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理论力学--第十二章 动能定理

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理论力学 第十二章 动能定理

理论力学 第十二章 动能定理

2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。

m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。

理论力学第12章动能定理

理论力学第12章动能定理

合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。

理论力学12—动能定理

理论力学12—动能定理
2
ω ϕ
vB B
vB = O1 B ⋅ ω AB = 2a sin ϕ ⋅ ω = 3aω
1 3ma ω 2 TB = mB vB = 2 2
2 2
O
对于曲柄OC：
I O = mOC a 2 = ma 2
1 3
vA A O1
TOC = I Oω 2 = ma 2ω 2
1 2 1 6
规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公 式求动能：
因此F在整个过程中所作的功为
1 1 2 2 2 2 WF = k (δ1 − δ 2 ) = 0.5(5 − 25 ) = −150 N⋅ cm 2 2
因此所有力的功为
W = WT + WF = 200 − 150 = 50 N⋅ cm
12.2 质点和质点系的动能
1. 质点的动能 设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为
1 2 2 W12 = k (δ 1 − δ 2 ) 2
弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。
常见力的功
3) 定轴转动刚体上作用力的功
设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb， 当刚体转动时，转角ϕ与弧长s的关系为
z F
Ft = F cos θ
第12章 动能定理
• • • • •
力的功 质点和质点系的动能 动能定理 普遍定理的综合应用举例 功率·功率方程·机械效率
引言
前两章是以动量和冲量为基础，建立了质点或质 点系运动量的变化与外力及外力作用时间之间的关系。 本章以功和动能为基础，建立质点或质点系动能的改 变和力的功之间的关系，即动能定理。不同于动量定 理和动量矩定理，动能定理是从能量的角度来分析质 点和质点系的动力学问题，有时是更为方便和有效的。 同时，它还可以建立机械运动与其它形式运动之间的 联系。 在介绍动能定理之前，先介绍有关的物理量：功 与动能。

第十二章 动能定理

第十二章 动能定理


2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2

1 2
m vC2

1 2
JC2

3 4
m(R

r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P

W

F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功


F FW k
W12

M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W

F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。

12理论力学动能定理2

12理论力学动能定理2

mg
T1 TA TB TC TD
7 M 10m 2 v0 4
A速度增大一倍时的动能为
2 T2 (7M 10m)v0
7 M 10 m 2 T1 v0 4
mg
FS FN
由 T2 T1 W12 得
3 2 (7 M 10m)v0 M (1 2 f )m hg 4 2 Mg 3v0 (7M 10m) h 解得 4 g M (1 2 f )m FT D
初始时刻： T1 0
mg

O
F
mg
A
vA
OA运动到水平位置时：
1 1 2 1 2 2 T2 J 0 m v J AB F ox 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 m1vB J B B ml 2 2 3
m1 g
B
vB
FS FN
A B
vB
F oy
运动学关系： AB杆的速度瞬心为 B点
vA B 4r
vA A r
1 1 2 2 J A mr J B m(4r ) 2 2
2 T2 2mvA
mg
mg
mg Fs2
T2 T1 W 12
Fs1
2mv Fs
2 A
N1
外力功：
N2
Fs vA 2m
W
12
Fs
v A 1 Fs A r r 2m
A mg
FCy B
C
FCx Mg
例： 在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常 力 F，开始时系统静止，如图。求连杆 OA运动 到水平位置时的角速度。设连杆长均为 l，质量 均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。

理论力学 第十二章动能定理

理论力学 第十二章动能定理

绕定轴转动刚体的动能等于刚体对于转轴的转 动惯量与角速度平方乘积的一半
18
§12–2
3、平面运动刚体
T
动能
1 I P 2 （P为速度瞬心）I 为瞬轴的转动惯量 P 2
瞬轴：通过速度瞬心并与运动平面相垂直的轴。 它在刚体内的位置不断变化。 2
I P IC md
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 I m ( d ) m v I T （I C md ) C C C 2 2 2 2 2
1
第十二章
§12–1 力的功 §12–2 动能
动能定理
§12–3 动能定理 §12–4 势力场 势能 机械能守恒定律
§12–5 功率和功率方程
§12–6 普遍定理的联合应用
2
第十二章
动能定理
动量动量矩定理是用动量动量矩来度量质点系 的机械运动，用矢量的方法来研究。
而动能定理是用能量法来研究动力学问题。能 量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且 是沟通机械运动和其它形式能量转换的桥梁。从这 方面来说，动能比动量更具广泛性。 动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和 作用力的物理量—功之间的联系，这是一种能量传 递的规律。
6
z2
§12–1 力的功
2、弹性力的功 弹簧原长为 r0 ，在弹性极限内 r F c(r r0 ) r c—弹簧的刚度系数。单位：N/m r dr d (r r ) W F dr c(r r0 ) r dr rdr r 2
2、不变质点系的内力功之和等于零。 3、刚体的内力功之和等于零。 问：什么时候内力功需考虑？
13
§12–1 力的功
七、约束力的功

理论力学第十二章 动能定理


解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r

理论力学基础 动能定理



M2 M1
(
Fx
dx

Fy
dy

Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12

z2 z1
mgdz

mg(z1

z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt

d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W

1 2
mv22

1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，

理论力学课件 第十二章 动能定理


FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为

理论力学第十二章 动能定理


§12－1 力的功
II. 弹性力的功
一端固定的弹簧与一质点M相连接，弹簧的原始长 度为l0,在弹性变形范围内，弹簧弹性力F的大小与其 变形量δ成正比，即
F=kδ
当质点M由M运动时，弹性力的功仍按上式计算，即弹性力的功也 只决定于弹簧初始位置与终了位置的变形量，而与质点的运动轨迹无关。
由于功只有正负值， 不具有方向意义，所 以功是代数量。
§12－1 力的功
II. 变力的功
设质点M在变力F作用下作曲线运动，当质点从M1 沿曲线运动到M2时,力F所做的功的计算可处理为： (1)整个路程细分为无数个微段dS；(2)在微小路程上, 力 F 的 大 小 和 方 向 可 视 为 不 变 ； (3)dr 表 示 相 应 于 dS 的微小位移，当dS足够小时,∣dr∣=dS。根据功的 定义，力F在微小位移dr上所做的功(即元功)为
直角坐标形式为
力F在曲线路程 上所做的功等于该力在各微段的元功之和，即
§12－1 力的功
Ⅲ. 合力的功
合力在任一路程上所做的功等于各分力在同一路程上所作功的代数和。即
常见力的功
I. 重力的功
设有一重力为G的质点,自位置M1沿某曲线运动至M2 ,
上式表明,重力的功等于质点的重量与其起始位置与终了位置 的高度差的乘积,且与质点运动的轨迹形状无关.
第十二章 动能定理
主要研究内容
力的功 功率与机械效率 动能 动能定理
§12－1 力的功
功的概念
功是度量力的作用的一个物理量。它反映的是力在一段路程上对物体作用 的累积效果，其结果是引起物体能量的改变和转化。力的功包含力和路程 两个因素。
I. 常力的功
设有大小和方向都不变的力F作用在物体上，力的 作用点向右作直线运动。则此常力F在位移方向的投 影Fcosα与位移的大小S的乘积称为力F在位移S上所 做的功，用W表示，即 W=S·Fcosa 。可知，当a<90 度时，功W为正值，即力F做正功；当a>90度时，功 W为负值，即力F做负功；当a=90度时，功为零，即 力与物体的运动方向垂直，力不做功。
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v l sin
2
v

A
1 2 l 1 2 J ml m ml 12 2 3
TAB
1 mv 1 2 2 J P AB mv 2 6sin 2 3
2
1 T总 9M 4m v 2 12
例4： 行星轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为M
1 2 mi ri 2 2
1 2 mi ri 2 2
1 J z 2 2
(3) 平面运动刚体的动能
1 2 T J P 2
JP＝JC + md
2
C

P
1 T ( J C md 2 ) 2 1 J C 2 1 m( d )2 2 2 2
1 2 1 2 T mv C J C 2 2
1 2 Ml 2
5 2 1 1 2 2 T 2 Ml Ml Ml 6 6 2
例2 牢记均质圆盘在地面上或斜面上作纯滚动时的 动能: 1 2 1 C T mv C J C 2 vC 2 2
vC R
1 J C mR 2 2
3 2 T mvC 4
四、几种常见力的功 1、重力的功 质点
Fx Fy 0 Fz mg
W12 mgdz mg( z1 z2 )
z2 z1
质点系
W
由 得
12
mi g ( z i1 z i 2 )
mzC mi zi
W12 mg ( zC1 zC 2 )
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
mv d v F d r
1 2 d( mv ) δW 2
质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
积分形式
1 d( mv 2 ) δW 2

v2
v1
1 d( mv 2 ) W12 2
1 2 1 2 mv 2 mv1 W12 2 2
在质点运动的某个过程中， 质点动能的改变量 =作用于质点的力作的功。
约束力作功之和等于零
φ2 dr2
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1( dr1cos1 dr2cos2 ) 0
(7) 摩擦力做功
滑动摩擦时 摩擦力作负功 W=-Fs S
F
S
N Fs
当轮子在固定面上时，纯滚不滑 v
dW Fs ds F s vB dt
得
W12 k (r l0 )dr
r2 r1
即
k 2 2 W12 ( 1 2 ) 2
式中 1 r1 l0 , 2 r2 l0
弹性力的功只与弹簧初始和末了的位置的变形量有关， 与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
δW F dr Ft ds Ft Rd
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
T1 0, T2 0
k 2 0 0 mg (h max ) max 2 mg 1 m 2 g 2 2kmgh k k
max
已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ， m2
，纯滚动,
初始静止 ;θ ,M 为常力偶。
求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度
W12
M2 M1
δW
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W12
M2 M1 M2
W
Fx dx Fy dy Fz dz
（直角坐标表达式）

三、合力的功
M1
W
M2
M1
R dr
( F1 F2 Fn ) dr
M1
M2
W1 W2 Wn
从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法
从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力 maC = F1 - F2 - Fr F1 >F2 ＋Fr
MC W F1 Fr
汽车向前行驶
F2是否摩擦力使汽车的动 FN2
FN1
能增加？
运动员跑步时，什么力使运动员的质心加速运动？ 什么力使运动员的动能增加？
什么力使自行车的速度增加？ 什么力使自行车的动能增加？
ω ω
纯滚
ω
v
2、滑块的质量为m1，在水平滑道内以V速度匀速
滑动。杆的质量为m2，杆长为L，杆绕铰点A匀
速转动，转动角速度为ω，求当杆与铅垂线的夹
角为α时系统动能。
A
ω v
3、曲柄OA长为４R，重为P，以匀角速度 ω转动。三个均质圆轮各重W，求系统 的总动能。
O
B
A
4、履带行走机构中，履带的总重量为P；二轮共
已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右运动, f, 初静止。 求:O走过S路程时圆盘的角速度、角加速度及盘心的加速度。
解: 圆盘速度瞬心为C ,
T1 0
0 R
2 1 1 mR 3 2 2 2 T2 m0 ( ) m0 2 2 2 4
W FS 2mgfs
drC M C d FR
Fi drC M C ( Fi )d
~ 2 时,力系的功为
1
W12
偶作功之和.
C2
C1
2 FR drC M C d
即:平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简化所得的力和力
5、 理想约束力作功 (1)对于光滑固定面 (2)不可伸长的绳索
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
一对约束力做功之和为零
(6)刚性二力杆 F2 F1 dr1 φ1
W F S FS cos
二、变力在曲线运动中的功 元功
δW F cos ds
记
F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
δW F dr
力 F 在 M1 ~ M 2 路程上的功为
W Fx dx Fy dy Fz dz
平面运动刚体的动能= 随质心平动的动能 +绕质心转动的动能。
例1：连杆结构如图所示，OA=AB=BD=l。质量均
为M。若OA绕O轴以匀角速度转动,求系统的动能.
A B
C

O
D
vC = vA = l
T = TOA +TDB+TAB
TOA TDB
TAB

O
A C
B
D
11 2 1 2 Ml Ml 23 6
解:
轮C与轮O共同作为一个质点系
W12 M m2 gSsin
T1 0
1 3 2 2 2 T2 (m1 R1 )ω1 m2vc 2 4 C 1 R1
第十二章 §12–1 §12–2 §12–3 §12–4 力的功
动能定理
质点和质点系的动能 动能定理 功率 ·功率方程
§12–5
§12–6
势力场 ·势能 ·机械能守恒定理
动力学普遍定理及综合应用
12-1
力的功
力的功
力沿路程累积效应的度量，使物体的机械能增加。 功是代数量 单位：J (焦耳), 1J＝1 N· m 一、常力沿直线路径作功 F S
T 1 m v2 2
二、质点系的动能
瞬时量，与速度方向无关的正标量
1 T mi vi 2 2
质点系内各质点动能的算术和
三、刚体的动能 (1) 平动刚体的动能
1 T mi vi2 2
1 2 vC mi 2
1 2 Mv C 2
(2) 定轴转动刚体的动能
1 2 T mi vi 2
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v

A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
Fs B N
0
纯滚不滑时，滑动摩擦力不作功。
纯滚不滑时，接触点也是理想约束 。
6、内力做功
dW F dr1 F ' dr2
F ( dr1 dr2 )
F’ F
dr2
dr1
a、当两点之间的相对位置发生变化时，内力做功
汽车发动机的气缸内膨胀的气体对 活塞和气缸的作用力都是内力，但 内力功的和不等于零。
T1 3 2 FS 2mgfs m0 4
2
W T
(a)
s 0 2 ( F 2mgf ) 3m
将式(a)两端对t求导,并利用
0 a0 , , r r
2 得 a0 ( F 2mgf ) 3m