向量与三角

三角函数与向量的应用在数学中，三角函数和向量是两个重要的概念。

它们在各个领域中都有广泛的应用。

本文将探讨三角函数和向量的应用，并分别列举一些实际场景中的例子来说明它们的作用。

一、三角函数的应用1. 几何学中的角度测量：三角函数广泛应用于几何学中的角度测量。

我们可以使用正弦、余弦和正切函数来计算三角形中的角度。

2. 物理学中的振动和波动：三角函数在物理学中的振动和波动研究中起着重要的作用。

例如，傅里叶级数可以表示任意周期函数，而傅里叶变换可以将信号从时域转换为频域。

3. 工程学中的三维计算：在工程学中，三角函数可以用来计算转动和旋转的角度。

它们在现代计算机图形学中的应用尤为突出，可以实现逼真的三维模型和动画效果。

4. 统计学中的回归分析：在统计学中，三角函数被广泛应用于回归分析。

通过拟合三角函数的曲线，可以对观测数据进行趋势分析和预测。

二、向量的应用1. 物理学中的力学和静力学：向量在物理学中的力学和静力学研究中扮演着重要的角色。

例如，力可以表示为一个有方向和大小的向量，通过向量的合成和分解可以计算力的合成和平衡条件。

2. 计算机图形学中的矢量图形：在计算机图形学中，矢量图形使用向量的形式来描述和存储图像。

向量的性质使得图像可以无损地缩放和旋转。

3. 统计学中的因子分析：在统计学中，向量用于因子分析。

通过将多个变量表示为向量，可以将复杂的数据关系简化为向量空间中的几何关系。

4. 经济学中的资源分配：向量在经济学中的资源分配模型中得到应用。

通过定义资源向量和约束条件，可以求解最优的资源配置方案。

总结：三角函数和向量在数学、物理学、工程学、统计学等领域中都具有广泛的应用。

在几何学中，三角函数用于角度测量和三角形计算；在物理学中，三角函数用于振动和波动的分析；在工程学中，三角函数用于计算旋转角度和创建三维模型；同时，向量在力学、计算机图形学、统计学和经济学等领域发挥着重要作用。

它们的应用促进了各个领域的发展和研究，为我们理解和解决实际问题提供了有力的工具和方法。

向量与三角函数一、解三角形例5．已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ，得13BC AC = ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C = ．例6. 如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ．（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值. 解答过程：（Ⅰ） 由余弦定理，得2222..cos AB AC BC AC BC C =+- 341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么，AB（Ⅱ）由3cos 4C =，且0,C π<<得sin C 由正弦定理，得,sin sin AB BC C A=解得sin sin BC C A AB==所以，cos A .由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=， 且29cos 212sin 16A A =-=，故()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+例7．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=-- ．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =，sin sin A BC AB C ∴== 二．求三角函数的定义域、值域或最值 典型例题例8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ）A.[]1,1-B.⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.⎡-⎢⎣⎦D.1,⎡-⎢⎣⎦)),,444, 1.,,,24f x x x x f x x f x A C D x f x πππππ+-∴==--=-=解法1:(当时(故选C.11解法2:当时()=知不可能.又由时(知选C.22例9． 设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且. （Ⅰ）求实数m 的值;（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x的最小值为1例10.已知函数1)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值.解答过程：（Ⅰ） 由cos 0x≠得()2x k k Z ππ≠+∈.故()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， （Ⅱ） 因为43tan ,cos ,55αα=-=且第四象限的角， 所以43sin ,cos ,55αα=-=故()()21)4cos 122)22cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2cos sin 14.5f πααααααααααααααα-==-+=-==-=例11设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ， （1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f .解答过程：(1))x sin(b a )x (f 22ϕ+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴， 又 )x (f 的最大值4)12(f =π ， 22b a 4+=∴ ① ， 且 122cos b 122sin a 4π+π= ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) )3x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π+=+=， 0)(f )(f =β=α∴，)32sin(4)32sin(4π+β=π+α∴，32k 232π+β+π=π+α∴， 或)32(k 232π+β-π+π=π+α， 即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6k π+π=β+α，33)6k tan()tan(=π+π=β+α∴ )Z k (∈.例12.设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π.（I ）求ω的值；（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a 的值.解答过程：（Ⅰ）1()2sin 22f x x x a ωω=+sin(2)3x a πω=+, 依题意得 2632πππω⋅+=， 解得 12ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()sin()3f x x a π=+,又当5,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，70,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin()123x -≤+≤，从而()f x 在5[,]36ππ-上取得最小值12a -.因此，由题设知12a -故a =例13.已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值.命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力. 解答过程：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ;（Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ，即37sin cos 2sin cos .416αααα+=⇒=-即 1672sin -=α. 三．三角函数的图象和性质 典型例题 例14.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求：（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间. 解答过程：（I ）解法一： ()1cos 23(1cos 2)sin 222x f x x θ-+=++2sin 2cos 2x x =++2)4x π=+. ∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ 1sin 21cos 2x x =+++2)4x π=+.∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值2因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.（Ⅱ）解： ()2)4f x x π=+由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此， ()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.例15．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ） 例16.已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？解答过程：（I）1cos 2()2(1cos 2)22x f x x x -=+++132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）方法一：先把s i n 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3s i n (2)62y x π=++的图象.方法二： 把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.例17.已知函数2())2sin ()().612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.解答过程：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1 .∴ T=2π2 =π．(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2 ， 即x=k π+ 5π12 (k ∈Z) ∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , k ∈Z}. 四．平面向量、三角函数的图象和性质 典型例题例18.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-解答过程：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C.例19.已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值.解：（Ⅰ）,sin cos 0a b θθ⊥若则＋＝，由此得 tan 1ππθθ=- (-<<),22所以 ;4πθ=-（Ⅱ） 由(sin ,1),(1,cos )(sin 1,1cos ),a b b b θθθθ== α+=++ α+= = =得当sin()1,,, 1.44a b a b ππθθ+=+=+时取得最大值即当时例20.已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B .解答过程：（Ⅰ）∵1m n ⋅=,∴(()cos ,sin 1A A -⋅= ,cos 1A A -=.12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵50,666A A ππππ<<-<-<, ∴66A ππ-= . ∴3A π=.（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=. ∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B+=--=。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识得交汇一、四心得概念介绍(1)重心——中线得交点:重心将中线长度分成2:１;(2)垂心-—高线得交点:高线与对应边垂直;(3)内心—-角平分线得交点(内切圆得圆心):角平分线上得任意点到角两边得距离相等;(4)外心——中垂线得交点(外接圆得圆心):外心到三角形各顶点得距离相等。

二、四心与向量得结合(1)就是得重心、证法１:设就是得重心。

证法２:如图三点共线,且分为２:1就是得重心(2)为得垂心。

证明:如图所示O 就是三角形ABC 得垂心,ＢE 垂直AC,A Ｄ垂直B Ｃ, D 、E 就是垂足.同理, 为得垂心 (3)设,,就是三角形得三条边长,O 就是ＡBC 得内心为得内心.证明:分别为方向上得单位向量, 平分,),令()化简得(4)为得外心。

典型例题:例１:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 。

外心B 、内心 C.重心 D 。

垂心分析:如图所示,分别为边得中点、//点得轨迹一定通过得重心,即选、例2:(0３全国理４)就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( B )B D BC DA.外心 B 。

内心 C 、重心 D.垂心分析:分别为方向上得单位向量,平分,点得轨迹一定通过得内心,即选、例3:就是平面上一定点,就是平面上不共线得三个点,动点满足, ,则点得轨迹一定通过得( )A 、外心 B.内心 C 。

重心 D 、垂心分析:如图所示AD 垂直BC,BE 垂直AC, D 、E 就是垂足.= ==+=０点得轨迹一定通过得垂心,即选、练习: 1.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则得值为( )Ａ、2 B 、 C.３ Ｄ。

62.若得外接圆得圆心为Ｏ,半径为1,,则( )A 、 B.0 C 。

1 D 、３.点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比就是( )A 、0 B. Ｃ。

三角与向量的主要知识点2.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） (1)周期性 ①函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T② 函数)tan(ϕω+=x A y 的周期是ωπ=T （2）单调性．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；（3）奇偶性①)sin(ϕω+=x A y 为奇函数)(Z k k ∈=⇔πϕ)sin(ϕω+=x A y 为偶函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ②)cos(ϕω+=x A y 为奇函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ)cos(ϕω+=x A y 为偶函数)(Z k k ∈=⇔πϕ（4）对称性把x ωϕ+看作一个整体，由x y sin =的对称性得)sin(ϕω+=x A y 的对称性 由x y cos =的对称性得)cos(ϕω+=x A y 的对称性，由x y tan =的对称性得)tan(ϕω+=x A y 的对称性（5）)sin(ϕω+=x A y 图像的画法①五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图：设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

②变换法画图：可以先平移再伸缩，也可以先伸缩再平移，但需要注意的是每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

2．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3.三角函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。

专题三、向量与三角知识点： 1、定义：xy r x r y ===αααtan ;cos ;sin （只要题意中给出角α终边上一点),(y x P 则用定义解题）2、平方关系1cos sin 22=+αα（知ααα2sin -1cos sin ±=则取正或负需看角象限）商数关系αααcos sin tan =（可切化弦） 3、诱导公式（1）角（απ+k 2）在一象限 （2）角（απ-）在二象限 （3）角（απ+）在三象限 （4）角（α-）在四象限（以上四个公式函数名不变，符号看象限）（5）角απ-2在一象限 （6）角απ+2在二象限（（5）（6）两个公式函数名要变，符号看象限）4、二倍角公式αααααα2sin 21cos sin cos sin 22sin =⇒=ααα22sin cos 2cos -=⇒-=1cos 22α )2cos 1(21cos 2αα+=⇒-=α2sin 21 )2cos 1(21sin 2αα-=ααα2tan 1tan 22tan -=5、和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±6、熟记函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图象和性质7、考查函数)sin(ϕω+=x A y （0,0>>ωA ） （1）周期ωπ2=T（2）单调区间增区间：把ϕω+x 带入αsin =y 的增区间，即ππϕωππk x k 2222+≤+≤+-，解出x 即可 减区间：（同理）（3）最值：当1)sin(=+ϕωx 时，得最大值A;当1)sin(-=+ϕωx 时，的最小值-A (4)在选择题中考查对称轴时，则把对称轴带入函数式可得最大或最小值； 考查对称中心时，对称中心满足函数式（带入即可） （5）利用图象求解析式A ——由最值求；ω——由周期T 求（先由x 轴上两点横坐标的差和周期的关系）； ϕ——由图上的点带入求8、正、余弦定理 9、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 三角函数（1）热点例析热点一 三角函数的概念例1、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35C ．35D ．45变式训练1 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是－35，若α∈(0，π)，则tan α＝__________.热点二 三角函数图象及解析式例2、如图，根据函数的图象，求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式．变式训练2 右图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6热点三 三角函数图象变换例3、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R 在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可由函数y ＝cos x 的图象(纵坐标不变)( )．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12，再向右平移π12个单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π12个单位变式训练3 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将y ＝sin 2x 的图象( )．A ．向左平移5π12B ．向右平移5π12C ．向左平移5π6D ．向右平移5π6热点四 三角函数图象与性质综合应用 例4、已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝1的解．变式训练4 已知函数f (x )＝4sin ωx sin 2⎝⎛⎭⎫ωx 2＋π4＋cos 2ωx ，其中ω＞0.(1)当ω＝1时，求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， 求ω的取值范围．变式训练5已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值专题训练：1．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )．A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．⎣⎡⎦⎤－32，322．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )． A ．x ＝π9 B ．x ＝π8 C ．x ＝π D ．x ＝π23．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且·0OM ON =，则A ·ω＝( )．A ．76πB ．712πC ．π6D ．73π4．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋ φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (x )－f (－x )＝0，则( )．A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上是增函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，π4上是减函数 5．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝( )．A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 36、当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝__________.7．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m ＜0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.8．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭⎫3A cos x ，A2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．9．设f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域； (2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．三角函数（2）热点一 三角恒等变换及求值例1、已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值．变式训练1已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为6π.(1)求3π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝－1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．热点二 三角函数、三角形与向量等知识的交汇例2、在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2B 的值域．变式训练2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114. (1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．热点三 正弦定理、余弦定理的实际应用例3、某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB .现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段．现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A ，B 分别设在公路上离市中心O 多远处才能使A ，B 之间的距离最短？并求最短距离．(不要求作近似计算)变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．专题训练：1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．32．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )． A ．35 B ．45 C ．74 D ．343．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )．A ．725B ．－725C ．±725D ．24254．已知3cos x －sin x ＝－65，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝( )． A ．35 B ．－35 C ．65 D ．－655．已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan 2α的值为( )．A ．45B ．43C ．34D ．236．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( )． A ．－233 B ．±233C ．－1D ．±17．在△ABC 中，已知b cos C ＋c cos B ＝3a cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则cos B 的值为( )．A ．13B ．－13C ．223D ．－2238、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.9．已知sin x ＝5－12，则sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝______. 10、已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .11．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋23sin x cos x ＋5cos 2x .(1)若f (α)＝5，求tan α的值；(2)设△ABC 三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且cos B cos C ＝b2a －c，求f (x )在(0，B ]上的值域．12．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．。

2023-10-29•向量的数量积•三角恒等变换•两角和与差的余弦•向量的数量积与三角恒等变换的联系•实例分析目录01向量的数量积向量：具有大小和方向的量，用符号表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$。

向量的性质向量具有方向性，其大小和方向均可以影响其运算结果。

向量具有加法交换律和结合律。

即$\vec{a} +\vec{b} = \vec{b} +\vec{a}$向量的零向量性质：$\vec{0} + \vec{a} =\vec{a}$，$\vec{a} +\vec{0} = \vec{a}$。

向量的定义与性质010*******向量的数量积定义：$\vec{a} \cdot\vec{b}$表示向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的数量积，也称为点积。

向量的数量积运算规则：$\vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}| \times|\vec{b}| \times\cos\theta$向量的数量积运算性质$\vec{a} \cdot \vec{b}= \vec{b} \cdot\vec{a}$（数量积具有交换律）。

$(\lambda\vec{a})\cdot \vec{b} =\lambda(\vec{a} \cdot\vec{b})$（数量积具有线性性质）。

向量的数量积运算010*******向量的模定义$|\vec{a}|$表示向量$\vec{a}$的模，也称为向量的长度。

向量的模与夹角向量的模性质$|\lambda\vec{a}| = |\lambda| \times |\vec{a}|$，$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}|+ |\vec{b}|$。

两向量的夹角定义当两个向量指向同一方向时，夹角为0度；当两个向量指向相反方向时，夹角为180度。

02三角恒等变换三角函数的定义与性质三角函数的定义三角函数是定义在单位圆上的函数，它们通常表示为y=sinx、y=cosx、y=tanx等。

三角形的“四心”与向量的完美结合知识概述：三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式 一、知识点总结1）O 是ABC ∆的重心=++⇔; 若O 是ABC ∆的重心，则,31ABC AOB AOC BOC S S S S ∆∆∆∆===故;,=++ 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则,tan :tan :tan ::C B A S S S AOB AOC BOC =∆∆∆故tan tan tan =⋅+⋅+⋅C B A3）O 是ABC ∆的外心)222OC OB OA ====⇔或 若O 是ABC ∆的外心,则C B A AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC 2sin :2sin :2sin sin :sin :sin ::=∠∠∠=∆∆∆ 故02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是0=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记,,的单位向量为321,,e e e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)()()(322131=+⋅=+⋅=+⋅e e OC e e OB e e OAO 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0=++OC c OB b OA a若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆ 故sin sin sin =++=++C B A c b a 或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；知识点一、将平面向量与三角形内心结合考查【例 1】:O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心【解答】：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又=-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.练习：在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且||2OC =，则OC =_________________.【解答】：点C 在∠AOB 的平线上，则存在(0,)λ∈+∞使()||||OA OBOC OA OB λ=+=34(0,1)(,)55λλ+-=39(,)55λλ-,而||2OC=，可得3λ=，∴()55OC =-.【例2】：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ⋅+=(||BA OB BA ⋅+||CB CB ) =()||||BC CA OC BC CA ⋅+= 0，则O 点是△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心解：||||AB CA AB CA +表示与△ABC 中∠A 的外角平分线共线的向量，由()||||AB CAOA AB CA ⋅+= 0知OA 垂直∠A 的外角平分线，因而OA 是∠A 的平分线，同理，OB 和OC 分别是∠B 和∠C 的平分线，故选C .【例3】：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++= ，则O 点是△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 解：∵OB OA AB =+，OC OA AC=+，则()a b c OA bAB cAC++++= 0，得()||||bc AB ACAO a b c AB AC =+++. 因为||AB AB 与||AC AC 分别为AB 和AC 方向上的单位向量，设||||AB ACAP AB AC =+，则AP 平分∠BAC. 又AO 、AP 共线，知AO 平分∠BAC.同理可证BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，所以O 点是△ABC 的内心.【方法总结】：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

向量与三角函数相乘
向量与三角函数相乘是指将一个向量与一个三角函数进行数乘的操作。

数乘的结果是将向量的每个分量与三角函数的对应值相乘，得到一个新的向量。

例如，设定一个向量V=(3, 4)，可以将它与三角函数 sin(x) 进行相乘。

此时，sin(x) 可以看作一个标量，即一个常数。

将向量的每个分量与 sin(x) 相乘，得到的结果向量是 V'=(3*sin(x),
4*sin(x))。

相乘后的向量 V' 的每个分量都在原来的向量 V 的基础上，根据 sin(x) 的取值进行缩放。

也就是说，它的大小和方向都会发生改变。

这种将向量与三角函数相乘的操作，在物理学、工程学和数学等领域中被广泛应用。

它可以用来描述物体在不同角度、不同位置下的受力情况，或者用来求解一些特定的数学问题。

需要注意的是，在进行向量与三角函数的数乘时，必须保证单位的一致性。

例如，向量的分量通常是长度，而三角函数的对应值是一个无单位的纯数。

因此，在相乘时，需要确保两者的单位是一致的，以避免产生错误的结果。

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。

三角与向量Ⅰ认识高考中的三角与向量三角与向量，是现行课程标准和教材的基础和重点内容，每年高考都会考查，考查的规律和特点稳定而明确．1现行课程标准及教材中三角与向量的主要内容1.1课程标准明确具体内容和要求．数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换．数学5：解三角形具体内容和要求如下：数学 4在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换．三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力．在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．内容与要求1.三角函数（约 16 课时）（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π±α，π ±α的正弦、余弦、正2切），能画出y = sin x，y = cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性．（-π π③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）．④理解同角三角函数的基本关系式：, ) 上的性质（如单2 2sin2x + cos2x = 1，sin xcos x= tan x⑤结合具体实例，了解y =A sin(ωx +ϕ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =A sin(ωx +ϕ)的图象，观察参数A，ω，ϕ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2.平面向量（约 12 课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义．（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．3.三角恒等变换（约 8 课时）（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）．数学 5在本模块中，学生将学习解三角形、数列、不等式．学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．内容与要求1.解三角形（约 8 课时）（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1.2人教社教材, ) 明确教材体系和结构：数学 4（必修）：共分为 3 章，三角函数（6 节）、平面向量（5 节）、三角恒等变换（2节）数学 5（必修）：解三角形（3 节） 2 高考考试说明中三角与向量的要求 2.1 三角的考查内容与要求 明确考什么、考到什么程度． (八)基本初等函数Ⅱ(三角函数) 1．任意角的概念、弧度制 (1) 了解任意角的概念．(2) 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．三角函数(1) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(2) 能利用单位圆中的三角函数线推导出 π± α ，π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，2 能画出 y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性．(3) 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间（- π π2 2 (4) 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2 x + cos 2 x = 1，sin x= tan x ． cos x内的单调性．(5) 了解函数 y = A sin(ωx + ϕ) 的物理意义；能画出 y = A sin(ωx + ϕ) 的图象，了解参数 A ,ω,ϕ 对函数图象变化的影响．(6) 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．(十) 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式(1) 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2) 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．(3) 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(十一)解三角形 1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2.2 向量的考查内容与要求 (九)平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示.2．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3 高考试卷中的三角与向量试题 3.1 三角试题实例例 2017 年全国Ⅰ卷理科第(9)题已知曲线C : y = cos x ， C : y = sin(2x + 2π) ，则下面结论正确的是123A ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π16个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π112个单位长度，得到曲线C 2C ．把C1 π1上各点的横坐标缩短到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 12个单位长度，得到曲线C 2【解析】 曲线C : y = cos x = cos(x + π - π) = sin(x + π) ，可知将把C 上各点的横坐标12 2 2 1缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，得到的解析式为 y = sin(2x + π ) = sin 2(x + π) ，再把得到的2曲线向左平移 π122 4 个单位长度，得到曲线的解析式为 y = sin 2(x + π + π ) = sin(2x + 2π ) 即C12 4 3 2的解析式，选项 D 正确．关键问题：平移多少？三角函数图象的伸缩、平移变换→一般函数？ 作为选择题，可以怎么解答？例 2018 年全国Ⅲ卷理科第(15)题2 B函数 f (x ) = cos(3x + π) 在[0 ，π]的零点个数为 ．6【解析】 由题意，令cos(3x + π)=0 ，得 63x + π =k π+ π , x = k π + π , k ∈ Z ，取且仅k = 0,1, 26 2 3 9 有 x ∈[0, π] ，即cos(3x + π)=0 有且仅有 3 个解．6余弦型函数的图象与性质．零点即方程的解→数形结合．自己习惯的解答方式是什么？例 2016 年全国Ⅲ卷理科第(5)题若 tan α = 3，则cos 2α + 2sin 2α =4A. 6425B. 4825C. 1D.1625【解析】 由已知，4sin α = 3cos α ，两边平方，得cos 2 α =16．可以：cos 2 α + 2sin 2α 25= cos 2 α (1 + 4 tan α ) = 4cos 2 α = 64，还可以： cos 2 α + 2sin 2α = cos α (cos α + 4sin α ) =…．25作为选择题，你还可以有另外的想法．反思总结：问题特征——知值求值，三角变换，选择题．联想方法——角度到角度的联系，三角式到三角式的变换，利用题型特点．例 2018 年全国Ⅲ卷理科第(9)题∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∆ABC 的面积为a 2 +b 2 -c 24 ，则C = A ． π2 【解析】B ． π3= a 2+ b 2- c2=1C ． π4 ⇔ == π ．D ． π6S ∆ABCab sin C 4 2 sin C cos C ,C4反思总结：结构特点，公式选择，目标导向．例 2018 年全国Ⅰ卷理科第(17)题在平面四边形 ABCD 中，∠ADC = 90︒ ，∠A = 45︒ ， AB = 2 ， BD = 5 ． (1) 求cos ∠ADB ；(2) 若 DC = 2 【解析】 在 ，求 BC ． ABD 中，运用正弦定理， A∠ = ，△sin ADB 5cos ∠ADB = 23；在△BCD 中，运用余弦定理，BC =5． 5反思总结：画出图形，立足结构．3.2 向量试题实例D例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(4)题已知向量a ， b 满足| a | = 1 ， a ⋅ b = -1 ，则a ⋅ (2a - b ) = A ．4B ．3C ．2D ．0向量的基本运算．例 2016 年全国Ⅱ卷理科第(3)题已知向量a = (1，m )，b = (3，- 2) ，且(a + b ) ⊥ b ，则 m ＝ A. －8B. －6C. 6D. 82B ． 1AB - 3AC向量的坐标运算，向量垂直的条件． 例 2018 年全国Ⅰ卷理科第(6)题在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， A则 EB =A ． 3AB - 1ACE4 444 D ． 1AB + 3AC4 44 4BDC【解析】 首先建立联系：以向量 AE 为纽带．选 A ．你愿意用坐标系，也是可以的． 3.3 三角与向量试题的解答策略 3.3.1 问题的背景与特征（题型归类）三角问题：三角函数及其图象、三角变换、解三角形（应用） 向量问题：向量的概念与运算、向量在几何及物理中的应用 3.3.2 解决的方法与策略三角问题：函数的研究手段，角——角的和差倍半及诱导关系，名——函数名的转换， 形——结构特征（代数、几何）及联系向量问题：多角度表示——基底（来自向量本身），坐标（与解析几何联系）和图形 3.4 对于三角与向量，高考考查了什么？是怎么考查的？ 3.4.1 三角与向量试题设置与考查的特点与规律简单统计 三角 年度科类题型与考点题型汇总2016文科甲 3，函数图象；11，变换、最大值；15，解三角形理科：2 套 2 选 1 填，1 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲7，函数图象；9，变换；13，解三角形 文科乙 4，解三角形；6，函数图象；14，变换 理科乙 12，函数图象与性质；17，解三角形，变换 文科丙 6，变换；9，解三角形；14，函数图象 理科丙 6，变换；9，解三角形；14，函数图象2017文科甲 8，函数图象、性质；11，解三角形；15，变换 理科：3 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲 9，函数图象；17，解三角形文科乙 3，函数性质；13，变换、性质；16，解三角形 理科乙 14，变换、性质；17，解三角形文科丙 4，变换；6，变换、函数性质；15，解三角形 理科丙 6，函数性质；17，解三角形2018文科甲 8，函数性质；11，函数概念与变换；16，解三角形 理科：2 套 2 选 1 填，1 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲 16，函数与变换；17，解三角形文科乙 7，解三角形；10，函数性质；15，变换 理科乙 6，解三角形；10，函数性质；15，变换文科丙 4，变换；6，函数性质与变换；11，解三角形 理科丙4，变换；9，解三角形；15，函数图象C ． 3 AB + 1 AC向量年度科类题型与考点题型汇总2016文科甲13，坐标表示，向量的平行1 选或1 填理科甲3，坐标表示，向量的垂直文科乙13，坐标表示，向量的模理科乙13，坐标表示，向量的模文科丙3，向量的夹角理科丙3，向量的夹角2017文科甲13，坐标表示，向量的垂直1 选或1 填（在解析几何题中融合）理科甲13，向量的夹角，向量的模文科乙4，向量的模（性质）理科乙文科丙13，坐标表示，向量的垂直理科丙12，向量与几何，线性运算2018文科甲7，向量的线性运算1 选或1 填理科甲6，向量的线性运算文科乙4，向量的数量积理科乙4，向量的数量积文科丙13，坐标表示，向量的平行理科丙13，坐标表示，向量的平行3.4.2三角函数是高中数学的重要内容．高考主要考查任意角三角函数的概念和正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，突出考查形如y=A sin(ωx＋φ)的函数的图象与性质；考查两角和与差的三角函数公式和简单的三角恒等变换；重点考查正弦定理和余弦定理及其应用．对三角函数的考查重点是考生对基本概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力，3.4.3平面向量具有几何形式和代数形式，是中学数学知识的一个交汇点．高考主要考查平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理、坐标表示、数量积及其应用，平面向量的考查重点是基础知识、基本技能和数形结合的思想方法，考查中将几何知识和代数知识有机结合，体现思维的灵活性．Ⅱ走进高考中的三角与向量1 三角函数及其图象例2014 年全国Ⅱ卷理科第(6)题如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M . 将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x) ，则y在[0, π] 的图象大致为A. B.f (x)5C.D.【解析】 选 C ．已知解读——点到直线的距离？知识产生和发展的过程——三角函数定义的背景，不同的思考角度（数、形）；题型特点——选择题的解答．例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(11)题已知角α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1, a ) ，B (2,b ) ，且cos 2α = 2，则 a - b =3A ． 1 5 【解析】 选B ．B ． 5 5C ． 2 5 5D ．1源于教材，回归基础——基于定义，倍角公式． 例 2015 年全国Ⅱ卷理科第(8)题函数 f (x ) = cos(ω x + ϕ) 的部分图象如图所示，则 f (x ) 的单调递减区间为A. (k π 1 , k π + 3), k Z 4 4B. (2k π 1 , 2k π + 3), k Z 4 4C. (k 1 , k + 3), k Z 4 4D. (2k 1 , 2k + 3), k Z 4 4 【解析】 选 D ．基础：三角函数的性质、图象与基本量；需要求出解析式吗？ 例 2013 年全国Ⅱ卷理科第(15)题设当 x = θ 时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ= ．【解析】 第一个想法： f (x ) = 5 sin(x - ϕ) ， sin ϕ = 5 ， cos ϕ = 2 5．函数取最大 5 5 值时， x = 2k π + π + ϕ ，所以c os θ= cos(2k π + π+ ϕ) = - cos ϕ =- 2 5 ．2 2 5有了第一，当然应该有第二个想法：对于函数最值，还有什么入手点？易知 f '(θ ) = cos θ + 2sin θ = 0 ，怎么求c os θ ？——平方（得出的是cos 2θ，有取舍的问 题）；还有一个条件可资利用：sin θ－2cos θ=根据背景寻求联系，多种因素获取答案． 例 2016 年全国Ⅰ卷理科第(12)题．（如何想到？）已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ) (ω > 0, | ϕ |≤ π ) ，x =- π 为 f (x ) 的零点，x = π为 y = f (x )2 4 4图象的对称轴，且 f (x ) 在( π , 5π) 单调，则ω 的最大值为18 36A. 11B. 9C. 7D. 52 ⎪⎩ ⎨ 【解析】 由题 π - (- π ) = T + k ⋅ T = 2k + 1 ⋅ 2π，所以ω = 2k + 1(k ∈ N * ) ；又因为 f (x )4 4 4 2 4 ω在( π , 5π ) 单调，所以 5π - π = π ≤ T = 2π，即ω ≤12 （仅为必要条件）；更深刻地分析 18 36 36 18 12 2 2ω条件， f (x ) = sin ω (x + π) ，代入验证可知， ω 的最大值为 9.4例 2015 年全国Ⅰ卷理科第(10)题如图，长方形 ABCD 的边 AB =2，BC =1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x )，则 f (x )的图象大致为【解析】 自然的想法：建立函数关系式，根据解析式分析图象． ⎧tan x + 4 + tan 2 x ， 分段建立关系： f (x ) ⎪ 1 + (1 + cot x )2+ ⎪- tan x + 4 + tan 2 x . 命题者这样考查你？——寻求合适的解题路径． 反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 2 三角变换例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(15)题已知sin α + cos β = 1， cos α + sin β = 0 ，则sin(α + β) = ．【解析】 角名入手，平方相加： sin(α + β) = - 1．2例 已知函数 f (x ) = sin(3x + π) ．4(1) 求 f (x ) 的单调递增区间；(2) 若α 是第二象限角， α f ( ) = 4cos(α + π ) cos 2α ，求cos α - sin α 的值．3 5 4(1) 函数 f (x ) 的单调递增区间为 [- π + 2k π , π + 2k π] , k ∈ Z ．4 3 12 3(2) 由已知，有sin(α + π ) = 4 cos(α + π) cos 2α ，4 5 4 所以sin α cos π + cos α sin π = 4 (cos α cos π - sin α sin π)(cos 2 α - sin 2 α ) ，4 45 4 4即 sin α + cos α = 4(cos α - sin α )2 (sin α + cos α ) ．5当sin α + cos α = 0 时，由α 是第二象限角，知 α = 3π+ 2k π, k ∈ Z ．4此时， cos α - sin α = - ．1 + (1 - cot x )2=当sin α + cos α ≠ 0 时，有(cos α - sin α )2 = 5．4由α 是第二象限角，知cos α - sin α＜0 ，此时cos α - sin α = - 5．2 综上所述， cos α - sin α = - 2 或- 5．2 系 2014 年四川理科试题，第（1）小题得分率约 80%，零分率约 16%，满分率约76%；第（2）小题得分率约 49%，零分率约 15%，满分率约 4%！反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 3 解三角形(应用)例 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯 角分别为 67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于ｍ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： sin 67︒≈ 0.92 ， cos 67︒≈ 0.39 ， sin 37︒≈ 0.60 ， cos 37︒≈ 0.80 ，3 ≈ 1.73 )【解析】 解三角形的应用．解直角三角形好吗？近似计算的处理．例 2017 年全国Ⅰ卷文科第(11)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知sin B + sin A (sin C - cos C ) = 0 ，a ＝ 2，c ＝ A ． π，则 C =B ． πC ． πD ． π12 643【解析】 已知的等式怎么变形？——从可变形处入手．代入 B = π - ( A + C ) ，可由条件得sin A + cos A = 0 ，从而求出 A = 3π，据正弦定理可求出 C ．选 B ．4例 2018 年全国Ⅰ卷文科第(16)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知b sin C + c sin B = 4a sin B sin C ， b 2 + c 2 - a 2 = 8 ，则△ABC 的面积为．【解析】 b sin C + c sin B = 4a sin B sin C 可以怎样变形？——正弦定理得出sin A = 1；2△ABC 的面积选择什么表达？—— b 2 + c 2 - a 2 = 8 ⇔ 2bc cos A = 8 ，面积用 1bc sin A 表示．2解题的基本策略：已知条件→联系（中间结论）←待求结论．例 2015 年全国Ⅱ卷理科第(16)题在平面四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 75︒ ，BC = 2 ，则 AB 的取值范围是 ． 【解析】 显然，先画一个图．——怎么画？其次，怎么入手建立关系？——和一般的解三角形问题有什么异同？（几何画板演示）基本策略：四边形→三角形（分割、补形）． 例 2017 年全国Ⅲ卷理科第(17)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知sin A + (1) 求 c ；3 c os A = 0 ，a = 2 ，b = 2 ． (2) 设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求△ABD 的面积．【解析】 (1) 已知sin A + 3 cos A = 0 怎么用？——求出 A ；求 c 具备什么样的条件？—2 73 —运用正弦定理、余弦定理．(2) 求面积还需要什么条件？——求出 AD ，BD ……．例 在∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，若(2a - c )cos B = b cos C ， b = ， 则 a + c 的取值范围是．【解析】 将(2a - c )cos B = b cos C 化为边还是角？思路 1 用余弦定理，上式可得 a ，c 的关系．能解否？——前景预测．思路 2 由正弦定理， (2a - c )cos B = b cos C 可变形为(2sin A - sin C ) cos B = sin B cos C ，从而有2sin A cos B = sin B cos C + cos B sin C = sin A ， B = π．再由正弦定理， a + c = 2sin A +32sin C = 2sin A + 2sin( π + A )=2 3 sin( A + π) ．而0 < A < 2π，所以a + c ∈ ( 3, 2 3]3 6 3图形的特点可否帮助我们？——数形结合． 反思总结：问题特点，思考方式，解答路径．4 向量的概念与运算例 2017 年全国Ⅱ卷理科第(13)题已知向量 a ，b 的夹角为60︒ ， | a |= 2 ， | b |= 1 ，则|a + 2b | = ． 【解析】 运算——模、夹角与数量积．例 设向量a = (m ,1) ， b = (1, 2) ，且| a + b |2 =| a |2 + | b |2 ，则m = ． 【解析】 坐标运算、解方程；看到条件| a + b |2 =| a |2 + | b |2 有什么想法？例 平面向量 a = (1, 2) ， b = (4, 2) ， c = m a + b ( m ∈ R )， 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则m =A. -2B. -1C. 1D. 2【解析】 当然，夹角公式入手；向量的表达还有什么？——图形；题型特点可否利用？反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 5 向量与几何例 人教版教材数学 4§2.5.1 例 2如图，平行四边形 ABCD 中，点 E ，F 分别是 AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与 AC 交于 R ，T 两点，你能发现 AR ，RT ， TC 之间的关系吗？2 512 + 22 5……例 2017 年全国Ⅱ卷理科第(12)题已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是A ． -2 B. - 32C. -4 3D. -1【解析】求最值的常用途径： PA ⋅ (PB + PC ) 怎么表示？——向量的数、形入手．思路 1： 如图， PB + PC = 2PD （ D 为 BC 中点）， 则 APA ⋅ (PB + PC )= 2PD ⋅ PA ，要使 PA ⋅ PD 最小，则 PA ， P D 方 P向相反，即 P 点在线段 AD 上，则2PD ⋅ PA min = -2 PA ⋅ PD ， 即求 PD ⋅ PA 最大值，又 PA + PD = AD = 3 ，则 PA ⋅ PD ≤( PA + PD )2 = 3，则2PD ⋅ PA min = -2 ⨯ 3 = - 3 ．B DC2 44 2 思路 2：以 BC 为 x 轴， BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴， D 为 坐 标 原 点 建 立 坐 标 ， 设 P (x , y ) ， 则 PA = (-x , 3 - y ) ， PB = (-1 - x , - y ) ， PC = (1 - x , - y ) ．所以 PB + PC = (-2x , -2 y ) ，PA ⋅ (PB + PC ) = 2x 2 - 2 y ( 3 - y ) ＝ 2x 2 + 2( y - 3 )2 - 3 ≥ - 3 ， 2 2 2当 P (0, 3 ) 时，所求的最小值为- 3．2 2例 2017 年全国Ⅲ卷第(12)题在矩形 ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．2【解析】 求最值的常用途径： λ + μ 怎么表示？——向量的数、形入手． 思路 1 如图，设 BD 与 C 切于点 E ，连接CE ．以 A 为原点，建立如图直角坐标 系，则C 点坐标为(2,1) ． | CD |= 1 ， | BC |= 2 ． BD = = ．BD 切 C 于点 E ，55 5 ⎩ 1 22 CE ⊥ BD ，则| EC |=| BC | ⋅ | CD | = | BD | 2， 则 C ： ⎧x = 2 + 2 5 cos θ， 224⎪ 0 5(x - 2) + ( y -1) = ，令 P (x 0 , y 0) ，则⎨ ⎪ y = 1 + 2 5 sin θ. ⎪⎩ 0 5又 AP = (x 0 , y 0 ) AP = λ AB + μ AD = λ(0,1) + μ(2,0) = (2μ,λ) ，可得 μ = 1 x = 1 + 5cos θ ， λ = y = 1 + 2 5 sin θ ，2 050 5 所以λ + μ = 1 + 2 5 sin θ + 1 + 5 cos θ = 2 + ( 2 5 )2 + ( 5 )2sin(θ + ϕ)5 5 5 5= 2 + sin(θ + ϕ) ≤ 3 ，其中sin ϕ = 5 ， cos ϕ = 2 5 ，当且仅当θ = π+ 2k π - ϕ ， k ∈ Z5 52 时， λ + μ 取得最大值 3．思路 2 如图，建立直角坐标系，设P (x , y ) ， C 的半径 | EC |= | BC | ⋅ | CD | =| BD | 2 ，则 C 方程为(x - 2)2 + ( y -1)2 = 4 ，5AP = (x , y )， AB = (0,1)， AD = (2,0)，由 AP = λ AB + μ AD ，得(x , y ) = λ(0,1) + μ(2, 0) ，即⎧x = 2μ，所以λ + μ = x+ y ，设⎨y = λ，2 z = x + y ，即 x + y - z = 0 ，点 P (x , y ) 在圆(x - 2)2 + ( y -1)2 = 4上，则圆心到直线的距离2 2 52 - z ≤2d ≤ r ，即 1 + 1 45 ，解得1 ≤ z ≤ 3 ，所以 z 的最大值是 3，即λ + μ 的最大值是 3.思路 3 设 P (x , y ) ，同思路 2， C ： (x - 2)2 + ( y -1)2 = 4 ，则λ + μ = x+ y ，设z = x+ y 2 5 2，根据规划的相关知识，当直线 z = x + y 与 C 相切 2时， z 取最值．由最大值是 3.=5 ，可知 z 的最大值是 3，即λ + μ 的思路 4 如连接 AP ，交 BD 于点 F ，根据平面向量基本定理，得 AF = t AB + t AD ，且t 1 + t 2 = 1 ．12由题设 AP = mAF ，可知m ≥ 1，所以 AP = mt AB + mt AD ， 又 AP = λ AB + μ AD ，所以λ + μ = mt 1 + mt 1 = m ，故只需求 m 的最大值即可，而 m = |AP |，过 P 作 BD 的平行线 l ，并交 AD 的延长线于点 Q ，可得|AF |2 - z 1 + 1 45 5 5 3 1m = |AP | =|AQ |，当 l 与 C 相切时，m 取得最大值，计算得 EP = 4 ，则 |AF | |AD |4 4DG = 5 = sin ∠Q 5 = 4 ，故|AQ | = 6，所以m = 3 ．5思路 5 由 AP = λ AB + μ AD 可得： AP ⨯ AB = λ AB 2+ μ AD ⨯ AB ，则有λ = AP ⨯ AB ；又由AP ⨯ AD = λ AB ⨯ AD + μ AD 2 ，则有μ = 1 AP ⨯ AD ，故λ + μ ＝AP ⨯ AB + 1AP ⨯ AD ＝ 4 4AP ⨯ ( AB + 1AD )，在 BC 上取点 H ，使得 BH = 1 BC ，则 BH = 1 ，所以λ + μ ＝44 2 AP ⨯ AH ．又由于△ABH ∽△DAB ，则∠BAH ＝∠ADB ，从而得 AH ⊥BD ．根据数量积的几何意义， AP ⨯ AH 即为| AH |与 AP 在向量 AH 方向上的投影|AQ |之积，故当|AQ |取最大值时，AP ⨯ AH 取得最大值．可知当直线 PQ 与 C 相切时，|AQ |最大，计算得|AQ |＝ 6 最大值为 3．，此时 AP ⨯ AH 的值为 6⨯ 5 = 3 ，即λ + μ2例 在平面内，定点 A ，B ，C ，D 满足| DA |=| DB |=| DC | ， DA ⋅ DB = DB ⋅ DC = DC ⋅ DA = -2 ， 动 点 P ， M 满足 | AP |= 1 ， PM = MC ，则| BM | 2 的最大值是A. 43 4B. 49 4C. 37 + 6 34D.37 + 2 334【解析】 还是老思路——揭示代数意义或几何意义，表示| BM | 2 ．如图，由| DA |=| DB |=| DC | 可知，点 D 到 A ，B ，C 三点的距离相等；又 DA ⋅ DB = DB ⋅ DC = DC ⋅ DA = -2 ，所以∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 120︒ ，且| DA |=| DB |=| DC | =2．故△ABC 是边长 为2 的等边三角形．因为| AP |= 1，所以动点P 在以A 为圆心，1 为半径的圆上；由 PM = MC ， 可得 M 是 PC 的中点．思路 1．设 Q 是 AC 的中点，易知|BQ |=3．如图，根据向量加法的几何意义，有=BQ 2 + BQ ⋅ AP + 1 AP 2 = 37 + BQ ⋅ AP ． P 2 4 4而 BQ ⋅ AP = 3cos BQ , AP≤ 3 ，所以| BM |2≤ 49 ． 4思路 2．以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴（AB 方向为正方向）建立直角坐标系，则点 B ，C 的坐标分别为(2 3, 0) ， ( 3, 3) ．3 + x 3 + yyC设点 P 的坐标为(x , y ) ，则点 M 的坐标为( , ) ，所以2 2 M| BM | 2 = (3 + x - 2 3)2 + (3 + y )2 = 1 [(x - 3 3)2 + ( y + 3)2] ．而 2 2 4 P(x - 3 3)2 + ( y + 3)2 表示点 P 到点(3 3, -3) 的距离，其最大值为(3 3)2 + (-3)2 +1 = 7 ．从而| BM | 2 的最大值为 49．4ABxBM = (BQ + AP )2 2 1 CM QC QMAP 若设点 P 的坐标为(cos θ ,sin θ ) ，则| BM | 2 = 1 [37 + 12sin(θ + π)] ，亦可4 3得出答案．思路 3．如图，根据中位线定理，MQ ∥AP ，且 MQ = 1 AP = 1， 2 2 故点 M 在以 Q 为圆心，1为半径的圆上，从而|BM |的最大值 B2为3 + 1 = 7．2 2 Ⅲ 展望高考中的三角与向量2019 年高考，三角与向量的考查方式与难度设置如何？ Ⅳ 自我测试与评价（见附页）。