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第十二章动能定理

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第十二章---动能定理

第十二章---动能定理
又 Mz(F) = Mz(Ft) = Ft R = Mz
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?

理论力学第12章动能定理

理论力学第12章动能定理

合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。

第十二章 动能定理1

第十二章 动能定理1

(2) 定轴转动刚体的动能
z
T
1 2
mivi2
1 2
miri2 2
1 2
(mi ri 2
)
2
T
1 2
J z2
ri
vi
mi
(3) 平面运动刚体的动能
T
1 2
J P 2
(P 为瞬心)
1 2
(JC
md T
2 )2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
d
C P
平面运动刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转
动的动能的和。
23
1 (1 ml2 )2
29
1 m( 3 v)2 1 1 ml 2 ( v )2
23
2 12 l sin 60
1 ml 2 2
6
1 ml22
18
2 mv2 9
y
45º 2a
a
x
R
v R
a
T 1 J 2
2
5 ma2 2
12
T 1 J 2
2
1 ( 3 mR2 ) 2
22
3 mR22
2. 弹性力的功
F k(r l0 ) er
W12
A2
F
d
r
A1
A2 A1
k
(r
l0
)
er
d
r
erd r
r
d
r
r
1
d(r r)
2r
dr2 2r
dr
W12
r2 r1
k
(r
l0
)dr
k 2
[(r1
l0
)2

理论力学--第十二章 动能定理

理论力学--第十二章 动能定理

由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr

A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v

A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)

第12章动能定理(删——新)

第12章动能定理(删——新)

P 刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
思考：图示圆轮只滚不滑，此瞬时轮心速度为vO，则园 轮的动能T=?
1 1 2 T M O ＋ J O 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ＝ M O ＋ M O ＝ M O 2 4 4
O
vO
思考：图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面 上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位 于轮上最高点，则系统的动能T=? 1 1 1 2 2 T M A ＋ M O ＋ J O 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 ＝ M A ＋ M A ＋ M A ＝ M A 2 8 16 16 B vB AB杆瞬时平动
ω
3、平面运动刚体的动能
该瞬时瞬心为P，角速度为ω ，
· v· · v m ·· C · ·
i
i
c
1 2 2 T J P J P＝J C＋Md 2 1 1 2 2 2 T J P ＝ （J C＋Md ） 2 2 1 1 2 ＝ J C ＋ Md 2 2 2 2 1 1 2 2 ＝ J C ＋ M C 2 2
aA
P M
练习题:长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为 R、重为P 的均 质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦， 系统初始静止，θ0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速 度。 B D 解： T1 0
1 1 1Q 2 2 2 T2 J P P J C C vC 2 2 2 g 3 P 2 1 1 Q 2 vA 2 vA l ( ) 4g 2 12 g l sin vA 1 Q l vA 2 ( ) 2 g 2 l sin 1 2 3 P 1Q 1 v A[ ] 2 2 2 g 3 g sin l W Q (sin 0 sin ) 2

12第十二章动能定理

12第十二章动能定理
J P J C Md 2
ri
mi
vi ri
vC d
15
例．摆：杆m1, l,圆盘：m2 , R，杆与圆轮均质。 求：摆的动能。 解： 组合刚体作定轴转动
1 T J O 2 2
JO JO杆 JO盘
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R ) 2 3 2
2) D 物速度与 B 轮角速度关系：
v 2 r B v C r B
T TA TB TD
2v C v
22
３、运动分析： 2 1 P r v 2 1 2 ( ) Ａ：TA J O A 2 2g r 2 1 2 1 2 Ｂ：TB mvC J C B 2 2
8
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。 平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力
偶作功之和。
A
c1
F
c2
C
A
W12 W12 ( F '.R ) W12 ( M C )
FR 'drC M C d
C1 C2
2
r r0 r
单位矢量
2
M1 r 1 1 F r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr. 2r r 2r r2 r2 k W12 k ( r l0 ) dr d ( r l0 ) 2 2 r1 r1 k 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。

第十二章 第三节 动能定理


例(P263例12-4) 绞车，已知力偶M、重物质量m；主动轴I和从 动轴II的转动惯量J1和J2，传动比i12=w1/w2；鼓轮半径R。。绞 车初始时静止，试求当重物上升距离h时的速度v及加速度a。 M 解 (1)整个质点系 I (2)运动分析 Ek1=0
1 1 m 2 2 2 Ek 2 J1w1 J 2w2 v 2 2 2 w1 iw 2 iv / R w2 v / R
将作用力分成外力和内力 注意：内力作功的和一般不等于零。
A rA
O FA BA rB FB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
FA的元功FA · A； dr FB的元功FB · B。 dr 元功之和 d'W = FA · A + FB · B dr dr = FA · A - FA · B dr dr = FA · A-rB) d(r = FA · d(BA) = - FA d(BA)
第三节 动能定理
一、质点的动能定理 M1
M
a
F
M2
质点动能定理的微分形式：质点动能的微分，等于作用在质 点上的力的元功。
ma=F mat=Ft mdv/dt=Ft (mdv/dt) ds=Ftds mvdv=Ftds d(mv2/2) = d'W dEk = d'W
dEk = M Ftds
v2 v1
当质点系内质点间的距离发生变化时，内力功的总和一般不等 于零。 可变质点系： BA可变化，内力功之和不等于零 刚 体： BA不可变(刚体上任意两点的距离保持不变) 内力功之和等于零
内力作功举例： (1)汽车发动机的气缸内气体压力 (膨胀气体对活塞、气缸的作用力) ——内力功使汽车的动能增加 (2)机器中轴与轴承间的摩擦力，它们作负功，总和为负。 (3)人体活动 三、理想约束 理想约束：约束反力作功等于零的约束。 光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索、光滑铰 链、二力杆、不可伸长的细绳等 滑动摩擦力：摩擦力作负功，不是理想约束，但可将摩擦力作 为主动力，仍能应用动能定理 纯滚动：接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点位移为零，滑动摩 擦力不作功。 ——纯滚动的接触点是理想约束。 在理想约束条件下应用动能定理求解速度、加速度非常方便。

理论力学第十二章 动能定理


解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r

理论力学基础 动能定理



M2 M1
(
Fx
dx

Fy
dy

Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12

z2 z1
mgdz

mg(z1

z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt

d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W

1 2
mv22

1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，

第十二章动能定理



2
1
( k ) d
1 2
k ( 1 2 )
2 2
Part A 动能和功
8 作用在平移刚体上的力做功
W
FR
F dr
2
M
M1
i
C


M
2
M1
F R d rC
力系的主矢
Part A 动能和功
9 作用在定轴转动刚体上的力做功
z
F
d ' W F d s F r d

Байду номын сангаас
M
2
M1
( F1 F 2 F n ) d r
W1 W 2 W n
汇交力系合力作功等于各个分力的功的代数和。
Part A 动能和功
6 重力做功
z
F x 0 F y 0 F z mg
M1
W
M2

z2
z1
Fz dz

z2
( mg ) d z
第十二章 动能定理
PART B 动能定理
Part B 动能定理
1 质点的动能定理 质点的动能定理建立起了质点的动能和作用力之间的关系

v M a M1 F
ma F
m dv dt F
ma F
ds vdt
mv d v F d s
得到
1 2 d E k d mv d W 2
Part A 动能和功
10 平面运动刚体上力系的功
Fi
d W i F i d r F i d rC F i d riC F i d riC Fi cos q M i C d M C F i d
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第一节 力与力偶的功
5、摩擦力的功
当两刚体沿接触面有相对滑动时，摩擦 力是做功的。一般情况下摩擦力方向与其作 用点的运动方向相反，所以摩擦力作负功， 其大小等于摩擦力与滑动距离的乘积。
如果摩擦力作用点没有位移，尽管有静 滑动摩擦力存在，但静滑动摩擦力不做功。
(1) 动滑动摩擦力的功 WM 1M 2Ftd sM 1M 2 f'FNds
即：合力在任一段路程中做的功等于各分力在 同一段路程中做的功之和。
第一节 力与力偶的功
取直角坐标系Oxyz，则力F 的元功又可表示为
W F d r F xd x F yd y F zd z
而在由 M1(x1,至y1,z1) M2(x2,y2,z2)
一段路程中力F的总功为：
WM 2 M 1
(F xd xFyd yF zd)z
FN=常量时, W= –f´FN S, 与质点的路径有关。
(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力F N ，摩擦力F S 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移
drvCdt0
δW F d rF vC d t0
(3) 滚动摩擦阻力偶M的功
若M = 常量则 WMMs
R
第一节 力与力偶的功
6、 功率
Fk(rl0)
图12-4 弹性力的功
第一节 力与力偶的功
弹簧伸长时，弹性力 F指向固定点O。以固定点为 原点，取矢径r，则
F
k(
r
l0
)
r r
于是，弹性力F的元功为
W F d r k ( r l 0 ) r r d r k （ r l 0 ） r r d k ( r r l 0 ) dr
W Ft ds
F d r cos(F,v)
F d r (12-1)
第一节 力与力偶的功
而力F在由 M
至
1
M的2 一段路程中所做的功为
W M2 Fdr M1
(12-2)
设质点同时受n个力F１、F２、…、Fn作用，这n个
力的合力是F，则当质点由Ｍ１运动到Ｍ２时，合力
F所做的功为
W M M 1 2 F d r M M 1 2 F 1 d r M M 1 2 F 2 d r M M 1 2 F n d r W 1 W 2 W nW i
力在单位时间内所作的功，称为功率。以P表示。
设力在Δt 时间内作的功为ΔW，则在这段时间内ຫໍສະໝຸດ 的平均功率为P W t
当Δt趋近于零时的瞬时功率（简称功率）为
P lt i0m W t F d d r tF d d r tF v F tv (12-10)
功率等于力与速度的标积，亦即等于力在速度方 向上的投影与速度之乘积。
第一节 力与力偶的功
当作用于定轴转动刚体上的力矩为Mz时，
从 r 到r1 r积分r上2 式，
即得质点由M 1 运动M 2到时弹性力F所做的功
第一节 力与力偶的功
Wk 2[r(2l0)2(r1l0)2]
为了简便，命 1 及r1 l0 分2别代r2表质l0 点在第一位置
及第二位置时弹簧的伸长（或缩短）量，则上式成为
Wk2(12 22)
(12-7)
可见，弹性力所做的功也只与质点的起始及 终了位置有关，而与质点运动的路径无关。
但Pizi PC z，其中PPi是整个质点系的重量，z C
是质点系重心Ｃ的纵坐标。于是
W P (zC 1zC 2)P h (12-5)
即：质点系所受重力的功，等于质点系的重量 与其重心的高度差之乘积。
上式表明：重力的功等于质点的重量与其起始 位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路 径无关。
第一节 力与力偶的功
几种常见力的功的计算公式
１、重力的功
取直角坐标系Oxyz的z轴铅直向上，则质点系中 任一质点 M所i 受的重力 P在i 各坐标轴上的投影为Fix＝0，
Fiy＝0，Fiz＝－Pi。
第一节 力与力偶的功
当质点系由第一位置运动到第二位置时，质点系 重力P所做的功等于
W z z i i1 2 P id i zP i(z i1 z i2 ) ( P iz i) 1 ( P iz i)2
第十二章 动 能 定 理
第一节 第二节 第三节 第四节
第五节
力与力偶的功
质点系的动能 动能定理 势力场和势能 机械能守恒定律 普遍定理的综合应用
第一节 力与力偶的功
第一节 力与力偶的功
设质点M在变力F的作用下作曲线运动，在某微
小时段dt 内产生的位移为dr，路程为ds 。由于 非dr常
微小，可以认为其大小与ds 的大小相等，且方向与速 度方向（轨迹的切线方向）一致。因此，F在ds上所 做的元功为
r2 r
利用rdr1d(rr)，1d 从2rr到dr
2
2
积r 分 上r1
r r2
式，即得质点由M１运动到M２时引力F所做的功
WGm1m(r12
1) r1
(12-6)
牛顿引力所做的功也只与质点的起始位置及终了 位置有关，而与质点运动的路径无关。
第一节 力与力偶的功
3、弹性力的功
设有一弹簧，一端固定于 O点，另一端系一质点M，如 图所示。质点运动时，弹簧将 伸长或缩短，因而对质点作用 一力F，称为弹性力。在弹性 极限内，根据虎克定律，弹性 力F的大小是
当转动刚体在力F 作用下由 1位置运动到 2位
置，则力F的总功为
W
M d 2
1
Z
(12-8)
若有矩为m的力偶作用于刚体上，且力偶作用面
垂直于z轴，则有Mz=m，于是，力偶所作的功为
W 2 md 1
(12-9)
若M= 常量, 则 W 12 M (21)
当刚体作平面运动时，作用于刚体上的力偶 所做的功，可同样计算。
第一节 力与力偶的功
4、作用于转动刚体的力及力偶的功
设刚体绕z轴转动，力F 作 用于刚体上M点，若刚体转动
角度为 d，则M点的微小位
移 ds r。d于是，刚体在定轴转
动中仅有力F 的切向分量Ft做 功，故其元功为
WFtd sFtr d
第一节 力与力偶的功
力F 对于z轴的矩用Mｚ表示，则
WMzd
2、牛顿引力的功
设位于固定中心O而质量
为m１的物体对于质量为m的 质点M作用有引力F（图12-
3），而F 服从牛顿万有引力
定律，即
F
G
m1m r2
图12-3 牛顿引力的功
其中r是质点Ｍ与引力中心点O的距离；G是引
力常数。
第一节 力与力偶的功
以O为原点，取矢径r，则
F
G
m1m r2
(
r r
)
于是
WFdrGm 1m(rdr)