北师大版九年级数学上册 4.1.1线段的比和成比例线段 同步测试题(含答案,教师版)

1 第1课时 成比例线段知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，a b 与b a 不同，它们互为倒数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为( )A ．3∶4B ．2∶3C ．3∶5D ．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a ＝3 cm ，b ＝6 cm ，c ＝2 cm ，则d ＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x 2＝y 3，那么下列式子中一定成立的是( ) A ．2x ＝3y B ．3x ＝2yC ．x ＝2yD ．xy ＝66．若3a ＝5b ，则a b＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 38．如果a ＋2b b ＝52，那么a b的值是( ) A.12 B ．2 C.15D ．5 9．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′，AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm.(1)求A ′B ′AB 和B ′C ′BC的值； (2)线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.53 7.C8．A9．解：(1)∵AB ＝8 cm ，BC ＝12 cm ，A ′B ′＝4 cm ，B ′C ′＝6 cm ， ∴A ′B ′AB ＝48＝12，B ′C ′BC ＝612＝12.(2)由(1)知A ′B ′AB ＝12，B′C ′BC ＝12，∴A ′B ′AB ＝B ′C′BC ，∴线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．10．解：∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2，解得AE ＝5.6(cm)，则AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x .当x ∶4＝8∶5时，可求得x ＝325；当x ∶4＝5∶8时，可求得x ＝208＝52；当4∶8＝5∶x 时，可求得x ＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.。

第四章成比例线段、平行线段成比例一、单选题1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【解析】【分析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可．【详解】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故选D．【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（）A ．AP ：BP=AB ：AP B ．AP AB =C ．12BP AB =D ．0.618AP AB ≈【答案】C【解析】【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可．【详解】由题意得：∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确；12AP AB =，故B 正确；AP AB =∴32BP AB AP AB =-=，故C 错误；2.236≈，∴0.618AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键．3．如图，//DE BC，下列各式不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．AD AEBD CE=C．AD AEAC AB=D．AD ABAE AC=【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】∵//DE BC,∵AD AEBD CE=，AD AEAB AC=，即AD ABAE AC=，，∵选项A、B、D均正确，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序．4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若23=ABBC，DE＝4.2，则DF的长是（）A．38B．6C．6.3D．10.5【答案】D 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出DE ABEF BC=，再把已知条件代入求解即可．【详解】解：∵l1∵l2∵l3，23=ABBC，DE＝4.2，∵DE ABEF BC=，即4.223EF=，解得：EF＝6.3，∵DF＝DE+EF＝10.5．故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．5．已知在ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F．则下列说法不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．DE AEBC AC=C．BF ADBC AB=D．AD BFAB FC=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵DE∵BC，EF∵AB，∵AD AE DEAB AC BC==，A、B选项正确；∵四边形BDEF是平行四边形，∵DE=BF，∵AD DE BFAB BC BC==，故C选项正确，D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．6．如果a=2，b=4，c=8，那么（）A．a、b、c的第四比例项是7B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项D．b是ac的比例中项【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例进行判断即可．【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为28 416 =∵B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为624 832 =，C选项c不是ab的比例中项，因为2ab c≠，D选项b是ac的比例中项，因为2ac b=故选：D【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．7．点P是线段AB的黄金分割点，且AP PB>，下列命题：()()()()2221AB AP PB2AP PB AB3BP AP AB4AP:AB PB:AP=⋅=⋅=⋅=，中正确的有（∵A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值51-叫做黄金比．【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP∵PB∵∵根据线段黄金分割的定义得：AP2∵PB•AB∵AP∵AB∵PB∵AP∵∵只有∵∵正确．故选B∵【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．8．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有()∵ED DFEA AB=∵∵DE EFBC FB=∵ ∵BC BFDE BE=∵∵BF BCBE AE=.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∵AB∵AD∵BC∵CD=AB∵AD=BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ,AD ∵BC ∵CD =AB ∵AD =BC ∵ ∵ED DF EA AB=，故∵正确； ∵DE EF AD FB =,即DE EF BC FB=，故∵正确； ∵BC BF DE EF =，故∵错误； ∵BF AD BE AE =,即BF BC BE AE=，故∵正确. 故选:C.【点睛】考查平行线分线段成比例, 平行四边形的性质，比较基础，难度不大.9．如图，∵ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE=EF=FC ．则BN:NQ:QM 等于（ ）A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:1【答案】C【解析】【分析】 连结MF ，如图，先证明MF 为∵CEA 的中位线，则AE=2MF∵AE∵MF ，利用NE∵MF 得到 1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==，即BN=NM∵MF=2NF ，设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b ，所以AN=3b ，然后利用AN∵MF 得到 3322NQ AN b QM MF b ===，所以NQ=35a∵QM=25a ，再计算BN∵NQ∵QM 的值． 【详解】连结MF ，如图，∵M 是AC 的中点，EF=FC∵∵MF 为∵CEA 的中位线，∵AE=2MF∵AE∵MF∵∵NE∵MF∵ ∵1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==∵ ∵BN=NM∵MF=2NF∵设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b∵∵AN=3b∵∵AN∵MF∵ ∵3322NQ AN b QM MF b ===∵ ∵NQ=35a∵QM=25a∵∵BN∵NQ∵QM=a∵35a∵25a=5∵3∵2∵故选C∵【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．10．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD 的面积为8，则DOE的面积是()A．2B．32C．1D．94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作∵OED和∵AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．【详解】解：如图，过A、E两点分别作AN∵BD、EM∵BD，垂足分别为M、N，则EM∵AN，∵EM：AN＝BE：AB，∵E为AB中点，∵BE=12 AB，∵EM＝12 AN，∵平行四边形ABCD的面积为8，∵2×12×AN×BD＝8，∵AN×BD＝8∵S∵OED＝12×OD×EM＝12×12BD×12AN＝18AN×BD＝1．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：∵面积比是边长比的平方比；∵分别找到底和高的比．二、填空题11．相距125千米的两地在地图上的距离为25cm，则该地图的比例尺为_____．【答案】1：500000．【解析】【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．【详解】解：∵125km＝12500000cm，该地图的比例尺＝25：12500000＝1：500000；故答案为：1：500000．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 12．已知，225x y z ==，则322x y z x-+＝_____． 【答案】74【解析】【分析】 设225xyzk ===，得出x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】 解：设225xyzk ===，则x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，326457244x y z k k k x k -+-+==； 故答案为：74． 【点睛】此题考查了比例性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．13．若点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，，则AC ︰BC=_________．2【解析】【分析】由AB=1，，可得BC 的长，即可求出AC ︰BC 的比值． 【详解】点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，∴32BC -= ∴AC ︰2=．2．【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据题意得到BC 的长，然后进行比值即可．14．如图////AB CD EF ，4=AD ，3BC DF ==，则CE =________.【答案】94【解析】【分析】根据平行线分线段成比例直接列比例式计算即可．【详解】∵////AB CD EF ， ∵CE DF BC AD=， 又4=AD ，3BC DF ==， ∵334CE =， 解得：CE=94， 故答案为：．94【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键熟练掌握这个知识点并注意线段的书写顺序．15．如图，AD 是中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ．若12AF AD =，则AE AC值是______．【答案】13【解析】【分析】过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，利用平行得到的线段成比例，先通过D 是BC 中点，证明CG=GE ，再通过F 是AD 中点，证明AE=EG ，最后得到AE AC的值．解：过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，∵//DG BE ，∵CD CG CB CE=， ∵AD 是中线，∵D 是BC 中点，∵G 是CE 中点，∵//FE DG ，∵12AF AE AD AG ==，∵E 是AG 中点， ∵31AE AC =． 故答案是：13．【点睛】本题考查线段成比例的性质，解题的关键是构造辅助线，然后利用平行得到的线段成比例去求解． 16．如图：AD 是ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：1ED =：3，BE 的延长线交AC 于F ，AF ：FC=_______ ．【答案】1:6【解析】作DH∵BF 交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH=HC ，根据平行线分线段成比例定理得到13AF AE FH ED ==，计算得到答案． 【详解】解：作DH∵BF 交AC 于H ，∵AD 是∵ABC 的中线，∵BD=DC ，∵FH=HC ，∵DH∵BF ， ∵13AF AE FH ED ==， ∵AF ：FC=1：6，故答案为：1：6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．17．如图：//AD BC ，AC ，BD ，EF 相较于点G ，DEG △，AGE ，BFG ，FGC △的面积分别记为a ，b ，c ，d ，若2AE DE =，则24a cb d ----的值为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意∵AGE 和∵DEG 高相等，底是两倍关系所以面积也是两倍关系，即b =2a ，同理d =2c ，将代数式中的b 和d 转换成a 和c 即可解出．【详解】∵AE=2DE ，∵S ∵AGE =2S ∵DEG ，又∵AD∵BC ， ∵1==2BFG DEG FGC AGE S S S S △△△△， ∵b =2a ，d =2c ，()22214224222a c a c a cb d ac a c ------===------． 故答案为12． 【点睛】本题考查相似比的应用，关键在于通过线段比转换成面积比．18．如图，等边∵ABC 的边长为8，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的一点，AE=2，若点M 是线段AD 上的一个动点，则ME+MC 的最小值为____.【答案】【解析】【分析】由等边三角形的性质可知B、C关于AD对称，根据两点之间线段最短可知，连接BE，此时BE就是ME+MC 的最小值.【详解】如下图所示，连接BE，过E作EF∵AD于F，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∵AD∵BC，∵AD是BC的垂直平分线，∵点C关于AD的对应点为点B，∵BE就是EM+CM的最小值.∵等边∵ABC的边长为8，AE=2，∵14 AE= AC∵EF∵AD，AD∵BC，∵EF∵BC，∵14EF AE ==CD AC ∵14FM EM EF EF ====MD BM BD CD 在Rt∵AEF 中，∵EAF=30°，AE=2，∵EF=12AE=1，在Rt∵ABD 中，∵DF=AD -AF=∵14FM =MD∵15FM= 在Rt∵EFM 中，5 又∵14EM =BM∵BE=5EM=55⨯∵EM+CM 的最小值为【点睛】本题考查了最短路径问题，典型的“将军饮马”模型，需要熟记此模型辅助线的做法，找到最短路径后，利用线段比例关系求出BE 是关键.三、解答题19．已知a ：b ：c=3：2：5， 求342a b c a b c-++-的值. 【答案】173【解析】【分析】根据比例式设未知，利用代入法求解.【详解】设a=3k ，则b=2k ，c=5k342a b c a b c -++-=3620625k k k k k k-++-=173 考点：比例的性质20．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM ，DM 的长；（2）求证：AM 2＝AD·DM ；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？【答案】（11，3（2）证明见解析；（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点【解析】【分析】（1）由勾股定理求PD ，根据AM =AF =PF -P A =PD -P A ，DM =AD -AM 求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：AM DM AD AM=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】解：（1）∵P 为边AB 的中点，∵AP ＝12AB ＝1，∵PD∵PF ＝PD AF ＝PF －AP 1，∵AM ＝AF 1，∵DM ＝AD －AM ＝3（2）证明：∵AM 2＝1)2＝6－AD ·DM ＝2(3＝6－∵AM 2＝AD ·DM ．（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点．理由如下：∵AM 2=AD •DM ，∵AM DM AD AM ==， ∵点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．21．已知三条线段长分别为1cm cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．cm cm∵ 【解析】【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．【详解】解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，1，2时，21x =2x =；∵若四条线段的长度大小为： 1，x212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，x ，212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，2 ，x 时，12x ⨯=x =cm 或cm ． 【点睛】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．22．如图，在∵ABC 中，DE∵BC ，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点F 在BC 上，DE 交AF 于点G ，AD=2BD ，AE=5，求：（1）AGAF；（2）AC的长．【答案】（1）23；（2）152【解析】【分析】（1）由于DE∵BC，AD=2BD，23ADAB=根据平行线分线段成比例定理可得23AG ADAF AB==；（2）同（1），易求23AEAC=，而AE=5，从而可求AC．【详解】解：（1）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AG AD AF AB==（2）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AE AD AC AB==∵AE=5∵AC=15 2【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．23．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =，点D 为BC 边上的中点，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，延长BE 交AC 于点F ，求AF FC的值．【答案】2【解析】【分析】过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ．先证明GBC DAB △≌△，得到CG BD =，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：如解图，过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ． ∵90ABC ∠=︒，BA BC =，∵四边形ABCM 为正方形，∵90ABC BCG ∠=∠=︒，∵90ABE GBC ∠+∠=︒，又∵BE AD ⊥，∵90ABE BAD ∠+∠=︒，∵GBC DAB ∠=∠，又∵AB BC =，∵()ASA GBC DAB △≌△，∵CG BD =．又∵//AB MC ， ∵2AF AB AB FC CG BD===．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．24．如图，已知AD∵BE∵CF ，它们依次交直线l1，l2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，23DE EF =，10AC =．（1）求AB 、BC 的长；（2）如果AD=5，CF=10，求BE 的长．【答案】（1）4，6；（2）7【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出23AB DE BC EF ==，即可求出AB 的长，得出BC 的长； （2）过点A 作AG∵DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=2，即可得出结果．【详解】（1）解：∵AD BE CF ∵23AB DE BC EF ==，∵25AB AC = ∵10AC =，∵4AB =∵1046BC =-=（2）解：过点A 作AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点G又∵AD BE CF ，5AD =，∵5AD HE GF ===∵CF 10=∵1055CG =-=∵BE CF ∥ ∵25BH AB CG AC == ∵2BH =∵257BE =+=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．25．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∵BC交DC于点F∵32 DFFC=∵∵1）若BD=20，求BG的长∵∵2）求CMCD的值∵【答案】(1)8;(2)1 2【解析】【分析】∵1）由GF∵BC，可证DF DGFC BG=，结合32DFFC=，整理可求出BG的值；∵2∵由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∵CD∵AB=CD∵从而DM DGAB BG=∵整理可求出32DMAB=∵根据比例的性质可求出的CM CD值.【详解】(1) ∵GF∵BC∵∵DF DG FC BG=∵∵BD=20∵32 DFFC=∵∵8BG=∵(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD∵AB=CD∵∵DM DG AB BG=∵∵32 DMAB=∵∵32 DMCD=∵∵12 CMCD=.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.26．如图，在四边形ABCD中，AD∵BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．【答案】见解析.【解析】【分析】依据AD∵BC，即可得出AMNC=AOCO，再根据AD∵BC，即可得到AOOC=ADBC=PDPC=MDNC，进而得到结论．【详解】证明：∵AD∵BC∵∵AMNC=AOCO∵∵AD∵BC∵∵AOOC=ADBC=PDPC=MDNC∵∵AMNC=MDNC∵∵AM=MD∵【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．27．已知：如图，在∵ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∵AB交边AC于点F，EG∵AC 交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．求证：GF = BH．【答案】见解析【解析】【分析】由于EF ∵AB ，根据平行线分线段成比例，可得到2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-==，从而推出HF BE AB BC =，再由EG ∵AC 根据平行线分线段成比例，得到BE BG BC AB=，即可推出HF = BG ，最后根据一组对边平行且相等判定四边形BGFH 是平行四边形，得到GF = BH ．【详解】证明：∵ AD 是边BC 上的中线，∵ BD = DC ．∵ HF ∵AB ，∵ 2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-== ∵ 22EF HE DC EC AB DC+-=， 即HF BE AB BC=， ∵ EG ∵AC ，∵BE BG BC AB =， ∵ HF BG AB AB=， ∵ HF = BG ，又∵ HF ∵BG ，∵ 四边形BGFH 是平行四边形，∵ GF = BH ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键.。

《第二节 平行线分线段成比例》提升训练1.（教材P85习题T4变式）（上海中考）如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB =3：5，那么CF ：CB 等于( )A .5：8B .3：8C .3：5D .2：52.（梧州中考）如图，AG ：GD =4：1，BD ：DC =2：3，则AE ：EC 的值是( )A .3：2B .4：3C .6：5D .8：53.如图，直线1l ∥2l ∥3l ，AB =3，AD =2，DE =4，EF =7.5. 求BC ，BE 的长.4.如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，连接BF 并延长交AD 的延长线于点E . 求证：DEDFAE DC .5.（南阳淅川县模拟）如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC.（1）求证：AF：FD=AD：DB；（2）若AB=15，AD：BD=2：1，求DF的长.链接河南中招6.（河南模拟）如图，在横格作业纸（横线等距）上一画条直线，与横格线交于A，B，C三点，则BC：AC等于( )A.2：3B.2：5C.3：4D.3：5微专题5作平行线转换线段的比【方法指导】求线段的比，通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段，然后进行转化得到所求两条线段的比；遇到不能直接转化线段的比时，要联想到借助辅助线（作平行线）构造基本图形：A型与X型针对训练（郑州期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于点P，则AP：PD等于( )A.1：1B.1：2C.2：3D.4：3【变式】如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连接CF并延长交AB于点E，已知32CDBD=，则AEBE== .拔高题如图，△ABC中，AF:FD=1：3，BD=DC，求AE:EC的值.参考答案1.A2.D3.解:∵1l ∥2l ∥3l ，∴FB AB AD BE BC DE ==，即324BF BE BC ==.∴BC =6,BF =12BE . 又∵EF =BF +BE =7.5.∴12BE +BE =7.5. ∴BE =5. 4.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC . ∴DE EF AE EB =. 同理可得EF DF EB DC =.∴DE DF AE DC=. 5.解:（1）证明:∵EF ∥CD ，∴AF AE FD EC =. ∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =. ∴AF AD FD BD=，即AF ∶FD =AD ∶DB . （2）103DF =6.C微专题 5针对训练 A变式 35拔高题解: 过点D 作DG ∥BE 交AC 于G ，则AF :FD =AE ：EG =1：3，BD ：CD =EG :CG = 1 ：1，所以AE :EC =1：6.。

北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 同步测试题(测试内容：4.1成比例线段～4.3相似多边形)(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1∶500000的地图上甲乙两地的距离( )A ．40 cmB ．400 cmC ．0.4 cmD ．4 cm2．a ，b ，c ，d 是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是( ) A ．a ＝2 cm ，b ＝5 cm ，c ＝5 cm ，d ＝10 cm B ．a ＝5 cm ，b ＝3 cm ，c ＝10 cm ，d ＝6 cm C ．a ＝30 cm ，b ＝2 cm ，c ＝0.8 cm ，d ＝2 cm D ．a ＝5 cm ，b ＝0.02 cm ，c ＝7 cm ，d ＝0.3 cm 3．下列结论不正确的是( ) A ．所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似4．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则这个多边形的最短边长为( )A ．6B ．8C ．12D ．105．若四边形ABCD ∽四边形A ′B ′C ′D ′，AB ＝6，A ′B ′＝9，∠A ＝45°，B ′C ′＝8，CD ＝4，则下列结论错误的是( )A ．∠A ′＝45°B ．四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为23C ．BC ＝163D ．C ′D ′＝66．若a 2＝b 3＝c4，则a ＋2b ＋3c a等于( )A ．8B ．9C ．10D ．117．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，若AC ＝3，AE ＝8，BD ＝2，则DF 的值是( )A ．4B .103C .73D .52,第7题图) ,第8题图) ,第9题图)8．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，则下列比例式一定成立的是( )A .AE EC ＝DE BCB .AE AC ＝CF BC C .AD AB ＝BF BC D .DE BC ＝DF AC9．如图，AG ∶GD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，则AE ∶EC 的值是( ) A ．3∶2 B ．4∶3 C ．6∶5 D ．8∶510．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB ＝90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则ABBD 的值为( )A .425B .345C .528D .20223,第10题图),第12题图) ,第13题图)二、填空题(每小题3分，共18分) 11．已知：a b ＝23，则a －2b a ＋2b的值是_______12．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝______.13．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝_________14．已知三条线段的长分别为：1，2，3，请你添上一条线段，使它们能构成一组成比例线段，则这条线段的长是_______15．把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x 为_______.,第15题图) ,第16题图)16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC 于点F ，则CFCD＝_________. 三、解答题(共72分)17．(6分)已知x 2＝y 3＝z4，2x －3y ＋4z ＝22，求代数式x ＋y －z 的值．18．(6分)如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，已知AC ＝3，BC ＝4.问线段AD ，CD ，CD ，BD 是不是成比例线段？写出你的理由．19．(6分)如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，求∠α，∠β 的大小和EH 的长度．20．(7分)小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按1∶100的比例尺画出了草坪图(如图)，他准备在草坪内栽种面积为0.02平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔50厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？21．(8分)如图，在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，直线DN ∥AM ，交AB 于点D ，交CA 的延长线于点E ，交BC 于点N.求证：AD AB ＝AEAC.22．(8分)如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB ＝AB ，DE 与AB 相交于点F ，AD ＝2，CD ＝1，求AE 及DF 的长．23．(9分)一个矩形ABCD的较短边长为2.(1)如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；(2)如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC 与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．24．(10分)如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20.(1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；(2)如图2，当x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？25．(12分)如图，AB∥EF∥CD.(1)AB＝10，CD＝15，AE∶ED＝2∶3，求EF的长；(2)AB＝a，CD＝b，AE∶ED＝k，求EF的长．参考答案一、选择题1-5 DBABB 6-10 CBBDA 二、填空题11、－12. 12、4 13、2 14、23(只填一个)． 15、2 3 16、1317、解：设x 2＝y 3＝z4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∵2x －3y ＋4z ＝22，∴4k －9k ＋16k＝22，∴k ＝2，∴x ＋y －z ＝2k ＋3k －4k ＝k ＝218、解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∵S △ABC ＝12AB ·CD＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝3×45＝2.4，在Rt △ADC 中，AD ＝AC 2－CD 2＝1.8，∴BD ＝3.2，∴AD ∶CD ＝CD ∶BD ＝3∶4，∴线段AD ，CD ，CD ，BD 是成比例线段19、解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠α＝∠C ＝83°， ∠A ＝∠E ＝118°，在四边形ABCD 中，∠β＝360°－83°－78°－118°＝81°， ∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∴EH ∶AD ＝EF ∶AB ，∴x ∶21＝24∶18，解得x ＝28，∴EH ＝28 cm20、解：由于比例尺为1∶100，根据图纸，得长为5×100＝500(cm )＝5 m ，宽为3×100＝300(cm )＝3 m ，5×3÷0.02＝750(块)，(3＋5)×2÷0.5＝32(株)．答：需购买750块小矩形草皮，32株杜鹃21、证明：∵直线DN ∥AM ，∴AD AB ＝MN BM ，AE AC ＝MNMC ，∵在△ABC 中，AM 是BC 边上的中线，∴MB ＝MC ，∴AD AB ＝AE AC22、解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD ＝2，CD ＝1，∴BC ＝AD ＝2，AB ＝CD ＝1，∠ABC ＝∠C ＝90°，AB ∥DC.∴EB ＝AB ＝1.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝ 2.在Rt △DCE 中，DE ＝DC 2＋CE 2＝12＋32＝10.∵AD ∥EC ，∴EF DF ＝EB AD ，∵AD ＝BC ，∴EFDF ＝EB BC ＝12.设EF ＝x ，则DF ＝2x.∵EF ＋DF ＝DE ，∴x ＋2x ＝10.∴x ＝103.∴DF ＝2x ＝2310 23、解：(1)由已知得MN ＝AB ＝2，MD ＝12AD ＝12BC ，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM AB ＝MNBC，∴DM ·BC ＝AB ·MN ，即12BC 2＝4，∴BC ＝22，即它的另一边长为2 2(2)∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴DF AB ＝CDBC，∵AB ＝CD ＝2，BC ＝4，∴DF ＝AB ·CDBC＝1， ∴矩形EFDC 的面积＝CD ·DF ＝2×1＝224、解：(1)不相似，理由如下：AB ＝30，A ′B ′＝28，BC ＝20，B ′C ′＝18，而2830≠1820，故矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′不相似 (2)若矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似，则A ′B ′AB ＝B ′C ′BC 或A ′B ′BC ＝B ′C ′AB .则30－2x 30＝20－220或30－2x 20＝20－230，解得x ＝1.5或9.故当x ＝1.5或9时，矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′相似25、解：(1)过点A 作AN ∥BC 交CD 于N ，交EF 于M ，∵AB ∥EF ∥DC ，∴四边形AMFB ，四边形MNCF 都为平行四边形，∴AB ＝MF ＝NC ＝10，∴DN ＝CD －CN ＝15－10＝5，∵EM ∥DN ，∴EM DN ＝AE AD ＝25，∴EM ＝2，∴EF ＝EM ＋MF ＝2＋10＝12(2)由(1)知∵四边形AMFB ，四边形MNCF 都为平行四边形，∴AB ＝MF ＝NC ＝a ，∴DN ＝CD －CN ＝b －a ，∵EM ∥DN ，∴EM DN ＝AE AD ＝k k ＋1，∴EM ＝kk ＋1DN ＝k （b －a ）k ＋1，∴EF ＝EM ＋MF ＝k （b －a ）k ＋1＋a ＝kb ＋ak ＋1。

北师大版九年级数学上册说课稿：4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节，是在学生已经掌握了比例的性质，以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。

这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质，以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例，引出成比例线段的定义，接着通过大量的练习，让学生加深对成比例线段的理解。

在这一节的内容中，学生需要掌握成比例线段的定义，以及如何判断两条线段是否成比例，同时，还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。

但是，对于成比例线段的定义及其应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我将会以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解成比例线段的定义，并通过大量的练习，让学生掌握成比例线段的性质和应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解成比例线段的定义，掌握成比例线段的性质，能够判断两条线段是否成比例，并能够运用成比例线段来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义及其性质。

2.教学难点：如何判断两条线段是否成比例，以及如何运用成比例线段来解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件，为学生提供丰富的学习资源，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引出成比例线段的定义。

2.新课导入：讲解成比例线段的性质，让学生通过观察、操作、思考，理解并掌握成比例线段的性质。

3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生通过练习，加深对成比例线段的理解。