冲刺985讲义：三角与向量

三角与向量的主要知识点2.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） (1)周期性 ①函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ωπ2=T② 函数)tan(ϕω+=x A y 的周期是ωπ=T （2）单调性．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；（3）奇偶性①)sin(ϕω+=x A y 为奇函数)(Z k k ∈=⇔πϕ)sin(ϕω+=x A y 为偶函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ②)cos(ϕω+=x A y 为奇函数)(2Z k k ∈+=⇔ππϕ)cos(ϕω+=x A y 为偶函数)(Z k k ∈=⇔πϕ（4）对称性把x ωϕ+看作一个整体，由x y sin =的对称性得)sin(ϕω+=x A y 的对称性 由x y cos =的对称性得)cos(ϕω+=x A y 的对称性，由x y tan =的对称性得)tan(ϕω+=x A y 的对称性（5）)sin(ϕω+=x A y 图像的画法①五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图：设ϕω+=x t ，取0、2π、π、23π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

②变换法画图：可以先平移再伸缩，也可以先伸缩再平移，但需要注意的是每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

2．函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定，基本思路是把x ωϕ+看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解；3.三角函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。

高三数学期末复习讲义——三角与向量1.已知ABC ∆中的内角为,,A B C ，重心为G ，若2s i n 3s i n 0A G A BG B C G C ⋅+⋅+⋅=，则cos B = .2.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六 条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中x，y分别为原点O 到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a xb y+ 的形式﹐则a b +的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.在三角形ABC 所在平面内有一点P 满足222222PA BC PB CA PC AB +=+=+ 则P 点是三角形ABC 的 心。

4.已知⎩⎨⎧=+--=+-+0cos sin cos cos 10sin sin sin cos 1βαβαβαβα，则sin α的值为 .5.定理：三角形的外心O 、重心G 、垂心H 依次在同一条直线（欧拉线）上，且13OG OH =，其中外心O 是三条边的中垂线的交点，重心G 是三条边的中线的交点，垂心H 是三条高的交点．如图，在△ABC 中，AB AC >，AB BC >，M 是边BC 的中点，AH ⊥BC （N 是垂足），O 是外心，G 是重心，H 是垂心， 1OM =，则根据定理可求得OG HN ⋅的最大值是 ．6.已知O 为ABC ∆的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足CO AB BO CA ⋅=⋅。

（1）推导出三边,,a b c 之间的关系式；（2）求tan tan tan tan A AB C+的值。

ACMN H O G7.在△OAB 的边OA ,OB 上分别有一点P ,Q ,已知||:||＝1:2, ||:||＝3:2,连结AQ ,BP ,设它们交于点R ,若＝a ，＝b . (1)用a 与 b 表示OR ；(2)过R 作RH ⊥AB ,垂足为H ,若| a |＝1, | b |＝2, a 与 b 的夹角],32,3[ππ∈θ的取值范围.8. 如图已知△ABC 中，AB=l ，AC=2，∠BAC=120°，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足∠MAN=30°，3AM AN=⋅(点A 、M 、N 按逆时针方向排列)。

高考数学文科生高效提分热点解读之三角函数与平面向量佚名高考是人生的一种阅历，一次考验，更是一次锻炼。

不是有人说，没有历经过高考的人生是不完整的人生。

在高考中，要取得理想的效果，其数学效果起到关键的作用。

距离高考还有不到40天了，这个时分是冲刺的黄金阶段。

如何抓好这个时间段的温习至关重要，针对大少数文科考生来说，毋容置疑，其单薄环节就是数学。

那么作为文科生考前数学应怎样温习？考前提分的关键又何在？热点二三角函数与平面向量三角函数与平面向量在高考中的题量大致是三小一大，分值约为28分。

从近几年的高考来看，三角函数小题的命题热点有：一是应用诱导公式、同角三角函数的基本关系及特殊角的三角函数值的求值效果〔容易题〕；二是应用两角和与差的三角函数公式求值或化简三角函数式后求周期、单调区间、对称轴或对称中心〔中档题〕；三是三角函数的图像和性质的综合运用〔属于中档偏难题〕。

平面向量的命题热点是：一为向量的坐标运算〔容易题〕；二为向量的几何运算〔中档题〕；三为向量与函数、三角函数、不等式的综合题〔属于中档偏难题〕。

在温习中要多加留意三角函数公式与正余弦定理、三角形面积公式的联络及变形技巧，注重三角函数式中角与角的差异，思索函数称号间的差异，经过火析化异为同，要能熟练作出三角函数的图像，同时关注数形结合的思想在解题中的作用。

以及经过树立直角坐标系将向量的几何运算代数化，而应用三角形法那么战争行四边形法那么将平面向量的代数运算用几何方式来表达。

考点1三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质是高考考察的重点，三角函数的图像是处置三角效果的重要工具，正确应用〝五点法〞〔三个平衡点，两个最值点〕作出三角函数的简图是解题的关键，函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕、f〔x〕=Acos〔ωx+φ〕及f〔x〕=Atan〔ωx+φ〕可经过〝五点法〞来决议A,ω,φ的值。

考点2三角恒等变换三角恒等变换的基本公式是诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式，其中同角三角函数的基本关系和二倍角的三角函数公式的变方式的运用。

专题31 “形影不离”的三角与向量的综合问题考纲要求:1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 基础知识回顾:1．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2，或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22.(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin (α±β)＝sin αcos β ± cos αsin β；cos (α∓β)＝cos αcos β ± sin αsin β； tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝αα2tan 1tan 2-.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2. 4．辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，其中sin ϕ＝b a 2＋b2，cos ϕ＝aa 2＋b 2.5.正弦定理及变形：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．变形：(1) a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2) a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C . 6．余弦定理及变形：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab .应用举例:类型一、向量与三角函数相结合【例1】【2017年全国普通高等学校招生统一考试数学江苏卷】 已知向量a =（cosx ,sinx ）, (3,3=-b , []0,πx ∈. （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时， ()f x 取到最大值3； 5π6x =时， ()f x 取到最小值23-.（2）()()(πcos ,sin 3,33cos 3sin 23cos 6f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭. 因为[]0,πx ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 从而π31cos 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是，当ππ66x +=，即0x =时， ()f x 取到最大值3； 当π6x π+=，即5π6x =时， ()f x 取到最小值3-点睛:（1）向量平行： 1221a b x y x y ⇒=P ， ,0,a b b R a b λλ≠⇒∃∈=P ，BA AC OA λ=⇔=u u u v u u u v u u u v111OB OC λλλ+++u u u v u u uv ；（2）向量垂直： 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=；（3）向量加减乘： a b ±= ()221212,,||,cos,x x y y a a a b a b a b ±±=⋅=⋅．【例2】【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】 已知向量()23cos ,2m x =-v， ()2sin ,cos n x x =v， ()f x m n =⋅v v． （1）当8x π=时，求()f x 的值；（2）若,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()31f x =，求cos2x 的值．【答案】(1)6228fπ--⎛⎫=⎪⎝⎭；(2)3cos2x=-．类型二、向量与解三角形相结合【例3】【湖北省部分重点中学2018届高三起点考试】已知，其中，，．(1)求的单调递增区间；(2)在中，角所对的边分别为，，，且向量与共线，求边长b和c的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析; （1）根据向量数量积的公式进行化简得到的解析式，再结合三角函数的辅助角公式进行转化求解，由正弦函数的单调区间可求的单调递增区间．（2）根据条件先求出A的大小，结合余弦定理以及向量共线的坐标公式进行求解即可．【例4】【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】的内角所对的边分别为，已知向量，，.（1）若，，求的面积；（2）求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．试题解析：（1）∵∴∵∴由得，∴∴（2）点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 方法、规律归纳:1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 2.利用向量解三角形问题的一般步骤为：第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系； 第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形； 第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答． 实战演练:1．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】已知向量33cos2,1cos ,a b αα⎛⎛==- ⎝⎭⎝⎭v v . （1）当//a b vv 时，求cos α的值；（2）当1cos 2α=-时， ()21,3x a t b y ka tb =+-=+v vv v (,k t 为实数），且x y ⊥，试求kt 的最小值.【答案】(1) cos 0α=或1cos 2α=;(2) 132-.中，角A, B, C所对的边为a, b，2．【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试】在ABCc ,()()2sin ,cos m x A x =-r，()()sin ,1n B C =+r， ()f x m n =⋅r r ，若3A π=（1）求函数()f x 的图象的对称点；（2）若7a =,且ABC ∆的面积为103，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）7,06k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）20.（2）113sin 10340222ABC S bc A bc bc ∆==⋅== ()222212cos 49222a b c bc A b c bc bc =+-⇒=+--⋅ ()23b c bc =+- ()212013b c b c =+-⇒+=∴71320ABC C a b c ∆=++=+=.3．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考】已知向量()2,sin m α=v ， ()cos ,1n α=-v，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥v v .（1）求sin2α和cos2α的值； （2）若()10sin 10αβ-=，且0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β. 【答案】（1）4sin25α=， 3cos25α=-；（2）4πβ=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由二倍角公式即可得解；（2）由()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：4．【河南省南阳市2017年秋期高中三年级期中】已知向量()()[]cos ,sin ,3,3,0,a x x b x π==-∈r r.（1）若//a b rr ，求x 的值；（2）记()f x a b =⋅rr ，求函数()y f x =的最大值和最小值及对应的x 的值.【答案】（1）56x π=；（2）0x =时()max 3f x =； 56x π=时()min 23f x =- 【解析】试题分析：（1）根据向量的平行即可得到3cos 3sin x x -= ， 3tan 3x =-，问题得以解决；（2）根据平面向量的数量积公式和两角的正弦公式可得()23cos 3sin 23sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭r r ，再利用余弦函数的性质即可求出结果.试题解析：（1）()()[]cos ,sin ,3,3,0,,//a x x b x a b π==-∈r Q r rr ，3cos 3sin x x ∴-=即35tan ,36x x π=-∴=. （2）()23cos 3sin 23sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅=-=+⎪⎝⎭r r []2250,,,333x x ππππ⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦Q ∴当2233x ππ+=时，即时()max 3f x =； 当2332x ππ+=，即时()min 23f x =-.5．【江西省宜春昌黎实验学校2018届高三第二次段考】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()21,2,cos2,cos 2A m n A ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 1m n ⋅=. (Ⅰ) 求角A 的大小；(Ⅱ) 若223b c a +==ABC 为等边三角形. 【答案】(1) 3A π=；(2)见解析.因为1m n ⋅=，所以22cos cos 1A A +=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-． 因为0A π<<，所以3A π=． (Ⅱ)在△ABC 中， 2222cos a b c bc A =+-，且3a =所以222221322b c bc b c bc =+-⋅=+-， ① 又23b c +=，所以23b c =， 代入①整理得22330c c -+=，解得3c =所以3b =3a b c ===，即ABC V 为等边三角形．点睛：利用向量的数量积转化为关于cos A 的一元二次方程，继而求出角A 的大小，在遇到边长的数量关系时可以运用正弦定理或者余弦定理求得边长，证得三角形形状。

2014届高三数学《考前指导》专题三三角函数、平面向量（本专题内容来自必修4、必修5）一、知识归纳三角部分1、应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀确定三角函数名称和判定三角函数值的符号。

2、在运用两角和、两角差、二倍角的相关公式时，注意观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，如tg +tg tg(+)=1tg tg αβαβαβ-的变形tg +tg =tg(+)(1)tg tg αβαβαβ-, 二倍角公式22cos2cos sin ααα=-2212sin 2cos 1αα=-=-的变形21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=等。

3、常用的三角变换① 角的变换：主要是将三角函数中的角恰当变形，以利于应用公式和已知条件：如2α=(α+β)+(α-β)2β=(α+β)-(α-β)α=[(α+β)/2]+[(α-β)/2],β=[(α+β)/2]-[(α-β)/2]2α=2α/2=(α+β-β)②函数名称变换：主要是切化弦、弦化切、正余弦互换、正余切互换。

③ 公式的活用主要有公式的正用、逆用、变形用。

通过适当的三角变换，以减少函数种类及项数，降低次数，使一般角化为特殊角。

注意切割化弦通分、降幂和升幂等方法的使用，充分利用三角函数值的变式，如，1=tan450，-1=tan1350,=tan600,=cos600或=sin300,sinx+cosx=2sin(x+),创造条件使用公式。

4、三角函数的图像与性质⑴“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0)的简图，掌握选取起关键作用的五个点的方法：设X=ωx+φ,由取0，π/2，π，3π/2，2π来求相应的x 值，及对应的y 值，再描点作图。

⑵掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图像与函数y=sinx 的图像之间互相交换，提倡先平移后压缩(伸展)，但先压缩(伸展)后平移也经常出现现在题目中，所以也必须熟练掌握。

三角函数、平面向量知识点概述河南汤阴一中 高三数学组A 、三角函数一、弧度制1、1弧度是指 。

2、弧度制下的弧长公式为 l = ，扇形的面积公式为S= ;它们是如何推导的？3、弧度与角度的换算 rad _____1= _________1≈=rad4、终边相同的角的集合各象限角的集合坐标轴上的角的集合角α与β角终边关于 x 轴对称，则 ；角α与β角终边关于 y 轴对称，则 。

二、三角函数线1、 画出单位圆中四个象限角的正弦线、余弦线、正切线2、 能够利用三角函数线解三角不等式（即求角的范围）例如：已知cos α21≤,sin 21-≥α, 求α的取值范围。

表示为： 。

5、任意角的三角函数定义6、三角函数的定义域四、“α±2”（k α∈）与α的三角函数间的关系可以概括为： ，其中的“奇、偶”是指__ 的奇偶性，符号是把 看作 时，απ±2k （k α∈）所在象 限原名函数值的符号，变是指：原名正弦变为 ；原名余弦变为 。

五、三角函数的图象1、 用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象，这五点的坐标为 。

2、 (1)y=sinx 定义域_____值域______增区间____________减区间________。

(2)y=cosx 定义域_____值域__________增区间___________减区间_________.(3)y=tanx 定义域_________值域________增区间_____________(4)奇偶性：y=sinx _______y=cosx ________y=tanx______3、y=Asin()0,0)(>>+ωφωA x 振幅_____周期______频率_____相位_____初相_____4、 三角函数图象写表达式时，一般先求A 、ω，最后求ϕ，求ϕ时一般用5、 图象的变换：写出y=sinx 到y=2sin(2x-6π)的两种不同顺序的变换。

第2讲三角函数的图像与性质学问与方法本专题主要学问为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、相识性质,并要驾驭好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的探讨,教材实行先探讨某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法支配内容. 1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线探讨正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点探讨函数的性质.(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点);（2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特殊留意“每一个值”的要求;(3)正切曲线是被相互平行的直线,2x k k ππ=+∈Z 所隔开的多数支曲线组成的,正切曲线的对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要留意以下几点.(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.(2)理解并驾驭函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换.详细: : (0) (0)sin sin() || y x y x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度()()011sin()1y x ωωωϕω<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）()()101sin()A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）留意,若周期变换在前,则一般公式为 sin sin[()]sin(), ||y xy x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度sin sin sin()y xy x x ϕωωωϕϕωω⎡⎤⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T πω=叫做周期,1f T=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要娴熟把握三角函数图使的形态特征,并能借典型例题【例1】求函数y .【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.【解析】利用cos y x =的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期[,]ππ-内,满意1cos 2x 的解为33x ππ-,故所求函数的定义域为 {}|22,33x k x k k ππππ-++∈Z .图1图2【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义x 的的取值范围,易错误提示：当列出有关tan x 的式子时,应留意其中隐含的条件. 如解3tan 3x,利用tan y x =的图象(图3)或单位圆(图4)得,,62x k k k ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣⎭Z【例2】函数()(1)cos f x x x =+在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如()sin()f x A x ωϕ=+的式子在某一区间上的值域.【解析】由已知得()(1)cos cos 2sin6f x x x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭. 因为33x ππ-,所以662x πππ-+,所以1sin 126x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,所求值域为[1,2]-.【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式,再利用正弦函数的性质可得所求的值域,解题时要留意定义域的范围和A 的符号.【例3】已知1sin sin 3x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数sin y -2cos x 的值域问题.一般解法为消元,依据已知条件将sin y 用sin x 表示,利用三角函数的基本关系式将2cos x 用sin x 表示,所求的式子昁般化为关于sin x 的二次式,其中整理得到22111sin cos sin 212y x x ⎛⎫-=--⎪⎝⎭,最终利用sin x 的取值范围,结合二次函数图象进行求解. 【解析】因为1sin sin 3x y +=,所以1sin sin 3y x =-.函数()222212111sin cos sin 1sin sin sin sin 33212y x x x x x x ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭.又因为1sin 1y -,所以121sin 1,sin 133x x ---.当2sin 3x =-时,2sin cos y x -取最大值49.【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式2sin cos y x -转化为关于sin x 的二次式,这里确定sin x 的取値范围2sin 13x -是一个易错点.事实上sin 1x =-不成主,否则sin y 413=>,冲突.【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.【分析】令sin cos x x t +=,借助sin ,cos x x 的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于t 的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.【解析】令sin cos x x t +=,则[4t x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.对sin cos x x t +=平方,得212sin cos x x t +=,所以21sin cos 2t x x -=.所以2211(1)122t y t t -=+=+-,值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】三角函数运算中和(sin cos )x x +、差(sin cos )x x -、积(sin cos )x x 存在着亲密的联系.如2222(sin cos )12sin cos ,(sin cos )(sin cos )2,(sin cos )x x x x x x x x x x ±=±++-=+2(sin cos )4sin cos x x x x --=等.在做题时要害于视察,进行相互转化.本题在换元时,留意[t ∈. 【例5】函数sin 2cos xy x=+的最大值是_______.【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数sin cos a x b y c x d +=+,可用反解和三角函数的有界性求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何㫿义求解. 【解析】解法1：（反解与有界性)去分母可得2cos sin y y x x +=,所以sin cos 2x y x y -=,)2,sin()x y x ϕϕ+=+=其中tan y ϕ=-.由三角函数的有界性知|sin()|1x ϕ+,1,解得33y.解法2：斜率的几何意义) 将sin 2cos xy x =+化为sin 0cos (2)x y x -=--,y 可看作动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,0)A -连线的斜率k .易得(cos ,sin )P x x 在单位圆221x y +=上,且2yk x =+, 单位圆221x y +=的圆心O 到直线(2)y k x =+的距离1d =, 可得2133,333k k-.解法3：(代数法)由22(2),1y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214410k x k x k +++-=. 令()()4221641410k k k ∆=-+-,可得2133,333kk-.解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式)因为()22222222sin cos 2sin cos 2tan sin 222222cos 3cos sin 3tan 2sin cos cos sin 2222222x x x x xx y x x xx x x x x ====+++++-. (分子分母同除以2cos 2x )要使函数sin 2cos xy x =+最大,则tan 02x >.从而22tan 2223233tantan 22tan 2xy xx x===++当且为当tan 2x =.故所求的解法5：由【解析】4得22tan 23tan 2xy x=+,将其化为2tan 2tan 3022x x y y -+=.当0y =时,tan 02x =,成立;当0y ≠时,tan 2x ∈R ,则4430y y ∆=-⋅,得213y .【点睛】本题考查分式型函数sin cos a x b y c x d +=+最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、几何的统一.【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求： （1）函数()f x 的单调递减区间.(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.【分析】本题探讨三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质,在求单调区间时,一般将ωτϕ+看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时留意,A ω的符号对增减的影响.【解析】(1)原函数化为()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,求函数()f x 的单调递减区间等价于求y =sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.令222,232k x k k πππππ--+∈Z ,解得5,1212k x k k ππππ-+∈Z .故函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)函数()f x 的单调递䧕区间与区间[,0]π-取交集即可.函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,经分析可得k 只能取0和1-.故()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间为,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式()sin()f x A x ωϕ=+,应留意ω>0,把x ωϕ+看作一个整体,依据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若要求某一个区间上的单㑉区间,则对通解中的k 进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一条对称轴方程是（）A.12x π= B.6x π= C.512x π= D.3x π= 【分析】本题已知函数()f x 的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步探讨其图象对称轴方程的求法.【解析】1结合函数()f x 的周期公式22T πω=,得1ω=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于函数在对称轴处取到最值,将选项代人()f x 的【解析】式检验即可,故选 C. 【解析】2由【解析】1知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令2()32x k k πππ-=+∈Z ,解得5()212k x k ππ=+∈Z .所以直线512x π=是()f x 图象的一条对称轴,故选 C.【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得ω的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是干脆求出对称轴方程;另一种是依据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则实数a =______.【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.【解析】解法1：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即12=+,解得a =解法2:若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则21(0),132f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得a解法3：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3x π=对称,则3f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.又()(sin cos )cos sin f x a x x a x x '=+'=-,即cos sin 033a ππ-=,解得a .故【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关䱓是求a 的值,由图象关于直线x =3π对称得33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求求a 的值,过程比较困难.若换用特殊值点来求,小2(0)3f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,留意()()f a x f b x -=+,则()f x 的图象关于直线2a b x +=对称;而()y f a x =-与()y f b x =+的图象关于直线2a bx -=对称. 【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于随意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12x x -的最小值为（）A.4πB.2πC.1D.2【分析】本题考查三㓩函数定义,三角函数周期的求法,以及计算实力和理解实力.【解析】由题意知()1f x 和()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值,故12x x -的最小值为函数的半周期.又周期2T =,故12x x -的最小值为1.答案为C .的最小值就是函数的半周期,求解即可.*一般地,函数12()sin sin f x x x ωω=+的周期为112T πω=和222T πω=的最小公倍数,但函数()sin 2sin f x x x π=+不是周期函数,不存在周㖵.易错警示:考虑到|sin |,|cos |x x 的周期均为π,则|sin ||cos |y x x =+的周期为π.此为错误会法.【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五点法”作出它的图象.(3)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到? 【分析】熟识三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.【解析】(1)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的振幅为2、周期为π、初相为3π. (2)列表如下.所作图象如下.(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度,得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解法2：(先伸缩后平移)先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;再将图象向右平移12π个单位长度,得sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭;最终将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象,以“五点法”作图求解最为便利,但必需清晰它的图象与函数sin ,cos y x y x ==图象问的关系,弄清怎样由函㪇sin ,cos y x y x ==图象变换得到.要留意,在不同的变换中依次可以不同,平移的单位长度可能不同.【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个周期的图象如图所示.(1)写出解析式.(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.【分析】本题为已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求ϕ.【解析】(1)由图象知振幅32A =,周期T π=,所以22T πω==,所以3sin(2)2y x ϕ=+.代人初始点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得22,2,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪⎝⎭Z .又||2πϕ<,所以3πϕ=,函数的解析式为3sin 223y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. (2)令232x k πππ+=+,得212k x ππ=+,对称轴方程为()212k x k ππ=+∈Z . 令23x k ππ+=,得26k x ππ=-,对称中心坐标为,0()26k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (3)令222232k x k πππππ-++,得51212k x k ππππ-+.所以函数的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .令3222232k x k πππππ+++,得71212k x k ππππ++.所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,留意,A ω对ϕ影响,进而由sin y x =探讨sin()y A x ωϕ=+的性质. 【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,则ω=________________.【分析】由三角函数的图象和性质确定参数的值.【解析】因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,所以36Tππ-,故26ππω,所以12ω.又直线4x π=为函数()f x 图象的一条对称轴,且14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故2432k πππωπ+=-,所以()1083k k ω=-∈Z . 结合012ω<知,143ω=. 【点睛】由三角函数的图象和性质确定参数的值,留意区间范围.【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+-,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（ ） A.[]4,2-- B.[]2,0- C.[]0,2D.[]2,4【分析】由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.【解析】解法1：画出函数()4sin 21y x =+与y x =的图象,它们在区间[]4,2--上没有交点.故选A.解法2：考虑方程()4sin 21x x +=在指定区间上是否有解.令21x t +=,则12t x -=. 考虑方程1sin 8t t -=在区间][][][7,3,3,1,1,5,5,9⎡⎤---⎣⎦上是否有解.作图发觉函数sin y t =和18t y -=的图象在区间[]7,3--上无交点,从而方程()4sin 21x x +=在区间[]4,2--上无解.故选A.【点睛】将求方程()()0f x g x -=的根变换为求()y f x =和()y g x =图象的交点.强化训练1.求函数lg(sin )y x =-.【解析】定义域为sin 0,tan 1.x x <⎧⎨⎩由sin 0x <得角x 的终边位于图中的x 轴下方;由tan 1x 得角x 的终边位于图中的阴影部分(包含y x =).2.在函数的一个周期[)0,2π内,满意以上两个条件的x 的范围是53,242xx ππππ<<<. 故定义域为5224xk x k ππππ⎧+<+⎨⎩∣或3222,2kx k k ππππ⎫+<<+∈⎬⎭Z2.已知cos3y a b x =-的最大值为32,最小值为12-,求实数a 与b 的值.【解析】当0b <时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b -=+=-, 解得1,12a b ==-. 当0b >时,因为cos3y a b x =-的最大值为32、最小值为12-, 所以31,22a b a b +=-=-,解得1,12a b ==. 当0b =时,cos3y a b x =-不满意条件. 综上所述,1,12a b ==-或1,12a b ==. 3. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为___________.【答案】4,09【解析】由223sin 2sin 2sin x y x +=得223sin sin sin 2y x x=-所以2222111sin sin sin sin (sin 1)222x y x x x +=-=--+. 由于223sin sin sin 02y x x =-,由已知条件知sin 0x ,所以32sin 10,sin 0,23x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦, 故222114sin sin (sin 1)0,229x y x ⎡⎤+=--+∈⎢⎥⎣⎦4. 函数sin cos (0)sin cos 1x x y x x x π=<<-+的值域是________.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】令sin cos x x t -=,则4t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为0x π<<,所以3444x πππ-<-<,sin 124x π⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,则12t -<.对sin cos x x t -=平方得212sin cos x x t -=,所以21sin cos 2tx x -=.所以()211212t t y t --==+,值域为1,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.5. 函数2sin 1sin 2x y x +=-的值域是________.【答案】13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】解法1:(反解表示与有界性)去分母可得sin 22sin 1y x y x -=+,即12sin 2yx y +=-. 由三角函数的有界性知,1212yy +-,整理得23830y y +-,解得133y-.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：(常数分别法)函数2sin 152sin 2sin 2x y x x +==+--.因为1sin 1x -,所以3sin 21x ---,111sin 23x ---,则133y -.故值域是13,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.6. 已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求ω的取值范围.【解析】解法1:函数2sin y x ω=在区间,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,故0ω>且23ππω,从而302ω<.解法2：由题意知0ω>.因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以,32,,,3422,42x ωππωπωπππωωππ⎧--⎪⎪⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩即3,22,ωω⎧⎪⎨⎪⎩故302ω<. 7.若函数()sin ([0,2))3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（）A.2πB.23πC.32πD.53π【答案】C【解析】()f x 为偶函数,函数()f x 的图象关于直线0x =对称,则()3,3322k k k ϕπππϕπ=+=+∈Z . 又[)0,2ϕπ∈,得32πϕ=.故选C.8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4x π=处取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】C【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-图象的对称轴是直线4x π=,则()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭,得b a -=,所以()sin cos sin 4f x a x a x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.所以()3sin sin 4f x x x ππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭为奇函数且其图象关于点(),0π对称. 故选C9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________. 【答案】1972π【解析】至少须要1494个周期,即11972197491,442T ππωω⨯=⨯. 10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不行能是（）【答案】D【解析】对于选项A ,可得振幅01a <<,则周期22T aππ=>;对于选项B ,可得当振幅1a >时,周期2T π<;对于选项C ,可得0a =,图象符合;选项D 不符合要求,它的振幅1a >,则2T π<,但周期反而大于了2π.故选D.11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.A.向右平移4π个单位长度B.向左平移4π个单位长度C.向右平移12π个单位长度D.向左平移12π个单位长度【分析】本题为已知三角函数()1sin y A x ωϕ=+与()2sin y A x ωϕ=+,探讨两者图象间的变换问的.【解析】sin3cos333412y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.先将函数名变为相同,3326y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,再将其图象向右平移12π个单位长度即可.答案为 C.【点睛】将sin y x ω=变换为sin()y x ωϕ=+时,留意先提取ω,得x x ϕωϕωω⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,即ysin()sin x x ϕωϕωω⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,函数名化相同.进行平移变换应留意平移对象、函数名和平移量.12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是________________. 【答案】302ω-< 【解析】由题意知0ω<,且一个单调递减区间为,22ππωω⎛⎫-⎪⎝⎭,故23ππω-.于是302ω-<.13.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则123x x x ++=________________.【答案】73π【解析】2sin 3x a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ,结合函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上的图象可知,当a =时,恰有三个解.不妨设123x x x <<,其中12,x x 关于直线6x π=对称,32x π=,所以12373x x x π++=.。

高一数学复习讲义向量、三角变换一、知识感悟（具体知识点详见前复习讲义）1．向量作为数学工具，在前几年的高考命题中，主要考查用向量知识解决夹角和距离等问题，随着新课标的推行和普及，在高考命题中，本内容将会越来越受重视，用向量知识解决物理问题，进行学科之间的交叉和渗透也是将来的一种命题趋势。

（1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小。

正确理解向量的有关概念是解决向量基本题的关键，需注意零向量等特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可。

向量的基本运算可以类比于物理矢量作图和运算。

（2）向量的共线定理和基本定理是向量章节的核心内容，特别是基本定理，需要理解其本质（即物理中力的分解），用基底表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果。

（3）平面向量的数量积是向量的核心内容，高考的一个命题点，重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题。

（4）向量的坐标表示，其原理是平面向量的基本定理，其实质是把向量问题转化为实数的运算问题，其核心是数形结合；向量解题首先得确定选择何种向量（纯向量、坐标形式）来解题。

（5）用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论。

要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件及几何性质的应用。

2．解答三角恒等变换问题，首先要求熟练记忆公式，并通过一定的训练提高恒等变形能力，三角求值是今后高考命题的重点内容；三角恒等变换主要涉及三类题目：化简、求值和证明，具体使用公式常有三用：正用、逆用、变用。

3．三角函数式的变换要遵循“三看”原则。

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有项数尽量少，次数尽量低，尽量不含分母，尽量不含根式等。