第七章间接平差
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误差理论与测量平差基础习题集3
第七章间接平差§7-1间接平差原理7.1.01 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？误差方程和法方程的个数是多少？7.1.02 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为什么？7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗？7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（HA =10.OOOm)，P1，P2为高程未知点，测得离差及水准路线长度为：h 1= 1.352m,S1=2km，h2=-0.531m，S2= 2km,h3= - 0.826m,S3= lkm。
试用间接平差法求各髙差的平差值。
7.1.05在三角形(图7-2)中，以不等精度测得α=78º23´12"，Pα=1;β= 85º30 '06 "，Pß =2;γ=16º06'32"，Pγ=1;δ=343º53'24", Pδ=1；试用间接平差法求各内角的平差值。
7. 1.06设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为HA，HB，路线长为S 1，S 2，观测高差为h 1 h 2，试用间接平差法写出P 点高程平差值的公式。
7. 1.07在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值: L 1=32º25'18", L 2 =61º14'36", L 3=94º09'40",L 4 172010'17" L 5=93º39'48", L 6=155º24'20"已知A 方向方位角αA =21º10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。
附有限制条件的间接平差
nn n1 us
Ks
s1
0
（2）
（2）基础方程的解
以上基础方程中，方程的个数为n+u+s个，而 未知数为n个改正数、u个参数、s个联系数，也是 n+u+s个，故有唯一解。将基础方程的第一式代 入第三式，得
BT PBxˆ CT Ks BT Pl 0 Cxˆ Wx 0
或 Nbb xˆ CT K s W 0
V T PV min的一组解，组成新函数
V
T
PV
2
K
T s
(Cxˆ
Wx )
上式对参数求偏导数，并令其为零，得
即
xˆ
2V
T
PB
2K
T s
C
0
BT PV C T K s 0
于是，可得附有条件的间接平差的基础方程：
V B xˆ l
n1 nu u1 n1
C
su
xˆ
s1
Wx
s1
0
BT
un
P V CT
1 0 0 1 x1 0
0
0 1
1 0 1
0 1 1
1 x2
1 0
x3 kS
0 0 6
0
解之得： x1 2 1 1 1 0 2
x2
x3 kS
1 1
3
1 1
2 1 1
1 2 1
1 0
11
0 6
2
22
代入误差方程，得：
v1 2mm
v2 2mm
于是：
v3 2mm
4）按式（5）计算观测值的平差值和参数的平差值。
2.精度评定 （1）单位权中误差
在附有条件的间接平差中，单位权中误差的 估值仍为
Ks
s1
0
（2）
（2）基础方程的解
以上基础方程中，方程的个数为n+u+s个，而 未知数为n个改正数、u个参数、s个联系数，也是 n+u+s个，故有唯一解。将基础方程的第一式代 入第三式，得
BT PBxˆ CT Ks BT Pl 0 Cxˆ Wx 0
或 Nbb xˆ CT K s W 0
V T PV min的一组解，组成新函数
V
T
PV
2
K
T s
(Cxˆ
Wx )
上式对参数求偏导数，并令其为零，得
即
xˆ
2V
T
PB
2K
T s
C
0
BT PV C T K s 0
于是，可得附有条件的间接平差的基础方程：
V B xˆ l
n1 nu u1 n1
C
su
xˆ
s1
Wx
s1
0
BT
un
P V CT
1 0 0 1 x1 0
0
0 1
1 0 1
0 1 1
1 x2
1 0
x3 kS
0 0 6
0
解之得： x1 2 1 1 1 0 2
x2
x3 kS
1 1
3
1 1
2 1 1
1 2 1
1 0
11
0 6
2
22
代入误差方程，得：
v1 2mm
v2 2mm
于是：
v3 2mm
4）按式（5）计算观测值的平差值和参数的平差值。
2.精度评定 （1）单位权中误差
在附有条件的间接平差中，单位权中误差的 估值仍为
新编文档-07间接平差-精品文档
LˆB （ X0xˆ） d;
VBx ˆ(LBX0d)
令：
lL(B X 0d)LL 0
则得到误差方程：
VBxˆl
关于近似值的选择
选取近似值的目的: 为了便于计算（使误差方程的常数项变
小）。
选取方法： 1、如果参数是观测量的平差值，就选该观
测值为近似值； 2、如果参数是非观测值，就选由观测值来
下图为一方向观测的三角网，则按间接平差法如何 建立误差方程？
一、测方向三角网函数模型
零方向
j
(Xj,Yj)
Zj
Ljh
Ljk
h (Xh,Yh)
k (XK,YK)
Z ˆj L ˆjkˆjk L ˆjkˆjk Z ˆj
Lˆjk ˆjk Zˆj
L jk vjk (0 jkjk) (Z 0 j z ˆj)
个数：t个；未知数是所选参数（与条平？） 系数的构成： 1、由误差方程的系数以及观测值的权阵组成：
NBB BTPB
2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆（凯利 逆）。
法方程的常数项： 由误差方程的系数、误差方程的常数项以及观 测值的权阵组成，即： WBTPl
法方程为： NbbxˆW0
ˆ jk
Yˆk
)0
yˆ k
(
ˆ Xˆ
jk j
)
0
xˆ
j
(
ˆ jk Yˆj
)0
yˆ
j
ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
第七章 间接平差
~ ~ L1 X 1 ~ ~ L2 X 2 ~ ~ ~ o L X X 180 1 2 3 1 0 0 , d 0 B 0 1 1 1 180
3,1
~ ~ ~ ~ L L1 L2 L3 ~ ~ L B Xd
~ ~ h1 X 1 HA ~ ~ ~ h2 X 1 X 2 ~ ~ h3 X 2 H A ~ ~ h X 4 3 HA ~ ~ ~ h5 X 1 X 3 ~ ~ ~ h 6 X2 X3
~ X2
~ X3
T
6 ,1
随机模型
n,n 2 2 D 0 Q 0 P 1 n,n n,n
平差准则
V PV min
T
§7-1 间接平差原理
ˆ a X ˆ b X ˆ t X ˆ d L 1 1 1 1 2 1 t 1 ˆ ˆ b X ˆ t X ˆ d L a X 2 2 1 2 2 2 t 2 ˆ BX ˆd L n ,1 n ,t t ,1 n ,1 L ˆ a X ˆ b X ˆ t X ˆ d n 1 n 2 n t n n
(S )
0 2 jk
cos 0 jk
S0 jk
坐标方位角改正数方程
§7-2 误差方程
• 代入误差方程 误差方程为
0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v jk ( Z 0 z ) ( j j jk a jk x j b jk y j a jk xk b jk yk ) L jk
回 顾
3.特点
• （1）列立观测方程前先选参数，其参数的个数等
于必要观测个数t。
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
第七章——间接平差
c、标准曲线拟合
对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图
所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由于圆曲线的参数方程
为：
X?i ? X?0 ? R?cos??i
Y?i ? Y?0 ? R?sin??i
式中：(x0 , y0 )为圆心坐标，R为半径，
这三个参数是圆的基本参数，? i 为第i
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m，H B =3.953m， HC =7.650m。各点的近似高程为：
H0 p1
?
HB ?
h2
? 5.053m
H0 p2
?
H A ? h7
? 8.452m
H0 p3
?
HC
? h4
? 7.450m
观测值见下表，试列出误差方程。
1234567 (m)
第七章——间接平差
例如在下图，我们选 X?1 ? X?C , X?2 ? Y?C , X?3 ? X? D , X?4 ? Y?D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
v1 ? ( X A ? X?3 ) 2 ? (YA ? X?4 )2 ? L1 v2 ? ( XB ? X?3 ) 2 ? (YB ? X?4 ) 2 ? L2 v3 ? ( X?1 ? X?3 )2 ? ( X?2 ? X? 4 ) 2 ? L3 v4 ? ( XA ? X?1 )2 ? (YA ? X?2 ) 2 ? L4 v5 ? ( XB ? X?1 )2 ? (YB ? X?2 ) 2 ? L5
? l?
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。
为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
附有条件的间接平差)ppt课件
平差对象
地理数据，如经纬度、高程等
案例描述
在GIS中，为了确保地图的准确性，需要使用附有 条件的间接平差对地理数据进行处理，如对全球定 位系统（GPS）数据进行平差处理，以提高其定位 精度。
案例二：气象数据平差
• 应用领域：气象预报
• 平差对象：气象观测数据，如温度、湿度、风速、气压等 • 平差方法：利用已知的气象数据和气象站的位置信息，通过平差计算，对未知的气象数据进行修正，提高其准确性 • 案例描述：在气象预报中，需要对大量的气象观测数据进行平差处理，以获取更准确的气象信息。例如，通过附有条件的间接平差方法，可以修正气象观测数据的误差，提高气象预报的准确率。
附有条件的间接平差的应用场景
附有条件的间接平差广泛应用于大地 测量、工程测量、航空摄影测量等领 域。
在工程测量中，附有条件的间接平差 可以用于桥梁、隧道、建筑物等工程 的施工测量和监测，提高工程质量和 安全性。
在大地测量中，附有条件的间接平差 可以用于处理地球重力场模型的数据， 提高模型精度和可靠性。
解算参数
通过计算或软件解算，得 出未知点的坐标和其它相 关参数的估计值。
参数精度评估
对解算出的参数进行精度 评估，了解其可靠性和误 差范围。
结果检验
残差分析
对解算出的结果进行残差 分析，检查是否符合预期 的误差分布。
精度验证
通过实地测量或其它方式， 验证解算结果的精度和可 靠性。
模型适用性评估
评估所建立的数学模型是 否适用于实际测量情况， 并根据评估结果进行必要 的调整或改进。
常用的计算方法包括最小二乘法、梯度下降法等，选择合 适的计算方法可以提高求解效率和结果的准确性。
03
附有条件的间接平差的 实现步骤
第七章 间接平差
0.91 0.59 0.43 0 . 37 0.42 0.71 0.38
2.47 0.42 0.42 1.38 0 0.71
2014-4-14
0.71 x1 0.59 0 0 x2 4 . 05 1.09 x3 1.42
10
x 1 0.5320 x 0.1619 2 x3 0.3465
0.1619 0.7739 0.1055
0.3465 0.258 0.1055 2.860 1.1432 1.100
一、间接平差原理 设有n个观测值 L ，必要观测个数为t,
选定t个独立参数 X0 近似值取为X ，有
ˆ X x ˆ X L L V
ˆ
0
平差值
平差值方程为：
L1 令：nL ,1 V V1 n ,1 ˆ X ˆ X 1
t ,1 n ,1
Li vi ai X 1 bi X 2 ti X t d i
t ,t
N bb B T PB, W B T Pl
t ,1
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5
三、例题
1.选取 P1 、 P2 两点高程平差值为未知
ˆ 参数 X 1
ˆ 取其近似值: X 2 ˆ X 2
ˆ X 1
X 10 H A h1 12.003(m)
0 X2 H C h3 12.511(m)
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11
第二节 误差方程的列立
一、参数个数的确定
参数的个数等于必要观测个数。 水准网：有已知点：等于待定点个数。无已知点：待定点数减1。
7-间接平差
S1
L1
L3
S2
L2
A
B
ˆ Y Y ˆ ˆ BC BA ˆ BC AB 180 arctan C B AB 180 L2 ˆ X X C B
ˆ Y ˆ Y Y Y C A ˆ ˆ CA ˆ CB ˆ AC 180 ˆ BC 180 arctan L3 arctan C B ˆ X ˆ X X X C A C B
§ 7-1 间接平差原理
三、基础方程的解
将基础方程第一式代入第二式得
ˆ l V B x n ,1 n ,t t ,1 n ,1 T B PV 0 t ,n n ,n n ,1
ˆ l BT PBx ˆ BT Pl 0 BT P Bx
令 则有
N BB BT PB, W BT Pl
1 QLL PLL , n ,n n ,n
1 PLL QL L n ,n n ,n
ˆ W 0 N BB x
t ,t t ,1 t ,1
N BB BT PLL B
t ,t t ,n n,n n,t
4、解算参数改正数
t ,1 1 ˆ N BB x W t ,t t ,1
5、计算改正数
试按间接平差法求B、C、D
h1
B
s1 h3 s3 s2
h2
C
点高程的平差值。
解：此例n=5，t=3，应选
A
s5 h5
3个独立参数，列出5个方程
方程。 1、选参数，计算参数近似值
ˆ H ˆ X 1 B ˆ X ˆ H ˆ X 2 C ˆ ˆ X3 HD
ˆ l V B x
L1
L3
S2
L2
A
B
ˆ Y Y ˆ ˆ BC BA ˆ BC AB 180 arctan C B AB 180 L2 ˆ X X C B
ˆ Y ˆ Y Y Y C A ˆ ˆ CA ˆ CB ˆ AC 180 ˆ BC 180 arctan L3 arctan C B ˆ X ˆ X X X C A C B
§ 7-1 间接平差原理
三、基础方程的解
将基础方程第一式代入第二式得
ˆ l V B x n ,1 n ,t t ,1 n ,1 T B PV 0 t ,n n ,n n ,1
ˆ l BT PBx ˆ BT Pl 0 BT P Bx
令 则有
N BB BT PB, W BT Pl
1 QLL PLL , n ,n n ,n
1 PLL QL L n ,n n ,n
ˆ W 0 N BB x
t ,t t ,1 t ,1
N BB BT PLL B
t ,t t ,n n,n n,t
4、解算参数改正数
t ,1 1 ˆ N BB x W t ,t t ,1
5、计算改正数
试按间接平差法求B、C、D
h1
B
s1 h3 s3 s2
h2
C
点高程的平差值。
解：此例n=5，t=3，应选
A
s5 h5
3个独立参数，列出5个方程
方程。 1、选参数，计算参数近似值
ˆ H ˆ X 1 B ˆ X ˆ H ˆ X 2 C ˆ ˆ X3 HD
ˆ l V B x
间接平差
§4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=+=+=+2133222111ˆˆ180ˆˆX X v L Xv L X v L（4-1-1）可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=-=3213222111ˆˆ180ˆˆL X X v L Xv L Xv （4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 x X X ˆˆ0+=，则（4-1-2）式可写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L xv （4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得60313132ˆ60313231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][32113212321232213121321222321111+--+=⇒+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv代入误差方程式，得到观测值的最或然值603231316031323160313132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧L L L L L L L L L L L L此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
第七章 间接平差
2.9 0 23 85.1 3 .7 1 1 0 0 0 0 38.9 W B T Pl 2.5 0 1 1 1 0 3.3 0 0 0 1 1 46.2 14 4.0 0
其中:
0 l1 L1 F1 X 10 , X 2 , , X t0 0 l 2 L2 F2 X 10 , X 2 , , X t0 0 l n Ln Fn X 10 , X 2 , , X t0
令:
3、计算误差方程常数项 l
l1 h1 X 10 H A 0 0 23 l2 h2 X 10 X 2 0 l3 h3 X 2 H A 0 0 0 14 l4 h4 X 2 X3 0 l5 h5 X 3 H A 0
第七章 间接平差 6、求观测值改正数 、观测值平差值和高程平差值。
v1 1 v 1 2 v3 0 v4 0 0 v5 0 1 1 1 0 0 0 12 ˆ1 23 9 x 0 ˆ 2 0 2 m m 0 x ˆ x 1 14 3 9 1 0 7
第七章 间接平差
4、列误差方程，确定观测值的权：
ˆ1 v1 x ˆ1 x ˆ2 v2 x v3 v4 v5
p1 0 P0 0 0
ˆ2 x ˆ2 x ˆ3 x ˆ3 x
0 p2 0 0 0 0
令c=10，则由定权公式
0 0 0 p4 0 0 p3 0 0
其中:
0 l1 L1 F1 X 10 , X 2 , , X t0 0 l 2 L2 F2 X 10 , X 2 , , X t0 0 l n Ln Fn X 10 , X 2 , , X t0
令:
3、计算误差方程常数项 l
l1 h1 X 10 H A 0 0 23 l2 h2 X 10 X 2 0 l3 h3 X 2 H A 0 0 0 14 l4 h4 X 2 X3 0 l5 h5 X 3 H A 0
第七章 间接平差 6、求观测值改正数 、观测值平差值和高程平差值。
v1 1 v 1 2 v3 0 v4 0 0 v5 0 1 1 1 0 0 0 12 ˆ1 23 9 x 0 ˆ 2 0 2 m m 0 x ˆ x 1 14 3 9 1 0 7
第七章 间接平差
4、列误差方程，确定观测值的权：
ˆ1 v1 x ˆ1 x ˆ2 v2 x v3 v4 v5
p1 0 P0 0 0
ˆ2 x ˆ2 x ˆ3 x ˆ3 x
0 p2 0 0 0 0
令c=10，则由定权公式
0 0 0 p4 0 0 p3 0 0
间接平差
由误差传播律得：
xx
Q ( B T PB ) 1 B T PQPB ( B T PB ) 1 ( B T PB ) 1 ( B T PB ) 1 B T PB ( B T PB ) 1 ( B T PB ) 1
QLL Q(已知）
按协因数传播律得出：
1 1 1 Q XX N bb B T PQPBN bb N bb ˆˆ 1 1 T Q XL N bb B T PQ N bb B T QLX ˆ ˆ 1 T QVL BQ XL Q BN bb B T Q QLV ˆ 1 1 QVX BQ XX QLX BN bb BN bb 0 Q XV ˆ ˆ ˆ ˆˆ
0 j 0 i
当i点已知时： Vij x j (hij ( X X i ))
0 j
当j点已知时： Vij xi (hij ( X j X ))
0 i
2、方向的误差方程
设j、k的坐标为未知参数：
( X jY j ),( X k ,Yk ) ,
N
Zj
零方 向
Z j ——零方向的方位角
~ 0 ~ 0 2 (X k X j ) ~ ~0 0 2 (Yk Y j )
S jk
当j点已知时：
V jk cos 0 xk sin 0 yk jk jk
~ 0 ~ 0 ( X k X j )2 ~ ~0 (Yk0 Y j ) 2
S jk
当k点已知时：
差值；
5．由误差方程计算V，并计算出观测量的平差值。
6. 验算.
§5-2 误差方程
平差的关键：函数模型的建立。
一、参数的确定： 间接平差中，待定参数X的个数必须等于必 要观测的个数t，而且要求这t个参数必须是 函数独立的。 1、参数个数的确定： 2、参数的选择：
间接平差原理
§ 4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L i、L2和L3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数:则可以建立参数与观测值之间的函数关系式(4-1-1)可得叶二£ -厶= £ - 厶v}= 180-^-^a-£(4-1-2)为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2 ）式可写成如下形式：气二务_厲_萃）乃=岛-込—离）v3二-爲_（厶+启+ 兄-180）(4-1-3)式（4-1-2 ）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数二观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾，门、「、二可有多组解，为此引入最小二乘原则「-1-可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求:▼丄…，设观测值为等精度独立观测，则有：[vv]= （£-厶）□（£ -厶）2 +（-禺-禺+180-厶）2 = min按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得鱼理二遮-伫丿-玄⑻-名-乙■。
二0今2名+% —⑶―厶+厶=ol(l)X x亠痣-1E0 二■!■厶=oj (2)(2) x2-(5 =＞隔-180 + 珀 _费切 + & 二Q代入误差方程式，得到观测值的最或然值此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
第七章间接平差
在间接平差中，解算法方程首先求得的是 t个参数。有了这些参数，便可以根据它 们来计算该平差问题中任一量的平差值。
思考： 1、在条件平差中，又是如何表达任一量的
平差值的？ 2、在附有参数的条件平差中有如何？
第七章间接平差
52
条件平差：
Hˆ p3 Hˆ A hˆ1 hˆ4 hˆ4 hˆ4
间接平差：
令 ： ajk
(S 0 jkY )2 j0k,bjk
X0 jk
(S0 jk)2
则：
jk a jk x ˆj b jky ˆj a jk x ˆk b jky ˆk
❖上式称为坐标方位角改正数方程。
第七章间接平差
30
令：ajk
Yj0k
(S
0 jk
)2
sin
0 jk
S
0 jk
bjk
X
0 jk
(S
0 jk
2）相应的函第数七章式间接以平差参数为变量。
Hˆ P3 Xˆ 3 hˆ4 Xˆ 1 Xˆ 3
第七章间接平差
53
例7-10、欲评定待定点点位精度时，如何列立 函数式？
第七章间接平差
54
❖由此可知 ➢条件平差精度评定时：
1）需先算出 Q Lˆ Lˆ 2）相应的函数式以观测值平差值为变 量。
➢间接平差精度评定时Q ：Xˆ Xˆ
1）需先算出
D Q
P 2 1
0L
02
L
nn
nn
✓平差准则：
VT 第七P 章间V 接平差min
5
关于间接平差函数模型
➢间接平差时，一般对参数都要取近似值,
即：
Xˆ X0 xˆ
➢将近似值L 代ˆ入B （ 观X测0方xˆ） 程（d;函数模型）后， 得： VBx ˆ(LBX0d)
第七章间接平差详解
Y
0 jk
(S
0 jk
)
2
(
ˆ jk
Yˆj
)0
X
(
S
0 jk
0 jk
)2
(
ˆ
Xˆ
jk K
)0
Y
0 jk
(
S
0 jk
)
2
(
ˆ jk
Yˆj
)0
X
(S
0 jk
0 jk
)2
" jk
"Y
0 jk
(S
0 jk
)
2
xˆ j
"X
0 jk
(S
0 jk
)2
yˆ j
"Y
0 jk
(S
0 jk
)2
xˆk
c ot
xB cot ( yB cot cot
yA)
yP
yA
c ot
yB cot (xB cot cot
x
A
)
A、B、P（待定点）顺时针编号
2、计算近似坐标方位角、计算近似边长 3、计算坐标方位角改正数系数
DA
"YD0A
(S
0 DA
)2
10
xˆD
"X
(SD0 A)2
0 DA
即V Bxˆ (L BX 0 d ) 令l L BX 0 d 则V Bxˆ l
V T PV min
得：BT PBxˆ BT Pl 0
令：BT PBxˆ NBB BT Pl W
得：NBB xˆ W 0
所以：xˆ
N
W 1
BB
(BT PB)1 BT Pl
间接平差
A
1
P
2 4
C
3
B
D
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数 （1）列误差方程
v1 A ˆ H v2 h2 v 2 X B ˆ v3 h3 v 3 X H C ˆ v4 h4 v 4 X H D
ˆ h1 v 1 X H
0
1
( i 1, 2 , n )
ˆ x1 , X
0
2
ˆ ˆ x 2 X t xt ) Li
0
用级数展开并去掉高次项得：
vi f i ( X 1 , X 2 X t ) (
0 0 0
fi ˆ X 1
ˆ ) 0 x1 (
fi ˆ X 2
ˆ )0 x2 (
ˆ x) d
0
l L (BX
n1 nt t 1
0
d ) LL
n1
ˆ V B x l
间接平差随机模型：
D
nn 2 0
Q 0P
2 nn
1
按最小二乘原理， 必 须 满 足 V T P V m in 的 要 求 ，则有： ˆ x
V P V
T
ˆ x
n1
V P
第二节 误差方程
要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数；
要考虑怎样列出平差值方程；
如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。 一、确定未知数的个数 未知数的个数等于必要观测数 二、参数的选择 参数选择的原则：足数 独立 最简
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量 作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据 实际需要或是否便于计算而定。 如果选取的t个参数中有下列函数关系
1
P
2 4
C
3
B
D
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数 （1）列误差方程
v1 A ˆ H v2 h2 v 2 X B ˆ v3 h3 v 3 X H C ˆ v4 h4 v 4 X H D
ˆ h1 v 1 X H
0
1
( i 1, 2 , n )
ˆ x1 , X
0
2
ˆ ˆ x 2 X t xt ) Li
0
用级数展开并去掉高次项得：
vi f i ( X 1 , X 2 X t ) (
0 0 0
fi ˆ X 1
ˆ ) 0 x1 (
fi ˆ X 2
ˆ )0 x2 (
ˆ x) d
0
l L (BX
n1 nt t 1
0
d ) LL
n1
ˆ V B x l
间接平差随机模型：
D
nn 2 0
Q 0P
2 nn
1
按最小二乘原理， 必 须 满 足 V T P V m in 的 要 求 ，则有： ˆ x
V P V
T
ˆ x
n1
V P
第二节 误差方程
要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数；
要考虑怎样列出平差值方程；
如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。 一、确定未知数的个数 未知数的个数等于必要观测数 二、参数的选择 参数选择的原则：足数 独立 最简
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量 作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据 实际需要或是否便于计算而定。 如果选取的t个参数中有下列函数关系
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✓个数：t个；未知数是所选参数（与条 平？）
✓系数的构成： 1、由误差方Nb程b 的BT系PB数以及观测值的权阵组
成：
2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆 （凯利逆）。
✓法方程的常数项： WBTPl
由及误观差测方值程的的N权b系b阵第x七ˆ数章组间、接W 成平差误，差即0方：程的常数项以11
二、按间接平差法求平差值的计算步骤
第七章间接平差
22
坐标平差：
三角网进行间接平差时，通常取待定点 的坐标为参数，通过平差直接求得待定点 的坐标平差值，这种平差法亦称为坐标平 差。
第七章间接平差
23
下图为一方向观测的三角网，则按间接平差法如何 建立误差方程？
第七章间接平差
24
一、测方向三角网函数模型
零方向
j
(Xj,Yj)
Zj
Ljh
第七章间接平差
14
结论：
一个平差问题，无论采用哪种平差方 法，其最小二乘解是唯一、一致的，即与 具体平差方法无关！
第七章间接平差
15
作业：P52
7.1.04 7.1.05 7.1.07
第七章间接平差
16
例7-3.观测数据如图示，试列立误差方程。
第七章间接平差
17
例7-4.试列立误差方程。
第七章间接平差
jk ( X ˆ ˆjk k)0x ˆk ( X ˆ ˆjjk)0x ˆj ( Y ˆˆk jk)0y ˆk ( Y ˆˆjjk)0y ˆj
第七章间接平差
28
Yk0Yj0
(X ˆˆjjk)01(XX Y k0kk 0 0 XYX 0jj0)0j22 (Xk0XY0jk)02Y(Y j0k0Yj0)2 ( SY 0jkj)0k2
第六章 间接平差
第七章间接平差
1
本章主要介绍三个问题：
✓间接平差原理； ✓误差方程； ✓精度评定。
第七章间接平差
2
测量平差过程:
观测值
数学模型
平差估计准则
法方程
平差值
精度评第七定章间接平差
3
7-1 间接平差原理
回顾关于间接平差：
✓何谓间接平差？
✓建立间接平差的函数模型有何要求？
✓函数模型的一般式如何？
BTPV 0
B TP B x ˆB TP l0
✓法方程：
NbbxˆW0
• 或简写为： 第(其 七章中 间接： 平N 差bbBTPB,WBTPl) 9
✓解法方程：xˆ Nbb1W
✓回代入误差方程求得改正数V：
VBNbb1Wl
✓平差结果：Lˆ L V Xˆ Nhomakorabea X 0 xˆ
第七章间接平差
10
法方程的特点：
第七章间接平差
26
ˆjk
arctan
(Yˆk (Xˆk
Yˆj ) Xˆ j)
ˆjk
arctan
(Yk0 (Xk0
Yj0) X0j )
(
ˆ Xˆ
jk k
)0
xˆ k
(
ˆ jk
Yˆk
)
0
yˆ
k
第七章(间接平Xˆˆ差j
k j
)0
xˆ
j
(
ˆ jk Yˆj
)0
yˆ
j
27
ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
18
例7-5.试列立误差方程。
（测角网）
第七章间接平差
19
例7-8.观测三条边长，试列立误差方程。
（测边网）
第七章间接平差
20
例7-9.试列立误差方程。
（导线测量）
第七章间接平差
21
7-2 观测方程
阐述经常遇到的几种间接平差函数模型： ✓以方向为观测值； ✓以角度为观测值； ✓以边长为观测值；（三角网） ✓以数字化坐标为观测值的拟合模型等。
Ljk
h (Xh,Yh)
k (XK,YK)
Z ˆj L ˆjkˆ 第j七k章 间接L ˆ 平j差kˆjk Z ˆj
25
Lˆjk ˆjk Zˆj
L jk vjk (0 jkjk) (Z 0 j z ˆj)
jk方向的误差方程为:
vjk (0 jk jk)(Z0 j zˆj)Ljk zˆj jk ljk
0 j k j k a r c t a n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ j j k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k j k ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
➢将近似值L 代ˆ入B （ 观X测0方xˆ） 程（d;函数模型）后， 得： VBx ˆ(LBX0d)
lL(B X 0d)LL 0
➢令：
第七章间接平差VBxˆl
6
关于近似值的选择
➢选取近似值的目的: 为了便于计算（使误差方程的常数项变
小）。
➢选取方法：
1、如果参数是观测量的平差值，就选该观 测值为近似值；
1、选参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程，求参数； 5、由误差方程计算V并求平差值。
第七章间接平差
12
例7-1.
试按间解平差法求待定点的高程。
第七章间接平差
13
例7-2.（习题集P46）6.1.09
试按： （1）条件平差法求待定点的高程； （2）间接平差法求待定点的高程； （3）附有参数的条件平差法求待定点的高程；
第七章间接平差
4
✓间接平差的函数模型(观测方程)为：
Lˆ BXˆ d
n1
nt t1
n1
✓误差方程为：
VBxˆl
✓间接平差的随机模型为：
D Q
P 2 1
0L
02
L
nn
nn
✓平差准则：
VT 第七P 章间V 接平差min
5
关于间接平差函数模型
➢间接平差时，一般对参数都要取近似值,
即：
Xˆ X0 xˆ
2、如果参数是非观测值，就选由观测值来
计算得到的参数值为近似值。
第七章间接平差
7
一、基础方程及其解
V T PV min V Bxˆ l
xˆ
❖思考：怎样求得 和V？
第七章间接平差
8
✓按数学上求自由极值的方法，得：
VTP V2VTPVVTP B0
x ˆ
x ˆ
✓转置后得： BTPV 0
✓基础方程为： V B xˆ l
✓系数的构成： 1、由误差方Nb程b 的BT系PB数以及观测值的权阵组
成：
2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆 （凯利逆）。
✓法方程的常数项： WBTPl
由及误观差测方值程的的N权b系b阵第x七ˆ数章组间、接W 成平差误，差即0方：程的常数项以11
二、按间接平差法求平差值的计算步骤
第七章间接平差
22
坐标平差：
三角网进行间接平差时，通常取待定点 的坐标为参数，通过平差直接求得待定点 的坐标平差值，这种平差法亦称为坐标平 差。
第七章间接平差
23
下图为一方向观测的三角网，则按间接平差法如何 建立误差方程？
第七章间接平差
24
一、测方向三角网函数模型
零方向
j
(Xj,Yj)
Zj
Ljh
第七章间接平差
14
结论：
一个平差问题，无论采用哪种平差方 法，其最小二乘解是唯一、一致的，即与 具体平差方法无关！
第七章间接平差
15
作业：P52
7.1.04 7.1.05 7.1.07
第七章间接平差
16
例7-3.观测数据如图示，试列立误差方程。
第七章间接平差
17
例7-4.试列立误差方程。
第七章间接平差
jk ( X ˆ ˆjk k)0x ˆk ( X ˆ ˆjjk)0x ˆj ( Y ˆˆk jk)0y ˆk ( Y ˆˆjjk)0y ˆj
第七章间接平差
28
Yk0Yj0
(X ˆˆjjk)01(XX Y k0kk 0 0 XYX 0jj0)0j22 (Xk0XY0jk)02Y(Y j0k0Yj0)2 ( SY 0jkj)0k2
第六章 间接平差
第七章间接平差
1
本章主要介绍三个问题：
✓间接平差原理； ✓误差方程； ✓精度评定。
第七章间接平差
2
测量平差过程:
观测值
数学模型
平差估计准则
法方程
平差值
精度评第七定章间接平差
3
7-1 间接平差原理
回顾关于间接平差：
✓何谓间接平差？
✓建立间接平差的函数模型有何要求？
✓函数模型的一般式如何？
BTPV 0
B TP B x ˆB TP l0
✓法方程：
NbbxˆW0
• 或简写为： 第(其 七章中 间接： 平N 差bbBTPB,WBTPl) 9
✓解法方程：xˆ Nbb1W
✓回代入误差方程求得改正数V：
VBNbb1Wl
✓平差结果：Lˆ L V Xˆ Nhomakorabea X 0 xˆ
第七章间接平差
10
法方程的特点：
第七章间接平差
26
ˆjk
arctan
(Yˆk (Xˆk
Yˆj ) Xˆ j)
ˆjk
arctan
(Yk0 (Xk0
Yj0) X0j )
(
ˆ Xˆ
jk k
)0
xˆ k
(
ˆ jk
Yˆk
)
0
yˆ
k
第七章(间接平Xˆˆ差j
k j
)0
xˆ
j
(
ˆ jk Yˆj
)0
yˆ
j
27
ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j ˆ jk a r c ta n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ jj k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k jk ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
18
例7-5.试列立误差方程。
（测角网）
第七章间接平差
19
例7-8.观测三条边长，试列立误差方程。
（测边网）
第七章间接平差
20
例7-9.试列立误差方程。
（导线测量）
第七章间接平差
21
7-2 观测方程
阐述经常遇到的几种间接平差函数模型： ✓以方向为观测值； ✓以角度为观测值； ✓以边长为观测值；（三角网） ✓以数字化坐标为观测值的拟合模型等。
Ljk
h (Xh,Yh)
k (XK,YK)
Z ˆj L ˆjkˆ 第j七k章 间接L ˆ 平j差kˆjk Z ˆj
25
Lˆjk ˆjk Zˆj
L jk vjk (0 jkjk) (Z 0 j z ˆj)
jk方向的误差方程为:
vjk (0 jk jk)(Z0 j zˆj)Ljk zˆj jk ljk
0 j k j k a r c t a n ( ( X Y k k 0 0 Y X j 0 0 j ) ) ( X ˆ ˆ j k k ) 0 x ˆ k ( X ˆ ˆ j j k ) 0 x ˆ j ( Y ˆ ˆ k j k ) 0 y ˆ k ( Y ˆ ˆ j j k ) 0 y ˆ j
➢将近似值L 代ˆ入B （ 观X测0方xˆ） 程（d;函数模型）后， 得： VBx ˆ(LBX0d)
lL(B X 0d)LL 0
➢令：
第七章间接平差VBxˆl
6
关于近似值的选择
➢选取近似值的目的: 为了便于计算（使误差方程的常数项变
小）。
➢选取方法：
1、如果参数是观测量的平差值，就选该观 测值为近似值；
1、选参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程，求参数； 5、由误差方程计算V并求平差值。
第七章间接平差
12
例7-1.
试按间解平差法求待定点的高程。
第七章间接平差
13
例7-2.（习题集P46）6.1.09
试按： （1）条件平差法求待定点的高程； （2）间接平差法求待定点的高程； （3）附有参数的条件平差法求待定点的高程；
第七章间接平差
4
✓间接平差的函数模型(观测方程)为：
Lˆ BXˆ d
n1
nt t1
n1
✓误差方程为：
VBxˆl
✓间接平差的随机模型为：
D Q
P 2 1
0L
02
L
nn
nn
✓平差准则：
VT 第七P 章间V 接平差min
5
关于间接平差函数模型
➢间接平差时，一般对参数都要取近似值,
即：
Xˆ X0 xˆ
2、如果参数是非观测值，就选由观测值来
计算得到的参数值为近似值。
第七章间接平差
7
一、基础方程及其解
V T PV min V Bxˆ l
xˆ
❖思考：怎样求得 和V？
第七章间接平差
8
✓按数学上求自由极值的方法，得：
VTP V2VTPVVTP B0
x ˆ
x ˆ
✓转置后得： BTPV 0
✓基础方程为： V B xˆ l