21间接平差--求平差值一般原理
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条件平差与间接平差的相互关系
一、条件平差与间接平差
1、条件平差与间接平差是指:条件平差是指基础数据是现有被观
测坐标信息,假定各点位置坐标值满足一定近似关系时(即解算中假
定有约束关系或条件,以达到所求结果的平差方法);而间接平差是指,基础数据是待测点的被观测量,包括方位量、距离量等,无任何
关系的前提条件,是一种完全无条件的平差方法。
二、条件平差
2、条件平差一般会把条件设置为两个系统中坐标值的差值最小,
这样就能够更容易地实现平差。
条件平差的典型应用是重叠法平差,
它会利用各观测值之间的内在联系,并通过设定一定的几何条件,使
其之间被观测量满足某一关系,以解决无条件方程组的平差问题。
三、间接平差
3、间接平差是指以被观测量构成的方程组,可以以各种迭代方法
求解,但是必须有一定的条件限制才能使解出的坐标值符合实际要求。
加拿大匹兹堡大学的Bloch教授认为,从下面几个原因考虑起,最好
用间接平差来解决坐标转换的问题:
(1)传统的解算序号很容易引起原点偏移和比例错误;
(2)间接平差可以很好地表示待解系统中的不确定性;
(3)使用间接平差可以很好地降低待解系统中分量精度和消隐关
系统时发生的偏差。
四、条件平差与间接平差的关系
4、条件平差与间接平差是有联系的,相互之间的联系是:可以把
条件平差看做是一种特殊的间接平差,即在无条件间接平差的基础上,再加入解算中的限制条件,以达到所求结果。
可以说,条件平差是间
接平差的分支,而间接平差是条件平差的总集合。
测量平差一.测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下,其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。
人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。
测量平差的目的:一是通过数据处理求待定量的最优估值;二是评定观测成果的质量。
2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。
①观测值线性函数的方差: 函数向量:Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为:ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权,也就是权是表征精度的相对指标。
权的意义不在于它们本身数值的大小,而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i iiP ,...,2,1220==σσi P 为观测值i L 的权,20σ是可以任意选定的比例常数。
②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度,称其为相对精度指标。
确定一组权时,只能用同一个0σ,令0σσ=i ,则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差,简称为单位权方差。
凡是方差等于20σ的观测值,其权必等于1。
权为1的观测值,称为单位权观测值。
无论20σ取何值,权之间的比例关系不变。
③ ⅰ.水准测量的权NC P h =式中,N 为测站数。
SC P h =式中,S 为水准路线的长度。
ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中,i S 为丈量距离。
ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中,i N 为i 次时同精度观测值的平均值。
条件平差与间接平差的内在关系研究作者:曹白金王兵张健来源:《城市建设理论研究》2013年第23期摘要:条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,本文从条件平差原理和间接平差原理入手,利用矩阵分析理论,导出了条件平差与间接平差法的计算公式,揭示了平差模型计算公式的内在规律,并给出了相应的实例,从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题,并以此为基础证明了这两种平差方法结果之间的一致性。
关键词:平差方法;一致性;条件平差;间接平差中图分类号: P207 文献标识码: A 文章编号:Abstract:Condition adjustment and indirect adjustment are the two basic methods of the measurement adjustment.To start with the methods of condition adjustment and indirect adjustment,the formula was deduced using matrix theory in this paper,and the internal rules have been revealed of the adjustment models.The corresponding example is also been given in the paper.The basic relationship between the two adjustment methods has been solved,and it is also the foundation to prove the consistency of two different adjustment methods.Key words:adjustment method,consistency,condition adjustment,indirect adjustment1 条件平差与间接平差原理1.1 条件平差的原理条件平差是以个观测量的平差值作为未知数,并通过它们之间存在的个条件方程来消除观测值之间的不符值,同时运用求条件极值的原理解出改正数,从而求得各观测量的平差值。
§9.1 条件平差原理在条件观测平差中,以n 个观测值的平差值1ˆ⨯n L 作为未知数,列出v 个未知数的条件式,在min =PV V T 情况下,用条件极值的方法求出一组v 值,进而求出平差值。
9.1.1基础方程和它的解设某平差问题,有n 个带有相互独立的正态随机误差的观测值 ,其相应的权阵为 , 它是对角阵,改正数为 ,平差值为 。
当有r 个多余观测时,则平差值 应满足r 个平差值条件方程为:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0ˆˆˆ0ˆˆˆ0ˆˆˆ221122112211οοοr L r L r L r b L b L b L b a L a L a L a n n n n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ (9-1) 式中i a 、i b 、…i r (i =1、2、…n )——为条件方程的系数;0a 、0b 、…0r ——为条件方程的常项数以ii i v L L +=ˆ(i =1、2、…n )代入(9-1)得条件方程(9-2)式中a w 、b w 、……r w 为条件方程的闭合差,或称为条件方程的不符值,即(9-3) 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯n n n n r r r r b b b a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212121⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++++=022110221102211r L r L r L r w b L b L b L b w a L a L a L a w n n n n n b n n a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++000221122112211r n n b n n a n n w v r v r v r w v b v b v b w v a v a v a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L M 211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯n n L L L L ˆˆˆˆ211M 1⨯n L nn P ⨯1⨯n V 1ˆ⨯n L 1ˆ⨯n L则(9-1)及(9-2)上两式的矩阵表达式为0ˆ0=+A LA (9-4) 0=+W AV (9-5)上改正数条件方程式中V 的解不是唯一的解,根据最小二乘原理,在V 的无穷多组解中,取PV V T = 最小的一组解是唯一的,V 的这一组解,可用拉格朗日乘数法解出。
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据(观测数据)是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据,包含信息和干扰(误差)两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差,其来源主要有以下三个方面:1. 测量仪器;2. 观测者;3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义,例如估读小数;2. 系统误差定义,例如用具有某一尺长误差的钢尺量距;系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义,例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2(注意纵、横坐标各表示什么?),直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线(误差的概率分布曲线)在一定的观测条件下得到一组独立的误差,对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下,频率稳定,误差区间间隔无限缩小,图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线,称为误差分布曲线,随着n增大,以正态分布为其极限。
因此,在以后的讨论中,都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中,往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的,而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的,显然,这些量是观测值的函数。
例如,在一个三角形中同精度观测了3个内角L1,L2和L3,其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题:观测值函数的精度如何评定?其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系?如何从后者得到前者?这是本章所要讨论的重要内容,阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
§4-1 间接平差原理2学时间接平差法(参数平差法)是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数,建立函数模型,按最小二乘原理,用求自由极值的方法解出参数的最或然值,从而求得各观测值的平差值。
例如,在一个三角形中,等精度独立观测了三个角,观测值分别为L 1、L 2和L 3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆX ,则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=+=+=+2133222111ˆˆ180ˆˆX X v L Xv L X v L(4-1-1)可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=-=3213222111ˆˆ180ˆˆL X X v L Xv L Xv (4-1-2)为了计算方便和计算数值的稳定性,通常引入未知参数的近似值,这一点在实际计算中是非常重要的,令 x X X ˆˆ0+=,则(4-1-2)式可写成如下形式:⎪⎭⎪⎬⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L xv (4-1-3)式(4-1-2)叫做误差方程,也可以称为某种意义上的条件方程(包含改正数、观测值和参数,“条件个数=观测值个数”),每个条件方程中仅只含有一个观测值,且系数为1。
单纯为消除矛盾, 1v 、 2v 、 3v 可有多组解,为此引入最小二乘原则: min =PV V T可求得唯一解。
因此,间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,建立参数与观测值之间的函数关系,按最小二乘原则,求解未知参数的最或然值,再根据观测值与参数间的函数关系,求出观测值的最或然值,故又称为参数平差。
对上述三角形,引入最小二乘原则,要求:min =PV V T ,设观测值为等精度独立观测,则有:[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零,可得60313132ˆ60313231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][32113212321232213121321222321111+--+=⇒+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv代入误差方程式,得到观测值的最或然值603231316031323160313132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧L L L L L L L L L L L L此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致,说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同,平差结果与具体平差方法无关。
§ 4-1 间接平差原理2学时间接平差法(参数平差法)是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数,建立函数模型,按最小二乘原理,用求自由极值的方法解出参数的最或然值,从而求得各观测值的平差值。
例如,在一个三角形中,等精度独立观测了三个角,观测值分别为L i、L2和L3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数:则可以建立参数与观测值之间的函数关系式(4-1-1)可得叶二£ -厶= £ - 厶v}= 180-^-^a-£(4-1-2)为了计算方便和计算数值的稳定性,通常引入未知参数的近似值,这一点在实际计算中是非常重要的,令,则(4-1-2 )式可写成如下形式:气二务_厲_萃)乃=岛-込—离)v3二-爲_(厶+启+ 兄-180)(4-1-3)式(4-1-2 )叫做误差方程,也可以称为某种意义上的条件方程(包含改正数、观测值和参数,“条件个数二观测值个数”),每个条件方程中仅只含有一个观测值,且系数为1。
单纯为消除矛盾,门、「、二可有多组解,为此引入最小二乘原则「-1-可求得唯一解。
因此,间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,建立参数与观测值之间的函数关系,按最小二乘原则,求解未知参数的最或然值,再根据观测值与参数间的函数关系,求出观测值的最或然值,故又称为参数平差。
对上述三角形,引入最小二乘原则,要求:▼丄…,设观测值为等精度独立观测,则有:[vv]= (£-厶)□(£ -厶)2 +(-禺-禺+180-厶)2 = min按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零,可得鱼理二遮-伫丿-玄⑻-名-乙■。
二0今2名+% —⑶―厶+厶=ol(l)X x亠痣-1E0 二■!■厶=oj (2)(2) x2-(5 =>隔-180 + 珀 _费切 + & 二Q代入误差方程式,得到观测值的最或然值此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致,说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同,平差结果与具体平差方法无关。