人教版高中数学必修四任意角和弧度制

教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。

2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。

二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。

●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。

●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。

●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。

2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。

●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。

●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。

3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。

●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。

●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。

4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数【教学目标】1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定．【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．【基础梳理】 1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为 、 、 ． ②按终边位置不同分为 和 ． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角： 叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小 ，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度． ⑤弧长公式： ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为 ，以比值为 的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的 ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即P ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的 、 、 ．三角函数线有向线段 为正弦线有向线段为余弦线有向线段 为正切线考向分析考向一 角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【训练2】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.【训练4】 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．提升演练1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－125．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案【基础梳理】 1．(1)①正角、负角、零角 ②象限角和轴线角． (3)弧度制①把长度等于半径长的弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 ③无关 ④2π π ⑤ l ＝|α|r2．自变量 函数值3．正射影 (cos α，sin α) P (cos α，sin α) OM MP AT 余弦线、正弦线、正切线．MPOMAT【例1】►[审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． 解： (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°；∴α2为第一或第三象限角． 方法总结： (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .【训练1】【解析】对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )． 【答案】D【例2】► [审题视点] 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m 2＝24m ，∵m ≠0， ∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.方法总结： 任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 【训练2】【解析】 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】 B 【例3】►[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积． 解： (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.方法总结： 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 【训练3】解： 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40， S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝⎛⎭⎫2022＝100. 当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大． 【例4】►[审题视点] 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .方法总结： 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式． 【训练4】解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．提升演练 1．【解析】与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确． 【答案】C 2．【解析】当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角； 当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角． 【答案】A 3．【解析】由sin α＜0知α是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 【答案】C 4．【解析】由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55.【答案】A 5．【解析】根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8.【答案】－8。

任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

人教版高二数学必修四《任意角和弧度制》评课稿一、引言《任意角和弧度制》是人教版高中数学必修四教材中的一章内容。

本评课稿旨在对该章节进行全面的评价，并提出一些建议与改进之处。

二、教材内容概述《任意角和弧度制》是高中数学中的重要概念之一。

本章主要介绍了任意角的概念，介绍了弧度制以及角度和弧度之间的相互转化等内容。

该章节主要内容包括： 1. 角的概念与表示方式； 2. 角的度量单位：弧度制； 3. 角度与弧度的转换； 4. 弧长与角度的关系； 5. 三角函数中的角度单位转换。

三、教学目标分析1.知识目标：–掌握任意角的概念和表示方式；–理解角的度量单位弧度制；–能够进行角度与弧度的相互转换；–理解弧长与角度的关系；–了解三角函数中的角度单位转换。

2.能力目标：–能够正确使用各种符号表示角度大小；–能够灵活运用弧度制进行角度单位转换；–能够运用所学知识解决实际问题。

3.情感目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心；–增强学生解决问题的能力；–培养学生对数学的认真态度和严谨思维。

四、教学重点和难点分析1.教学重点：–任意角的概念和表示方式；–弧度制的概念及其应用。

2.教学难点：–角度与弧度的相互转换；–弧长与角度的关系的理解。

五、教学方法1.演绎法：通过具体例子引导学生从观察实例中归纳出规律。

2.归纳法：通过总结归纳的方式帮助学生理解概念和定理。

3.实践活动法：通过实际问题解决的活动，培养学生的动手能力和创新思维能力。

4.讨论法：通过小组讨论、互动交流的方式激发学生思考和独立思维能力。

六、教学流程1.导入：通过展示一些实际生活中的角度，引起学生的兴趣，激发他们对该内容的探索欲望。

2.概念讲解：介绍任意角的概念和表示方式，引导学生认识角度的度量单位。

3.弧度制讲解：引导学生理解弧度制的定义，并通过具体例子说明弧度与角度的转换方法。

4.练习与讨论：提供多种角度单位转换的练习题，通过小组合作和全班讨论的方式，帮助学生巩固所学知识。

高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。

而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。

本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。

二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。

在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。

这意味着任意角可以包括整个360°的范围。

2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。

三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。

一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。

2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。

角度和弧度之间可以通过π进行转换。

3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。

四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。

我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。

30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。

2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。

同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。

π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。

五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。

在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。

2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。

了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。

六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。

必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（ ）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第 象限角。

第一章第一节任意角和弧度制第二课时作者：房增凤整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位进行度量，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点的目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是互相联系、辩证统一的．进一步加强对辩证统一思想的理解，渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点．三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度换算的关键．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应的，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．推进新课新知探究提出问题问题①：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？问题②：我们从度量长度和重量上知道，不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同的单位制呢？活动：教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即l r＝1.图1讨论结果：①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．②能，用弧度制．提出问题问题①：作半径不等的甲、乙两圆，在每个圆上作出等于其半径的弧长，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，将乙图移到甲图上，两个角有什么样的关系？问题②：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数是多少？既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？活动：教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示，对表现好的学生进行表扬，对回答不准确的学生提示和鼓励．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．教师要强调为了让学生习惯使用弧度制，本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制．讨论结果：①完全重合，因为都是1弧度的角．②α＝l r ；将角度化为弧度：360°＝2π rad,1°＝π180rad ≈0.017 45 rad ，将弧度化为角度：2π rad ＝360°，1 rad ＝(180π)°≈57.30°＝57°18′.弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n °＝n π180(rad)． 提出问题问题①：引入弧度之后，在平面直角坐标系中，终边相同的角应该怎么用弧度来表示？扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？问题②：填写下列的表格，找出某种规律.的长对一些特殊角填表，然后概括出一般情况．教师让学生互动起来，讨论并总结出规律，提问学生的总结情况，让学生板书，教师对做正确的学生给予表扬，对没有总结完全的学生进行简单的提示．检查完毕后，教师做个总结．由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是l α.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°＋π3或者2k π＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k ∈Z )的形式．如图2为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图2讨论结果：①与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k ∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR . 的长例1下列命题中，真命题是( )A ．一弧度是一度的圆心角所对的弧B ．一弧度是长度为半径的弧C ．一弧度是一度的弧与一度的角之和D ．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位活动：本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住．根据弧度制的定义：我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角．对照各项，可知D 为真命题．答案：D例2象限：①－15π4；②32π3；③－20；④－2 3. 活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律．即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是：{β|β＝k π，k ∈Z }，{β|β＝π2＋k π，k ∈Z }．第一、二、三、四象限角的集合分别为：{β|2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z }， {β|2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z }， {β|2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z }， {β|2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z }． 解：①－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角． ②32π3＝10π＋2π3，是第二象限角． ③－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．④－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限活动：本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角，并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领，最终达到熟练掌握．从实际教学来看，用弧度制解决角的问题很容易但却难掌握，很有可能记错或者混淆或者化简错误，学生需多做些这方面的题来练基本功．可先让学生多做相应的随堂练习，在黑板上当场演练，教师给予批改指导，对易出错的地方特别强调．对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生的练习操作中一一纠正，这对以后学习大有好处．解：由已知，得7θ＝2k π＋θ，k ∈Z ，即6θ＝2k π.∴θ＝k 3π. 又∵0<θ<2π，∴0<k 3π<2π.∵k ∈Z ，当k ＝1、2、3、4、5时，θ＝π3、2π3、π、4π3、5π3. 点评：本题是在一定的约束条件下，求与角α终边相同的角，一般地，首先将这样的角表示为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，然后在约束条件下确定k 的值，进而求适合条件的角．例4已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．活动：这是一道应用题，并且考查了函数思想，教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤，教师提问学生对已学知识的掌握和巩固，并对回答好的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励．教师补充，函数法求最值所包括的五个基本环节：(1)选取自变量；(2)建立目标函数；(3)指出函数的定义域；(4)求函数的最值；(5)作出相应结论．其中自变量的选取不唯一，建立目标函数结合有关公式进行，函数定义域要根据题意确定，有些函数是结构确定求最值的方法，并确保在定义域内能取到最值．解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r ＝－(r －a 4)2＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2. ∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝l r＝2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积取最大值a 216. 点评：这是一个最大值问题，可用函数法求解，即将扇形的面积S 表示成某个变量的函课本本节练习．解答：1.(1)π8；(2)－7π6；(3)20π3. 点评：能进行角度与弧度的换算．2．(1)15°；(2)－240°；(3)54°.点评：能进行弧度与角度的换算．3．(1){α|α＝k π，k ∈Z }；(2){α|α＝π2＋k π，k ∈Z }．点评：用弧度制表示终边分别在x 轴和y 轴上的角的集合．4．(1)cos0.75°>cos0.75；(2)tan1.2°<tan1.2.点评：体会同数值不同单位的角对应的三角函数值可能不同，并进一步认识两种单位制．注意在用计算器求三角函数值之前，要先对计算器中角的模式进行设置．如求cos0.75°之前，要将角模式设置为DEG(角度制)；求cos0.75之前，要将角模式设置为RAD(弧度制)．5.π3m. 点评：通过分别运用角度制和弧度制下的弧长公式，体会引入弧度制的必要性．6．弧度数为1.2.点评：进一步认识弧度数的绝对值公式．课堂小结由学生总结弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．作业①课本习题1.1 A 组6、8、10.②课后探究训练：课本习题1.1 B 组题．设计感想本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题怎么做就怎么难受．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们变式思维的训练，培养他们求同思维、求异思维的能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性．鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以 1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3B.π6C ．1D ．π 答案：A2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍答案：B3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．k π＋π4与2k π＋π4(k ∈Z ) B.k π2与k π＋π2(k ∈Z ) C ．k π－2π3与k π＋π3(k ∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3k π(k ∈Z ) 答案：C三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．例题 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360πmin ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x )，得x ＝2π11， ∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11， ∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)． 点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。

第四课：任意角与弧度制知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠． 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、在单位圆中，长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 练习题：1、用集合表示：终边落在轴右侧的角的集合．2、在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 （1）；（2）；3、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600； （2）-210；4、 把'3067 化成弧度5、 把rad π53化成度6、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ 1657、如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

高中数学必修四课程纲要学科组：高一数学教研组授课教师：孟星辉授课对象：高一（9）、（18）班课程类型：必修一、课程目标1．任意角、弧度：（1）了解任意角的概念和弧度制的概念（2）能进行弧度和角度的互化2．三角函数：（1）理解任意角的三角函数定义（2）会利用三角函数线推导诱导公式（3）会画三角函数的图像，并能进行图像的变换，准确理解正弦、余弦函数的性质，会应用（4）理解同角三角函数的基本关系式，并熟练应用（5）会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型3．三角恒等变换：（1）会用向量的数量积推导两角差的余弦公式，以次来推导三角函数的和、差公式，并熟练运用（2）能利用和、差公式推导倍角公式，了解内在联系，并能灵活应用（3）能利用上述公式进行简单的恒等变换4．平面向量：（1）了解平面向量的实际背景，理解向量的概念、相等向量、相反向量的含义，理解向量的几何表示（2）掌握向量的线性运算，即加、减、数乘运算及几何意义，理解共线向量的含义（3）了解平面向量的基本定理，会进行向量的正交分解，会用坐标表示加、减、数乘运算，理解向量共线条件（4）理解平面向量数量积的含义，掌握数量积的坐标运算。

会用数量积判断平面向量的垂直关系（5）会用向量的方法解决某些简单的几何问题，力学问题及其他一些实际问题二、内容安排（一）内容、要求课时分配（二）考情分析1、三角函数是中学教学中重要的初中函数之一，它和代数、几何有着密切的联系，是研究其他知识的有力工具，是高考考查基础知识和基本技能的重要内容之一，考查多以选择题、填空题的形式出现，解答题主要是三角与其它知识的综合渗透，如与数列、不等式等，考查三角函数性质及图像变换，侧重于：（1）三角函数的性质、图像及其变换，主要是（2）已知三角函数值求角（3）与周期有关的问题（4）三角函数的对称问题（5）灵活运用公式，通过简单的三角恒等变换解决三角函数的化简求值、证明，借助三角变换解三角形问题2.平面向量每年都考，而且有逐步加强的趋势，题型多以选择题的形式呈现，而且多和解析几何的知识联系在一起，特别是向量的数量积的概念。

角的概念的推广一、考点突破1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；2. 掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；3. 体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。

二、重难点提示重点：掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

难点：终边相同的角、第几象限角的表示。

1. 角的概念的推广：一条射线由原来位置OA,绕着它的端点O 点，可以向两个方向旋转：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转时，也看作一个角，叫零角。

这样就形成了任意大小的角。

2. 记法与运算： （1）记法：射线OA 绕O 点旋转到OB 所成的角记作∠AOB ； 射线OB 绕O 点旋转到OA 所成的角记作∠BOA ； （2）运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和：射线OA 绕点O 旋转到OB ，又从OB 旋转到OC ，得到∠AOC ，这个过程可表示成角的运算：∠AOC=∠AOB+∠BOC 。

3. 终边相同的角：与α终边相同的角的集合：},360|{Z k k ∈︒⨯+=αββ。

4. 象限角：角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正半轴重合，此时终边在第几象限，则称这个角是第几象限角。

例题1 射线OA 绕点A 顺时针旋转80°到OB ，再逆时针旋转300°到OC ，再顺时针旋转100°到OD 位置，求AOD ∠的大小。

思路分析：利用正负角的概念结合角的运算求解。

答案：解：AOD ∠=AOB ∠+BOC ∠+COD ∠=︒=︒-+︒+︒-120)100(300)80(。

例题2 在 0～360之间,找出下列终边相同的角,并判定它们是第几象限角: （1）︒-150；（2）︒650；（3）'︒-15950。

思路分析：把负角逆时针旋转一周或者几周，即可得到 0～ 360之间的角，把超过 360 的角顺时针旋转一周或者几周，即可得到 0～ 360之间的角。