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地砖形状引发的数学思考——正多边形密铺问题探究摘要：我在生活中发现地砖形状以正多边形居多，这是什么原因呢？符合什么样条件的正多边形才可以密铺地面呢？我通过采用若干正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形,分别对其进行一种正多边形、两种正多边形和三种正多边形模拟地砖密铺实验，得出12种每个顶点都是同样数目、同样形状的正多边形组合并设计了几种顶点由不同数目、不同样形状的正多边形组成的图案。
关键词：地砖；正多边形；密铺1.提出问题从小时候开始，每当走在路上，我总是会去观察路面的地砖和路边几何图形。
我从学校、马路、餐馆、商场、家里的地砖图片发现，生活中大部分地砖和墙壁上的瓷砖是正三角形、正方形、正六边形、平行四边形、长方形等等,且以正多边形居多。
这是为什么呢?我一直在思考这个问题，但没有深入去研究。
这次，我下定决心去探索一下这个问题。
二、思考与探索我查了一些资料，发现主要是以下两个原因：①正多边形多角度对称,符合中国人的传统审美观；②可以密铺,不会产生缝隙。
所有的正多边形都可以密铺吗?符合什么样条件的正多边形才可以密铺呢?我开始尝试着用正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形、正十二边形进行以下分类密铺实验：（一）一种正多边形的密铺实验由实验可知,当只采用一种正多边形时,图形中只有正三角形、正方形、正六边形是可以密铺的,而其它图形则不可以。
我对实验中的正多边形内角度数与能否密铺的关系进行分析：由上图可知，n边形的内角和=(n-2) ×180°，正多边形每个内角=因为密铺需要各个顶角构成一个周角360°,所以顶点的内角个数可以。
用以下式子表示:360°÷=360°× = = =2+因为顶角个数应该是正整数，所以应该是正整数，可得n=3、4、6。
我们可以得出结论:如果只用一种正多边形，只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形才能铺满地面。
碎纸片拼接复原的数学方法拼图游戏，一种看似简单却富含深度的游戏，给人们带来了无穷的乐趣。
然而，大家是否想过，这样的游戏其实与数学有着密切的？让我们一起探索碎纸片拼接复原背后的数学方法。
碎纸片拼接复原，其实就是一个计算几何问题。
在数学领域，欧几里得几何和非欧几里得几何是两个基本而又重要的分支。
欧几里得几何主要研究的是在平面上两点之间的最短距离，这是我们日常生活中常见的几何学。
而非欧几里得几何则研究的是曲面上的几何学，这种几何学并不符合我们日常生活中的直觉。
碎纸片拼接复原的问题就是一种非欧几里得几何问题。
在计算机科学中，图论是研究图形和网络的基本理论。
其中，图形遍历算法可以用来解决碎纸片拼接复原问题。
这种算法的基本思想是：从一点出发，尽可能多地遍历整个图形，并在遍历的过程中对图形进行重建。
对于碎纸片拼接复原问题，我们可以将每一张碎纸片看作是图中的一个节点，当两张碎纸片拼接在一起时，它们就形成了一个边。
通过这种方式，我们可以将所有的碎纸片连接起来，形成一个完整的图形。
在计算机科学中，碎纸片拼接复原问题被广泛应用于图像处理、数据恢复等领域。
例如，在数字图像处理中，如果一张图片被切割成若干块，我们可以通过类似的方法来恢复原始的图片。
在数据恢复领域，当一个文件被删除或格式化时，我们也可以通过类似的方法来恢复文件。
碎纸片拼接复原的问题不仅是一个有趣的拼图游戏，更是一个涉及计算几何、图论等多个领域的数学问题。
通过运用这些数学方法，我们可以有效地解决这个问题，从而更好地理解和应用这些数学理论。
在我们的日常生活中，我们经常会遇到一些破碎的物品，例如碎镜子、破碎的瓷器，或是碎纸片等。
这些物品的复原过程都需要一种科学的方法来帮助他们重新拼接起来。
这种科学方法就是碎纸片拼接复原技术。
碎纸片拼接复原技术是一种基于数学模型的方法，它通过比较碎纸片边缘的形状、纹理、颜色等特征，来找到碎纸片之间的相似性和关联性，从而将它们拼接起来。
幼儿园中班数学活动：有趣的拼图一、适宜对象：中大班幼儿二、价值指向：1、掌握数概念，包括相临数、数的分合和数的加减运算等。
2、在游戏中学会自我检验。
3、增加数学活动的趣味性，在成功中获得快乐。
三、材料设计：图一：硬纸板、塑封纸、幼儿生活照片、双面胶1、把硬纸板挖出二个长方形孔。
2、将照片剪成若干块，背面写上相应的数或点。
3、先把固定图案方块塑封好，另外塑封需要镶嵌的方块。
4、另外准备一张塑封纸与刚才塑封好的有部分图案的塑封纸重叠粘贴在已挖好孔的硬纸板上，并在所需部位开个口子，以便孩子进行镶嵌。
图二：废旧的拼图积木若干、卡纸、图片、胶水、塑封纸。
1、用三张不同颜色的卡纸切割成与正方形同样大小的小方块。
2、在小方块上写上算式或相邻数图案，注意得数应为从1——9的数。
3、用三张图案分别切割成与正方形同样大小的小方块。
4、在正方体上粘贴小纸片，注意：粘贴时，正方体的三个面的数字面必须对应三张图片面，这样数字对了，反过来的图案也就正确了。
5、最后将塑封纸做成与六面拼图方块相同大小的透明盒子，以便幼儿将它反转后看清后面的图案。
四、玩法提示：1、图一中要学会镶嵌方法与上下方向提示。
2、反转后图案是完整的，你的数概念就已经掌握了。
3、图二中，玩的时候要注意排列顺序以及相同颜色的数字是在一个面上的。
同样反转后的图案正确了，相应的数概念就已掌握了。
五、指导要点：玩之前给孩子一个悬念，你想知道它的这些图案是什么吗？那么就请你玩一玩，只要把那些数字拼对了，就能发现数字背后的秘密。
巧用拼图实验感悟数形结合作者：***来源：《初中生世界·初中教学研究》2020年第11期苏科版初中数学教材七年级下册第九章“整式乘法与因式分解”中，一个非常重要的思想是用不同的方法计算同一块图形的面积，那么它们是相等的。
通过这个思想推演证实了这一章的法则和公式。
课标要求学生能推导乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单计算;反过来，也能利用公式法进行多项式的因式分解。
“整式乘法与因式分解”这一章中，“整式乘法”和“因式分解”是两种互逆变形，“整式乘法”的最终结果是“和”的形式，“因式分解”的最终结果是“积”的形式，学生容易混淆。
笔者在学生完成此章的学习之后，开展了一节拼图实验的教学，期望学生通过拼图实验，探索拼图与整式乘法、因式分解之间的内在关系，弄清这两种变形的互逆关系及各自的功能，进一步体会数形结合的思想方法，发展几何直观和推理能力。
一、教学实录实验工具：A型纸片（边长为a 的正方形）、B型纸片（边长为b 的正方形）、C型纸片（长为a、宽为b 的长方形）各若干。
1.操作与发现。
用1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片拼成如图1的正方形。
计算整个图形的面积。
于是，可得整式乘法（a+b）2=a2+2ab+b2，因式分解a2+2ab+b2=（a+b）2。
将1张B型纸片按如图2的方法放置于1张A型纸片上。
计算阴影部分的面积。
生1：阴影部分面积是大正方形面积剪去小正方形面积，即a2-b2。
生2：把未被覆盖部分剪开（如图3），重新拼图。
这个新的长方形的面积为（a+b）（a-b）。
生3：把阴影部分剪成两个一样的梯形（如图4），每个梯形的上底是b，下底是a，高是（ab），总面积是（a + b ）（a - b ）2·2=（a+b）（a-b）。
于是，可得整式乘法（a+b）（a-b）=a2-b2，因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）。
“拼图·公式”实验方案
作者：王义华
来源：《初中生世界·七年级》2015年第04期
【实验课题】用给定的材料通过拼图验证代数恒等式.
【实验目的】1. 经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——综合运用已有的知识解决问题的过程；
2. 通过拼图，获得一些研究问题的方法和经验，加深对知识的理解.
【实验材料】边长为a的正方形、边长为b的正方形、长为a宽为b的长方形硬纸片各10块（a>b）.
【实验过程】
活动一：小组内成员合作，利用现有材料，拼图验证完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2.
1. 所拼图形展示，如图1.
2. 验证过程展示（略）.
3. 填写数学实验报告单（如下表）.
活动二：拼图验证代数恒等式.
1. 小组成员共同合作，拼出教师提供的例图（如图2）.
2. 说出该图验证的恒等式，并填写数学实验报告单.
活动三：随意选取一定数量的硬纸片，合作拼成一个长方形，分工计算其面积（体现不同的方法），分别写出代数式，并在小组内交流验证了怎样的恒等式.
活动四：小组成员任意写出一个关于a、b的二次多项式，探讨能否用若干块准备好的硬
纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个式子表示？如不能，你认为具备什么形式的二次多项式可以表示一个长方形的面积？
活动五：在这次“拼图·公式”活动中，用了哪些数学知识？体现了哪些重要的数学思想？
它与多项式的因式分解有何关系？通过这次活动，你有什么收获？
【实验体会】
写一篇关于“拼图·公式”的小论文，谈谈自己拼图的经历、体会和收获. （作者单位：江苏省东台市新街镇中学）。
从动脑思考转为动手思考的代数变形——以巧用拼图因式分
解教学设计为例
赵建平;方秀娟
【期刊名称】《数理化解题研究》
【年(卷),期】2024()11
【摘要】文章以巧用拼图因式分解为例,思考如何将初中数学课堂教学中的动脑思考一步步转向动手思考,再从动手操作里逆向抽象出简约的数学模型,从不同纸片的拼接或者叠放的探究来解决代数变形问题,对基本图形的拼接、叠加和优化,将初中数学中的十字相乘法分解因式巧妙转化为拼图游戏课.通过抓住面积不变的关键点,让学生进行动手操作并深度思考,从而在图形的变化探寻中感受代数式变形的奥秘,激发学生的数学兴趣,培养其核心素养.
【总页数】3页(P53-55)
【作者】赵建平;方秀娟
【作者单位】浙江省湖州市吴兴区教育局教学研究与培训中心;浙江省湖州市吴兴实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.拼图:“因式分解”教学的另类尝试——一节数学实验课的设计、实践与思考
2.循循善诱促思考,动手构建探新知——以\"蛋白质—蛋白质的结构\"教学片段设计
为例3.5G时代数学实验混合式教学的设计与思考——以“拼图与乘法公式”为例4.指向代数推理的单元教学设计与思考——以“一元二次方程的解法”教学为例
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数学游戏实验动手实践数学原理数学游戏是一种有趣且有效的教学方法，通过动手实践的方式，让学生在游戏中掌握数学原理。
本文将介绍数学游戏的定义和意义，以及一些常见的数学游戏实验，通过这些实例来验证数学原理的有效性。
第一部分：数学游戏的定义和意义数学游戏是一种结合数学知识和游戏元素的教学方法。
与传统的课堂教学相比，数学游戏更加生动有趣，能够提高学生的学习积极性和兴趣。
数学游戏可以帮助学生在轻松的氛围中理解和掌握抽象的数学原理，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
第二部分：数学游戏实验一：猜数字游戏猜数字游戏是一种经典的数学游戏，通过这个游戏可以帮助学生加深对整数和比较大小的理解。
游戏规则如下：教师出一个整数，学生通过猜测的方式找出这个数字，每次猜测后，教师会给出提示，告诉学生猜测的数字是大了还是小了，直到学生猜中为止。
通过这个游戏，学生在不断的猜测中，可以逐渐了解整数的大小关系，并在实践中运用大小比较的原理。
这个游戏可以培养学生的观察力和逻辑思维，提高他们解决问题的能力。
第三部分：数学游戏实验二：图形拼图图形拼图是一种培养学生几何思维和空间想象力的数学游戏。
教师可以准备一些图形碎片，学生需要将这些碎片按照要求拼接成完整的图形。
通过这个游戏，学生需要运用几何的知识，理解图形的特征和属性，并在实践中运用这些知识来解决问题。
这个游戏可以帮助学生培养几何思维和空间想象能力，提高他们的观察力和逻辑思维。
第四部分：数学游戏实验三：解谜游戏解谜游戏是一种培养学生逻辑思维和问题解决能力的数学游戏。
教师可以设计一些谜题，学生需要通过推理和分析来解答这些谜题。
通过这个游戏，学生需要理解问题的本质和规律，并通过逻辑推理的方式解决问题。
这个游戏可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高他们的思维灵活性。
第五部分：数学游戏实验的有效性验证为了验证数学游戏的有效性，我们进行了一项实验。
我们选取了一批学生，将他们分为实验组和对照组。
实验组接受了数学游戏的训练，而对照组接受了传统的课堂教学。
拼图公式
【教学目标】
1．能够根据要求由“形”得到有价值的“数”的结论；并能借助图形反映出部分“数”的几何意义，初步运用拼图法将部分二次三项式因式分解。
2．经历从具体问题抽象出数学问题—建立模型—综合运用已有的知识解决问题的过程，获得数学活动的经验，感受“观察、实验、猜想、验证和归纳”的学习方法，在具体问题中把握数学实质，培养数学素养．
3．通过同学间的交流与合作，培养学生勤于实践，勇于发现，乐于创新的学习品质；体会数学的奇妙，享受成功的乐趣，引发学习的兴趣和培养思考的习惯．
【设计说明】
本节课教师从学生已有的拼接正方形的活动经验入手，设计了层层深入的四个活动，深入探讨了拼图与乘法公式的关系，不仅使学生经历了一次数学活动，也使得学生对对乘法公式和数形结合的思想得到了进一步的提高和认识。
【教学准备】
教师准备不同类型的硬纸板，学生《数学实验手册》拼图的纸板
【教学过程】
（一）情境引入：感受“数”“形”
活动一：
展示三种不同规格的小纸片各若干（a×a，b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片）。
我们曾经用a×a，b×b的正方形和a×b的矩形纸片拼成一个正方形。
这个经典的图形让我们认识了一个非常重要的公式，你能说出来吗？你能结合图形来说明公式是如何得到的吗？
（二）情景再现：由“形”到“数”
活动二：
选取适当数量的3种硬纸片，拼成一个长为(a+2b)、宽为(a+b)的长方形。
生：学生小组交流，上台展示结果
（小组交流这个环节很重要，学生通过个人尝试和小组交流，体现了小组合作思想，也锻炼了合作意识。
在小组交流时教师的巡回观察、指导也很重要，它既可以适时指点帮助个别动手能力差的小组，也可以及时全面了解学生活动过程，做到心中有数。
）
师：你发现图中所隐藏的等式了吗？请将它写下来。
生：a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)
(a+2b)(a+b) = a2+3ab+2b2（教师板书）
师：请你结合图形解释你所得到的等式。
生：这个图形是由2个边长为b的正方形，1个边长为a的正方形，3
个长宽分别为a、b的长方形组成的长宽分别为a+2b和a+b的长方形，根据
不同的方法得到的同一图形的面积相同，得到这一等式。
师：说说你写的等式所反映出的数学研究过程。
生：它们分别反映了整式的乘法和多项式的因式分解。
（教师的“结合图形解释你所得到的等式”和“说说你写的等式所反映
出的数学研究过程”这两个问题提的好，揭示了本节活动课所需要达到的关键。
）
活动三
师：我们发现通过拼长方形可以帮助我们进行整式的乘法运算，同时它还帮助我们进行了多项式的因式分解，对于整式的乘法运算脱离拼图也能计算，但是对于我们不熟悉的多项式利用拼图都能因式分解吗？
师：请每个小组的同学任意选取若干块三种硬纸片，先尝试拼成一个长方形，再思考是否能得到反映因式分解过程的等式？
（由给定长宽到开放长宽，思维上升了一个层次。
有了前面的两个活动做铺垫，相信学生通过小组合作，不难拼出图形。
）
师：说说你得到的等式与图形的关系。
生：略。
师：由此，我们发现借助拼长方形可以帮助我们进行因式分解。
（三）情境升华;由“数”到“形”
活动四
师：请你尝试选择三种硬纸片，将它们拼成一个长方形，并且使得所拼长方形的面积分别为3a2+4ab+b2和a2+4ab+b2，你得到怎样的结果？为什么？
生：我们发现3a2+4ab+b2可以拼成长方形，并且能因式分解为
(3a+b)(a+b)；a2+4ab+b2不能拼成长方形，它也不能因式分解。
（有的可以拼成长方形而有的又不能，制造矛盾，激发学生探索欲望，下一个问题的提出水到渠成。
）
活动五
师：请你任意写出一个关于a、b的二次多项式，再用若干块所提供的硬纸片拼成一个长方形，使这个长方形的面积可以用这个多项式表示，要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠。
生：小组合作交流，展示结果
师：同学们写出的关于a、b的二次多项式都能表示一个长方形的面积吗？你们认为具备什么条件的二次多项式可以表示一个长方形的面积？
生：只要能因式分解的二次多项式就可以表示一个长方形的面积；如
果一个二次多项式能表示一个长方形的面积那么它就一定能分解成长方形
的长与宽的积。
（四）总结评价，反思提升
1．通过这一系列的操作活动，谈谈你对拼图和公式之间的认识。
2．教师小结：
在这节课中，当你通过同学间的交流与合作，再经过了自己的实践，你一定感受到了数学中“数”与“形”的和谐美，体会了数学的奇妙，更享受了成功的喜悦！。
