(完整版)正态分布习题与详解(非常有用,必考点)

7.5 正态分布（精讲）考点一 正态分布的特征【例1】（1）（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高二期末（理））若随机变量()23,X N σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3（2）（2021·黄石市有色第一中学高二期末）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】（1）A(2）B 【解析】（1）由于随机变量()23,XN σ，则()()15P X P X <=>，因此，()()()()151********.20.6P X P X P X P X ≤≤=-<->=->=-⨯=.故选：A. （2）∵随机变量ξ服从正态分布N （4，3），∵P （ξ＜a ﹣5）=P （ξ＞a+1），∴x=a ﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a ﹣5+a+1=8， ∴2a=12，∴a=6，故选:B ． 【一隅三反】1．（2021·湖北宜昌市）某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布()295,N σ，且(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A ．100 B ．125C ．150D ．175【答案】D【解析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=，根据正态分布曲线的对称性，可得()()1199[12(9195)]120.250.2522P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=， 所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人， 故选：D.2．（2021·山东青岛市）某种芯片的良品率X 服从正态分布()20.95,0.01N ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=，(33)0.9974P μσξμσ-<<+=.A ．52.28B ．65.87C ．50.13D ．131.74【答案】B 【解析】因为()20.95,0.01XN ，得出0.95μ=，0.96μσ+=，所以()()0.950.5P X P X μ≤=≤=，()()0.950.96P X P X μμσ<≤=<≤+()110.68260.341322P X μσμσ=-<≤+=⨯=； ()()()110.96110.68260.158722P X P X μσμσ>=--<≤+=⨯-=⎡⎤⎣⎦， 所以()01000.34132000.158765.87E X =+⨯+⨯=（元） 故选：B3．（2021·江西景德镇市）某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X 服从正态分布()82,16N ，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为（ ）〖参考数据〗：()0.683P X μσμσ-<≤+=，()220.954P X μσμσ-<≤+=，()330.997P X μσμσ-<≤+=A ．2300B ．3170C ．3415D ．460【答案】A【解析】依题意知，82,4μδ==所以()74900.954P x <≤= 则()()19010.9540.0232P x ≥=-⨯=，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为 1000000.0232300⨯=故选：A考点二 正态分布的实际应用【例2】（2021·安徽池州市）2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z 服从正态分布()2,N μσ.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记X 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3μσ-的数量.（1）求()1P X ≥的概率； （2）求X 的数学期望()E X ；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z 小于3μσ-的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=，()330.9974P Z μσμσ-<≤+=，100.99870.9871≈.【答案】（1）0.0129；（2）0.013；（3）这种监控生产过程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中过滤率在(]3,3μσμσ-+内的概率()330.9974P Z μσμσ-<≤+=， 所以()10.997430.00132P Z μσ-≤-==， 所以()310.00130.9987P Z μσ>-=-=，故()()1011010.998710.98710.0129P X P X ≥=-==-=-=（2）由题意可知()~10,0.0013X B ，所以()100.00130.013E X =⨯=.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于3μσ-的概率()10.997430.00132P Z μσ-≤-==，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于3μσ-的概率()0.11029P X ≥=，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理. 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm )，其频率分布直方图如图所示.（1）求该植物样本高度的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）假设该植物的高度Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数2,x σ近似为样本方差2s ，利用该正态分布求(64.596)P Z .10.5≈.若()2~,Z Nμσ，则()68.3%,(22)95.4%P Z P Z μσμσμσμσ-+≈-+≈.【答案】（1）75x =，2110s =；（2）81.85%.【解析】（1）由题意可得平均数550.1650.2750.35850.3950.0575x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222222(5575)0.1(6575)0.2(7575)0.35(8575)0.3(9575)0.05110s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（2）由（1）知，~(75,110)Z N ，从而11(64.575)(7510.57510.5)68.3%34.15%22P Z P Z =⨯-+≈⨯=11(7596)(75210.575210.5)95.4%47.7%22P Z P Z =⨯-⨯+⨯≈⨯=所以(64.596)(64.575)(7596)34.15%47.7%81.85%P Z P Z P Z =+<≈+=.2．（2020·全国高二单元测试）某工厂生产某种零件，检验员每天从该零件的生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm )．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件服从正态分布N (μ，σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 10.12 9.97 10.01 9.95 10.02 9.98 9.21 10.03 10.04 9.99 9.98 9.97 10.01 9.97 10.03 10.11经计算得16119.9616==≈∑i i x x，0.20==≈s ，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2，…，16.用样本平均数x 作为μ的估计值μ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ，利用估计值判断是否对当天的生产过程进行检查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．参考数据：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ＜x ＜μ＋3σ)＝0.997 4，0．997416≈0.9592，0.05.≈【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要对当天的生产过程进行检查；10.01；0.05. 【解析】(1)∵抽取的一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997 4， ∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6， 故X ～B (16,0.0026)．P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408； X 的数学期望为E (X )＝16×0.0026＝0.0416.(2)9.96x ≈，s ≈0.20，得9.96μ≈，0.20σ≈.∵样本数据可以看到有一个零件的尺寸在()()3,39.36,10.56μσμσ-+=之外，∴需要对当天的生产过程进行检查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的数据9.21之后， 剩下数据的平均数()1169.969.2110.0115⨯-=，可得μ的估计值为10.01. ∵162221160.20169.961587.8656ii x==⨯+⨯=∑，剔除()9.36,10.56之外的数据9.21之后， 剩下数据的方差为()2211587.8656-9.21-1510.010.002715⨯≈， ∴σ0.05.3．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布()250,16N ．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为43,54． （1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记Y 为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值． （参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-+≈-+≈-+≈）【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元. 【解析】（1）设各阶段猪的数量分别为123,,n n n ， ∵猪的体重X 近似服从正态分布2(50,16)N ，0.9970.954(218)(50316502 16) 0.02152P X P X -∴<=-⨯<-⨯≈=，1100000.0215215n ∴=⨯=（头）；(1882)(5021650216)0.954P X P X <=-⨯<+⨯≈2100000.9549540n ∴=⨯=（头）；0.9970.954(8298)(5021650316) 0.02152P X P X -=+⨯+⨯≈=，3100000.0215215n ∴=⨯=（头）∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头． （2）随机变量Y 的所有可能取值为900，300，300-．43341137111(900),(300),(300)5455454205420P Y P Y P Y ==⨯===⨯+⨯==-=⨯=，Y ∴的分布列为371()90030030063052020E Y ∴=⨯+⨯-⨯=（元），由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为630215135450⨯=（元）．考点三 正态分布与其他知识的综合运用【例3】（2021·内蒙古赤峰市）疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了200名学生的成绩，并计算得知这200个学生的平均成绩为65，其中5个低分成绩分别是30、33、35、38、38；而产生的10个高分成绩分别是90、91、91、92、92、93、95、98、100、100．（1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布()2,N μσ（μ和2σ分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为210，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．14.5≈）规定：若()220.9544P X μσμσ-<<+>，()330.9974P X μσμσ-<<+>，则称变量X “近似满足正态分布()2,N μσ的概率分布”． （2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于94分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得50元奖金的概率是34，获得100元的概率是14．现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望．【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：21014.5≈，265214.536μσ∴-=-⨯=，265214.594μσ+=+⨯=，365314.521.5μσ-=-⨯=，365314.5108.5μσ+=+⨯=，得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，()72210.9650.9544200P X μσμσ∴-<<+=-=>， 学生的得分都在[]30,100间，()3310.9974P X μσμσ∴-<<+=>．∴学生得分近似满足正态分布()65,210N 的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的；（2）设这名同学获得的奖金为Y ，则Y 的可能值为50、100、150、200，()6395010420P Y ==⨯=，()2614331001041048P Y ⎛⎫==⨯+⨯= ⎪⎝⎭， ()124313*********P Y C ==⨯⨯⨯=，()241120010440P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， 故Y 的分布列为：()5010015020087.52082040E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【一隅三反】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在[4,20]内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ服从正态分布()2,N μσ，其中，μ为（1）中求得的平均数标准差σ的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数(14,18)ξ∈的人数(结果四舍五入保留整数).（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望.附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.【答案】（1）12；（2）47；（3）分布列答案见解析，数学期望：216. 【解析】（1）依题意得0.0150.0170.0890.5811x =⨯+⨯+⨯+⨯ 0.22130.06150.03170.011911.6812+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.（2）因为()2~12,2N ξ，所以(1418)(1221232)P P ξξ<<=+<<+⨯，1[(618)(1014)]0.15732P P ξξ=<<-<<≈ 所以走路步数(14,18)ξ∈的总人数为3000.157347⨯≈.（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X 的可能取值为0，100，200，300，400.2(0)0.020.0004P X ===；12(100)0.020.880.0352P X C ==⨯⨯=； 122(200)0.020.10.880.7784P X C ==⨯⨯+=；12(300)0.10.880.176P X C ==⨯⨯=；2(400)0.10.01P X ===.所以X 的分布列为()00.00041000.03522000.77843000.1764000.01216E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2．（2021·长沙市·湖南师大附中高二期末）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A 类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区．（1）估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值x ；（2）若该市A 类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布(),27.04N μ，其中μ近似为50个样本社区的平均值x （精确到0.1吨），估计该市A 类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈；()220.9544P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈．【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，52. 【解析】（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则 145176209231226829632422.7650x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 估计该市A 类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，22.8μ=，227.04σ=，即 5.2σ=，则()()10.6826280.15872P X P X μσ->=>+==. 因为3200.158750.78451⨯=≈，估计该市A 类社区中“超标”社区约51个.（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[)27.5,30.5内的“超标”社区也有4个，则X 的可能取值为1，2，3，4.()1444581114C C P X C ===，()234458327C C P X C ===，()324458337C C P X C ===，()4144581414C C P X C ===. 则X 的分布列为：所以()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.。

标准正态分布例题解析标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。

它在统计学中有着广泛的应用。

下面我们来看一些标准正态分布的例题。

例题1：某公司的员工身高服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm。

现在有一位员工，身高为180cm，问他的身高在该公司员工身高分布中的位置排名是多少？解答：首先，要将员工身高转化为标准正态分布，即计算它与均值之间的标准差差异。

公式为：z = (x -μ) / σ其中，x为员工身高，μ为均值，σ为标准差。

将x = 180，μ= 170，σ= 5代入公式中，得到：z = (180 - 170) / 5 = 2然后，我们需要查表或使用计算器等工具，得出z = 2时的累积概率。

查表可知，z = 2时的累积概率为0.9772。

因此，该员工的身高在该公司员工身高分布中的位置排名为97.72%。

例题2：某班级考试成绩服从正态分布，均值为80分，标准差为10分。

如果班级的平均分为85分，问该班级的成绩排名在多少？解答：同样地，需要将班级的平均分转化为标准正态分布。

公式为：z = (x -μ) / (σ/ √n)其中，x为班级平均分，μ为均值，σ为标准差，n为样本量（即班级人数）。

将x = 85，μ= 80，σ= 10，n = 30代入公式中，得到：z = (85 - 80) / (10 / √30) ≈2.04再次查表或使用计算器，得出z = 2.04时的累积概率为0.9808。

因此，该班级的成绩排名在98.08%左右。

总结：标准正态分布在统计学中应用广泛，掌握计算标准正态分布的方法和查表技巧十分重要。

需要注意的是，计算时要注意单位的一致性，并注意查表时使用的是双侧概率表还是单侧概率表。

正态分布高中练习题及讲解1. 题目一：某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 16)，求长度在48到52之间的零件所占的比例。

2. 题目二：假设某大学新生的数学成绩服从正态分布N(70, 25)，求数学成绩超过80分的学生所占的比例。

3. 题目三：某市居民的身高数据服从正态分布N(170, 10)，如果随机选择一名居民，求其身高超过180cm的概率。

4. 题目四：某公司员工的工作时间服从正态分布N(8, 2)，计算工作时间超过9小时的员工所占的比例。

5. 题目五：某品牌手机的电池寿命服从正态分布N(300, 50)，求电池寿命超过350小时的概率。

讲解：正态分布是统计学中最常见的分布之一，其图形呈钟形，对称于均值。

正态分布的数学表达式为N(μ, σ²)，其中μ是均值，σ²是方差。

正态分布的特点是：- 均值μ决定了分布的中心位置。

- 方差σ²决定了分布的宽度，方差越大，分布越宽，反之亦然。

- 68%的数据位于距均值一个标准差(σ)的范围内。

- 95%的数据位于距均值两个标准差的范围内。

- 99.7%的数据位于距均值三个标准差的范围内。

要解决上述题目，我们可以使用正态分布的性质和Z分数来计算概率。

解题步骤：1. 将数据转换为Z分数，Z = (X - μ) / σ。

2. 查找Z分数对应的概率，通常可以使用标准正态分布表或计算器。

例如，对于题目一，我们首先计算48和52对应的Z分数：- Z1 = (48 - 50) / 4 = -0.5- Z2 = (52 - 50) / 4 = 0.5然后，查找Z分数表或使用计算器得到Z1和Z2对应的概率，最后计算两者之差。

对于题目二至题目五，解题步骤类似，只需将题目中的数据代入相应的公式中计算即可。

通过这些练习，学生可以更好地理解正态分布的概念，掌握如何使用Z 分数来解决实际问题。

同时，这些练习也有助于提高学生的计算能力和逻辑思维能力。

正态分布练习题1正态分布1.1正态函数及曲线特点1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。

若P (ξ>C +1)=P (ξ<C −1)，则C =3.2.（单峰与最值）若正态分布曲线是偶函数，且最大值为14√2π，则总体的均值和方差分别为0和16。

1.2三个重要区间的概率应用(特殊区间段的计算公式)P 1=P (µ−σ<X ≤µ+σ)=0.6826;P 2=P (µ−2σ<X ≤µ+2σ)=0.9544;P 3=P (µ−3σ<X ≤µ+3σ)=0.9974.类型1:(µ,µ+nσ]型,(n =1,2,3):P (µ<X ≤µ+nσ)=12P n ,(n =1,2,3);如：P (µ<X ≤µ+2σ)=12P 2=12×0.9544=0.4772.类似也可求解(µ−nσ,µ]型,(n =1,2,3).类型2:(µ±nσ,+∞)型,(n =0,1,2,3):P (µ±nσ<X <+∞)=12×[1∓P n ],(n =0,1,2,3);如：P (µ−2σ<X <+∞)=12×[1+P 2]=12×[1+0.9544]=0.9772.类似也可求解(−∞,µ±nσ)型,(n =0,1,2,3).类型3:(µ+kσ,µ+tσ)型,−3≤k <t ≤3:case 1:kt ≤0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P t +P |k |]case 2:kt ≥0时P (µ+kσ<X ≤µ+tσ)=12×[P M +P m ],M =max {|k |,|t |},m =min {|k |,|t |}.总结,以上各类型需要与正态曲线的图形有机结合在一起,把概率问题转化为对应区间上图形的面积问题.1练习:1.若X N(µ,1)，求P(µ−3<X≤µ−2)=0.0215.2.若X N(5,1)，求P(6<X≤7)=0.1359.3.若X N(1,1)，求P(3<X≤4)=0.0215.4.若X N(0,1)，求P(−3<X<−∞)=0.9987.1.3应用问题1.某糖厂用自动打包机打包，包质量（单位：kg）目标以正态分布X N(100,1.22).（1）求质量在(98.8,101.2]内的糖包后的概率；（2）若一公司从该糖厂进货1500包，试估计在(98.8,101.2]内的糖包的数量。

1.若x〜N(0,1), 求(I) P<x<; (2) P(x>2).解：⑴ P<x<=-=-[1- ]==.(2)Rx>2)=1- P(x<2)=1- (2)==.亍2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在 N(1,4)下，求F(3).2 ,(2)在 N(^,b )下，求F (卩一6,卩+6)3 1解：(1) F (3) = (— -)= Q( 1)=2(2)F(y+b)= ( ------- ) =0( 1)=F(y—b) )=0(—1 )=1 —①(1)=1— =F(y — c,a+b)=F(a+b) — F(y — cr)3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为1=，求总体落入区间(一，)之间的概率 40() =, 0()=]解：正态分布的概率密度函数是f(x) (x )22 2,x)，它是偶函数,1说明”。

，f(x)的最大值为f()=石，所以c= 1,这个正态分布就是标准正态分布+4.某县农民年平均收入服从 =500 入在500：520元间人数的百分比；内的概率不少于，则a至少有多大？元，(2)[O=200元的正态分布.(1)求此县农民年平均收如果要使此县农民年平均收入在( a, a )()=,0()=]解：设表示此县农民年平均收入, ~N(500,2002).P(500 520) (520 500200 ) P( a) 500 500( )(0.1) (0) 0.5398 0.5 0.0398 ( 2 )200a a0.95,查表知: —1.962003921设随机变量(3,1), 若沪以："昭:-.松”则P(2<X<4)=(B)l C. l-2p【答案】C 因为垃3；厂□恳飞签Cf：所以 P(2<X<4)=——「二 T"；：：；：一丄匸,选 C.2. （2010新课标全国理）某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2粒，补种的种子数记为X,则X 的数学期望为（ ）［答案］C［解析］由条件知 3B （n, P ）,np= 4 np 1 — p = 2A. 100B . 200C. 300D . 400［答案］B［解析］记“不发芽的种子数为 了 , 则 严 B(1 000,,所以 E( 3= 1 000X = 100,而 X=2 3 故 E(X)= E(2 3 = 2E( 3 = 200,故选 B.3.设随机变量3的分布列如下:其中a, b, c 成等差数列，若 E （ 3 = 3则D （3 =（3B.- 1 ［答案］D［解析］由条件a, b, c 成等差数列知，2b= a + c, 由分布列的性质知 a+ b+ c= 1,又1 111 1E(3 = — a+ c= 3,解得 a=6, b = 3, c= 3,「. D(3 =—1 —1 2+10 —1 2+11 —-3 丁 3 0 3 丁 2 13 4. （2010上海松江区模考）设口袋中有黑球、白球共 7个，从中任取 2个球，已知取到 白球个数的数学期望值为 7，则口袋中白球的个数为（)A . 3 B . 4C. 5D. 2［答案］A［解析］设白球x 个，则黑球7 — x 个，取出的2个球中所含白球个数为 3贝U 3取值0,1,2 , C 7-x? 7— x 6— x P( =0)= "CTT =42 x - 7— x x 7— xP( 3= 1) = C 2~ 21 ,C x 2x x — 1P(3= 2)=尹,...7-x 6-x + 1 X x7^ 4221+ 2X 红二16427'二 x= 3.5.小明每次射击的命中率都为 p ，他连续射击 n 次，各次是否命中相互独立，已知命 中次数3的期望值为4,方差为2,则 p( 31)=(解之得，p = 2, n = 8,1 1 1••• P （ = o ）= C80x 2 °x 18= 2 8, 1 1 1 P （ = 1）= C81x 2 1x 2 7= 2 5， • p（>1）= 1 — P （ = o ）- P （ = 1）1 8— 1 5= 2472 2 256.A . d < d= d, 01= d2> d3 B. d > d=d, o=d < o C. d= d <d, d 1< o= 03 D. d < d= d, o= o < 03 ［答案］D［解析］正态分布密度函数$2（x ）和g （x ）的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故d= d ，又屉（X ）的对称轴的横坐标值比也（X ）的对称轴的横坐标值大，故有 d < d=d .又d 越大，曲线越“矮胖”，0越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函 数咖（X ）和$2（x ）的图象一样"瘦高”，艇（X ）明显"矮胖”，从而可知01= d < 03.6①命题"卫匚小:；：：.-I ； ”的否定是:"二丫匚―常.T 二卄”； ②若:■: ■;,则叮:■-;：•?的最大值为 4;③ 定义在R 上的奇函数满足c ,则的值为0;④ 已知随机变量 服从正态分布 ，则:Sr - ” ；■. i> ;其中真命题的序号是 _________ （请把所有真命题的序号都填上 ）.【答案】①③④ ①命题"讥■匕迂:”的否定是：“ mm j ” ;所以① 正确•② 若；：—.芒*、二加―：:、:,则題:牡=谄幕“专,即 '.心* ―二.•杠.所以L.-- —:—厂,即（./ - . JI - ■ ■ I. " /■:,解得b '.4 ,则 L- I ■' 的最小值为 4；*2*所以②错误.③定义在 R 上的奇函数满足...m,：；； - -：d ,贝U= 且 2」；C ：,即函数的周期是4.所以「；学二门.•： == 3 ;所5已知三个正态分布密度函数 则（） 机X）= 2n 厂x — d 22^（x € R ,i= 1,2,3）的图象如图所以③正确.④已知随机变量服从正态分布空匕二、—匸:匚,则■■■■..- 旷「,_丨所以i：」，；所以④正确，所以真命题的序号是①③④.7、在区间| 上任取两数 m和n,则关于x的方程f - :?有两不相等实根的概率为___________ .【答案】由题意知]■- ...? ■要使方程/ m - 1 - u有两不相等4实根,则、：； I ,即::訂 gu二::'：:；-::.作出对应的可行域,如图直线厂--f11 ，拦：,当身I 时，；；，「，：-,所以—1I | 1< J -',所以方程于--m、- J有两不相等实根的概率为j_ ―■ 2 2=】2S 22X n ]8、下列命题：(2)不等式.v-；-i|-!- - ；■ |>农恒成立,则；(3)随机变量X服从正态分布 N(1,2),贝U 厂吒门=逍.即、/■；：:2 |(4)已知a.b e R\2a + b =1,则一■—>吕.其中正确命题的序号为_________________ .a b【答案】⑵(3) ⑴ 「丄扛二1口工；=1n2 ,所以(1)错误.(2)不等式X| - | ..:的最小值为4,所以要使不等式|> 成立，则，所以(2) 正确.(3) 正确.(4) | ' 」「 I ' ' ,所以⑷错误，所以正a b a b a b - a b确的为3).2已知某篮球运动员2012年度参加了 40场比赛，现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员 5 场中的得分如图所示，则该样本的方差为B. 25C. 23D. 18【答案】D 样本的平均数为 23,所以样本方差为: ?T - .：?<■-： ■:- f 2?- / U' - i < - / | .；■,选 D•3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在'>.|n 内的【答案】C 样本数据在之外的频率为匸「匸心 J 7 I g :: c ■■-所以样本数据在 内的频率为［『珀龙二二:疥，所以样本数据在的频数为038x200=^76,选 C.【答案】【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为^x-x^ = (~x 2-~x的概率为,选B.5从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为,所以由几何概型公式可得点P恰好取自阴影部分频数为OABC 中4.【答案】25从集合1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有C55 10种.则3个数能构成等差数列的有，1,2,3;2,3, 4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为4 2 10 5。

正态分布一.选择题： 1.正态分布有两个参数μ与σ, 相应的正态曲线的形状越扁平;A ．μ越大B ．μ越小C ．σ越大D ．σ越小答案： C;解析：由正态密度曲线图象的特征知;2. 已知随机变量X 服从正态分布N 3,σ2则PX <3等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：由正态分布图象知,μ＝3为该图象的对称轴,PX <3＝PX >3＝错误!.答案：D3．设两个正态分布Nμ1,σ错误!σ1>0和Nμ2,σ错误!σ2>0的密度函数图象如图所示,则有A ．μ1<μ2,σ1<σ2B ．μ1<μ2,σ1>σ2C ．μ1>μ2,σ1<σ2D ．μ1>μ2,σ1>σ2解析：由图可知,μ2>μ1,且σ2>σ1. 答案：A4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,则下列结论不正确的是 ;A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξB. )0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξC. )0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξD. )0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：C 解析：(||)0P a ξ==;5. 某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为fx ＝错误!e 2(80)200x e -- x ∈R ,则下列命题不正确的是A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10解析：由密度函数知,均值期望μ＝80,标准差σ＝10,又曲线关于直线x ＝80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同,所以B 是错误的．答案：B6. 已知随机变量X ～N 3,22,若X ＝2η＋3,则Dη等于A ．0B ．1C ．2D ．4解析：由X ＝2η＋3,得DX ＝4Dη,而DX ＝σ2＝4,∴D η＝1.答案：B7. 在一次英语考试中,考试的成绩服从正态分布)36,100(,那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是A ．0.6826B ．0.3174C ．0.9544D ．0.9974答案：C;解析：由已知X —N100,36, 故88100112100(88112)()(22)2(2)10.954466P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=; 8. 某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是A. 32B. 16C. 8D. 20答案：B;解析:数学成绩是X —N80,102,80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭;二．填空题9. 若随机变量X ～Nμ,σ2,则PX ≤μ＝________.解析：由于随机变量X ～Nμ,σ2,其概率密度曲线关于x ＝μ,对称,故PX ≤μ＝错误!.答案：错误!10. 已知正态分布总体落在区间0.2,＋∞的概率为0.5,那么相应的正态曲线fx 在x ＝________时达到最高点．解析：∵PX >0.2＝0.5,∴PX ≤0.2＝0.5,即x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时,fx 达到最高点．答案：0.211. 在某项测量中,测量结果X 服从正态分布N 1,σ2σ>0．若X 在0,1 内取值的概率为0.4,则X 在0,2内取值的概率为________．解析：∵X 服从正态分布1,σ2,∴X 在0,1与1,2内取值的概率相同均为0.4.∴X 在0,2内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案：0.812. 商场经营的某种包装大米的质量单位：kg 服从正态分布X ～N 10,0.12,任选一袋这种大米,质量在9.8～10.2 kg 的概率是________．解析：P 8<X <10.2＝P 10－0.2<X <10＋0.2＝0.954 4.答案：0.954 413.若随机变量X 的概率分布密度函数是()228,1(),()22x x e x R μσφπ+-=∈,则)12(-X E = ;答案：-5;解析：2,2,(21)2()12(2)15E X E X σμ==--=-=⨯--=-;三．解答题14.设X ～N 10,1,设PX ≤2＝a ,求P 10<X <18．解： P 10<X <18 ＝P 2<X <10＝PX <10－PX ≤2＝错误!－a . 15.工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N 错误!,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个解：∵X ～N 错误!,∴μ＝4,σ＝错误!.∴不属于区间3,5的概率为PX ≤3＋PX ≥5＝1－P 3<X <5＝1－P 4－1<X <4＋1＝1－Pμ－3σ<X <μ＋3σ＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003.∴1 000×0.003＝3个,即不属于区间3,5这个尺寸范围的零件大约有3个．16.某人乘车从A 地到B 地,所需时间分钟服从正态分布N 30,100,求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解：由μ＝30,σ＝10,Pμ－σ<X≤μ＋σ＝0.682 6知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6,又由于Pμ－2σ<X≤μ＋2σ＝0.954 4,所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0.271 8,由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.17. 一批电池一节用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布,随机从这批电池中任意取一节,问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少答案：解：电池的使用寿命X—N35.6,4.42则35.64035.6(40)()(1)1(1)0.15874.4 4.4XP X P P Z P Z--≥=≥=≥=-≤=即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是0.1587;。

高中数学正态分布例题解析正态分布是数学中一个重要的分布，它在各个领域都有广泛的应用，包括自然科学、社会科学和工程学等。

在高中数学中，正态分布是概率论中的一个重要概念，它可以用来描述一组数据中的中心趋势。

下面我们将通过一个例题来解析正态分布的应用和计算方法。

例题：某公司生产的产品合格率在 0% 到 100% 之间，共有 100 个产品，其中 90 个合格，10 个不合格。

求这 100 个产品中，合格品所占的比例。

解：这是一个概率论中的问题，我们需要计算出合格品的概率。

首先，我们可以将这 100 个产品分为合格品和不合格品两个部分，设合格品的数量为 x，则不合格品的数量为 100-x。

由题意可知，x+100-x=100，解得 x=90。

因此，合格品的数量为 90 个，不合格品的数量为 10 个。

接下来，我们可以计算出合格品的概率，即 P(X=90),这也是正态分布的一个重要性质，即中心趋势。

我们可以使用正态分布的公式来计算，其中，n 表示样本数量，μ表示平均值，σ表示标准差。

根据正态分布的公式，我们可以得到:P(X=90) = e^(-(90-μ)^2/2σ^2)其中，e 代表自然常数 (约为 2.71828),μ代表平均值，σ代表标准差。

由于题目中给出了平均值为 90，标准差为 10，因此我们可以计算出μ和σ的值:μ = 90σ = 10然后，我们可以将计算出的 P(X=90) 代入正态分布的公式中，计算出平均值和标准差:P(X=90) = e^(-(90-90)^2/(2*10^2)) = e^(-1) = 0.0986 μ = 90σ = 10因此，我们可以得到合格品所占的比例:P(X=90) = 0.09861 - P(X=90) = 1 - 0.0986 = 0.9014因此，这 100 个产品中，合格品所占的比例约为 90.14%。

拓展:正态分布是一种重要的分布，它可以用来描述一组数据中的中心趋势。

专题：正态分布【知识网络】1取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、 通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图) ，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

【典型例题】例1 :( 1)已知随机变量 X 服从二项分布，且 E (X )=2.4，V ( X )=1.44,则二项分布的参数 n , p 的值为 ( ) A . n=4, p=0.6 B . n=6,p=0.4 C . n=8, p=0.3 D . n=24, p=0.1答案：B 。

解析：EX np 2.4 , V X n p(1 p) 1.44。

(2)正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。

A 95%B . 50%C . 97.5%D .不能确定(与标准差的大小有关) 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对 2题才算合格(I) 求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率(3)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 分到90分的人数是A 32B 16C 答案：B 。

解析：数学成绩是X — N(80,102),P(80 X 90) p 80 8010 Z 90 8010P(0 Z 8 D 1) 0.3413,48 0.3413 80,标准差为10,理论上说在 80 2016。

X2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1(5)如图，两个正态分布曲线图：1 为 1, 1(X) , 2 为 2 2 (x),则1 __________ 2 ,1 ___________2 (填大于，小于)答案：V, ＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下: c 1 ,3 c 1 C 1 E E = 0 1 一 2 - 3 - 30 10 2 6(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A 、 B ,贝yE 01 2 3P1 3 1 1 30 102 6(4)从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ____________________ 答案：8.5。

【知识网络】1 、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2 、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题;例1 : （ 1）已知随机变量 X 服从二项分布，且 E （ X ）=，V （ X ）=，则二项分布的参数 n , p 的值为（ ）A n=4，p=B . n=6,p= C. n=8, p= D. n=24, p=答案：B 。

解析：EX n p 2.4 , V X n p （1 p ） 1.44。

（2） 正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为（）。

A 95%B . 50%C . %D .不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。

解析：由正态曲线的特点知。

（3） 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 （）A 32B 16C8D20答案： B 。

解析 :数学成绩是 X — N(80,10 2)，P(80 X 90)P 80 8010 Z 90 8010P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。

（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 ___________________ 答案：。

解析：设两数之积为 X ，X 23456810121520P••• E(X)=.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为 1,1（x ），2 为 2 2（X ），答案：V ，＞。

解析：由正态密度曲线图象的特征知。

正态分布讲义3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图）【典型例题】，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题才算合格.(I)求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望； (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率p (A )=C ；C 4 C ；=60 202 , P (明 C ；C ； C ；56 56 14C ；01203’ C ,o120 15因为事件A 、B 相互独立， 方法一：例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其甲答对试题数E 的数学期望1 9 L1 31 E E =0 12 -3 . 30 10 26 5(n)设甲、 乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则E 01 2 3P:1 3 1 :1 30 1026•••甲、乙两人考试均不合格的概率为 P A•••甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 方法二：•••甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为2 P P A B P A B P A B -3 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为1 15 一 一 一2 14 1 B P A P B1 - 13 15 45_ _1 44P 1 P A B 145 454445 °1 X2 兰 443 15 3 15 454445' 答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下: (2)比较两名射手的水平答案：（1）a=,b=;(2) EX 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3, EY 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2DX 0.855, DY 0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定..例4 :一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白, 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的•很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”答案：设取出的红球数为C k C6 kX,则X—H( 6, 6, 12), P(X k) C6 C6，其中k-0,1,2，…,6 C12设赢得的钱数为Y,则Y的分布列为••• E（Y）100馬507720侖1002°29・44,故我们不该“心动”【课内练习】1.标准正态分布的均数与标准差分别为（）。

1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ>0)都是实数)( ) A ．f(x)＝12πσe（x －μ）22σ2B ．f(x)＝2π2πe －x 22C ．f(x)＝12 2πe －x －σ4D ．f(x)＝－12πe x22答案 B解析 A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C 中的函数无对称轴，D 中的函数图像在x 轴下方，所以选B.2．(2019·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p ，即P(－2<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C.12－p D ．1－2p答案 C解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p ，所以P(－2<ξ<0)＝1－2p 2＝12－p.3．(2019·海南海口期末)已知随机变量X 服从正态分布N(a ，4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)＝( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8 答案 B解析 随机变量X 服从正态分布N(a ，4)，所以曲线关于x ＝a 对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a ＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3，故选B.4．(2019·山东济南期末)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(0，σ2)，若ξ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则在(0，1)内取值的概率为( ) A ．0.8 B ．0.4 C ．0.2 D ．0.1 答案 B解析 ∵ξ服从正态分布N(0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0.∵P(ξ<－1)＝0.1，∴P (ξ>1)＝0.1，∴ξ在(0，1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4，故选B.5．(2019·福建永春一中、培元中学、季延中学、石光中学第一次联考)某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布N(100，a 2)(a>0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( )A ．400B ．500C ．600D ．800答案 A解析 由题意得，P(X ≤90)＝P(X ≥110)＝110，所以P(90≤X ≤110)＝1－2×110＝45，所以P(100≤X ≤110)＝25，所以此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为1 000×25＝400.6．(2019·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg 属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )A ．683B ．841C ．341D ．667答案 A解析 ∵P(58.5<X<62.5)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为1 000×0.683＝683人．7．(2019·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A ．0.3% B ．0.23% C ．1.5% D ．0.15% 答案 D解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.8．如果随机变量X ～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0<X<1)等于( ) A ．0.210 B ．0.003 C ．0.681 D ．0.021 5 答案 D解析 X ～N(3，12)，因为0<X<1，所以P(0<X<1)＝0.997 4－0.954 42＝0.021 5.9．(2019·皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A ．1 500 B ．1 700 C ．4 500 D ．8 000答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N(98，100)，所以P(X ≥108)＝12[1－P(88<X<108)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9450≈1 500名，故选A.10．吉林大学的某系的大一(2)班共有55人，其中男生22人，女生33人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，女生抽取a 人．若随机变量ξ服从正态分布N(a ，σ2)，且P(ξ<2)＝0.3，则P(3<ξ<4)的值为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.6 答案 A解析 用分层抽样，女生应抽取人数为33×555＝3，所以a ＝3.所以ξ服从正态分布N(3，σ2)，该正态曲线关于直线x ＝3对称． 即P(ξ<2)＝0.3，所以P(ξ>4)＝0.3.方法一：所以P(3<ξ<4)＝12P (2<ξ<4)＝12(1－2×0.3)＝0.2.故选A.方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故选A.11．(2018·吉林一中)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝________． 答案 2解析 ∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，∴P (ξ≥μ＋σ)＝12×(1－0.682 7)＝0.158 7，∵ξ～N(1，σ2)，P (ξ≥1＋σ)＝0.158 7＝P(ξ≥3)，∴1＋σ＝3，即σ＝2.12.如图所示，随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________． 答案 0.7解析 由题意可知，正态分布的图像关于直线x ＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P (0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P (ξ<2)＝0.7.13．(2019·广东江门模拟)已知随机变量ξ～N(1，4)，且P(ξ<3)＝0.84，则P(－1<ξ<1)＝________． 答案 0.34解析 P(－1<ξ<1)＝P(1<ξ<3)＝P(ξ<3)－12＝0.84－0.5＝0.34.14．(2019·云南高三统考)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，σ2)．若分数在(70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________． 答案 150解析 记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝12×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.15．(2019·武汉四月调研)某市高中某学科竞赛中，某区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x －(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)认为考生竞赛成绩z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x －和考生成绩的方差s 2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数大约为多少？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0.001) 附：①s 2＝204.75，204.75＝14.31；②若z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<z<μ＋2σ)＝0.954 4； ③0.841 34≈0.501.答案 (1)70.5 (2)634 (3)0.499 解析 (1)由题意知：中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)， ∴这4 000名考生的平均成绩x －为70.5分．(2)由题知z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝x －＝70.5，σ2＝204.75，σ＝14.31， ∴z 服从正态分布N(μ，σ2)，即N(70.5，14.312)． 而P(μ－σ<x<μ＋σ)＝P(56.19<z<84.81)＝0.682 6，∴P(z ≥84.81)＝1－0.682 62＝0.158 7.∴竞赛成绩超过84.81分的人数大约为0.158 7×4 000＝634.8≈634. (3)全市参赛考生成绩不超过84.81分的概率为1－0.158 7＝0.841 3. 而ξ～B(4，0.841 3)，∴P (ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C 44×0.841 34≈1－0.501＝0.499.16．(2019·广东汕头期末)为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率)： ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≥0.682 6； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≥0.954 4； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≥0.997 4.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级． (2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．①从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望E(Y)； ②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望E(Z)． 答案 (1)丙级 (2)①325 ②325解析 (1)依题意，μ－σ＝62.8，μ＋σ＝67.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，∴由题表可知P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝80100＝0.80>0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝94100＝0.94<0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝98100＝0.98<0.997 4，∴该设备M 的性能等级为丙．(2)由题表知直径小于或等于μ－2σ的零件有2件，大于μ＋2σ的零件有4件，共计6件． ①从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的频率为6100＝350，依题意Y ～B(2，350)，故E(Y)＝2×350＝325.②从100件样品中任意抽取2件，次品数Z 的所有可能取值为0，1，2.P(Z ＝0)＝C 60C 942C 1002＝1 4571 650，P(Z ＝1)＝C 61C 941C 1002＝1881 650，P(Z ＝2)＝C 62C 940C 1002＝51 650，∴E(Z)＝0×1 4571 650＋1×1881 650＋2×51 650＝1981 650＝325.。

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。

正态分布题目与解析正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一。

它以钟形曲线的形式呈现，因此又被称为钟形曲线分布。

正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，适用于大多数随机变量，是许多统计分析和推断的重要基础。

下面给出一个正态分布的题目以及其解析：题目：某城市每天发生的交通事故数量服从正态分布，均值为8，标准差为2。

计算出每天发生交通事故数量在6到10之间的概率是多少？解析：根据题目中给出的信息，我们知道交通事故数量的均值μ = 8，标准差σ = 2。

我们需要计算出交通事故数量在6到10之间的概率。

首先，我们需要将题目中给出的数值标准化为标准正态分布的形式。

标准化的公式为：Z = (X - μ) / σ，其中 Z 为标准化后的值，X 为原始值。

将上述公式代入题目中的数值，我们可以计算得到：Z1 = (6 - 8) / 2 = -1Z2 = (10 - 8) / 2 = 1然后，我们需要查找标准正态分布表格或使用统计软件来查找概率密度函数。

根据标准正态分布表格，我们可以找到对应于 Z1 和 Z2 的概率值。

在标准正态分布表格中，Z1 对应的概率值为 0.1587，Z2 对应的概率值为 0.8413。

最后，我们需要计算出交通事故数量在6到10之间的概率。

根据正态分布的性质，我们可以使用 Z2 对应的概率值减去 Z1 对应的概率值，即 0.8413 - 0.1587 = 0.6826。

因此，每天发生交通事故数量在6到10之间的概率为 0.6826，或者可以表示为 68.26%。

这道题目可以帮助我们理解正态分布的性质和计算方法。

通过标准化数据，我们可以使用标准正态分布表格或统计软件来计算出概率值。

了解正态分布的概率性质对于数据分析和统计推断非常重要。

高中数学教案学案正态分布学习目标：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.1. 正态分布密度曲线及性质（1） 正态曲线的定义函数叩M ）=（其中实数〃和a 0>0）为参数）的图象为正态 分布密度曲线.（2） 正态分布密度曲线的特点① 曲线位于x 轴,与x 轴不相交；② 曲线是单峰的，它关于直线 对称；③ 曲线在________处达到峰值____________；④ 曲线与x 轴之间的面积为；⑤ 当o ■一定时，曲线随着 的变化而沿x 轴移动；⑥ 当么一定时，曲线的形状由<7确定.O ,曲线越“高瘦"，表示总体的分布越集中；G ________,曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.2. 正态分布（1） 正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b （a 〈b ）,随机变量X 满足P （a<XWb ）=, 则称随机变量X 服从正态分布，记作.（2） 正态分布的三个常用数据— O<X + <7）=；② P （JJ-2<7<X 寻+2<7）=；③ - 3技寻+3<t ）=.1. （2011•大连模拟）下列说法不正确的是（）A. 若X 〜N （0,9），则其正态曲线的对称轴为y 轴B. 正态分布阳，导）的图象位于*轴上方C. 所有的随机现象都服从或近似服从正态分布2.巳知随机变量4服从正态分布M3, °2）,则p （g<3）等于（）3. （2011•湖北）已知随机变量彳服从正态分布N （2, <t 2）,且P （<f<4）=0.8,则P （0<<f<2）等 于（）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2]—4. 某随机变量4服从正态分布，其正态分布密度函数为9（x ）=^=e 8 ,则4的期望和标准差分别是（）A. 0 和 8B. 0 和 4C. 0 和SD.。

正态分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））如果随机变量()41XN ，，则()2P X ≤等于（ ）（注：()220.9544P X μσμσ-<≤+=）A ．0.210B ．0.0228C ．0.0456D ．0.0215【答案】B 【解析】111(2)[1(26)][1(4242)](10.954222P X P X P X =-<=--<+=⨯-4)0.022=8．故选：B ．2．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）设随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(2)0.8P ξ<=，则(01)P ξ<<的值为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】B 【解析】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以，()()110.5P P ξξ>=<=，()()()12210.80.50.3P P P ξξξ∴<<=<->=-=， ()()01120.3P P ξξ<<=<<=，故选B ．3．（2020·辽宁沈阳 高二期中）已知两个正态分布密度函数()()()2221,1,22i i x i ix e x R i μσϕπσ--=∈=的图象如图所示，则（ ）A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ>>C ．1212,μμσσ<>D ．1212,μμσσ>>【答案】A【解析】正态曲线关于x μ= 对称，且μ 越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有σ 越小图象越瘦高，得到正确的结果． 详解：正态曲线是关于x μ=对称，且在x μ=2πσ由图易得12μμ<，故()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<.故选A.4．（2020·通榆县第一中学校高二期末（理））若随机变量()23X N σ~，且()50.2P X ≥=，则()15P X <<=（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【答案】A 【解析】随机变量X 服从正态分布()23,N σ，∴该正态曲线的对称轴是3x =，(5)0.2P X ≥=，()(15)12510.40.6P X P X ∴<<=-≥=-=.故选：A ．5．（2020·湖北郧阳 高二月考）设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为（ ） A ．73B ．53C ．5D ．3【答案】D 【解析】∵ξ服从正态分布()4,3N ，()()232P a P a ξξ<-=>+， ∴23242a a -++=⨯，解得3a =． 故选：D ．6．（2020·福建高三其他（理））已知随机变量()~2,1X N ，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形OABC 内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ） 附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.A ．0.1359B ．0.6587C ．0.7282D ．0.8641【答案】D 【解析】 因为()~2,1X N由题意()11(01)10.95440.68260.86412P P X =-<=--=阴影， 故选：D7．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）如图是当σ取三个不同值1σ，2σ，3σ时的三种正态曲线，那么1σ，2σ，3σ的大小关系是（ ）A ．1320σσσ>>>B ．1320σσσ<<<C ．1230σσσ>>>D ．1230σσσ<<<【答案】D 【解析】由图可知，三种正态曲线的μ都等于0由μ一定时，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，则1230σσσ<<< 故选：D8．（2020·全国高三其他（理））某校高二学生在一次学业水平合格考试的数学模拟测试中的成绩服从正态分布()274,7N ，若该校高二学生有1000人参加这次测试，则估计其中成绩少于60分的人数约为（ ）参考数据：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=．A ．23B ．28C ．68D ．95【答案】A 【解析】由()220.9544P Z μσμσ-<<+=，得()()7414600.9544P X P X -<<74+14=<<88=，所以()()()1601600.02282P X P X P X ⎡⎤<=≥88=-<<88=⎣⎦， 从而成绩少于60分的人数约为10000.022822.823⨯=≈（人）， 故选：A ． 二、多选题9．（2020·江苏常州 高二期末）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N (105，100)，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ）附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，2σ)，则P (μσξμσ-<<+)＝0.6826，P (22μσξμσ-<<+)＝0.9544，P (33μσξμσ-<<+)＝0.9974. A ．该市学生数学成绩的期望为105 B ．该市学生数学成绩的标准差为100 C ．该市学生数学成绩及格率超过0.99D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AD 【解析】依题意105,10,220μσσ===，285μσ-=.期望为105，选项A 正确；方差为100，标准差为10，选项B 错误； 该市85分以上占10.954410.97722--=，故C 错误； 由于901201052+=，根据对称性可判断选项D 正确. 故选：AD10．（2020·江苏盱眙 马坝高中高二期中）已知三个正态分布密度函数22()21()(,1,2,3)2i i x i x e x R i μσφπσ--=∈=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．12σσ=B ．13μμ>C ．12μμ=D ．23σσ<【答案】AD 【解析】根据正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边， 所以μ1＜μ2＝μ3，BC 错误； 又σ越小数据越集中，图象越瘦长， 所以σ1＝σ2＜σ3，AD 正确． 故选：AD ．11．（2020·山东寿光现代中学高二期中）甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()211,N μσ、()222,N μσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．乙类水果的平均质量20.8kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8D ．乙类水果的质量服从的正态分布的参数2 1.99=σ 【答案】AB 【解析】因为由图像可知，甲图像关于直线0.4x =对称，乙图像关于直线0.8x =对称， 所以10.4μ=，20.8μ=，故A 正确，C 错误， 因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确， 因为乙图像的最大值为1.99，即21.992πσ，所以2 1.99σ≠，故D 错误， 故选：AB.12．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）若随机变量()0,1N ξ，()()x P x φξ=≤，其中0x >，下列等式成立有( )A ．()()1x x φφ-=-B ．()()22x x φφ=C ．()()21P x x ξφ<=-D ．()()2P x x ξφ>=-【答案】AC 【解析】随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，∴正态曲线关于0ξ=对称，()(x P x φξ=，0)x >，根据曲线的对称性可得：A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-，所以该命题正确；B.(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤，所以()()22x x φφ=错误；C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-，所以该命题正确；D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-，所以该命题错误． 故选：AC ． 三、填空题13．（2020·苏州大学附属中学高二月考）正态总体的概率密度函数2()2()2x f x μπ--=，x ∈R 的图象关于直线________对称． 【答案】x μ= 【解析】由正态曲线的特征可知正态总体的概率密度函数2()2()2x f x μπ--=，x ∈R 的图象关于直线x μ=对称.故答案为：x μ=14．（2020·营口市第二高级中学高二期末）设随机变量()24,3X N ，且()()01P X P X a <=>-，则实数a 的值为_______. 【答案】9 【解析】分析： 随机变量()24,3X N 的正态曲线关于4X =对称，即0与1a -关于4X =对称，解出即可．详解：根据题意有01429a a +-=⨯⇒= 故填915．（2020·全国高三课时练习（理））某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立．那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_________. 【答案】34. 【解析】解法一：(1)由正态分布知元件，1，2的平均使用寿命为1 000小时，设元件1，2的使用寿命超过1 000小时分别记为事件A ，B ，显然P (A )＝P (B )＝12，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为AB AB AB ++，所以其概率P ＝11111132222224⨯+⨯+⨯=. 解法二：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)得两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为12P =，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为2131(1)4P P =--=. 16．（2020·新疆高三月考（理））根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果．如果采取公共卫生强制措施，则会导致峰值下降，峰期后移．如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布()35,2N ，()70,8N ，则峰期后移了________天，峰值下降了________%2πσ【答案】35 50． 【解析】（1）由题意可知，峰期后移了703535-=（天）； （2）峰值下降了150%2222822πππ==⨯⨯⨯． 故答案为：35；50 四、解答题17．（2019·全国高二课时练习）生产工艺工程中产品的尺寸误差X(单位:mm)~N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm 为合格品,求: (1)X 的密度函数;(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率. 【答案】（1）()24.51.52x x ϕπ-=；（2）0.494.【解析】(1)由题意知()2X ~N 0,1.5, 即μ0,σ 1.5==, 故密度函数()2x -4.5φx .1.52π=(2)设Y 表示5件产品中的合格品数,每件产品是合格品的概率为()()P X 1.5P 1.5X 1.50.683≤=-≤≤=, 而()Y ~B 5,0.683,合格率不小于80%,即Y 50.84≥⨯=,故()()()()4455P Y 4P Y 4P Y 5C 0.68310.6830.6830.494.≥==+==⨯⨯-+≈18．（2020·山西迎泽 太原五中高三二模（理））《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）【答案】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】（Ⅰ）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<11(60136013)(6021360213)22P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以()332705125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，()2132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以数学期望()26355E X =⨯=． 19．（2020·陕西西安 高三月考（理））为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求(0.88.3)P Z <<；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ξ，试求()E ξ. 6.16 2.5≈，若Z ~()2,N μσ，()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）平均数5.85；样本方差6.16；（Ⅱ）（i ）0.8186；（ii ）4093.【解析】（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数为10.0530.250.370.2590.15110.05 5.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(7 5.8)0.25(9 5.8)0.15(11 5.8)0.05s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯6.16=.（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知~(5.8,6.16)Z N ， 即()2~ 5.8,2.5Z N ，从而(0.88.3)(5.85 5.8 2.5)(2)P Z P Z P Z μσμσ<<=-<<+=-<<+1()[(22)()]0.81862P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ=-<<++-<<+--<<+=（ii ）由（i ）可知，~(5000,0.8186)B ξ，故()50000.81864093E np ξ==⨯=.20．（2020·湖北黄石港 黄石二中高二月考（理））某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T （单位：箱）分成了以下几组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）.（1）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自[50,60)这一组的概率.（2）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T （单位：箱）服从正态分布()2,14.4N μ，其中μ近似为样本平均数.（ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间()54.1,97.3内的天数（结果保留整数）.（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案. 方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：60T <时，奖励50元；6080T ≤<，奖励80元；80T ≥时，奖励120元.方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于μ时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于μ时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为 奖金 50100概率45 15小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+≈.【答案】（1）46165（2）（ⅰ）1637天（ⅱ）小张选择方案二更有利 【解析】（1）由分层抽样知识可知，这11天中前3组的数据分别有1个，4个，6个，所以至少有2天的数据来自[50,60)这一组的概率概率为213733111144C C C 46C C 165P =+=. （2）（ⅰ）由题得450.05550.2650.3750.3850.1950.0568.5μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以1(54.197.3)(68.514.468.5 28. 8)(0.68270.9545)0.81862P T P T <<=-<<+≈+=. 故2000天内日货物配送量在区间()54.1,97.3内的天数为 2 000 0.81861637.21637⨯=≈. （ⅱ）易知1()()2P T P T μμ<=≥=. 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X 元，则X 的可能取值为50，80，120， 其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，故()500.25800.61200.1578.5E X =⨯+⨯+⨯=.对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y 元，则Y 的所有可能取值为50，100，150，200，故142(50)255P Y ==⨯=，1114421(100)2525550P Y ==⨯+⨯⨯=， 1144(150)225525P Y ==⨯⨯⨯=，1111(200)25550P Y ==⨯⨯=. 所以Y 的分布列为Y50 100 150 200P25 2150 425 150所以1()50100150200905502550E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为()()E Y E X >，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利.21．（2020·河北易县中学高三其他（理））某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格． （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ；（2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==⨯=．【答案】（1）见解析（2）需要，见解析 【解析】（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P X P X P X C =-=-==-⋅⋅-=≥,由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =⨯=. （2）由题意可知不合格率为250, 若不检查,损失的期望为252()2602020505E Y n n =⨯⨯-=-；若检查,成本为10n ,由于522()1020102055E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2()102005E Y n n -=->, 所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.22．（2020·定西市第一中学高三其他（理））在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示： 组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z ~N (μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值．．．．作代表）， ①求μ的值；②利用该正态分布，求(88.5)P Z ≥；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单元：元） 2050概率34 14现有市民甲参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望．19814≈．若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=．【答案】（1）①60.5μ=②0.0228（2）见解析，1654【解析】 （1）由题意得：3024013502160257024801190460.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴60.5μ= ，∵19814σ=≈，1(22)(88.5)(2)0.02282P u Z P Z P Z σμσμσ--<≤+>=>+==，（2）由题意知()()12P Z P Z μμ<=≥=，.获赠话费X 的可能取值为20，40，50，70，100，()13320248P X ==⨯=，()133********P X ==⨯⨯=，()11150248P X ==⨯=，()13111337024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()111110024432P X ==⨯⨯=，.∴X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P3893218316132∴()20405070100832816324E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.。

正态分布习题及答案习题一某机械工厂生产的产品质量服从正态分布，均值为200，标准差为20。

问：1.产品的质量指标在180到220之间的概率是多少？2.超过240的产品的概率是多少？答案1.产品的质量指标在180到220之间的概率可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算180和220的标准分别为：$$ Z_1 = \\frac{180 - 200}{20} = -1 \\\\ Z_2 = \\frac{220 - 200}{20} = 1 $$2.然后查找标准正态分布表，查得Z1对应的累积概率为0.1587，Z2对应的累积概率为0.8413。

因此，产品的质量指标在180到220之间的概率为：Z(180<Z<220)=Z(−1<Z<1)=0.8413−0.1587=0.68263.超过240的产品可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算240的标准分为：$$ Z = \\frac{240 - 200}{20} = 2 $$4.然后查找标准正态分布表，可得Z对应的累积概率为0.9772。

因此，超过240的产品的概率为：Z(Z>240)=Z(Z>2)=1−0.9772=0.0228习题二某考试的分数服从正态分布，均值为70，标准差为10。

假设该考试成绩近似服从正态分布，问：1.90分以上的考生占总人数的比例是多少？2.80分到90分之间的考生占总人数的比例是多少？答案1.90分以上的考生可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算90的标准分为：$$ Z = \\frac{90 - 70}{10} = 2 $$2.然后查找标准正态分布表，可得Z对应的累积概率为0.9772。

因此，90分以上的考生占总人数的比例为：Z(Z>90)=Z(Z>2)=1−0.9772=0.02283.80分到90分之间的考生可以通过正态分布的标准化计算。

首先计算80和90的标准分别为：$$ Z_1 = \\frac{80 - 70}{10} = 1 \\\\ Z_2 = \\frac{90 - 70}{10} = 2 $$4.然后查找标准正态分布表，查得Z1对应的累积概率为0.8413，Z2对应的累积概率为0.9772。

25.3正态分布【知识网络】1、 取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、 能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、 通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图) ，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

【典型例题】例1 : (1)已知随机变量 X 服从二项分布，且 E (X ) =2.4 , V (X ) =1.44，则二项分布的参数 n , p 的值为 ) A . n=4, p=0.6B . n=6,p=0.4(2) 正态曲线下、横轴上，从均数到2 (填大于，小于)例3 :甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量(1) 求a,b 的值； (2) 比较两名射手的水平例4 :一种赌博游戏：一个布袋内装有 6个白球和6个红球，除颜色不同外， 6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白， 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为 这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”C . n=8, P=0.3D . n=24, p=0.1的面积为（）。

分到 A 95% B . 50% C . 97.5% D .不能确定(与标准差的大小有关)(3) 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 90分的人数是() A 32B16C8D(4) 从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 (5) 如图，两个正态分布曲线图：80,标准差为10,理论上说在 80201 为 1,1（x ） ,2 为2 2（X ）,例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其中的 8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试, (I)求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望; (n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率X 和丫，其分布列如下:至少答对 2题才算合格.1答案: B 。