第十二章---动能定理
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动能定理
第十二章动能定理12-1 功和功率2、变力在曲线运动中的功Mvr Fr dsM ′rr ∆rr r r ′为弧的路程上所作的总功在力21M M F r∫=21M M W W δ∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx rd F M M rr ∫⋅=21F W r ⋅δrd F W M M rr ∫⋅=21∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx W ds F W M M ϕcos 21∫=dtv F W M M ∫⋅=21rr影为重力在三坐标轴上的投运动到沿曲线轨迹设质点,21M M M mgG Z Y X −=−===,0δδk F F =成正比。
弹簧变形的大小与在弹性极限内，弹性力r)(212221δ−δ=k W 上式表明，当初始变形大于末变形时，弹性力作功为正。
反之为负。
的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr AB B r d F ⋅=的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr221ii V m T ∑=1、刚体平动的动能221k k V m T ∑=设瞬心在P点2)(21ωk k r m ∑=2221kk r m ∑=ω221ωz J =均质圆柱体作纯滚动时的动能RCCV r r得到两边同乘以,dt V r d r r =2121由动力学基本方程有FdtVd mr r=W r d F δ=⋅r r FdtV m d r r=)(或r d F dt V dtV m d rr r r⋅=⋅)()21()(2)(2mV d V V d m dt V dt V m d =⋅=⋅r r r r W mV d δ=⇒)21(2力的元功。
用于质点上微分等于作质点动能的W mV d δ=)21(2δ二、质点的动能定理的积分形式质点动能在某一路程上的改变量，等于作用于质点上力在同一路程上所作的功。
§12-5 质点系的动能定理)21(2i i V m d ∑∑=)21(2i i V m d *ii W W δδ∑+∑=质点系动能的微分等于作用在该质点系的全部外力和内力的元功的总和。
动能定理
五、几类约束反力的功
1. 光滑固定面反力的功
dW FN dr 0
FN
dr τ
2. 光滑固定铰链与轴承约束
dW FN dr 0
3. 光滑中间铰链约束
dW FN dr FN dr 0
(FN FN ) dr 0
4. 柔软而不可伸长的绳索约束
FA FB drA cos drB cos
M2 M1
(F1
F2
Fn ) dr
M2 M1
F1
dr
M2 M1
F2
dr
M2 M1
Fn
dr
W1 W2 Wn Wi —— 合力的功等于各分力功的代数和
二、功率的概念及计算
功率： —— 力在单位时间内作的功，用“ P ”表示
若力在Δt 时间内作的功为ΔW ，则其平均功率为
P W t
（12-11）
dW F drP
P
v
F drP dt dt
drP
F vPdt 0
FNP F
P点为瞬心： vP 0
注意：轮子作纯滚动时，接触处的摩擦力不作功。
一、质点的动能
§12 –3 动 能
质点M ：m 、v ，其动能定义为
M
v
T 1 mv2
（1）瞬时量；
2
（2）恒正的标量，无方向性；
(12-21)
角速度为ω，试求其动能。
解： 微段 dx 的质量： m dx l
微段 dx 的速度： x sin
微段 dx 的动能：dT 1 m (x sin )2 dx
2l
杆 的动能： T l 1 m (sin )2 x2dx
02 l
1 m(sin l)2 2
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
12：动能定理
设有矢量函数（向量场）：
v v v v F (x , y , z ) = Fx i + Fy j + Fz k
则“对坐标的曲线积分”是( M 1 和 M 2 分别是曲线上 的积分起点和终点)：
òM
M2
1
(Fx dx + Fydy + Fzdz )
它与“对弧长的曲线积分”之间的关系是( (a , b , g ) 是 点 (z , y, z ) 处切线的方向角)：
v v 求证： 2r ?dr
v v d (r r )
证：
v v v v 令 r = xi + yj + zk v v v v 那么：dr = (dx )i + (dy ) j + (dz )k
v v 左边= 2r ?dr 2xdx + 2ydy + 2zdz
d(x 2 + y 2 + z 2 ) = 2xdx + 2ydy + 2zdz
第十二章 动能定理
§12-1 力的功
功是度量力在一段路程上对物体作用的累积效 应，力作功的结果使物体的机械能发生变化。
1. 质点上力的功 一、功的一般表达式 定义：元功 W F dr
F cos ds Ftdt
r
O
dr
F
全功
W12 =
蝌 M
1
M2
F ?dr
M2 M1
Fx d x + Fy d y + Fz d z
F
FN
例12-2
均质杆OA＝l，重P，圆盘重Q，半径r，可绕A轴自 由旋转，初始时，杆垂直，系统静止，设 OA 杆无 初速度释放。求：杆转至水平位置时，杆的角速度、 角加速度。 解： 受力分析 运动分析：OA杆定轴 转动，圆盘平动。
第12章动能定理(删——新)
P 刚体的平面运动动能就等于随质心C的平动动能与绕质心 C转动的动能之和。
思考：图示圆轮只滚不滑，此瞬时轮心速度为vO，则园 轮的动能T=?
1 1 2 T M O ＋ J O 2 2 2 1 1 3 2 2 2 ＝ M O ＋ M O ＝ M O 2 4 4
O
vO
思考：图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面 上，轮与地面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位 于轮上最高点，则系统的动能T=? 1 1 1 2 2 T M A ＋ M O ＋ J O 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 ＝ M A ＋ M A ＋ M A ＝ M A 2 8 16 16 B vB AB杆瞬时平动
ω
3、平面运动刚体的动能
该瞬时瞬心为P，角速度为ω ，
· v· · v m ·· C · ·
i
i
c
1 2 2 T J P J P＝J C＋Md 2 1 1 2 2 2 T J P ＝ （J C＋Md ） 2 2 1 1 2 ＝ J C ＋ Md 2 2 2 2 1 1 2 2 ＝ J C ＋ M C 2 2
aA
P M
练习题:长为l、重为Q的均质杆AB的A端与一半径为 R、重为P 的均 质圆轮的轮心 绞接在一起，轮与地面间只滚不滑，墙与杆间无摩擦， 系统初始静止，θ0=450，而后自由下落，求轮心A在初瞬时的加速 度。 B D 解： T1 0
1 1 1Q 2 2 2 T2 J P P J C C vC 2 2 2 g 3 P 2 1 1 Q 2 vA 2 vA l ( ) 4g 2 12 g l sin vA 1 Q l vA 2 ( ) 2 g 2 l sin 1 2 3 P 1Q 1 v A[ ] 2 2 2 g 3 g sin l W Q (sin 0 sin ) 2
第十二章 动能定理
2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2
1 2
m vC2
1 2
JC2
3 4
m(R
r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P
W
F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功
F FW k
W12
M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W
F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。
12第十二章动能定理
平面运动刚体
δW FR ' drC MCd
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为
W12
C2 C1
F
'R
drC
2 1
MCd
说明:1.对任何运动的刚体，上述结论都适用;
2.C点不是质心，而是刚体上任意一点时,上述结论也成立
3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
于是有
T
1 2
mvC2
1 2
mivr2i
T
1 2
mv
2 A
1 2
mi
vr2i
证毕 对吗？
3、刚体的动能
（1）平动刚体的动能
T
12mivi2
1 2
v2
m i
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
12mivi2
(
1 2
mi
ri
2
2
)
1 2 2
力矩转向与刚体转向一致，力矩做正功；反之，力矩做负功
（4）摩擦力的功 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。
摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。
FT
作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功：
? δW Fs dr Fs vdt 0
T
1 2
J
2
11
1 2
m2vC2
1 2
J
2
C2
J1
m1R12 , JC
δW FR ' drC MCd
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为
W12
C2 C1
F
'R
drC
2 1
MCd
说明:1.对任何运动的刚体，上述结论都适用;
2.C点不是质心，而是刚体上任意一点时,上述结论也成立
3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
于是有
T
1 2
mvC2
1 2
mivr2i
T
1 2
mv
2 A
1 2
mi
vr2i
证毕 对吗？
3、刚体的动能
（1）平动刚体的动能
T
12mivi2
1 2
v2
m i
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
12mivi2
(
1 2
mi
ri
2
2
)
1 2 2
力矩转向与刚体转向一致，力矩做正功；反之，力矩做负功
（4）摩擦力的功 摩擦力方向与其作用点的运动方向相反，摩擦力作负功； 摩擦力方向与其作用点的运动方向相同，摩擦力作正功。
摩擦力的功与力的作用点运动路径有关。
FT
作用在纯滚动圆轮上的摩擦力的功：
? δW Fs dr Fs vdt 0
T
1 2
J
2
11
1 2
m2vC2
1 2
J
2
C2
J1
m1R12 , JC
第十二章 第三节 动能定理
例(P263例12-4) 绞车，已知力偶M、重物质量m；主动轴I和从 动轴II的转动惯量J1和J2，传动比i12=w1/w2；鼓轮半径R。。绞 车初始时静止，试求当重物上升距离h时的速度v及加速度a。 M 解 (1)整个质点系 I (2)运动分析 Ek1=0
1 1 m 2 2 2 Ek 2 J1w1 J 2w2 v 2 2 2 w1 iw 2 iv / R w2 v / R
将作用力分成外力和内力 注意：内力作功的和一般不等于零。
A rA
O FA BA rB FB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
FA的元功FA · A； dr FB的元功FB · B。 dr 元功之和 d'W = FA · A + FB · B dr dr = FA · A - FA · B dr dr = FA · A-rB) d(r = FA · d(BA) = - FA d(BA)
第三节 动能定理
一、质点的动能定理 M1
M
a
F
M2
质点动能定理的微分形式：质点动能的微分，等于作用在质 点上的力的元功。
ma=F mat=Ft mdv/dt=Ft (mdv/dt) ds=Ftds mvdv=Ftds d(mv2/2) = d'W dEk = d'W
dEk = M Ftds
v2 v1
当质点系内质点间的距离发生变化时，内力功的总和一般不等 于零。 可变质点系： BA可变化，内力功之和不等于零 刚 体： BA不可变(刚体上任意两点的距离保持不变) 内力功之和等于零
内力作功举例： (1)汽车发动机的气缸内气体压力 (膨胀气体对活塞、气缸的作用力) ——内力功使汽车的动能增加 (2)机器中轴与轴承间的摩擦力，它们作负功，总和为负。 (3)人体活动 三、理想约束 理想约束：约束反力作功等于零的约束。 光滑接触面、光滑铰支座、固定端、一端固定的绳索、光滑铰 链、二力杆、不可伸长的细绳等 滑动摩擦力：摩擦力作负功，不是理想约束，但可将摩擦力作 为主动力，仍能应用动能定理 纯滚动：接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点位移为零，滑动摩 擦力不作功。 ——纯滚动的接触点是理想约束。 在理想约束条件下应用动能定理求解速度、加速度非常方便。
理论力学第十二章 动能定理
解:
2υC ω= = CP l cosθ
υC
T = 0, 1
成 θ 角时
1 1 1 1 2 2 2 T2 = mυC + JCω = m1+ υC 2 2 2 2 3cos θ
1 1 2 l mg (1− sin θ ) = m1+ υ 2 C 2 2 3cos θ
压力角为
20o
M − mraA 1 F 1 x = 0.364 O r M − mraA 1 F 1y = m g − O 1 r
′ = tan 20o ⋅ P′ = 0.364P′ P n t t
F 1 x + P′ = 0 O n
F 1 y + P′− m g = 0 O t 1
研究物块A 研究物块
解:
1 1 3 2 2 2 T = m C + JCω = m C υ υ 2 2 4
重力的功率
ds r r ds r r r ds r P = mg ⋅υ = mg ⋅ τ = m g ⋅τ = m ( −g sinθ ) dt dt dt ds = −mg sinθ dt
例5 已知： 为弹簧原长， 为常力偶 为常力偶. 已知：m，R， k， CA=2R为弹簧原长，M为常力偶 为弹簧原长 无初速度由最低点到达最高点时， 处约束力 处约束力. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时，O处约束力 圆心 无初速度由最低点到达最高点时
A
其中
利用
1 dh = rdϕ 2 dT = ∑δW dt rα1 α1 aA = ,α2 = 2 2
M
2(2M − mAgr) a A= (2mA + 4m1 + 4m2 + m3 ) r
理论力学基础 动能定理
M2 M1
(
Fx
dx
Fy
dy
Fzdz)
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
三、重力之功 Fx Fy 0 Fz mg
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
质点系
第
一 节
W m g(z z )
12
i
i1
i2
力
的
功
由 mzC mi zi
量分别为m和2m，且OC＝AC＝BC＝l，滑块A和
第 B重量均为m。常力偶M作用在曲柄上，设＝0
三 节 动
时系统静止，求曲柄角速度和角加速度 (以转角
表示)。
vB
能
定 理
K
vA
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
理论力学
第十二章 动能定理
例题六 图示系统中，滚子A 、滑轮B 均质，重
量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向
W d r F
三
节 m d v d r mdv d r mdv v mvdv
动 能 定
dt
d
(
1
dt
mv2 )
理
2
动能定理的微分形式: W d ( 1 mv2 )
2
动能定理的积分形式:
W
1 2
mv22
1 2
mv12
鞍山科技大学机械工程与自动化学院工程力学系
下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳
第 索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，
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又 Mz(F) = Mz(Ft) = Ft R = Mz
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
一、质点的动能
设质点的质量为m，某瞬时速度为v，则其
动能为
T 1 mv2 2
恒正的标量， 与速度的方向无关。
动能的量刚为
dim T dim mv2 FL ML2 T2
与功的量刚相同。
二、质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和即质 点系的动能 。
• 弹性力的功的特点
弹性力的功只与起止位置弹簧的变形 量有关而与路径无关。
⒊定轴转动刚体上作用力的功
z
力 F = Ft+Fr+Fz ∵ 刚体转动时，力Fr 和Fz 方向上无
位移，∴ Fr 和Fz 不作功。 ∴力 F的元功为
δW = F·dr = Ftds = Ft R d
式中 R为力F作用点A到转轴的距离。
r
δ1
r1
l
O
r dr d r r d r 2 rdr
2
2
∴弹性力的元功为
W
k(r
l)dr
d
1 2
k(r
l)2
点M由M1到M2时，弹性力的功为
2 1
2 2
W
2
d
1
1 2
k (r
l)2
1 2
k (r1
l)2
1 2
k (r2
l)2
结论
• 弹性力的功为
W
1 2
k
(
2 1
22)
式中1-----初始位置弹簧变形量； 2 -----末了位置弹簧变形量；
动；帮助滚动。
C
G
T
FD
N
瞬心
结 论
纯滚动刚体上滑动摩擦力不作功。
⒎质点系内力的功
设质点A、B之间的相互作用力
drA FA
分别为 FA 和FB ， 在dt内质点A、B A
的位移为drA 和drB ， 则FA 、FB 的
元功之和为
rA
δW = FA·drA + FB·drB ∵FA =－FB
= FA·drA － FA·drB
T
1 2
mi
vi
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
恒正的标量
例12-1 已知均质杆质量为m，长为l，绕z轴以匀角
速度ω作圆锥摆动，圆锥顶角为2。求该杆的动
能。
• 约束反力不作功或作功之和为零的约束
称为理想约束。
• 理想约束举例：
δWN = 0
N
dr
dr
N
* 光滑支撑面
*光滑轴承或光滑铰支座
*光滑铰链联接 dr
*不可伸长的柔索
N N'
T' α
T
B
drB
A
drA
δW = N ·dr +N' ·dr = N ·dr －N ·dr =0
δW = T ·drA +T'·drB
W12
M2 M1
(Fxdx
Fydy
Fz
dz)
功的解析表达式
三、几种常见力的功
⒈重力的功
z M1 M
设质点由M1运动到M2， 重力的在坐标轴上的投影为
Fx=0，Fy=0，Fz=－P
o
W12
M2 M1
(Fxdx
Fy
dy
Fz
dz)
x
z1 P
M2
y z2
z2 Pdz z1
W12 P(z1 z2 )
对于质点系，有
W12 mi g(zi1 zi2)
即
W12 mg(zC1 zC 2 )
特点：重力的功只与重心的起止位置的高度差有关 而与路径无关。
⒉ 弹性力的功 设弹簧原长为l，刚度系数
为k，则弹性力为
F
M δ
δ2
M2
r2
F
k (r
l)
r r
r
M1
W F dr k(r l) r dr
M1
ds M'
φ
rF
dr
τ
M2
k
i oj
y
δW =F·dr =Fdscosφ
x
W12
M2 M1
F dr M2 M1
F cosds
ddss与与ddrr为为同同阶阶无无穷穷小小!
若将F与dr沿坐标轴分解，则
F=Fxi+Fyj+Fzk ，dr =dxi+dyj+dzk ， 元功的解析表达式 δW = F·dr = Fxdx+Fydy+Fzdz
= －T drA + T'drB cosα
∵绳子不可伸长，
∴drA= drBcosα
∴δW = 0
** 常见力的功--小结
*重力的功
*弹性力的功
* 转动刚体上 力的功
*力偶的功
W12 P(z1 z2 )
W
1 2
k
(
2 1
22)
W12
2 1
M
z
(F
)d
W12
Md
0
* 平面运动刚 体上力的功
Fi ·driC = Fi cosθ·MiC ·d =Mc(Fi)d
∴平面运动刚体上力系的元功
δW=∑δWi = ∑ Fi ·drc + ∑ Mc(Fi)d
力力FFii对对质质心心之之矩矩
或 δW = FR'·drc +MC d
力力系系的的主主矢矢
力力系系对对质质心心之之主主矩矩
结论
•平面运动刚体上力系的元功
= FA·d (rA－rB)
O
FB
B
rB
drB
∵ rA +AB= rB ， rA － rB = －AB ∴δW = － FA·dAB
即 δW = － FAdAB
易知：
内力的功之和不 一定等于零。
内力的功不为零的实例
P N
F
ω
ω
• 摩擦力作负功。
F
m1
F'
m2
l0
•F、F' 作功之和 不等于零。
⒏约束力的功
第十二章 动能定理
§12-1 力的功
• 度量力在一段路程上对物体作用的积累效应。 • 结果：物体的机械能发生变化。
一、常力的功
力矢量与位移矢量的数量积。
F
φ
v
S
W=F·S=FScosφ
二、变力的功
z M
• 质点M在力F的作用下 作曲线运动，
M→M'，ds = MM'，dr = MM'
力F与质点的无限小位移 dr 的 数量积，称为力的元功。
∴力 F的元功为 δW = Mzd x
ω
F
o1 Fz Fr
A
Ft
or y
刚 力体F从作角的功1转为到2时，W12
2 1
M
z
(F
)d
⒋力偶的功
M
M=Fr
δW = Fds+F’ ·0 = Fr d
F ds
d r
F'
即力偶M的元功为
当刚体转过角时,
δW = FR'·drc +MC d
•平面运动刚体上力系的功
W12
M d 2
1
C
C2 C1
FR'
drC
结 平面运动刚体上力系的功等于力系向 论 质心简化所得的力和力偶作功之和。
⒍纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功 ω
δW = F'·drD =F ·vD dt=0
• drD----接触点的位移； • D为速度瞬心， vD=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑
力偶M的功为
δW = Md
W12
Md
0
⒌平面运动刚体上力系的功
• 设刚体在力系F1、F2、…Fn作
用下作平面运动，
在dt内，刚体质心位移drc，转角d ，
则Mi的位移 dri = drC +driC
Fi
dric θ
d
Mi
δWi = Fi ·dri = Fi ·drc + Fi ·driC
drc C
W12
2 1
M C d
C2 C1
FR'
drC
§12-2 质点和质点系动能 与动量比较?
一、质点的动能
设质点的质量为m，某瞬时速度为v，则其
动能为
T 1 mv2 2
恒正的标量， 与速度的方向无关。
动能的量刚为
dim T dim mv2 FL ML2 T2
与功的量刚相同。
二、质点系的动能
质点系内各质点动能的算术和即质 点系的动能 。
• 弹性力的功的特点
弹性力的功只与起止位置弹簧的变形 量有关而与路径无关。
⒊定轴转动刚体上作用力的功
z
力 F = Ft+Fr+Fz ∵ 刚体转动时，力Fr 和Fz 方向上无
位移，∴ Fr 和Fz 不作功。 ∴力 F的元功为
δW = F·dr = Ftds = Ft R d
式中 R为力F作用点A到转轴的距离。
r
δ1
r1
l
O
r dr d r r d r 2 rdr
2
2
∴弹性力的元功为
W
k(r
l)dr
d
1 2
k(r
l)2
点M由M1到M2时，弹性力的功为
2 1
2 2
W
2
d
1
1 2
k (r
l)2
1 2
k (r1
l)2
1 2
k (r2
l)2
结论
• 弹性力的功为
W
1 2
k
(
2 1
22)
式中1-----初始位置弹簧变形量； 2 -----末了位置弹簧变形量；
动；帮助滚动。
C
G
T
FD
N
瞬心
结 论
纯滚动刚体上滑动摩擦力不作功。
⒎质点系内力的功
设质点A、B之间的相互作用力
drA FA
分别为 FA 和FB ， 在dt内质点A、B A
的位移为drA 和drB ， 则FA 、FB 的
元功之和为
rA
δW = FA·drA + FB·drB ∵FA =－FB
= FA·drA － FA·drB
T
1 2
mi
vi
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
恒正的标量
例12-1 已知均质杆质量为m，长为l，绕z轴以匀角
速度ω作圆锥摆动，圆锥顶角为2。求该杆的动
能。
• 约束反力不作功或作功之和为零的约束
称为理想约束。
• 理想约束举例：
δWN = 0
N
dr
dr
N
* 光滑支撑面
*光滑轴承或光滑铰支座
*光滑铰链联接 dr
*不可伸长的柔索
N N'
T' α
T
B
drB
A
drA
δW = N ·dr +N' ·dr = N ·dr －N ·dr =0
δW = T ·drA +T'·drB
W12
M2 M1
(Fxdx
Fydy
Fz
dz)
功的解析表达式
三、几种常见力的功
⒈重力的功
z M1 M
设质点由M1运动到M2， 重力的在坐标轴上的投影为
Fx=0，Fy=0，Fz=－P
o
W12
M2 M1
(Fxdx
Fy
dy
Fz
dz)
x
z1 P
M2
y z2
z2 Pdz z1
W12 P(z1 z2 )
对于质点系，有
W12 mi g(zi1 zi2)
即
W12 mg(zC1 zC 2 )
特点：重力的功只与重心的起止位置的高度差有关 而与路径无关。
⒉ 弹性力的功 设弹簧原长为l，刚度系数
为k，则弹性力为
F
M δ
δ2
M2
r2
F
k (r
l)
r r
r
M1
W F dr k(r l) r dr
M1
ds M'
φ
rF
dr
τ
M2
k
i oj
y
δW =F·dr =Fdscosφ
x
W12
M2 M1
F dr M2 M1
F cosds
ddss与与ddrr为为同同阶阶无无穷穷小小!
若将F与dr沿坐标轴分解，则
F=Fxi+Fyj+Fzk ，dr =dxi+dyj+dzk ， 元功的解析表达式 δW = F·dr = Fxdx+Fydy+Fzdz
= －T drA + T'drB cosα
∵绳子不可伸长，
∴drA= drBcosα
∴δW = 0
** 常见力的功--小结
*重力的功
*弹性力的功
* 转动刚体上 力的功
*力偶的功
W12 P(z1 z2 )
W
1 2
k
(
2 1
22)
W12
2 1
M
z
(F
)d
W12
Md
0
* 平面运动刚 体上力的功
Fi ·driC = Fi cosθ·MiC ·d =Mc(Fi)d
∴平面运动刚体上力系的元功
δW=∑δWi = ∑ Fi ·drc + ∑ Mc(Fi)d
力力FFii对对质质心心之之矩矩
或 δW = FR'·drc +MC d
力力系系的的主主矢矢
力力系系对对质质心心之之主主矩矩
结论
•平面运动刚体上力系的元功
= FA·d (rA－rB)
O
FB
B
rB
drB
∵ rA +AB= rB ， rA － rB = －AB ∴δW = － FA·dAB
即 δW = － FAdAB
易知：
内力的功之和不 一定等于零。
内力的功不为零的实例
P N
F
ω
ω
• 摩擦力作负功。
F
m1
F'
m2
l0
•F、F' 作功之和 不等于零。
⒏约束力的功
第十二章 动能定理
§12-1 力的功
• 度量力在一段路程上对物体作用的积累效应。 • 结果：物体的机械能发生变化。
一、常力的功
力矢量与位移矢量的数量积。
F
φ
v
S
W=F·S=FScosφ
二、变力的功
z M
• 质点M在力F的作用下 作曲线运动，
M→M'，ds = MM'，dr = MM'
力F与质点的无限小位移 dr 的 数量积，称为力的元功。