2012年丽水市初中数学教师解题大赛试题

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A）（B）（C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B）（C）（D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A）（B）4 （C）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A）5 （B）6 （C）7 （D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A）（B）（C）（D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为.风味试卷试题根据语境9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是.D10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为.的小伙子化学教案他离开公司后化学教案会去哪（第10（甲）题）10（乙．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt△中，于是DE=，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA=AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO=.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.…………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.…………（20分）12（甲）．证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n(m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m.…………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．…………（20分）2012年全国初中数学竞赛试题（副题）题号一二三总分1～56～101112 1314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（）．（A）10000 （B）10020 （C）10120 （D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（）．（A）11 （B）12 （C）13 （D）14（第2题）3．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k+1）x+1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（）．（A）k＞，或k＜－1 （B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1 （D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（）．（A）（B）（C）（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上，；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后分钟追上乙车．8. 设a n=（n为正整数），则a1+a2+…+a2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．10. △ABC中，已知，且b=4，则a+c= .②将醚层依次用饱和亚硫酸三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值．12. 求关于a，b，c，d的方程组的所有正整数解.13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题）14.（1）已知三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值.2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan，tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.41。

仅供个人参考2012年初中数学教师解题能力比赛试题卷（时间：2012年12月10日下午1:30—3:10，满分100分）一、选择题（本题共7个小题，每小题4分，共28分）请将正确答案填在下表中。

题号1For personal use only in study and research; not for commercial use 2 34For personal use only in study and research; not for commercial use 5 6 7Forpersonal use only in study and research; not for commercial use答案D AC B C AD1．方程x 2﹣2x+﹣4=0的实数解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．如图，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，BC 上的中线AD=2，则BC 的长为.A ．132B ．4C ．13D ．23． 已知：四边形ABCD 中，AB =3，CD =4，M 、N 分别是AD ，BC 的中点， 则线段MN 的取值范围是（ ）A ．1＜MN ＜7B ．1＜MN ≤7C ．21＜MN ≤27 D ．21＜MN ＜274．二次函数()3-m -x 2-y 2=，x ≥-l 时，y 随x 的增大而减小， 则m 的取值范围是（ ）A ．m = -lB ．m ≤-lC ．m >-lD ．m ≥-l5．如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）ABCD仅供个人参考HGDCABE FOD CBAA ． 24B ．26C ．28D ．306. 以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB=5，则CB =（ ）A ．52 B ．32 C ． 22 D ．27. 2012年11月11日，支付宝24小时交易创历史新高，达191亿元。

2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<解答：1a ===b ==，2c ===1显然：b a c <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 解答：222222223232()234x xy y x xy y y x y y ++=+++=++=由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+2⨯9=34故5555544444x y x y x y x y x y y y y y y +=-+=+=+=-⎧⎧⎧⎧+=±=±⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩、，由、、、得 4444=9=1=9=1y y y y x x x x ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--⎩⎩⎩⎩、、、共4组解。

3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3 D．3EBD解答：如图，做G H ⊥BE 于H ，易证Rt △AB E ∽Rt △GHB ，设GH=a ，则HE=a ，BH=2-a ， 由GH BH a 2-a 2==a=AB BE 123得解得，故BG=3。

4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 解答：44222222219=2=21=2()48a ab b a b a b ab a b ab ab +++-+-++--+2（） 考查以ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab --+其对称轴为14ab = 由22222020a b ab a b ab +-≥++≥和知1122ab -≤≤ 又1111()4242-->-，故当12ab =-时，函数取最小值0。

2012年浙江初中数学竞赛初赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2.方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）A ．3B ．3C ．3D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ ）A ．18-.B ．0.C ．1.D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ ）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a +=+=+=，则t = ． 2．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC AP ＝ ． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝ ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.。

2012年教师业务考试初中数学试题 （考试时间：90分钟 满分：100分）一、单项选择题：（本大题满分24分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案1．2011年4月28日，国家统计局公布了第六次全国人口普查结果，总人口为 1 339 000 000人，将1 339 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．81.33910⨯B ．813.3910⨯C ．91.33910⨯D ．101.33910⨯2.下面几何体的主视图是（ ）3、在1，2，3，－4这四个数中，任选两个数的积作为k 的值，使反比例函数x ky =的图象在第二、四象限的概率是（ ）A ．41B ．21C ．32D ．834．反比例函数y ＝－1－a 2x(a 是常数)的图象分布在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 5、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =1，BD 平分∠ABC ，BD ⊥CD ， 则AD+BC 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 边的中点，过点B 作BG ⊥AE ，垂足为G ，延长BG 交AC 于点F ，则CF = ．23210.已知：11+=x a (x ≠0且x ≠－1)，）（1211a a -÷=，）（2311a a -÷=，…，）（1n n 11--÷=a a ，则2011a 等于( )． A.x B. x ＋1 C.x1- D.1+x x17.甲、乙俩射击运动员进行10次射击，甲的成绩 是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩 如图所示.则甲、乙射击成绩的方差之间关系是甲2S ______乙2S (填“＜”，“＝”，“＞”)．17.＜；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10- 次环78 9 10 第17题图18.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°,将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC 设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为_______，△ADF 是等腰三角形。

青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。

若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。

甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

2012年下学期七年级数学竞赛试题及答案时量：120分钟 满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分） 1. a b c -+的相反数是（ C ）A.a b c -+B.b a c -+C.a b c -+-D.a b c +-2. 已知数轴上三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、1-，那么1a +表示（ B ）A.A 与B 两点的距离B.A 与C 两点的距离C.A 与B 两点到原点的距离之和D.A 与C 两点到原点的距离之和3. 在()23-，22-，2-，()31-，2--，()211n n --（为正整数）这六个数中，负数有（ A ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4. 小刚做了一道数学题：“已知两个多项式为A ，B ，B=32x y -，求A+B 的值．”他误将“A B +”看成了“A B -”，结果求出的答案是x y -，那么原来的A B +的值应该是（ D ）A ．43x y +B ．2x y -C ．2x y -+D ．75x y -5. 如图是用棋子摆成的“H ”字，按这样的规律摆下去，摆成第10个“H ”字需要（ C ）个棋子.A.50B.51C.52D.53 6. 一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加%a ，则所用的时间减少%b ，则a ，b 的关系是（ D ） A.1001%a b a =+ B.1001%b a =+ C.1a b a=+ D.100100a b a=+7. 方程12233445x xx x ++++⨯⨯⨯⨯ (201220122013)x+=⨯的解是（ A ）A.2013x =B.2012x =C.2011x =D.1x =8. 9点12分时，时钟的分针和时针的夹角（小于180°的角）为（ C ）A.150°B.154°C.156°D.162°9. A 站与B 站之间还有3个车站，那么往返于A 站与B 站之间的车辆，应安排多少种车票？（ B ）A.4B.20C.10D.910. 希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（ C ）A ．被调查的学生有200人B ．被调查的学生中喜欢教师职业的有40人C ．被调查的学生中喜欢其他职业的占40%D ．扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72° 二、选择题（每小题4分，共32分）11. 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则化简a a b b c b c --+-++＝b 12. 国务院总理温家宝在政府工作报告中指出，我国2011年国内生产总值47.2万亿元．47.2万亿元用科学记数法表示为为：134.7210⨯ 元． 13. 已知235x y -=，用含有x 的代数式表示y ，得253x y -= ；用含有y 的代数式表示x ，得352y x +=. 14. 已知235x x +-的值为7，则2293x x --的值为34- .15. 如果规定运算a ※b =2ab a b +++，那么x ※3=1中的x =1- ． 16. 若关于x 的方程243x m -=和2x m +=有相同的解，则m 的值是8- . 17. 27.24︒=27 度14 分24 秒，108°21′36″=108.36 度．18. 如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 5 人．5三、解答题（共58分） 19. （6分）计算：()()420051481221349-÷⨯--+-+-解：原式=4481161399-⨯⨯--+=161613---+ =30-20. （8分）如果单项式2amx y 与235a nxy --是关于x 、y 的单项式，且它们是同类项. （1）求()2013413a -的值；（2）若23250a a mx y nx y -+=，且0xy ≠，求()201325m n +的值.21. （8分）为庆祝建党91周年，某中学开展了“红诗咏诵”活动，九年一班为推选学生参加此项活动，在班级内举行一次选拔赛，成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，并将收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中所给出的信息，解答下列各题：（1）求九年一班共有多少人； （2）补全折线统计图；（3）在扇形统计图中等极为“D”的部分所占圆心角的度数为___________ （4）若等级A 为优秀，求该班的优秀率．22. （8分）一队学生从学校步行前往国家历史博物馆参观，速度为5km/h ，走了1小时后，一名学生回学校取东西，他以7.5km/h 的速度回到学校，取了东西后立即以同样的速度追赶队伍，结果在离博物馆2.5千米处追上队伍，求学校到博物馆的距离．23. （8分）有这样一道题：“当2x =-，23y =时，求221312323m x x y x y ⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值”．在做此题时，小刚把2x =-看成了2x =，但结果也正确，已知计算过程无误，求m 的值．24. （10分）小马在解方程21132x x a -+=-．去分母时，方程右边的1-忘记乘6，因而求得的解为2x =，试求a 的值，并正确解这个方程．25.（10分）如图，已知∠AOC与∠AOB互为补角，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，且∠MON=35°，求∠COB的补角和∠AON的余角．。

浙江省丽水市2012中考数学模拟卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不不给分）1．－2的绝对值是（ ）A ． －2B ． 2C ． 12D ． 12-2．下列计算中，不正确．．．的是 （ ） A ． 23a a a -+= B ． ()2555xy xy xy -÷= C ．()326326x y x y -=- D ． ()22233ab a a b ∙-=-3 某户家庭今年1－5月的用电量分别是：72，66，52，58，68，这组数据的中位数是A ．52B ．58C ．66D ．684．抛物线2y x =先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ）A ．()213y x =++B ．()213y x =+-C ．()213y x =--D ．()213y x =-+5．如图，下列水平放置的几何体中，左视图不是．．长方形的是（ ）A ．B ．C ．D ．O6． 如右图，已知圆的半径是5，弦AB 的长是6，则弦AB 的弦心距是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．87．同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm ，手柄长40cm .当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm 时，铁环所在的圆与手柄所 在的直线的位置关系为( )A 、相离B 、相交C 、相切D 、不能确定8．在数－1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数2y x =-图象上的概率是（ ）A ． 12B ． 13C ．14D ．169．如图，在ABC ∆中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别相交于点P ,Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ． 4.8B ．4.75C ．5D ．4210．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 （ ）QPCBA12345MPO A ．1 B ．2 C ．3 D ．5二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．因式分解22xx -= ．12．如图，已知点P 为反比例函数4y x=的图象上的一点，过点P 作横轴的垂线，垂足为M ，则OPM ∆的面积为 ． 13．已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k = ．14．如图，点A 、B 、C 在圆O 上，且040BAC ∠=，则B OC ∠= ．15．小明的圆锥形玩具的高为12cm ，母线长为13cm ，则其侧面积是 2cm ． 16．一个长方形的长与宽分别为163cm 和16cm ，绕它的对称中心旋转一周所扫过的面积 是2cm ；旋转90度时，扫过的面积是2cm ．三、简答题（本大题共8小题，共66分） 17．（本题共两小题，共6分） （1）计算：002012124sin 60+-⨯ （2）解不等式()()21331x x -+≤+.O CBA18．（本题6分）求代数式的值：2222(2)42x x xx x x -÷++-+，其中12x =.19．（本题6分）为了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩统计如右表：根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）求随机抽取学生的人数； （2）求统计表中m 的值； b =（3）已知该校九年级共有500名学生，如果体育成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成体育成绩（分） 人数（人） 百分比(%)26 8 16 27 a 24 28 15 d 29 b e 30 c 10绩达到优秀的总人数．20．（本题8分）已知：如图，在□ABCD 中，E 是CA 延长线上的点，F 是AC 延长线上的点，且AE ＝CF ．求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）BE ∥DF ．21．（本题8分）我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2011年全年每月的产量y （单位：万件）与月份xADBCFE之间可以用一次函数10=+表示，但由于“欧债危机”的y x影响，销售受困，为了不使货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10元，从1月开始每月每件降低0.5元。

2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案一、选择题1．D解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是．2. B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．4. C解：当函数为二次函数时，有k2－1≠0，=(k+1)2－4(k2－1)＜0.解得k＞，或k＜－1．当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x+1与x轴有公共点，不符合题意．当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.5. B（第5题）解：如图，设，作BKCE，则，于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有，即平分.二、填空题6. 30（第6题）解：如图，连接PD，则．7．180解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知，．消去z，得．设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即，解得．8．＜解：由a n==，得a1+a2+…+a2012==＜1.9．25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法．10. 6（第10题）解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF.由切线长定理得AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a+b+c).在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即tan.同理，tan，tan.代入已知等式，得.因此a+c=.三、解答题11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．12. 解：将abc=d代入10ab+10bc+10ca=9d得10ab+10bc+10ca=9abc.因为abc≠0，所以，.不妨设a≤b≤c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而，a=2，或3.若a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.从而，b=3，4，5. 相应地，可得c=15，(舍去)，5.当a=2，b=3，c=15时，d=90；当a=2，b=5，c=5时，d=50.若a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而，b=2（舍去），3.当b=3时，c=(舍去).因此，所有正整数解为(a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).13. 证明：延长DA至，使得，则，于是△DPC∽△，故，所以PO∥．（第13题）又因为△DPO ∽△，所以．同理可得，而AB∥CD，所以，故OP＝OQ．14.解：（1）由题设可得，或，或.由，解得；由，解得；由，解得.所以满足题设要求的实数.（2）不存在.由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中间项的平方，则有，解得，这与矛盾.故不存在这样的数列.（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知，或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾.如果删去的是，得到的一列数为，那么，可得.如果删去的是，得到的一列数为，那么，开得.所以符合题设要求的的值为1，或.2012-04-16 人教网。