九年级数学：二次函数与图形面积

专题13 巧解二次函数与图形面积综合题知识解读因动点产生的图形面积问题，是抛物线与三角形、四边形相结合的重要形式，解决这类问题常常用到以下技巧：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立.培优学案典例示范例1如图13-1，已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.【提示】（1）只需将A点，C点坐标代入解析式中即可；（2）思路一：△ACE的面积可由12AC×h表示，因为AC固定，若要它的面积最大，则只需h最大，即点E到直线AC的距离最大，如图13-2，若设一条平行于AC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个公共点时，该点就是点E.不妨把这种方法形象的记忆为“平行切线法”。

思路二：基于“分割图形”考虑.如图13-3，过点E 作x 轴的垂线，交AC 于点F .设E （x ，x 2-4x ＋3），则S △AEC =S △AEF ＋S △CEF =32EF ，即△ACE 的面积取决于EF 的长。

若把EF 的长称为△ACE 的“竖直高”，把A ，C 两点横坐标之差的绝对值称为△ACE 的“水平宽”，则△ACE 的面积可直接记为“12×竖直高×水平宽”。

思路三：基于“补全图形”考虑。

但要分点E 在x 轴下方和上方两种情况讨论（为什么要分两种情况？），如图13-4，同时一定要搞清楚线段长度与点坐标的关系，长度是正的，要用大坐标减去小坐标，若不能区分，加上绝对值，请读者自行完成。

【跟踪训练】1.如图13-5，抛物线223212--=x x y 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 是线段AB 方的抛物线上的一点，求ABC ∆的面积的最大值，并求出此时点C 的坐标。

人教版九年级上册数学《二次函数》知识点过关精准练（二次函数与几何图形面积问题）知识储备：1.对于二次函数y=-2x2+4x-5,当x=______时,y有最_______值,最_______值是_______.2.应用二次函数解决面积最值问题的步骤1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.找出等量关系,建立函数模型.3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.知识点过关精准练一、选择题。

1.用长40 m的篱笆围成一个矩形菜园,则围成的菜园的最大面积为( )A.400 m2B.300 m2C.200 m2D.100 m22. 如图,小明想用长为12 m的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是( )A.16 m2B.18 m2C.20 m2D.24 m23.已知在直角三角形中两条直角边的和为18,则当三角形的面积最大时,其中一条直角边长为( )A.8B.9C.10D.124.如图所示,在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H(不与A,B,C,D各点重合),使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是( )A.1 350B.1 300C.1 250D.1 2005. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为( )A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定6.如图,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8 cm,AC=6 cm.点P从点A出发,沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点A出发,沿AC方向以1 cm/s 的速度向点C运动,其中一个动点到达终点时则另一个动点也停止运动,则△APQ 的最大面积是( )A.0 cm2B.8 cm2C.16 cm2D.24 cm27. 用长为12 m的篱笆,一边利用足够长的墙围出一块苗圃.如图,围出的苗圃是五边形ABCDE,AE⊥AB,BC⊥AB,∠C=∠D=∠E.设CD=DE=x m,五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为 ( )A.12√3 m2B.12 m2C.24√3 m2D.没有最大值二、填空题。

二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。

【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二： 铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积问题置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入如图22－3－1，用12米长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的长、宽应各是多少？图22－3－1[说明与建议] 说明：通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，从而引导学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法.建议：可以对以上问题挖空让学生填写：设宽为x 米，面积为S 米2.根据题意并结合图形可得S ＝x （6－32x ） ＝ －32x 2＋6x .∵－32 ＜ 0，∴S 有最 大 值，当x ＝ －62×（－32）＝2 时，S 最 大 ，此时6－32x ＝ 3 ，即当窗框的长为 3米 ，宽为 2米 时，窗户透进的光线最多.（1）（做一做）请你画一个周长为12厘米的矩形，算一算它的面积是多少.再和周围同学所画的矩形比一比，你发现了什么？谁画的矩形的面积最大？（2）（练一练）已知一个矩形的周长为12米，它的一边长为x 米，那么矩形面积S （平方米）与x （米）之间有怎样的关系？自变量的取值范围是什么？（3）（试一试）若想设计一个周长为12米的矩形广告牌，假如你是设计师，你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗？[说明与建议] 说明：（1）题比较简单，但对学生有很大的吸引力和挑战性，可有效地激发学生的学习兴趣.（2）题在（1）题的基础上提出问题，引导学生对实际问题与二次函数展开联想.（3）题在（2）题的基础上加入实际背景求最值，这样低起点，快反馈，能有效地提高学生的数学建模能力.建议：教师要重点关注学生能否正确求解，考虑问题是否全面以及学生能否将实际问题转化为数学问题.——第49页探究1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？【模型建立】利用二次函数解决几何图形的最大（小）面积问题，先利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式，再由二次函数的图象和性质确定二次函数的最大（小）值，从而确定几何图形面积的最大（小）值.【变式变形】1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，这个矩形菜园的长，宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？[答案：长为15 m，宽为7.5 m时，它的面积最大，最大面积为112.5 m2]2.如图22－3－2，用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a＝10米）：（1）如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求花圃的宽AB；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？图22－3－2[答案：（1）AB＝5米（2）能]3.如图22－3－3，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃.设花圃的边AB长为x米，面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数解析式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成的花圃的最大面积.图22－3－3[答案：（1）S＝－4x2＋24x（0<x<6）（2）当x＝3时，所围成的花圃面积最大，最大值为36平方米（3）最大面积是32平方米]4.[教材第52页习题22.3第9题]分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？[答案：圆理由略]——第52页习题22.3第7题如图22－3－4，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？图22－3－4【模型建立】通过设未知数建立函数关系，把几何问题转化为函数问题，把动点问题转化为函数问题，通过对函数的变化规律的研究来解决几何问题.【变式变形】如图22－3－5，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形的边上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形的边上时，记为点H；…依此操作下去.（提示：旋转前、后的图形全等.）图22－3－5（1）图②中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长.（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数解析式及面积y的取值范围.[答案：（1）EF＝－4 2＋4 6（2）y＝2x2－8x＋16（0<x<4）8≤y<16][命题角度1] 利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题此类问题常见题型：（1）利用二次函数解决图形的最大（小）面积问题，如教材P49探究1，P52习题22.3T4，T9.（2）几何图形上点的运动问题，何时面积最大（小），如教材P52习题22.3T6，T7，解决此类问题，关键是求二次函数的最值（二次函数图象的顶点的纵坐标或在使实际问题有意义的自变量取值范围内，根据二次函数的增减性找最值）.例福建中考如图22－3－6，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另外三边一共用了100米木栏.（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.图22－3－6[答案：（1）AD的长为10米（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S 的最大值为50a －12a 2] [命题角度2] 在几何图形运动过程中，判断函数图象此类问题一般作为中考选择题的最后一道题，难度较大.注意把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件，然后再判断图象.例 孝感中考如图22－3－7，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝6 cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从点A ，B 同时出发，点P 到达点B 时两点同时停止运动，则△PBQ 的面积S 与出发时间t 之间的函数关系图象大致是（ C ）图22－3－7图22－3－8[命题角度3] 二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题此类问题一般作为中考的压轴题，常与三角形或四边形知识紧密结合，体现了初中数学知识的灵活性和综合性.例 如图22－3－9，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x轴正半轴于点B （4，0），与过点A 的直线相交于另一点D （3，52），过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C.（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O ，C 重合），过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值.图22－3－9[答案：（1）y＝－34x2＋114x＋1（2）△PCM面积的最大值为2516]1. 如图，已知：正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（）2. 用长度为2l的材料围成一个矩形场地，中间有2个隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A．14l B．13l C．12l D．l3. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为.4. 给你长8 m的铝合金条，请问：（1）你能用它制成一矩形窗框吗？（2）怎样设计，窗框的透光面积最大？（3）如何验证？参考答案1．B2．A3．50 cm24．解：（1）能.（2）设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大.（3）设矩形的一边长为x m，则另一边长为(4－x)m，设矩形窗框的面积为y m2，则y=x(4－x)=－x2+4x=－(x－2)2+4.所以当x=2时，y有最大值，y最大=4.所以当设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大，最大面积为4 m2.一位仁道主义的数学家——阿涅泽意大利科学家阿涅泽(Maria Gaetana Agnesi,1718~1799)在自然科学与哲学的著作对整个学术世界开启了一扇窗．而她最著名的数学作品，《分析讲义》，被公认是第一部完整的微积分教科书之一。