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哈工大理论力学第七版十二章动能定理

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哈工大理论力学第七版十二章动能定理解读

哈工大理论力学第七版十二章动能定理解读

质心平移坐标系运动的动能之和。
§12-3
1.质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt 1 2 mv dv d( mv ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
2 得 W12 r r1 k (r l0 )dr
A2
A2
1
A1
即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功 元功
δW F cos ds
δW F dr
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
记
W Fx dx Fy dy Fz dz
drC M C d W12 FR
C1
2
1
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
60 3.78 F 6.45kN π 0.1112
d πn P有用 Fv F · 2 30
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律

理论力学 第十二章 动能定理

理论力学 第十二章 动能定理

2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。

m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。

理论力学第12章动能定理

理论力学第12章动能定理

合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。

理论力学12—动能定理

理论力学12—动能定理
2
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。

12理论力学动能定理2

12理论力学动能定理2

mg
T1 TA TB TC TD
7 M 10m 2 v0 4
A速度增大一倍时的动能为
2 T2 (7M 10m)v0
7 M 10 m 2 T1 v0 4
mg
FS FN
由 T2 T1 W12 得
3 2 (7 M 10m)v0 M (1 2 f )m hg 4 2 Mg 3v0 (7M 10m) h 解得 4 g M (1 2 f )m FT D
初始时刻： T1 0
mg

O
F
mg
A
vA
OA运动到水平位置时：
1 1 2 1 2 2 T2 J 0 m v J AB F ox 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 m1vB J B B ml 2 2 3
m1 g
B
vB
FS FN
A B
vB
F oy
运动学关系： AB杆的速度瞬心为 B点
vA B 4r
vA A r
1 1 2 2 J A mr J B m(4r ) 2 2
2 T2 2mvA
mg
mg
mg Fs2
T2 T1 W 12
Fs1
2mv Fs
2 A
N1
外力功：
N2
Fs vA 2m
W
12
Fs
v A 1 Fs A r r 2m
A mg
FCy B
C
FCx Mg
例： 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常 力 F，开始时系统静止，如图。求连杆 OA运动 到水平位置时的角速度。设连杆长均为 l，质量 均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。

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第 12 章 动量矩定理
一、选择题 1．图 12-1 所示无重刚杆 AB，两端各固连一个小球，其质量分别为 m1、m2。若 m1 ＞m2，不计空气阻力，则当杆 AB 在重力作用下由水平静止位置进入运动后（ ）落地。 A．两端同时 B．A 端先 C．B 端先 D．无法判断
图 12-10
解：系统初始静止，T1 = 0 ，当杆 AB 运动到与铅垂线夹角为 时的动能为
下面建立 与 vC 的关系。
4 / 25
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垂线的夹角 为常数，杆长为 l。
（3）图 12-8（c）：均质 L 型刚杆，质量为 m，在铅垂面内以等角速度 ω 绕轴 O 转 动。
（4）图 I4-8（d）：质量为 m1 的滑块，沿水平直线运动，通过铰链 A，用长为 l 质量 为 m2 的刚杆固结一垂球 B，重球质量为 m3。设图示瞬时，滑块的速度为 υ，杆 AB 绕 A 点 转动的角速度为 ω。

履带
段合在一起是一个均质圆环，作平面运动，其动能为
因此，系统的总动能为
（2）图 12-8（b）：杆 0A 作锥形转动，取 dx 微段，其质量为 dm = m dx ，速度 l
v = xsin ，动能为
因此，杆 0A 总的动能为
（3）图 12-8（c）：L 型杆由 OA 和 AB 两部分组成，它们都作定轴转动。 OA 段： AB 段： 则 L 型杆的动能为
D．
【答案】D
图 12-2
3．质量为 m 的均质细圆环半径为 R，其上固结一个质量也为 m 的质点 A（图 12-3）。 细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为 ω，则系统的动能为（ ）。

理论力学 第十二章动能定理


绕定轴转动刚体的动能等于刚体对于转轴的转 动惯量与角速度平方乘积的一半
18
§12–2
3、平面运动刚体
T
动能
1 I P 2 （P为速度瞬心）I 为瞬轴的转动惯量 P 2
瞬轴：通过速度瞬心并与运动平面相垂直的轴。 它在刚体内的位置不断变化。 2
I P IC md
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 I m ( d ) m v I T （I C md ) C C C 2 2 2 2 2
1
第十二章
§12–1 力的功 §12–2 动能
动能定理
§12–3 动能定理 §12–4 势力场 势能 机械能守恒定律
§12–5 功率和功率方程
§12–6 普遍定理的联合应用
2
第十二章
动能定理
动量动量矩定理是用动量动量矩来度量质点系 的机械运动，用矢量的方法来研究。
而动能定理是用能量法来研究动力学问题。能 量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且 是沟通机械运动和其它形式能量转换的桥梁。从这 方面来说，动能比动量更具广泛性。 动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和 作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传 递的规律。
6
z2
§12–1 力的功
2、弹性力的功 弹簧原长为 r0 ，在弹性极限内 r F c(r r0 ) r c—弹簧的刚度系数。单位：N/m r dr d (r r ) W F dr c(r r0 ) r dr rdr r 2
2、不变质点系的内力功之和等于零。 3、刚体的内力功之和等于零。 问：什么时候内力功需考虑？
13
§12–1 力的功
七、约束力的功

哈尔滨工业大学 第七版 理论力学.12


Lz1 = mv0 (l + r )
(1 )
在任意时刻：
Lz 2 = Jω + M z (mv M ) = Jω + M z (mv 0 ) + M z (mv e )
由图 12-5b 中，可得
Lz 2 = Jω + mv0 [l cos ϕ + r ] + m(l 2 + r 2 + 2lr cos ϕ )ω
12-4 1 半径为 R，质量为 m1 的均质圆盘，可绕通过其中心 O 的铅垂轴无摩擦地旋转， 如图 12-4a 所示。1 质量为 m2 的人在盘上由点 B 按规律 s = 开始时，圆盘和人静止。求圆盘的角速度和角加速度 α 。
1 2 at 沿半径为 r 的圆周行走。 2
R r O
(a) 图 12-4
LO = m ⋅ v A ⋅ 2 R + J Aω a 1 = m ⋅ 2 Rω O ⋅ 2 R + mR 2 ⋅ (ω O + ω r ) = 5ω O mR 2 = 20 kgm 2 /s 2
156
理论力学（第七版）课后题答案 哈工大.高等教育出版社
（3）在图 12-2c1 中，轮 A 绕 O 作圆周曲线平移
接合后，依靠摩擦使轮 2 启动。已知轮 1 和 2 的转动惯量分别为 J1 和 J2。求： （1）当离合 器接合后，两轮共同转动的角速度； （2）若经过 t 秒两轮的转速相同，求离合器应有多大的 摩擦力矩。
Mf
ω
2
(a) 图 12-6
(b)
解 （1）以轮 1 和 2 为一个系统进行研究，因为系统所受外力（包括重力和约束反力） 对转轴之矩均为零，所以系统对转轴的动量矩守恒，即

理论力学第十二章 动能定理


解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r

理论力学课件 第十二章 动能定理


FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
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由
T1 V1 T2 V2
有
1 2 k 2 mv 0 0 max st 2 mg max st 2 2
2 v2 即 2 2 st 0 max st max st g 2 得 max st 1 g st v2 v Fmax k max k st 1 mg 1 g st g
机械效率
P有效 P输入
多级传动系统
12 n
例12-8 已知:
P输入 5.4kW, P无用 P输入 30%
d 100mm, n 42r / min , n ' 112r / min
求:切削力F的最大值。 解: P P P 3.78kW 无用 输入 有用
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
－－质点动能定理的积分形式
在质点运动的某个过程中,质点动能的改变量等于作用 于质点的力作的功.
2.质点系的动能定理
由 得
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
1 d( mi vi 2 ) δWi 2
取零势能点在无穷远
r1
fm1m2 V r
3. 机械能守恒定律
机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.
由
T2 T1 W12
质点系仅在有势力作用下,有
W12 V1 V2
得
T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此 类系统称保守系统.
非保守系统的机械能是不守恒的.
力场 :一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由
所在位置确定的力的作用.
F F x, y, z
势力场(保守力场):力的功只与力作用点的始、末位置有关, 与路径无关. 势力场中,物体所受的力为有势力.
2.势能
在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0,有势力所作 的功为质点在点M相对于M0的势能.
W Fx dx Fy dy Fz dz
W12
M2 M1
δW
M2 M1
F ·dr
三、几种常见力的功 1.重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg W12 z mgdz mg( z1 z2 ) z
2 1
质点系
W
由 得
12
mzC mi zi
第十二章
动
能
定
理
§12-1 力的功
一、常力在直线运动中的功
W F cos s F s
二、变力在曲线运动中的功 元功
记 F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
δW F dr
δW F cos ds
mi g ( z i1 z i 2 )
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
2.弹性力的功
弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力的功为
W12
A2
1 1 r er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2 gs sin
W12 T2 T1
T1 0
1
vC v , 2 C R1 R2
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2v2 ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2
A1
A F dr A k (r l0 )er dr
2 1
得 W12 r2 k (r l0 )dr r1 即 W k ( 2 2 ) 12 1 2
2
1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
？
称约束力作功等于零的约束为理想约束.
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可.
内力作功之和不一定等于零.
思考：
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
例12-3 已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2 ，纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
F
C
P
FS
FN
§12-2
1.质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2 1 T mi vi 2 2
1 2 T mvC 即 2
2.质点系的动能
（1）平移刚体的动能
1 1 2 2 T mi vi vC mi 2 2 （2）定轴转动刚体的动能
1 1 1 2 2 2 2 2 T mi vi mi ri mi ri 2 2 2
1.功率：单位时间力所作的功.
由 δW
δW P dt F dr ,得

dr P F F v Ft v dt
即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 作用在转动刚体上的力的功率为
δW d P Mz M z dt dt 单位W（瓦特）,1W=1J/S
1 2 即 T J z 2
（3）平面运动刚体的动能 速度瞬心为P
1 1 2 T J P ( J C md 2 ) 2 2 2 1 2 1 得 T mvC J C 2 2 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动 的动能之和. 对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点 系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于
对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。
将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力
偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力 系中所有力所作元功的和，有
δW δWi FR ' drC M C d
平面运动刚体
δW FR ' drC M C d
60 60 3.78 F P有用 17.19kN πdn π 0.1 42 当 n 112r / min 时
60 3.78 F 6.45kN π 0.1112
d πn P有用 Fv F · 2 30
§12-5 势力场.势能.机械能守恒定律
1.势力场
k m
16.9kN
§12-6
普遍定理的综合应用
动能
非负的标量，与方向无关 内力作功时可以改变动能 理想约束不影响动能
动量、动量矩
矢量，有大小方向 内力不能使之改变 只有外力能使之改变 约束力是外力时对之有影响。不与 能量相互转化，应用时不考虑能量 的转化与损失。 当外力主矢为零时，系统动量守恒 当外力对定点O 或质心的主矩为零 时，系统对定点或者质心的动量矩 守恒。
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
M z Ft R
F 的功为
δW M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
W12 M z d
1
2
若
M z 常量 M z ( 2 1 )
则 W12
4. 任意运动刚体上力系的功 无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功 的代数和。
vC 2 M m2 gs sin (2m1 3m2 ) 4 s ( M m2 gR1 sin ) s
R1
(a )
vC 2
R1 (2m1 3m2 )
式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得
vC 1 (2m1 3m2 )vC aC M m2 gvC sin 2 R1 2 ( M m2 gR1 sin )
W1 F R
W2 0
W1 W1 W2 F R
例12-1 已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使O 向右运动, f , 初静止。 求: O 走过S 路程时力的功。
F
解： 重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功， 将力F向质心简化，得
W F ' s M C 2Fs
0 0为零势能点, 则
（3）万有引力场中的势能
A0 fm1m2 V F dr 2 er dr A A r 由于er dr dr有
A0
V
r1
r
1 1 fm1m2 2 dr fm1m2 r r1 r
得冲断试件需要的能量为
Wk 78.92J
Wk k A
冲击韧度：衡量材料抵抗冲击能力的指标。
例12-5 已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, f ,初静止。 求:O 走过S 路程时ω， 。
解: 圆盘速度瞬心为C
W Fs 2mgfs W T
3 FS 2mgfs mv0 2 4 s v0 2 ( F 2mgf ) 3m
质心平移坐标系运动的动能之和。
§12-3
1.质点的动能定理
动能定理
dv 将 m F 两端点乘 vdt dr , dt mv dv d( 1 mv 2 ), F dr δW 得 mv dv F dr 2 1 2 因此 d( mv ) δW －－质点动能定理的微分形式 2
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
~ 2 时,力系的功为
W12
C2
C1
2 FR drC M C d
1
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。