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a ?
18
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(
m
1 4
n
3 8
)8
19
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
解： (1)(2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
211 115
m
an 3. 0的分数指数幂
4.有理指数幂的运算性质
0的正分数指数幂等于0。 （1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
0的负分数指数幂无意义。（2）(ar)s=ar•s(a>0,r,s∈Q)
（3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q)
注意：以后当看到指数是分数时，如果没有特
别的说明，底数都表示正数.
（16）－34＝（ 2）4（－34）＝（ 2）－3＝ 27 。
81
3
3
8
14
练习:求值：
9
1 2
，64
2 3
,(
1
1
)5
32
15
⒋有理指数幂的运算性质 我 说明们：规若定a了>分0，数p指是数一幂个的无意理义数以，后则a，p表指示 数 一个的确概定念的就实从数整. 数上指述数有推理广指到数有幂理的运数算指性 数 质，. 上对述于关无于理整数数指指数数幂幂都的适运用算. 即性当质指，数对的 于 范围有扩理大指到数实幂数也集同R样后适，用幂，的即运对算任性质意仍有然 理 是数下r述，的s，3条均. 有下面的性质：
＝
；（4）bx22c ＝
．
8
分数指数
❖ 1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念.
方根概念推广： 如果存在实数x使得
则x叫做a的n次方根. xn a(a R, n 1, n N ) 求a的n次方根，叫做把 a开n次方, 称作开方运算.
9
有理数指数幂
10
复习：（口算5）a10 5 (a2 )5 a2 a 5
6
三、负整数指数幂
练习3
a－1 ＝
1 a
（
a
≠
0）
a－n ＝
1 an
（a ≠ 0，n N＋ )
（1）8－2 ＝
；
（2）0.2－3 ＝ ；
（3）式子(a－b)－4 ＝
1 (a－b)4
是否恒成立？为什么？
7
练习4 （1）( 2 x )－2 ＝ ；（2）0.001－3 ＝ ；
（3）(
x3 y2
)－2
；
（3）式子 ( a－b ) 0 ＝1 是否恒成立？为什么？
5
如果取消 aamn＝am－n(m＞n，a≠0)中m＞n的
限制，如何通过指数的运算来表示？
计算： （1）2243 ＝
1 2
；
（2）2263 ＝
1 8；
＝23－4
＝23－6
＝2－1
2－1 ＝
1 2
＝2－3
2－3 ＝
1 23
规定 a－1＝ a1（a≠0） a－n＝ a1n（a≠0，nN＋）
13
例2：求值：
2
83，
－1
100 2
，（
1
）－3此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解：
823＝（23）23＝23
2 3
＝22＝4；
－1
100 2
＝（102）－12＝102（－12）＝10－1＝
1
；
10
（ 1 ）－3＝（2－2）－3＝2（－2）（－3）＝26＝64； 4
[2 (6) (3)]a 3 2 6b 2 3 6
m
a n n a m (a 0,m,n∈N*,且n>1)
m
用语言叙述：正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1) 等于这个正数的m次幂的n次算术根.
注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样
的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的
结果：
实数指数
1
一、正整数指数幂
一般地，a n（n N＋）叫做 a 的 n 次幂．
幂
an
指数（nN＋）
底数
规定：
a 1＝ a ．
2
练习1 （1）2 3×2 4 ＝
（2）( 2 3 ) 4 ＝ 24
（3） 23 ＝ （4）( x y ) 3＝
； aman＝ ；
； (am)n＝
；
；
am an
＝
( m ＞ n，a ≠ 0 )；
； (ab)m＝
．
3
计算：
23 23 ＝ 1 ；
＝23－3 ＝20
20＝1
规定 a0＝1 (a≠0) 如果取消 aamn ＝am － n(m＞n，a≠0)中 m ＞ n 的 限制，如何通过指数的运算来表示？
4
二、零指数幂 a 0 ＝ 1（a ≠ 0 ）
练习2
（1）8 0 ＝
；
（2）(－0.8 ) 0 ＝
1）5 32 2）4 81 3） 210
12
3 a12 3 (a4 )3 a4 a 3
2
2
3 a2 3 (a 3 )3 a 3
4）3 312
1
1
a (a 2 )2 a 2
a n m
m
m
n (a n )n a n (m, n N*,且n 1)
10
⒈正分数指数幂的意义
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
数指数幂的意义相仿，就是：
m
an
1
m
an
1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). n am
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指
数幂没有意义.
12
练习: 1、用根式表示（a>0)：
1 4 1 3
23 , a 5 ,3 6 , a 4 .
2、若（x 5）0 （x 4）14 有意义，求 x的取值范围。
17
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2 a, a3 3 a2 , a a (式中a 0)
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
解：
a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2;
a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3;
11
31
3
a a (a a2 )2 (a2 )2 a4.
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈Q)；
⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q)；
⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
16
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
2.正数的负分数指数幂
m
an
1
(a 0, m, n N*,且n 1)
1
2
(1)3 3 1=-1； (1)6 6 (1)2 6 1 =1. 这就说明
分数指数幂在底数小于0时无意义.
11
⒉负分数指数幂的意义
注回意忆：负整负数分指数数指幂数的幂意在义：有意义的情况下，
总在指表数示上正.数a－，n=而a1不n (是a≠负0,n数∈,N负*)号. 只是出现
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整
