获得铜牌0个，丙获得铜牌1个。

将各项奖牌数量相加，可得甲乙丙三人总共获得的奖牌数量为5 + 3 + 2 + 4 + 1 = 15个奖牌。

题3：小智拥有一些钢笔和铅笔，总共25支，其中铅笔的数量比钢笔的数量多3支。

请问小智一共有多少支铅笔？解析：设小智拥有的钢笔数量为x支，根据题意可以得知铅笔的数量为x+3支。

根据题意将钢笔和铅笔数量相加，并将结果等于25，得到方程：x+ (x + 3) = 25。

化简得2x + 3 = 25，继续化简得2x = 22，最终解得x = 11。

因为小智的钢笔数量为11支，所以小智一共有11 + 3 = 14支铅笔。

题4：班级里有30个学生，其中一半是男生，另一半是女生。

如果班级里的男生人数比女生人数多4个，那么男生和女生各有多少人？解析：设班级里的男生人数为x人，根据题意可以得知女生的人数也为x 人。

根据题意将男生和女生人数相加，并将结果等于班级总人数30人，得到方程：x + x = 30。

关于科学计数法的应用题嘿，你们知道吗？我觉得科学计数法可好玩啦！有一天，我和小伙伴们在公园里玩。

突然，一只小蚂蚁吸引了我的注意。

我蹲下来仔细观察，发现小蚂蚁小小的身体却有着大大的力量。

它能搬动比自己身体大好多倍的食物呢！这让我想到了科学计数法。

就像小蚂蚁虽然很小，但是它的力量可以用科学计数法来表示哦。

比如说，如果小蚂蚁能搬动的食物重量是0.0001 千克，用科学计数法就可以写成1×10⁻⁴千克。

是不是很神奇呢？还有一次，我们去参观科技馆。

在科技馆里，我看到了很多大大的模型。

有一个宇宙飞船的模型特别大，它的长度有好几十米呢！如果用普通的数字来表示，可能会很长很长。

但是用科学计数法就很方便啦。

比如这个宇宙飞船的长度是50000 厘米，用科学计数法就是5×10⁴厘米。

这样一下子就简单多了呢。

科学计数法不仅在这些地方有用，在我们的生活中也有很多地方会用到哦。

比如说，我们的地球很大很大，它的半径大约是 6371000 米。

用科学计数法可以写成 6.371×10⁶米。

还有太阳，太阳离我们很远很远，它到地球的距离大约是 149600000 千米。

用科学计数法就是 1.496×10⁸千米。

哇，这些数字用科学计数法表示起来真的好方便呀！我还想到了一个好玩的例子。

如果我们有很多很多的糖果，比如说有1000000 颗糖果，用科学计数法就是1×10⁶颗糖果。

那如果把这些糖果分给小朋友们，每个小朋友分 10 颗糖果，可以分给多少个小朋友呢？我们可以用科学计数法来算一算。

1×10⁶颗糖果除以 10 颗糖果等于1×10⁵个小朋友。

哈哈，原来可以分给这么多小朋友呢！科学计数法真的好有趣呀！它可以让很大很大或者很小很小的数字变得简单易懂。

我们在学习数学的时候，一定要好好掌握科学计数法哦。

这样我们就能更轻松地解决很多问题啦。

下次如果你们看到很大或者很小的数字，也可以试试用科学计数法来表示哦。

1.4 计数应用题教学目标：利用排列组合知识以及两个基本原理解决较综合的计数应用题，提高应用意识和分析解决问题的能力．教学重点：理解排列和组合． 教学难点：能运用排列和组合以及两个计数原理解决简单的实际问题．教学过程：一、知识回顾排列：1．不重复； 2．有顺序． 组合：1．不重复； 2．无顺序．公式：A C !m m n nm ＝ 性质：C C -m n m n n ＝，11C C C -+m m mn n n ＝＋．二、数学应用例1 高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长，副班长，学习委员，文娱委员，文娱委员，体育委员，共有多少种不同的选法？解 完成这件事情分3步进行：第一步：从30名男生中选3名男生，有330C 种方法， 第一步：从20名女生中选2名女生，有220C 种方法，第三步：将选出的5名学生进行分工，及全排列，有55A 种方法．所以选法有：32530205C C A 92568000 ＝． 答 共有92 568 000种不同的选法． 例2 2名女生，4名男生排成一排． （1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？解 （1）5252A A 240＝．（2）4265245652A A A A A 480或－＝．（3）2464C A 360＝或者6622A 360A ＝． 答 分别有240，480和360种不同的排法.例3 从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13 000的有多少个？解法1 满足条件的五位数有两类：第一类：万位数大于1，这样的五位数共有498A ×个；第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数有387A ×． 所以共有498A ×＋387A ×＝26 544个． 解法2 43989A 2A 26544 －＝． 答 大于13 000的五位数共有26 544个． 三、巩固练习教材P28练习第1，2，3，4，5题．四、要点归纳与方法小结1．相邻（捆绑），不相邻（插空）． 2．特殊元素（或位置）优先安排． 3．混合问题，先组后排． 4．分类组合（隔板）．。

习题课(二)课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．1．排列数公式：A m n＝________________________；组合数公式：C m n＝A m nA m m＝____________________.2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．一、选择题1．8人排成一排，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有几种()A．A36A55B．A88－A66A33C．A35A33D．A88－A462．8名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有()A．360种B．4 320种C．720种D．2 160种3．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同四面体的个数是()A．C48－12 B．C48－8C．C48－6 D．C48－44．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A．140种B．84种C．70种D．35种5．6人被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定．若最终有n个人去的方法是15种，则n的值为()A．2 B．4 C．2或4 D．2或3二、填空题6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．8．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．三、解答题9．从6名运动员中选出4人参加4×100 m的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．能力提升11．从集合{1,2,3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？12．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．习题课(二)答案知识梳理1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！作业设计1．A[使用插空法，先排甲、乙、丙外的5人，共A55种方法．然后在形成的6个空中插入甲、乙、丙共有A36种方法．∴共有A36×A55种排法．]2．B[三个连续数字的可能情况是6种，被选中的运动员全排，剩下的5名运动员全排，所以这8名运动员安排跑道的方式共有6A33A55＝4 320(种)．]3．A[在正方体中，6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体，所以一共有C48－12.]4．C[分两类：(1)甲型1台，乙型2台：C14C25；(2)甲型2台，乙型1台：C24C15.所以一共有C14C25＋C24C15＝70(种)．]5．C6．A88A29解析采用插空法，先排8名学生，共有A88种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A29种排法，∴共有排法：A88×A29种．7．126解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C23×A33＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C13×C24×A33＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．8．30解析方法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．方法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，故有30种选法．9．解分两类：若乙跑第一棒，共有A35＝60(种)；若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C14种，此时跑第四棒的选择有C14种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有A24种，所以有C14C14A24＝192(种)．所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．10．解(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A 44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A 35种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A 22种排法，由分步乘法计数原理，符合要求的排法有：A 44·A 35·A 22＝2 880(种)．11．解 设a 、b 、c ∈N ，且a 、b 、c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c 应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有A 210种选法； (2)第一、三个数都是奇数，有A 210种选法； 于是，选出3个数成等差数列的个数为A 210＋A 210＝180(个)．12．解 方法一 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 99种排法；但是原先的节目已经定好顺序，需要消除，故有A 99A 77＝A 29＝72(种)排法． 方法二 共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A 29种排法；再将剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有A 29C 77＝72(种)排法．。

1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法． 根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⋅．因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)知识要点教学目标7-5-2.组合的基本应用（二）这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n nC =，01n C =．模块一、组合之几何问题【例 1】 在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？【例 2】 平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？【巩固】 如图，问：⑴ 图1中，共有多少条线段？ ⑵ 图2中，共有多少个角？例题精讲54321...P9P3P2P1 BA O模块二、组合之应用题【例3】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？【例4】学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？【例5】有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出种不同的质量。

应用题典型真题（二）江苏省五年级上册数学真题专项培优卷（苏教版）一．应用题（共30小题）1．（2021秋•如皋市期中）某农场有一块三角形试验田，高是400米，底是600米，共收稻谷90吨。

这块试验甜平均每公顷收稻谷多少吨2．（2021秋•南京期中）表格和图片是雨花大厦2008年1～3月份服装和食品营业额的统计图。

雨花大厦2008年1～3月份服装和食品营业额统计图根据服装和食品营业额统计图完成下面的统计表，并回答问题。

月份营业额/万元商品合计1月2月3月总计服装食品（1）几月份的营业额最高？是多少万元？（2）食品平均每月的营业额是多少万元？3．（2022秋•丰县期中）广告公司的李叔叔给客户做了一块三角形宣传牌，底是7米，高是6米。

要在宣传牌的正、反两面刷油漆，每平方米需要油漆1500克，李叔叔准备60千克油漆，够吗？4．（2022秋•丰县期中）姐姐有35元，妹妹有30元，她们合买了一副羽毛球拍，剩下的钱正好买了一盒水彩笔。

水彩笔的售价是8.5元，羽毛球拍的售价是多少元？5．（2022•杭州模拟）妈妈抱着刚满月的女儿站在体重秤上，体重秤显示62千克。

放下女儿后，妈妈独自站在体重秤上，体重秤显示57.6千克，妈妈比女儿重多少千克？6．（2021秋•鼓楼区校级期中）一瓶饮料一共有2.5升，喝了一些后还剩0.95升。

喝了的比剩下的多多少升？7．（2021秋•鼓楼区校级期中）10名同学做引体向上，满9个则为达标，在9个的基础上记录如下：1、3、2、0、﹣5、3、﹣2、1、2、﹣1。

这些同学中有几名达标？他们共做了多少个引体向上？8．买一本故事书6.78元，比买一本科技书便宜3.02元，买一本故事书和一本科技书共花多少元？9．（2021秋•赣榆区期中）“驴友”泛指爱好旅游，经常一起结伴出游的人。

王叔叔就是一名“驴友”，在一次登山旅游中，他每小时走2.4千米，经过4.5小时到达山顶。

如果王叔叔按原路下山，每小时走3千米，需要多少小时才能从山顶回到出发点？10．（2021秋•赣榆区期中）一个商店门口的装饰牌是等腰梯形，上底是16米，下底是22米，高3米。