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2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学东北大学理学院力学系张英杰综合运用动量定理、动量矩定理和动能定理分析较复杂的动力学问题。
动量定理动能定理动量矩定理用矢量法研究动力学问题从能量的角度分析质点(系)的动力学问题—4123力的功质点和质点系的动能功率、功率方程、机械效率动能定理5势力场· 势能· 机械能守恒定律6普遍定理的综合应用（代数量）常力在直线运动中的功：变力在曲线运动中的功：元功θsF力在全路程上作的功等于元功之和：θrd sd 一、功—力在一段路程内所积累的效应s F W⋅=W δ⎰=ssF W 0d cos θsF ⋅=θcos sF d cos ⋅=θM 1M 2FM 单位:J （焦耳） 1 J = 1 N·m M'r Fd ⋅=元功作用力F 在质点从M 1到M 2的运动过程中所作的功：kF j F i F F z y x++=kz j y i x rd d d d ++=rF Wd δ⋅=zF y F x F z y x d d d ++=⎰++=21)d d d (M M z y x z F y F x F 一、功—力在一段路程内所积累的效应（代数量）θrd sd M 1M 2FM M'取固结于地面的直角坐标系为质点运动的参考系，为三个坐标轴的单位矢量。
k j i,,⎰=21δ12M M W W 当力始终与质点位移垂直时，该力不作功。
质点系1、重力的功2z gm1z O yxz M 1M 2—质心始末位置高度差二、常见的功mg F F F z y x -===;0z mgz z d 21-⎰=)(21z z mg -=)(2112i i i z z g m W -∑=∑ii C z m mz ∑=)(21C C z z mg -=⎰++=21)d d d (12M M z y x z F y F x F W 重力作功只与运动始末位置有关,与运动轨迹形状无关弹性力2、弹性力的功二、常见的功r e l r k F)(0--=⎰⋅=21d 12A A rF W⎰⋅--=21d )(0A A r re l r kr r r r e rd d ⋅=⋅)(d 21r r r⋅=)(d 212r r =r d =()[]⎰--=21d 0r r rl r k ])()[(21202201l r l r k ---=)(212221δδ-=k 弹簧刚度系数k(N/m)2δF 1δr e 1r 2r r r d δrd OA 0A 2A 1A l 0弹性力的功)(2222112δδ-=k W 弹性力的功只与弹簧始末的变形量δ有关，而与力作用点A 的轨迹形状无关。
218 思 考 题
12-1 三个质点质量相同，同时自点A 以大小相同的初速度0v 抛出，但0v
的方向不
同，如图所示。
问这三个质点落到水平面HH 时，三个速度是否相同？为什么？
12-2 图中所示两轮的质量相同，轮A 的质量均匀分布，轮B 的质心C 偏离几何中心。
设两轮以相同的角速度绕中心O 转动，它们的动能是否相同？
12-3 重物质量为m ，悬挂在刚性系数为k 的弹簧上，如图所示。
弹簧与被缠绕在滑轮上的绳子连接。
问重物匀速下降时，重力势能和弹性力势能有无变化？变化了多 少？
12-4 比较质点的动能与刚体定轴转动的动能的计算公式，指出它们的相似地方。
12-5 一质点沿一封闭的曲线运动一周。
若作用于质点的力是有势力，该力作了多少功？若非有势力，该力作功如何计算？
12-6 为什么在计算势能时，一定要预先取定零势能点？
习 题
12-1 图示弹簧原长l ＝10cm ，刚性系数k ＝4.9KN /m, 一端固定在点O ，此点在半径为R ＝10cm 的圆周上。
如弹簧的另一端由点B 拉至点A 和由点A 拉到点D ，分别计算弹性力所作的功。
AC ⊥BC 、OA 和BD 为直径。
12-2 试计算图中各系统的动能。
图（a ）中，设物块A 和B 各重P ，其速度为v
，滑轮
重Q ，其半径为R ，并可视为均质圆盘；滑轮与绳间无相对 滑动。
图（b ）中，设两齿轮为均质圆盘，分别重P 1、P 2，半径分别为1r 、2r ，且轮I 的角速度为1 。
思考题12-3图
H
A
B
思考题12-2图 思考题12-1图 '
'
题12-1图
219
图（c ）中，重为Q ，半径为R 的均质圆柱，在水平轨道上无滑动地滚动。
重物A 重P ，其速度为v 。
小滑轮质量略去不计。
12-3 图示坦克的履带重P ，每个车轮重Q 。
车轮被视为均质圆盘，半径为R ，两
车轮轴间的距离为πR 。
设坦克前进的速度为v
，试计算此质点系的动能。
12-4 图示一物体A 由静止沿倾角为α的斜面下滑，滑过的距离为1s ，接着在平面上滑动，经距离2s 而停止。
如果物体A 与斜面和平面间的摩擦系数都相同，求摩擦系数f '。
12-5 质量为2kg 的物体在弹簧上处于静止，如图所示。
弹簧的刚性系数k 为400N /m 。
现将质量为4kg 的物块B 放置在物块A 上，刚接触就释放它。
求：（1）弹簧对两物块的最大作用力；（2）两物块得到的最大速度。
12-6 图示轴Ⅰ和Ⅱ（连同安装在其上的带轮和齿轮等）的转动惯量分别为1J ＝5kg
m 2和2J ＝4kg m 2。
已知齿轮的传动比2
3
21=ωω，作用于轴Ⅰ上的力矩m N M ⋅=501，系
统由静止开始运动。
问Ⅱ轴要经过多少转后，转速能达到2n ＝120r /min ？
12-7 一不变的力矩M 作用在绞车的鼓轮上，使轮转动，如图所示。
轮的半径为r ，质量为1m 。
缠绕在鼓轮上的绳子系一质量为2m 的重物，使其沿倾角为α斜面上升。
重物对斜面的滑动摩擦系数为f ',绳子质量不计，鼓轮可视为均质圆柱。
开始时，此系统处于静止。
求鼓轮转过ϕ角时的角速度和角加速度。
( a )
( b ) ( c )
题 12-2 图
题 12-3 图
题 12-4 图
220 12-8 在图示滑轮组中悬挂两个重物，其中1M 重P ，2M 重Q 。
定滑轮1o 的半径为r 1 重W 1；动滑轮2o 的半径为r 2，重W 2。
两轮都视为均质圆盘。
如绳重和摩擦略去不计，并设22W Q P ->，求重物1M 由静止下降距离h 时的速度。
12-9 两个重Q 的物体用绳连接，此绳跨过滑轮O ，如图所示。
在左方物体上放有一带孔的薄圆板，而在右方物体 上放有两个相同的圆板，圆板均重P 。
此质点系由静止开始运动，当右方重物P Q 2+落下距离1x 时，重物Q 通过一固定圆环板，而其上重2P 的薄板被搁住。
如该重物Q 下降了距离2x ，然后停止，求2x 与1x 的比。
摩擦和滑轮质量不计。
12-10 用动能定理重作11-19题 。
12-11 A 、B 两圆盘的质量都是10kg ，半径r 都等于0.3m ，用绳子连结如图示。
设正在旋转的B 盘的角速度ω＝20rad /s ，求当B 盘角速度减到4rad /s 时，A 盘上升的距离。
12-12 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。
已知动齿轮半径为r ，重P 可看成为均质圆盘；曲柄OA 重Q ，可看成为均质杆；定齿轮半径为R 。
今在曲柄上作用一不变的力偶，其矩为M ，使此机构由静止开始运动。
求曲柄转过ϕ角后的角速度和角加速度。
12-13 椭圆规位于水平面内，由曲柄OC 带动规尺AB 运动，如图所示。
曲柄和椭圆规尺都是均质杆，重量分别为P 和2P ，且OC ＝AC ＝BC ＝l ，滑块A 和B 重量均为Q。
Ⅱ题 12-5 图 题 12-6 图 题 12-7 图
2
题 12-8 图
题 12-9 图
题 12-11 图
221
如作用在曲柄上的力矩为M ，设ϕ＝0时系统静止，忽略摩擦，求曲柄的角速度（以转角ϕ的函数表示）和角加速度。
12-14 如图所示，测定机器功率的动力计，由胶带ACDB 和杠杆BF 组成。
胶带具有铅直的两端AC 和BD ，并套住机器的滑轮E 的下半部，而杠杆则搁在支点O 上。
借升高或降低支点O ，可以变更胶带的张力，同时变更轮与胶带间摩擦力。
挂一重锤重P ＝20N ，使杠杆BF 处于水平的平衡位置，如力臂l ＝50cm ，发动机转速n ＝240r /min ，求发动机的功率。
12-15 重物M 悬挂在弹簧上，弹簧另一端则固定在位于铅垂平面内一圆环的最高点A 处。
重物不受摩擦地沿圆环滑下。
已知圆环的半径为20cm ，重物重5kg ，在初瞬时AM 0＝20cm ，且为弹簧的原长，重物初速度为零。
试问：欲使重物在最低点时对圆环的压力等于零，弹簧刚性系数k 应多大？
12-16 图示均质直杆OA ，杆长为l ，重为P ，在常力偶的作用下在水平面内从静止开始绕z 轴转动，设力偶矩为M 。
求：(1)经过时间t 后杆的动量、对z 轴的动量矩和动能的变化；（2）轴承的动反力。
12-17 图示打桩机支架的质量m 1＝2t ，重心为C ，支架底宽a ＝4m ，高h ＝10m ，又b ＝1m 。
打桩锤质量为m 2＝0.7t 。
铰车转筒半径r ＝0.2m ，质量m 3＝0.5t ，回转半径ρ＝0.2m 。
拉索与水平夹角α＝60º。
在铰盘上作用一转矩M ＝1962Nm 。
求支座A 、B 的约束反力。
滑车D 的尺寸和质量均可不计。
题 12-12 图 题 12-13 图 题 12-14 图
Ⅱ
题 12-16 图
题 12-15 图
题 12-17 图
222 12-18 如图所示，轮A 和B 可视为均质圆盘，半径都为R ，重为Q 。
绕在两轮上的绳索中间连着物块C ，设物块C 重为P ，且放在理想光滑的水平面上。
今在轮A 上作用一不变的力矩M 。
求轮A 与物块之间绳索的张力。
绳的重量不计。
12-19 如图所示为高炉上料卷扬机，卷筒绕O 1轴动，转动惯量为J ，半径为R ，
其上作用有力矩M 0。
料斗车重P ，运动时受到阻力，阻力系数为μ（N μ为阻力，N
为正压力）。
滑轮和钢绳质量以及轴承摩擦均不计。
求：（1）当料斗走过距离S 时的速度和加速度；（2）轴承O 1的动反力和钢绳的拉力。
12-20 均质圆柱质量M ＝4.1kg ，半径r ＝1cm ，在如图位置由静止滚下。
弹簧原长
0l ＝7cm ，弹簧系数k ＝30Ncm ,其它尺寸如图示。
求圆柱运动到水平位置时柱心的速度。
12-21 鼓轮质量为m ，对于中心轴的回转半径为ρ，置于摩擦系数为f 的粗糙水
平面上，并与光滑铅直墙接触，如图所示。
重物A 的质量为m 2，求A 的加速度和鼓轮所受的约束反力。
12-22 一弹簧两端各系一重物A 和B ，放置在光滑面上，如图所示。
A 的质量为m 1，B 的质量为m 2，若弹簧的弹簧系数为k ，原长为0l ，今将弹簧拉到l ，然后无初速地释放。
问当弹簧回到原来长度时，A 、B 两物体的速度各为多少？
12-23 图示为曲柄滑槽机构，均质曲柄OA 绕水平轴O 作匀角速度转动，角速度为0ω，已知曲柄OA 重P ，OA ＝r ，滑槽BC 重P 2（重心在点D ）。
滑块A 的重量和各处摩擦不计。
求当曲柄转至图示位置时，滑槽BC 的加速度、轴承O 的动反力以及作用在曲柄上的力矩M 。
题12-18图
题 12-19 图
题 12-20 图 题 12-21 图
题12-22 图
题12-23 图。
