二次函数与图形面积
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二次函数与图形面积问题1、阅读材料:如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可行出生种计算三角形面积的新方示:y=a(x-1)2+4 ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2,抛物线顶点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式;(2)求△ABC的铅垂高CD及S △ ABC(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使a=-1 ,且S△PAB=9/8 S△CAB若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,-2).(1)求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式;(2)点P是抛物线对称轴上的动点,当AP⊥CP时,求点P的坐标;(3)设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E(t,n)是抛物线上的动点,四边形OEDC的面积为S.当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?3、如图,已知平面直角坐标系xOy中,点A(m,6),B(n,1)为两动点,其中0<m<3,连接OA,OB,OA⊥OB。
(1)求证:mn=-6;(2)当S△AOB=10时,抛物线经过A,B两点且以y轴为对称轴,求抛物线对应的二次函数的关系式;(3)在(2)的条件下,设直线AB交y轴于点F,过点F作直线l交抛物线于P,Q两点,问是否存在直线l,使S△POF:S△QOF=1:3?若存在,求出直线l对应的函数关系式;若不存在,请说明理由。
4、如图1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(3,1),二次函数y=x2的图象记为抛物线l1。
(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的一个抛物线的函数表达式:______ (任写一个即可);(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过A,B两点,记为抛物线l2,如图2,求抛物线l2的函数表达式;(3)设抛物线l2的顶点为C,K为y轴上一点,若S△ABK=S△ABC,求点K的坐标;(4)请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形,若存在,请判断点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明理由。
二次函数应用图形面积问题
1、在创建文明城市的活动中,政府想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB x
200m,求AB的
=m.(Ⅰ)若花园的面积是2
长;(Ⅱ)当AB的长是多少时,花园面积最大?最大面积是多少?
2、如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
a=,所ABCD,其中AD MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了200米木栏.(1)若30
围成的矩形菜园的面积为1800平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
3、某养鸡专业户用篱笆及一面墙(该墙可用最大长度为36米)围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动,该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆()
EF,如图,BE、EF上各留有1米宽的门(门不需要篱笆),该养鸡专业户共用篱笆58米,设该矩形的一边AB长x米,AD AB
>,矩形ABCD的面积为s 平方米.(1)求出S与x的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围;
(2)若矩形ABCD的面积为252平方米,求AB的长.
4、如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的矩形
花圃,设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.(1)求S与x的函数表达式.(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米?(3)能围成面积为50m2的花圃吗?若能,请说明围法;若不能请说明理由.。
专题二次函数与几何图形综合——图形面积问题类型1 已知三角形的面积,求点的坐标
1.如图所示,二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点,与x 轴交于点A(-4,0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P,满足S△AO P=8,请求出点P的坐标.
2.如图,抛物线y=-x2-2x+3交x轴于点A,B,交y轴于点C,P为抛物线上在第二象限内的一点.若△PAC的面积为3,求点P的坐标.
类型2 已知三角形面积之间的数量关系,求点的坐标
3.如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,-4).(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=5
4
S△MAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
类型3 求三角形面积的最值
4.如图,直线l:y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A,B两点,抛物线y=ax2-2ax+a+4(a<0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM,BM.设点M的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S关于m的函数解析式,并求出S的最大值.。
22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积问题置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入如图22-3-1,用12米长的木料,做一个有一条横档的矩形窗框,为了使窗户透进的光线最多,窗框的长、宽应各是多少?图22-3-1[说明与建议] 说明:通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入,激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望,从而引导学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法.建议:可以对以上问题挖空让学生填写:设宽为x 米,面积为S 米2.根据题意并结合图形可得S =x (6-32x ) = -32x 2+6x .∵-32 < 0,∴S 有最 大 值,当x = -62×(-32)=2 时,S 最 大 ,此时6-32x = 3 ,即当窗框的长为 3米 ,宽为 2米 时,窗户透进的光线最多.(1)(做一做)请你画一个周长为12厘米的矩形,算一算它的面积是多少.再和周围同学所画的矩形比一比,你发现了什么?谁画的矩形的面积最大?(2)(练一练)已知一个矩形的周长为12米,它的一边长为x 米,那么矩形面积S (平方米)与x (米)之间有怎样的关系?自变量的取值范围是什么?(3)(试一试)若想设计一个周长为12米的矩形广告牌,假如你是设计师,你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗?[说明与建议] 说明:(1)题比较简单,但对学生有很大的吸引力和挑战性,可有效地激发学生的学习兴趣.(2)题在(1)题的基础上提出问题,引导学生对实际问题与二次函数展开联想.(3)题在(2)题的基础上加入实际背景求最值,这样低起点,快反馈,能有效地提高学生的数学建模能力.建议:教师要重点关注学生能否正确求解,考虑问题是否全面以及学生能否将实际问题转化为数学问题.——第49页探究1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时,场地的面积S最大?【模型建立】利用二次函数解决几何图形的最大(小)面积问题,先利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式,再由二次函数的图象和性质确定二次函数的最大(小)值,从而确定几何图形面积的最大(小)值.【变式变形】1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18 m,这个矩形菜园的长,宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?[答案:长为15 m,宽为7.5 m时,它的面积最大,最大面积为112.5 m2]2.如图22-3-2,用长为24米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a=10米):(1)如果所围成的花圃的面积为45平方米,试求花圃的宽AB;(2)按题目的设计要求,能围成面积比45平方米更大的花圃吗?图22-3-2[答案:(1)AB=5米(2)能]3.如图22-3-3,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃.设花圃的边AB长为x米,面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数解析式及自变量的取值范围;(2)当x取何值时,所围成的花圃面积最大,最大值是多少?(3)若墙的最大可用长度为8米,求围成的花圃的最大面积.图22-3-3[答案:(1)S=-4x2+24x(0<x<6)(2)当x=3时,所围成的花圃面积最大,最大值为36平方米(3)最大面积是32平方米]4.[教材第52页习题22.3第9题]分别用定长为L的线段围成矩形和圆,哪种图形的面积大?为什么?[答案:圆理由略]——第52页习题22.3第7题如图22-3-4,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?图22-3-4【模型建立】通过设未知数建立函数关系,把几何问题转化为函数问题,把动点问题转化为函数问题,通过对函数的变化规律的研究来解决几何问题.【变式变形】如图22-3-5,在边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC边上(不与点B,C重合).第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形的边上时,记为点G;第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形的边上时,记为点H;…依此操作下去.(提示:旋转前、后的图形全等.)图22-3-5(1)图②中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为等边三角形,求此时线段EF的长.(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.①四边形EFGH的形状为正方形,此时AE与BF的数量关系是AE=BF;②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x之间的函数解析式及面积y的取值范围.[答案:(1)EF=-4 2+4 6(2)y=2x2-8x+16(0<x<4)8≤y<16][命题角度1] 利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题此类问题常见题型:(1)利用二次函数解决图形的最大(小)面积问题,如教材P49探究1,P52习题22.3T4,T9.(2)几何图形上点的运动问题,何时面积最大(小),如教材P52习题22.3T6,T7,解决此类问题,关键是求二次函数的最值(二次函数图象的顶点的纵坐标或在使实际问题有意义的自变量取值范围内,根据二次函数的增减性找最值).例福建中考如图22-3-6,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另外三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.图22-3-6[答案:(1)AD的长为10米(2)当a≥50时,S的最大值为1250;当0<a<50时,S 的最大值为50a -12a 2] [命题角度2] 在几何图形运动过程中,判断函数图象此类问题一般作为中考选择题的最后一道题,难度较大.注意把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件,然后再判断图象.例 孝感中考如图22-3-7,在△ABC 中,∠B =90°,AB =3 cm ,BC =6 cm ,动点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动,若P ,Q 两点分别从点A ,B 同时出发,点P 到达点B 时两点同时停止运动,则△PBQ 的面积S 与出发时间t 之间的函数关系图象大致是( C )图22-3-7图22-3-8[命题角度3] 二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题此类问题一般作为中考的压轴题,常与三角形或四边形知识紧密结合,体现了初中数学知识的灵活性和综合性.例 如图22-3-9,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+bx +1交y 轴于点A ,交x轴正半轴于点B (4,0),与过点A 的直线相交于另一点D (3,52),过点D 作DC ⊥x 轴,垂足为C.(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P 在线段OC 上(不与点O ,C 重合),过点P 作PN ⊥x 轴,交直线AD 于点M ,交抛物线于点N ,连接CM ,求△PCM 面积的最大值.图22-3-9[答案:(1)y=-34x2+114x+1(2)△PCM面积的最大值为2516]1. 如图,已知:正方形ABCD的边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是()2. 用长度为2l的材料围成一个矩形场地,中间有2个隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.14l B.13l C.12l D.l3. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为.4. 给你长8 m的铝合金条,请问:(1)你能用它制成一矩形窗框吗?(2)怎样设计,窗框的透光面积最大?(3)如何验证?参考答案1.B2.A3.50 cm24.解:(1)能.(2)设计成边长为2 m的正方形时,窗框的透光面积最大.(3)设矩形的一边长为x m,则另一边长为(4-x)m,设矩形窗框的面积为y m2,则y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4.所以当x=2时,y有最大值,y最大=4.所以当设计成边长为2 m的正方形时,窗框的透光面积最大,最大面积为4 m2.一位仁道主义的数学家——阿涅泽意大利科学家阿涅泽(Maria Gaetana Agnesi,1718~1799)在自然科学与哲学的著作对整个学术世界开启了一扇窗.而她最著名的数学作品,《分析讲义》,被公认是第一部完整的微积分教科书之一。
《二次函数与图形面积》教学设计发布时间:2021-01-18T12:35:56.720Z 来源:《教学与研究》2020年28期作者:王显翠[导读] (人教版教材九年级上册P49页探究1)用总长为60m的篱笆围成矩形场地王显翠湖北省十堰市郧阳区高庙九年一贯制学校湖北十堰 442518【题源1】:(人教版教材九年级上册P49页探究1)用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地的面积S最大?【题源2】:(人教版教材九年级上册P57页XT7)如图1,用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地,墙长18m,这个矩形的长宽各是多少时,菜园的面积最大、最大面积时多少?【设计思路】:在周长一定的情况下,矩形的面积最大时时正方形,每个边长占四分之一,如探究1中的结论;在习题中由于一边靠墙,面积最大时并不是正方形,而是平行与墙的一边占篱笆一半。
那么改变墙的长度,能否达到这种效果呢?如果可以的话,三面篱笆就应该各占三分之一,并且题目中说“一边靠墙”,那么靠墙的这一边是以墙长为一边还是一边的一部分?为此,在设计这节探究课的过程中,把墙的长度设置在“篱笆的三分之一以内”,“三分之一与一半之间”及“大于篱笆的一半”三种情况;分“墙长一部分为一边”和“墙为一边的一部分”两类分别计算。
【过程设计】:一复习导入1,下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,并写出其最值.【变式1】:如图1,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长32m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?问题1 变式1与例题有什么不同?如何设自变量?问题2 面积S的函数关系式是什么?问题3 如何求解自变量x的取值范围?墙长32m对此题有什么作用?【变式2】如图1,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?问题1 变式2与变式1有什么异同?问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式?问题3 可否试设与墙平行的一边为x米?则如何表示另一边?问题4 当x=30时,S取最大值,此结论是否正确?实际问题中求解二次函数最值问题,不一定都取图象顶点处,要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比,希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系,以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.【变式3】:用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长am,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?解题分析:在变式1、2中都给定了图1这样的具体图形,如果没有具体图形应该还有图2这种情况,何时面积最大,就要通过计算作以比较解:设平行与墙的一边为xm (1)当0<a<20时(如a =16)由此可见,四面下围时,面积最大时为正方形,而三面下围时,面积最大是并非是正方形,而是矩形;同等材料,墙体大于材料一半长度时,面积达到最大极限值。
二次函数与图形面积 练习题
基础题
知识点 二次函数与平面面积
1.如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ,则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )
A .60 m 2
B .63 m 2
C .64 m 2
D .66 m 2
2.用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形,那么a 的值不可能为( )
A .20
B .40
C .100
D .120
3.用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最大透光面积是
( )
A.6425 m 2
B.43
m 2 C.83
m 2 D .4 m 2
4.如图,边长分别为1和2的两个等边三角形,开始它们在左边重合,大三角形固定不动,然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止,设小三角形移动的距离为x ,两个三角形重叠面积为y ,则y 关于x 的函数图象是( )
5.如图,利用一面墙(墙的长度不超过45 m),用80 m 长的篱笆围一个矩形场地.当AD =________时,矩形场地的面积最大,最大值为________.
6.如图,在△ABC 中,∠B =90°,AB =8 cm ,BC =6 cm ,点P 从点A 开始沿AB 向B 点以2 cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 向C 点以1 cm/s 的速度移动,如果P ,Q 分别从A ,B 同时出发,当△PBQ 的面积为最大时,运动时间t 为________s.
7.将一根长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是________ cm2.
8.已知直角三角形两条直角边的和等于20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大?最大值是多少?
9.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180 cm,高为20 cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?最大为多少?(材质及其厚度等暂忽略不计)
中档题
10.如图,有一块边长为6 cm 的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是( ) A. 3 cm 2 B.32
3 cm 2 C.92 3 cm 2 D.272
3 cm 2
11.如图,正方形ABCD 的边长为3 cm ,动点P 从B 点出发以3 cm/s 的速度沿着边BC -CD -DA 运动,到达A 点停止运动;另一动点Q 同时从B 点出发以1 cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动,到达A 点停止运动.设P 点运动时间为x(s),△BPQ 的面积为y(cm 2),则y 关于x 的函数图象是( )
12.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ,菱形的面积S(单位:cm 2)随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围);
(2)当x 是多少时,菱形风筝面积S 最大?最大面积是多少?
13.用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场,设围成的矩形一边长为x 米,面积为y 平方米.
(1)求y 关于x 的函数关系式;
(2)当x 为何值时,围成的养鸡场面积为60平方米?
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.
综合题
14.如图,正方形ABCD 的边长为2 cm ,△PMN 是一块直角三角板(∠N =30°),PM >2 cm ,PM 与BC 均在直线l 上,开始时M 点与B 点重合,将三角板向右平行移动,直至M 点与C 点重合为止.设BM =x cm ,三角板与正方形重叠部分的面积为y cm 2.
下列结论:
①当0≤x ≤233时,y 与x 之间的函数关系式为y =32
x 2; ②当233<x ≤2时,y 与x 之间的函数关系式为y =2x -23
3;
③当MN经过AB的中点时,y=1
2 3 cm
2;
④存在x的值,使y=1
2S正方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积).
其中正确的是________(写出所有正确结论的序号).
参考答案
基础题
1.C
2.D
3.C
4.B
5.20 m 800 m 2
6.2
7.252
8.设直角三角形的一直角边长为x ,则另一直角边长为(20-x),其面积为y ,则y =12x(20-x)=-12
x 2+10x =-12
(x -10)2+50.当x =10时,面积y 值取最大,y 最大=50. 9.根据题意,得y =20x(1802
-x).整理得y =-20x 2+1 800x =-20(x 2-90x +2 025)+40 500=-20(x -45)2+40 500.∵-20<0,∴当x =45时,函数有最大值,y 最大值=40 500.即当底面的宽为45 cm 时,抽屉的体积最大,最大为40 500 cm 3.
中档题
10.C 11.C
12.(1)S =-12
x 2+30x. (2)∵S =-12x 2+30x =-12(x -30)2+450,且a =-12
<0,∴当x =30时,S 有最大值,最大值为450.即当x 为30 cm 时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450 cm 2.
13.(1)y =x(16-x)=-x 2+16x(0<x<16).
(2)当y =60时,-x 2+16x =60,解得x 1=10,x 2=6.∴当x =10或6时,围成的养鸡场的面积为60平方米.
(3)当y =70时,-x 2+16x =70,整理得x 2-16x +70=0.∵Δ=256-280=-24<0,∴此方程无实数根.∴不能围成面积为70平方米的养鸡场.
综合题
14.①②④。