三角与向量综合

一、复习要点1.掌握三角函数的图象、性质和恒等变换，会运用正、余弦定理解三角形；2.理解平面向量的代数和几何意义，会解决平面向量与解三角形、三角函数交汇的综合问题. 二、考点展示1．（13·四川）设),2(,sin 2sin ππααα∈-=，则=α2tan .2．（13·山东）将函数)2sin(ϕ+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 .3. (13·福建)如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，322sin =∠BAC ，23=AB ，3=AD ，则BD 的长为 .4. (13·浙江) 设21,e e 为单位向量，非零向量21e y e x +=， R y x ∈,.若21,e e 的夹角为6π的最大值等于 .三、典型例题例1. (1) (12·江苏) 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2) (13·湖南) 已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1， 则|c |的取值范围是 .变式1 (1) (13·济南模拟)已知A B C ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3+4+5=0，则⋅的值为 .(2) 已知a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(c －a )·(c －b )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为 .例2．已知向量)23sin ,23(cosx x a =，)2sin ,2(cos x x b -=，且]2,0[π∈x .⑴ 求⋅+⑵ 若x f -⋅=2)(23-，求λ的值.变式 2 已知二次函数)(x f 对任意R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+成立. 设向量)2,(sin x =，)21,sin 2(x =，)1,2(cos x =，)2,1(=.当],0[π∈x 时，解不等式)()(f f ⋅>⋅.四、课堂总结五、巩固练习1.（13·安徽）若非零向量，b +==，则与b 夹角的余弦值为 .2．（13·全国Ⅱ）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=b ，6π=B ，4π=C ，则ABC ∆的面积为 .3. 若向量a ，b ，c ， d 满足：|a |＝1，|b |＝2，b 在a 方向上的投影为12，(a －c )·(b －c )＝0，|d －c |＝1，则|d |的最大值为________．4.（13·重庆）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→. 若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是 .5. 如图所示，向量i ， j ，e 1， e 2均为单位向量，且i ⊥j ，e 1⊥e 2 . ⑴ 用i ， j 表示e 1， e 2；⑵若→OP=x i +y j ,且xy=1； →OP=x 1 e 1+y 1 e 2 .当θ= π4时，求关于x 1 、y 1的表达式，并说明方程表达的曲线形状.6. 设平面向量→a = (3，－1) ，→b = (12 ，32)，若存在实数m （m ≠0）和角θ（θ∈(－2π,2π)），使向量→c =→a ＋(tan 2θ－3)→b ，→d =－m →a ＋(tan θ)→b ，且→c ⊥→d . ⑴ 试求函数m =f (θ)的关系式；⑵ 令t = tan θ，求出函数m = g (t )的极值.1 e i。

向量与三角形四心的关系三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。

作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。

使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。

一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。

在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。

一、线共点问题。

解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。

=例1、用向量法求证：△ABC 的三条高共点.分析：得BC 与AC 边上的高AD 与BE 交于H ，连接CH ，只要证明CH ⊥AB 即可。

因此，关键是选好基向量. 设l =，m =，n =，则 由⊥，⊥得 ()()()⎩⎨⎧=-⋅=-⋅⋅=⋅=-⋅000l m n l n m n l n l 即由此得 ∴CH ⊥AB ，同理，BC AH ⊥得证。

类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。

(2)三角形的三条中线交与一点。

二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若-=+，则点O 是△ABC 的重心。

分析：利用-=+及加法的平行四边形法则可证。

拓展：若()AC AB OA OP ++=λ，λ∈(0，+∞)，则点P 的的轨迹一定是△ABC 的_______心。

(重心)例3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，若·=·=·，则点O 是△ABC 的垂心。

分析：·=·得·==0，∴OB ⊥AC 同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB 可证。

拓展1：已知O 是△ABC 平面上一定点，若=+λ⎫⎛+C AC B AB cos cos ，λ∈（0，+∞），则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的_______心。

三角函数和向量的综合复习要点：1、 熟练应用三角恒等变换和向量数量积等公式2、 三角函数和向量综合问题的处理思路典例剖析：1、已知向量.1,43),1,1(-=⋅=且的夹角为与向量向量π （1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x ==向量，其中R x ∈，若0=⋅，试求||+的取值范围.2、已知向量552sin ,(cos ,sin ,cos =-==b a ββαα）（ （1）求)cos(βα-的值 （2）若02,20<<-<<βππα且135sin -=β，求αsin 的值3、 已知向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==2,0)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos πx x x b x x a 且向量。

求（1）+⋅；（2）若x f +-⋅=2)(的最小值是23-，求实数λ的值。

4、已知函数2()2cos2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．17题、如图，函数y=2sin(πx+ϕ),(x ∈R)（其中0≤ϕ≤2π）的图象与y 轴交于点（0，1）；①、求ϕ的值；②、设P 为图象上的最高点，M ，N是图象与x 轴的交点，求→PM 与→PN 的夹角。

课后作业：1、已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==- ,且0.m n ⋅=(Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.2、已知向量)1,2sin 2(cos .22x x a -=)sin ,1(.x b =，函数f (x )＝b a ⋅ (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x 0∈(0,4π)且f (x 0)＝524时，求f (x 0＋6π)的值.3、(山东17)（本小题满分12分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．4．（上海18）（本题满分15分）已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．5、如图在长方体ABCD 中，,,AB a AD b N == 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，2,1a b == ，（1）若M 是AB 的中点，求证：AN 与CM 共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得BD 与CM 垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P 在长方体ABCD 上运动，试求AP AB ⋅ 的最大值及取得最大值时P点的位置。

题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】 把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π6，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＝π2)的图象，则ϕ和B 的值依次为 （ ）A ．π12，－3B ．π3，3C ．π3，－3D ．－π12，3 【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为⎩⎨⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】 由平移向量知向量平移公式⎩⎨⎧ x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎨⎧ x ＝x '＋π6y ＝y '＋3，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C. 【解析2】 由向量→a ＝(－π6，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移π6个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y ＝sin2(x ＋π6)－3，即y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π3，B ＝－3，故选C.【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A 角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A 、B 、C 三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B 的表达式，再根据B 的范围求最值.【解】 （Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA ＋sinA)(cosA －sinA)，则sin 2A ＝34， 又A 为锐角，所以sinA ＝32，则A ＝π3. （Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos (π－π3－B)－3B 2＝2sin 2B ＋cos(π3－2B)＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π6)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π3，y max ＝2. 【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B 角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值． 【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan α2的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果． 【解】 （Ⅰ）∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sinα，cosα），→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故→a ·→b ＝6sin 2α＋5sinαcosα－4cos 2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan 2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－43，或tanα＝12． ∵α∈（3π2，2π），tanα＜0，故t anα＝12（舍去）．∴tanα＝－43． （Ⅱ）∵α∈（3π2，2π），∴α2∈（3π4，π）．由tanα＝－43，求得tan α2＝－12，tan α2＝2（舍去）．∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510【点评】 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法. 题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|→a |2＝→a 2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝255.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cos β即可.【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝255，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45， 将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cos αcos β＋sin αsin β)＋12＝45，∴cos(α－β)＝－35. (Ⅱ)∵－π2＜β＜0＜α＜π2，∴0＜α－β＜π， 由cos(α－β)＝－35，得sin(α－β)＝45， 又sin β＝－513，∴cos β＝1213， ∴sin α＝sin ［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365. 点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|→a －→b |为向量运算|→a －→b |2＝(→a －→b )2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】 设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f(π2)＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx ，由f(π2)＝2，得m(1＋sin π2)＋cos π2＝2，解得m ＝1. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx ＋cosx ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1， 当sin(x ＋π4)＝－1时，f(x)的最小值为1－ 2. 点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，a ＝23，且→m·→n ＝12． （Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值．（Ⅱ）求b ＋c 的取值范围．【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A 的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A 角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b 、c 的方程组求取b ＋c 的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B 的三角函数式，进而求得b ＋c 的范围.【解】 （Ⅰ）∵→m ＝(－cos A 2，sin A 2)，→n ＝(cos A 2，sin A 2)，且→m·→n ＝12， ∴－cos 2A 2＋sin 2A 2＝12，即－cosA ＝12， 又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝12bcsinA ＝3，所以bc ＝4， 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. （Ⅱ）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3， ∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π3)，∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4]. [点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b ＋c 没有利用分别求出b 、c 的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B 的范围.。

第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一．掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积,掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件,并且能熟练运用,掌握平移公式．注重等价转化、分类讨论等数学思想的渗透． 二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力．考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 三、课前训练1．把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是 （ ）(A)（1－y ）sin x +2y －3=0 (B)（y －1）sin x +2y －3=0 (C)（y +1）sin x +2y +1=0 (D) －(y +1)sin x +2y +1=02．函数y =sin x 的图象按向量a =（32π-，2）平移后与函数g （x ）的图象重合，则g （x ）的函数表达式是 （ ） （A ）cos x -2 （B ）-cos x -2 （C ）cos x +2 （D ）-cos x +23．已知向量a = (1，sin θ)，b = (1，cos θ)，则 | a - b | 的最大值为．4．如图，函数y =2sin(πx+φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）． 设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，则PM PN u u u u r u u u r与的夹角余弦值为 ．四、典型例题例1 已知a =（3sin ωx ，cos ωx ），b =（cos ωx ，cos ωx ）（ω>0），记函数f (x )= a · b ，且f (x )的最小正周期是π，则ω= （ ）(A) ω=1 (B) ω=2 (C) 21=ω ( D) 32=ω 例2 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则△OAB 的面积达到最大值时，=θ （ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π例3 设向量a r ＝(sin x ，cos x )，b r ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f(x)＝a r ·(a r ＋b r)．使不等式f (x )≥23成立的x 的取值集合为 ．例4 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则()OA OB OC ⋅u u u r u u u r u u u r+的最小值是 ．例5 已知函数f (x )=a +b sin2x +c cos2x 的图象经过点A （0，1），B （4π，1）,且当x ∈［0, 4π］时，f (x )取得最大值22－1．（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）是否存在向量m ，使得将f (x )的图象按向量m 平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m ;若不存在，说明理由．例6 已知向量m =(cos ,sin )θθ和n =sin ,cos ),(,2)θθθππ∈，且| m + n |=,5求cos()28θπ+的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 过关练习1．已知i r ，j r 为互相垂直的单位向量，2a i j =-r r r ，b i j λ=+r r r ，且||||a b r r与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）（A ）),21(+∞ （B ）)21,2()2,(-⋃--∞ （C ）),32()32,2(+∞⋃- （D ）)21,(-∞2．在直角坐标系中，O 是原点，OQ =(－2＋cos θ，－2＋sin θ) (θ∈R)，动点P 在直线x =3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 （ ）（A ） 4 （B ） 5 （C ） 26 （D ）263．已知||2||0a b =≠r r ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=r r r 有实根，则a r 与b r 的夹角的取值范围是 （ ）（A ）[0，6π] （B ）[,]3ππ （C ）2[,]33ππ （D ）[,]6ππ 4．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=u u u r u u u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ的取值范围是 （ ）（A ）112λ≤≤ （B ）11λ-≤≤（C ）1122λ≤≤+ （D ）1122λ-≤≤+ 5． 已知向量a r =(cos α，sin α)，b r =(cos β，sin β)，且a b ≠±r r ，那么a b +r r 与a b-r r的夹角的大小是 ．6． 已知向量].2,0[),2sin ,2(cos ),23sin,23(cos π∈-==x x x x x 且若||2)(x f +-⋅=λ的最小值为32-，则λ的值为 ．7．已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-u r(cos ,sin ),n A A =r 且 1.m n ⋅=u r r（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tanC ． 8．设函数f (x )=a b ⋅r r ，其中向量a r =(2cos x ，1)，b r=(cos x ，3sin2x )，x ∈R ．（Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ； （Ⅱ）若函数y =2sin2x 的图象按向量c r =(m ，n )(|m |<2π)平移后得到函数y =f (x )的图象，求实数m 、n 的值．第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用 参考答案课前训练部分1.C2.D3.4.1517典型例题部分例1 A例2 1111sin cos (1cos )(1sin )222ABC S θθθθ∆=----- 当2θπ=即2πθ=时,面积最大.例3 3,88x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭例4 如图,OM OA OC OB OA -≥-=⋅⋅=+⋅2)(=.222-=⋅- 即)(+⋅的最小值为:-2.例5 （Ⅰ）由题意知⎩⎨⎧=+=+,1,1b a c a ∴b =c =1－a , ∴f (x )=a +2(1－a )sin(2x +4π).∵x∈［0,4π］, ∴2x +4π∈［4π,4π3］.当1－a ＞0时，由a +2(1－a )=22－1, 解得a =－1; 当1－a ＜0时， a +2(1－a )·22=22－1,无解; 当1－a =0时，a =22－1，相矛盾. 综上可知a =－1. ∴f (x )=－1+22sin(2x +4π). (Ⅱ)∵g (x )=22sin2x 是奇函数，将g (x )的图象向左平移8π个单位，再向下平移一个单位就可以得到f (x )的图象. 因此，将f (x )的图象向右平移8π个单位，再向上平移一个单位就可以得到奇函数g(x )=22sin2x 的图象.故m u r =(8π，1)是满足条件的一个向量.例6 (cos sin sin )m n θθθθ+=-++u r rm n +=u r r由已知m n +=u r r ,得7cos()425πθ+=又2cos()2cos ()1428πθπθ+=+- 过关练习部分1.B2.C3.B4.B 5、2π6. 217（Ⅰ）∵1m n ⋅=u r r∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π= （Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =8．（Ⅰ）依题设可知，函数的解析式为f (x )=a b ⋅r r ＝2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +6π).由1+2sin(2x +6π)=1－3，可得三角方程sin(2 x +6π)=－23．∵-3π≤x ≤3π，∴-2π≤2x +6π≤65π，∴2x +6π=-3π，即x =-4π． （Ⅱ）函数y =2sin2x 的图象按向量c r=(m ，n )平移后得到函数y =2sin2(x －m )+n 的图象，即函数y =f(x)的图象.由（１）得 f(x)=2sin2(x +12π)+1. ∵|m |<2π，∴12m π=-， 1.n =。

向量和三角函数的基本概念与应用一、 向量的基本概念：1、 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量：2、 向量的表示：→AB 、→a 、区别于|→AB|、|→a |3、 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则★ 例题1、一艘船从A 点出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h ；求船实际航行的速度大小和方向。

（答案：4km/h ，方向与水流方向成60°角）★【※题2】①设O 为平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足→OP=→OA+λ(→AB+→AC),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( D )A 外心B 垂心C 内心D 重心 ②将上题中的条件改为→OP=→OA+λ( →AB |→AB| + →AC|→AC|)则应选( C )★ 例题3：（1）、化简下列各式：①→MN+→NM ；②→FD+→DE-→EF ；③→AB+→BC+→CA ；④（→AB-→DC ）+（→DA-→CB ）其中结果为0的有①③④（ 2）、在平行四边形ABCD 中，→AB=→a ,DB=→b ,则有:→AD=→a -→b ,→AC=→a +→a -→b4、 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示：① 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式：5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：★例1、已知平行四边形OADB 中，→OA=→a ,→OB=→b ,AB 与OD 相交于点C ，且|BM|=13|BC|，|CN|=13|CD|，用→a 、→b 表示→OM 、→ON 、和→MN 。

★ 例2、求证；G 为△ABC 的重心的充要条件是：→GA+→GB+→GC=0★例3、已知AD 、BE 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的中线，→AD=→a ,→BE=→b ，则→BC=____★ 例4、①已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若M,N,,P 三点共线，O 为坐标原点，且→ON=a 31→OM+a 2→OP(直线MP 不过点O ），则S 32等于多少？②（2006年江西高考）已知等差数列｛a n ｝的前n 项之和为S n ,若→OB=a 1→OA+a 200→OC,且=A,B,C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ）A 100B 101C 200D 201★例5、①若→a 的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则|→a |=_____② 已知→a =(1,2),→b =(x,1),且→a +2→b 与2→a -→b 平行，则x 之值为____③ 已知→a =(3,4),→a ⊥→b ,且→b 的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则→b 等于_____ ④ 已知点M （3，-2），N （-5，-1），且→MP=12→MN ，则点P 的坐标是____（答案：（-1，-32）巩固练习：（一）平面向量的坐标运算规律：①设→a =(x 1,y 1),→b =(x 2,y 2),则→a +→b =_________；→a -→b =__________,λ→a =______；②|→a |=→a 2 =x 12+y 12；又→a ²→b =|→a |²|→b |²cos<→a ,→b >=x 1x 2+y 1y 2则cos<→a ,→b >= →a ²→b |→a ||→b = x 1x 2+y 1y 2 x 12+y 12 ²x 22+y 22 ; ③若→a ∥→b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0; 若→a ⊥→b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0，★例1、 ① 已知→a =(3,5) → b=(2,3),→c =(1,-2),求（→a ²→b )²→c （答案：（21，-42））②已知→a =(3,-1),→b =(-1,2),则-3→a -2→b 的坐标为_____(答案:(-7,-1)) ③已知|→a |=4,|→b |=3,(2→a -3→b )²(2→a +→b )=61,求→a 与→b 的夹角.(为120°) ④已知|→a |=2,|→b |=9, →a ²→b =-542,求→a 与→b 的夹角.(为135°)★ 例2、①已知→a =(1,2),→b =(x,1)且→a +2→b 与2→a -→b 平行，则x=_____(答案:21)②已知|→a |=2,|→b |=1, →a 与→b 的夹角为3π,求向量2→a +3→b 与3→a -→b 的夹角的余弦值.(答案:2837 ²31 )；③已知向量→a =(cos α,sin α),→b =(cos β,sin β),且→a ≠±→b ,则→a +→b 与→a -→b 的夹角大小是____(90°)④已知向量→a 与→b 的夹角为120°,且|→a |=3,|→a +→b |=13 ,则|→b |=_____★例3已知→a =(1,2),→b =(-3,2),当k 为何值时,①k →a +→b 与→a -3→b 垂直?②k →a +→b 与→a -3→b 平行,平行时它们是同向还是反向?（解:①k=19; ②k=-1/3,反向.）★例4:①若向量→a +3→b 垂直于向量7→a -5→b ,且向量→a -4→b 垂直于向量7→a -2→b ,求向量→a 与→b 的夹角大小.(答案:60°)②已知向量→a =(2,7),→b =(x,-3),当→a 与→b 的夹角为钝角时，求出x 的取值范围；若→a 与→b 的夹角为锐角时，问x 的取值范围又为多少？（答案：为钝角时x<212≠-67; 为锐角时x>212)★例5、已知→a =(cos x 2,sin x 2),→b =(sin 3x 2,cos 3x2),x ∈[0,2π]，①求→a ²→b ；②求|→a +→b |，③设函数ƒ（x)=→a ²→b+2|→a +→b |，求出ƒ(x ）的最大值和最小值。

三角与向量Ⅰ认识高考中的三角与向量三角与向量，是现行课程标准和教材的基础和重点内容，每年高考都会考查，考查的规律和特点稳定而明确．1现行课程标准及教材中三角与向量的主要内容1.1课程标准明确具体内容和要求．数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换．数学5：解三角形具体内容和要求如下：数学 4在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面向量）、三角恒等变换．三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．在本模块中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力．在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．内容与要求1.三角函数（约 16 课时）（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化．（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π±α，π ±α的正弦、余弦、正2切），能画出y = sin x，y = cos x，y = tan x 的图象，了解三角函数的周期性．（-π π③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）．④理解同角三角函数的基本关系式：, ) 上的性质（如单2 2sin2x + cos2x = 1，sin xcos x= tan x⑤结合具体实例，了解y =A sin(ωx +ϕ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y =A sin(ωx +ϕ)的图象，观察参数A，ω，ϕ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2.平面向量（约 12 课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．③了解向量的线性运算性质及其几何意义．（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（4）平面向量的数量积①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②体会平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．3.三角恒等变换（约 8 课时）（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）．数学 5在本模块中，学生将学习解三角形、数列、不等式．学生将在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．内容与要求1.解三角形（约 8 课时）（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1.2人教社教材, ) 明确教材体系和结构：数学 4（必修）：共分为 3 章，三角函数（6 节）、平面向量（5 节）、三角恒等变换（2节）数学 5（必修）：解三角形（3 节） 2 高考考试说明中三角与向量的要求 2.1 三角的考查内容与要求 明确考什么、考到什么程度． (八)基本初等函数Ⅱ(三角函数) 1．任意角的概念、弧度制 (1) 了解任意角的概念．(2) 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．三角函数(1) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(2) 能利用单位圆中的三角函数线推导出 π± α ，π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，2 能画出 y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性．(3) 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间（- π π2 2 (4) 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2 x + cos 2 x = 1，sin x= tan x ． cos x内的单调性．(5) 了解函数 y = A sin(ωx + ϕ) 的物理意义；能画出 y = A sin(ωx + ϕ) 的图象，了解参数 A ,ω,ϕ 对函数图象变化的影响．(6) 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．(十) 三角恒等变换 1．和与差的三角函数公式(1) 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2) 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．(3) 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．(十一)解三角形 1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2.2 向量的考查内容与要求 (九)平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示.2．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义. (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5．向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. (2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3 高考试卷中的三角与向量试题 3.1 三角试题实例例 2017 年全国Ⅰ卷理科第(9)题已知曲线C : y = cos x ， C : y = sin(2x + 2π) ，则下面结论正确的是123A ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π16个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π112个单位长度，得到曲线C 2C ．把C1 π1上各点的横坐标缩短到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 12个单位长度，得到曲线C 2【解析】 曲线C : y = cos x = cos(x + π - π) = sin(x + π) ，可知将把C 上各点的横坐标12 2 2 1缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变，得到的解析式为 y = sin(2x + π ) = sin 2(x + π) ，再把得到的2曲线向左平移 π122 4 个单位长度，得到曲线的解析式为 y = sin 2(x + π + π ) = sin(2x + 2π ) 即C12 4 3 2的解析式，选项 D 正确．关键问题：平移多少？三角函数图象的伸缩、平移变换→一般函数？ 作为选择题，可以怎么解答？例 2018 年全国Ⅲ卷理科第(15)题2 B函数 f (x ) = cos(3x + π) 在[0 ，π]的零点个数为 ．6【解析】 由题意，令cos(3x + π)=0 ，得 63x + π =k π+ π , x = k π + π , k ∈ Z ，取且仅k = 0,1, 26 2 3 9 有 x ∈[0, π] ，即cos(3x + π)=0 有且仅有 3 个解．6余弦型函数的图象与性质．零点即方程的解→数形结合．自己习惯的解答方式是什么？例 2016 年全国Ⅲ卷理科第(5)题若 tan α = 3，则cos 2α + 2sin 2α =4A. 6425B. 4825C. 1D.1625【解析】 由已知，4sin α = 3cos α ，两边平方，得cos 2 α =16．可以：cos 2 α + 2sin 2α 25= cos 2 α (1 + 4 tan α ) = 4cos 2 α = 64，还可以： cos 2 α + 2sin 2α = cos α (cos α + 4sin α ) =…．25作为选择题，你还可以有另外的想法．反思总结：问题特征——知值求值，三角变换，选择题．联想方法——角度到角度的联系，三角式到三角式的变换，利用题型特点．例 2018 年全国Ⅲ卷理科第(9)题∆ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∆ABC 的面积为a 2 +b 2 -c 24 ，则C = A ． π2 【解析】B ． π3= a 2+ b 2- c2=1C ． π4 ⇔ == π ．D ． π6S ∆ABCab sin C 4 2 sin C cos C ,C4反思总结：结构特点，公式选择，目标导向．例 2018 年全国Ⅰ卷理科第(17)题在平面四边形 ABCD 中，∠ADC = 90︒ ，∠A = 45︒ ， AB = 2 ， BD = 5 ． (1) 求cos ∠ADB ；(2) 若 DC = 2 【解析】 在 ，求 BC ． ABD 中，运用正弦定理， A∠ = ，△sin ADB 5cos ∠ADB = 23；在△BCD 中，运用余弦定理，BC =5． 5反思总结：画出图形，立足结构．3.2 向量试题实例D例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(4)题已知向量a ， b 满足| a | = 1 ， a ⋅ b = -1 ，则a ⋅ (2a - b ) = A ．4B ．3C ．2D ．0向量的基本运算．例 2016 年全国Ⅱ卷理科第(3)题已知向量a = (1，m )，b = (3，- 2) ，且(a + b ) ⊥ b ，则 m ＝ A. －8B. －6C. 6D. 82B ． 1AB - 3AC向量的坐标运算，向量垂直的条件． 例 2018 年全国Ⅰ卷理科第(6)题在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， A则 EB =A ． 3AB - 1ACE4 444 D ． 1AB + 3AC4 44 4BDC【解析】 首先建立联系：以向量 AE 为纽带．选 A ．你愿意用坐标系，也是可以的． 3.3 三角与向量试题的解答策略 3.3.1 问题的背景与特征（题型归类）三角问题：三角函数及其图象、三角变换、解三角形（应用） 向量问题：向量的概念与运算、向量在几何及物理中的应用 3.3.2 解决的方法与策略三角问题：函数的研究手段，角——角的和差倍半及诱导关系，名——函数名的转换， 形——结构特征（代数、几何）及联系向量问题：多角度表示——基底（来自向量本身），坐标（与解析几何联系）和图形 3.4 对于三角与向量，高考考查了什么？是怎么考查的？ 3.4.1 三角与向量试题设置与考查的特点与规律简单统计 三角 年度科类题型与考点题型汇总2016文科甲 3，函数图象；11，变换、最大值；15，解三角形理科：2 套 2 选 1 填，1 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲7，函数图象；9，变换；13，解三角形 文科乙 4，解三角形；6，函数图象；14，变换 理科乙 12，函数图象与性质；17，解三角形，变换 文科丙 6，变换；9，解三角形；14，函数图象 理科丙 6，变换；9，解三角形；14，函数图象2017文科甲 8，函数图象、性质；11，解三角形；15，变换 理科：3 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲 9，函数图象；17，解三角形文科乙 3，函数性质；13，变换、性质；16，解三角形 理科乙 14，变换、性质；17，解三角形文科丙 4，变换；6，变换、函数性质；15，解三角形 理科丙 6，函数性质；17，解三角形2018文科甲 8，函数性质；11，函数概念与变换；16，解三角形 理科：2 套 2 选 1 填，1 套 1 选 1 解文科：3 套 2 选 1 填理科甲 16，函数与变换；17，解三角形文科乙 7，解三角形；10，函数性质；15，变换 理科乙 6，解三角形；10，函数性质；15，变换文科丙 4，变换；6，函数性质与变换；11，解三角形 理科丙4，变换；9，解三角形；15，函数图象C ． 3 AB + 1 AC向量年度科类题型与考点题型汇总2016文科甲13，坐标表示，向量的平行1 选或1 填理科甲3，坐标表示，向量的垂直文科乙13，坐标表示，向量的模理科乙13，坐标表示，向量的模文科丙3，向量的夹角理科丙3，向量的夹角2017文科甲13，坐标表示，向量的垂直1 选或1 填（在解析几何题中融合）理科甲13，向量的夹角，向量的模文科乙4，向量的模（性质）理科乙文科丙13，坐标表示，向量的垂直理科丙12，向量与几何，线性运算2018文科甲7，向量的线性运算1 选或1 填理科甲6，向量的线性运算文科乙4，向量的数量积理科乙4，向量的数量积文科丙13，坐标表示，向量的平行理科丙13，坐标表示，向量的平行3.4.2三角函数是高中数学的重要内容．高考主要考查任意角三角函数的概念和正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质，突出考查形如y=A sin(ωx＋φ)的函数的图象与性质；考查两角和与差的三角函数公式和简单的三角恒等变换；重点考查正弦定理和余弦定理及其应用．对三角函数的考查重点是考生对基本概念、基本公式的理解和应用以及运算求解能力，3.4.3平面向量具有几何形式和代数形式，是中学数学知识的一个交汇点．高考主要考查平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理、坐标表示、数量积及其应用，平面向量的考查重点是基础知识、基本技能和数形结合的思想方法，考查中将几何知识和代数知识有机结合，体现思维的灵活性．Ⅱ走进高考中的三角与向量1 三角函数及其图象例2014 年全国Ⅱ卷理科第(6)题如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M . 将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x) ，则y在[0, π] 的图象大致为A. B.f (x)5C.D.【解析】 选 C ．已知解读——点到直线的距离？知识产生和发展的过程——三角函数定义的背景，不同的思考角度（数、形）；题型特点——选择题的解答．例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(11)题已知角α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1, a ) ，B (2,b ) ，且cos 2α = 2，则 a - b =3A ． 1 5 【解析】 选B ．B ． 5 5C ． 2 5 5D ．1源于教材，回归基础——基于定义，倍角公式． 例 2015 年全国Ⅱ卷理科第(8)题函数 f (x ) = cos(ω x + ϕ) 的部分图象如图所示，则 f (x ) 的单调递减区间为A. (k π 1 , k π + 3), k Z 4 4B. (2k π 1 , 2k π + 3), k Z 4 4C. (k 1 , k + 3), k Z 4 4D. (2k 1 , 2k + 3), k Z 4 4 【解析】 选 D ．基础：三角函数的性质、图象与基本量；需要求出解析式吗？ 例 2013 年全国Ⅱ卷理科第(15)题设当 x = θ 时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ= ．【解析】 第一个想法： f (x ) = 5 sin(x - ϕ) ， sin ϕ = 5 ， cos ϕ = 2 5．函数取最大 5 5 值时， x = 2k π + π + ϕ ，所以c os θ= cos(2k π + π+ ϕ) = - cos ϕ =- 2 5 ．2 2 5有了第一，当然应该有第二个想法：对于函数最值，还有什么入手点？易知 f '(θ ) = cos θ + 2sin θ = 0 ，怎么求c os θ ？——平方（得出的是cos 2θ，有取舍的问 题）；还有一个条件可资利用：sin θ－2cos θ=根据背景寻求联系，多种因素获取答案． 例 2016 年全国Ⅰ卷理科第(12)题．（如何想到？）已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ) (ω > 0, | ϕ |≤ π ) ，x =- π 为 f (x ) 的零点，x = π为 y = f (x )2 4 4图象的对称轴，且 f (x ) 在( π , 5π) 单调，则ω 的最大值为18 36A. 11B. 9C. 7D. 52 ⎪⎩ ⎨ 【解析】 由题 π - (- π ) = T + k ⋅ T = 2k + 1 ⋅ 2π，所以ω = 2k + 1(k ∈ N * ) ；又因为 f (x )4 4 4 2 4 ω在( π , 5π ) 单调，所以 5π - π = π ≤ T = 2π，即ω ≤12 （仅为必要条件）；更深刻地分析 18 36 36 18 12 2 2ω条件， f (x ) = sin ω (x + π) ，代入验证可知， ω 的最大值为 9.4例 2015 年全国Ⅰ卷理科第(10)题如图，长方形 ABCD 的边 AB =2，BC =1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ，CD 与 DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点 P 到 A ，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f (x )，则 f (x )的图象大致为【解析】 自然的想法：建立函数关系式，根据解析式分析图象． ⎧tan x + 4 + tan 2 x ， 分段建立关系： f (x ) ⎪ 1 + (1 + cot x )2+ ⎪- tan x + 4 + tan 2 x . 命题者这样考查你？——寻求合适的解题路径． 反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 2 三角变换例 2018 年全国Ⅱ卷理科第(15)题已知sin α + cos β = 1， cos α + sin β = 0 ，则sin(α + β) = ．【解析】 角名入手，平方相加： sin(α + β) = - 1．2例 已知函数 f (x ) = sin(3x + π) ．4(1) 求 f (x ) 的单调递增区间；(2) 若α 是第二象限角， α f ( ) = 4cos(α + π ) cos 2α ，求cos α - sin α 的值．3 5 4(1) 函数 f (x ) 的单调递增区间为 [- π + 2k π , π + 2k π] , k ∈ Z ．4 3 12 3(2) 由已知，有sin(α + π ) = 4 cos(α + π) cos 2α ，4 5 4 所以sin α cos π + cos α sin π = 4 (cos α cos π - sin α sin π)(cos 2 α - sin 2 α ) ，4 45 4 4即 sin α + cos α = 4(cos α - sin α )2 (sin α + cos α ) ．5当sin α + cos α = 0 时，由α 是第二象限角，知 α = 3π+ 2k π, k ∈ Z ．4此时， cos α - sin α = - ．1 + (1 - cot x )2=当sin α + cos α ≠ 0 时，有(cos α - sin α )2 = 5．4由α 是第二象限角，知cos α - sin α＜0 ，此时cos α - sin α = - 5．2 综上所述， cos α - sin α = - 2 或- 5．2 系 2014 年四川理科试题，第（1）小题得分率约 80%，零分率约 16%，满分率约76%；第（2）小题得分率约 49%，零分率约 15%，满分率约 4%！反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 3 解三角形(应用)例 如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯 角分别为 67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于ｍ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： sin 67︒≈ 0.92 ， cos 67︒≈ 0.39 ， sin 37︒≈ 0.60 ， cos 37︒≈ 0.80 ，3 ≈ 1.73 )【解析】 解三角形的应用．解直角三角形好吗？近似计算的处理．例 2017 年全国Ⅰ卷文科第(11)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知sin B + sin A (sin C - cos C ) = 0 ，a ＝ 2，c ＝ A ． π，则 C =B ． πC ． πD ． π12 643【解析】 已知的等式怎么变形？——从可变形处入手．代入 B = π - ( A + C ) ，可由条件得sin A + cos A = 0 ，从而求出 A = 3π，据正弦定理可求出 C ．选 B ．4例 2018 年全国Ⅰ卷文科第(16)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知b sin C + c sin B = 4a sin B sin C ， b 2 + c 2 - a 2 = 8 ，则△ABC 的面积为．【解析】 b sin C + c sin B = 4a sin B sin C 可以怎样变形？——正弦定理得出sin A = 1；2△ABC 的面积选择什么表达？—— b 2 + c 2 - a 2 = 8 ⇔ 2bc cos A = 8 ，面积用 1bc sin A 表示．2解题的基本策略：已知条件→联系（中间结论）←待求结论．例 2015 年全国Ⅱ卷理科第(16)题在平面四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 75︒ ，BC = 2 ，则 AB 的取值范围是 ． 【解析】 显然，先画一个图．——怎么画？其次，怎么入手建立关系？——和一般的解三角形问题有什么异同？（几何画板演示）基本策略：四边形→三角形（分割、补形）． 例 2017 年全国Ⅲ卷理科第(17)题△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知sin A + (1) 求 c ；3 c os A = 0 ，a = 2 ，b = 2 ． (2) 设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求△ABD 的面积．【解析】 (1) 已知sin A + 3 cos A = 0 怎么用？——求出 A ；求 c 具备什么样的条件？—2 73 —运用正弦定理、余弦定理．(2) 求面积还需要什么条件？——求出 AD ，BD ……．例 在∆ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，若(2a - c )cos B = b cos C ， b = ， 则 a + c 的取值范围是．【解析】 将(2a - c )cos B = b cos C 化为边还是角？思路 1 用余弦定理，上式可得 a ，c 的关系．能解否？——前景预测．思路 2 由正弦定理， (2a - c )cos B = b cos C 可变形为(2sin A - sin C ) cos B = sin B cos C ，从而有2sin A cos B = sin B cos C + cos B sin C = sin A ， B = π．再由正弦定理， a + c = 2sin A +32sin C = 2sin A + 2sin( π + A )=2 3 sin( A + π) ．而0 < A < 2π，所以a + c ∈ ( 3, 2 3]3 6 3图形的特点可否帮助我们？——数形结合． 反思总结：问题特点，思考方式，解答路径．4 向量的概念与运算例 2017 年全国Ⅱ卷理科第(13)题已知向量 a ，b 的夹角为60︒ ， | a |= 2 ， | b |= 1 ，则|a + 2b | = ． 【解析】 运算——模、夹角与数量积．例 设向量a = (m ,1) ， b = (1, 2) ，且| a + b |2 =| a |2 + | b |2 ，则m = ． 【解析】 坐标运算、解方程；看到条件| a + b |2 =| a |2 + | b |2 有什么想法？例 平面向量 a = (1, 2) ， b = (4, 2) ， c = m a + b ( m ∈ R )， 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则m =A. -2B. -1C. 1D. 2【解析】 当然，夹角公式入手；向量的表达还有什么？——图形；题型特点可否利用？反思总结：问题特点，思考方式，解答路径． 5 向量与几何例 人教版教材数学 4§2.5.1 例 2如图，平行四边形 ABCD 中，点 E ，F 分别是 AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与 AC 交于 R ，T 两点，你能发现 AR ，RT ， TC 之间的关系吗？2 512 + 22 5……例 2017 年全国Ⅱ卷理科第(12)题已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是A ． -2 B. - 32C. -4 3D. -1【解析】求最值的常用途径： PA ⋅ (PB + PC ) 怎么表示？——向量的数、形入手．思路 1： 如图， PB + PC = 2PD （ D 为 BC 中点）， 则 APA ⋅ (PB + PC )= 2PD ⋅ PA ，要使 PA ⋅ PD 最小，则 PA ， P D 方 P向相反，即 P 点在线段 AD 上，则2PD ⋅ PA min = -2 PA ⋅ PD ， 即求 PD ⋅ PA 最大值，又 PA + PD = AD = 3 ，则 PA ⋅ PD ≤( PA + PD )2 = 3，则2PD ⋅ PA min = -2 ⨯ 3 = - 3 ．B DC2 44 2 思路 2：以 BC 为 x 轴， BC 的垂直平分线 AD 为 y 轴， D 为 坐 标 原 点 建 立 坐 标 ， 设 P (x , y ) ， 则 PA = (-x , 3 - y ) ， PB = (-1 - x , - y ) ， PC = (1 - x , - y ) ．所以 PB + PC = (-2x , -2 y ) ，PA ⋅ (PB + PC ) = 2x 2 - 2 y ( 3 - y ) ＝ 2x 2 + 2( y - 3 )2 - 3 ≥ - 3 ， 2 2 2当 P (0, 3 ) 时，所求的最小值为- 3．2 2例 2017 年全国Ⅲ卷第(12)题在矩形 ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点 P 在以 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 AP = λ AB + μ AD ，则λ + μ 的最大值为A ．3B ． 2C ．D ．2【解析】 求最值的常用途径： λ + μ 怎么表示？——向量的数、形入手． 思路 1 如图，设 BD 与 C 切于点 E ，连接CE ．以 A 为原点，建立如图直角坐标 系，则C 点坐标为(2,1) ． | CD |= 1 ， | BC |= 2 ． BD = = ．BD 切 C 于点 E ，55 5 ⎩ 1 22 CE ⊥ BD ，则| EC |=| BC | ⋅ | CD | = | BD | 2， 则 C ： ⎧x = 2 + 2 5 cos θ， 224⎪ 0 5(x - 2) + ( y -1) = ，令 P (x 0 , y 0) ，则⎨ ⎪ y = 1 + 2 5 sin θ. ⎪⎩ 0 5又 AP = (x 0 , y 0 ) AP = λ AB + μ AD = λ(0,1) + μ(2,0) = (2μ,λ) ，可得 μ = 1 x = 1 + 5cos θ ， λ = y = 1 + 2 5 sin θ ，2 050 5 所以λ + μ = 1 + 2 5 sin θ + 1 + 5 cos θ = 2 + ( 2 5 )2 + ( 5 )2sin(θ + ϕ)5 5 5 5= 2 + sin(θ + ϕ) ≤ 3 ，其中sin ϕ = 5 ， cos ϕ = 2 5 ，当且仅当θ = π+ 2k π - ϕ ， k ∈ Z5 52 时， λ + μ 取得最大值 3．思路 2 如图，建立直角坐标系，设P (x , y ) ， C 的半径 | EC |= | BC | ⋅ | CD | =| BD | 2 ，则 C 方程为(x - 2)2 + ( y -1)2 = 4 ，5AP = (x , y )， AB = (0,1)， AD = (2,0)，由 AP = λ AB + μ AD ，得(x , y ) = λ(0,1) + μ(2, 0) ，即⎧x = 2μ，所以λ + μ = x+ y ，设⎨y = λ，2 z = x + y ，即 x + y - z = 0 ，点 P (x , y ) 在圆(x - 2)2 + ( y -1)2 = 4上，则圆心到直线的距离2 2 52 - z ≤2d ≤ r ，即 1 + 1 45 ，解得1 ≤ z ≤ 3 ，所以 z 的最大值是 3，即λ + μ 的最大值是 3.思路 3 设 P (x , y ) ，同思路 2， C ： (x - 2)2 + ( y -1)2 = 4 ，则λ + μ = x+ y ，设z = x+ y 2 5 2，根据规划的相关知识，当直线 z = x + y 与 C 相切 2时， z 取最值．由最大值是 3.=5 ，可知 z 的最大值是 3，即λ + μ 的思路 4 如连接 AP ，交 BD 于点 F ，根据平面向量基本定理，得 AF = t AB + t AD ，且t 1 + t 2 = 1 ．12由题设 AP = mAF ，可知m ≥ 1，所以 AP = mt AB + mt AD ， 又 AP = λ AB + μ AD ，所以λ + μ = mt 1 + mt 1 = m ，故只需求 m 的最大值即可，而 m = |AP |，过 P 作 BD 的平行线 l ，并交 AD 的延长线于点 Q ，可得|AF |2 - z 1 + 1 45 5 5 3 1m = |AP | =|AQ |，当 l 与 C 相切时，m 取得最大值，计算得 EP = 4 ，则 |AF | |AD |4 4DG = 5 = sin ∠Q 5 = 4 ，故|AQ | = 6，所以m = 3 ．5思路 5 由 AP = λ AB + μ AD 可得： AP ⨯ AB = λ AB 2+ μ AD ⨯ AB ，则有λ = AP ⨯ AB ；又由AP ⨯ AD = λ AB ⨯ AD + μ AD 2 ，则有μ = 1 AP ⨯ AD ，故λ + μ ＝AP ⨯ AB + 1AP ⨯ AD ＝ 4 4AP ⨯ ( AB + 1AD )，在 BC 上取点 H ，使得 BH = 1 BC ，则 BH = 1 ，所以λ + μ ＝44 2 AP ⨯ AH ．又由于△ABH ∽△DAB ，则∠BAH ＝∠ADB ，从而得 AH ⊥BD ．根据数量积的几何意义， AP ⨯ AH 即为| AH |与 AP 在向量 AH 方向上的投影|AQ |之积，故当|AQ |取最大值时，AP ⨯ AH 取得最大值．可知当直线 PQ 与 C 相切时，|AQ |最大，计算得|AQ |＝ 6 最大值为 3．，此时 AP ⨯ AH 的值为 6⨯ 5 = 3 ，即λ + μ2例 在平面内，定点 A ，B ，C ，D 满足| DA |=| DB |=| DC | ， DA ⋅ DB = DB ⋅ DC = DC ⋅ DA = -2 ， 动 点 P ， M 满足 | AP |= 1 ， PM = MC ，则| BM | 2 的最大值是A. 43 4B. 49 4C. 37 + 6 34D.37 + 2 334【解析】 还是老思路——揭示代数意义或几何意义，表示| BM | 2 ．如图，由| DA |=| DB |=| DC | 可知，点 D 到 A ，B ，C 三点的距离相等；又 DA ⋅ DB = DB ⋅ DC = DC ⋅ DA = -2 ，所以∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 120︒ ，且| DA |=| DB |=| DC | =2．故△ABC 是边长 为2 的等边三角形．因为| AP |= 1，所以动点P 在以A 为圆心，1 为半径的圆上；由 PM = MC ， 可得 M 是 PC 的中点．思路 1．设 Q 是 AC 的中点，易知|BQ |=3．如图，根据向量加法的几何意义，有=BQ 2 + BQ ⋅ AP + 1 AP 2 = 37 + BQ ⋅ AP ． P 2 4 4而 BQ ⋅ AP = 3cos BQ , AP≤ 3 ，所以| BM |2≤ 49 ． 4思路 2．以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴（AB 方向为正方向）建立直角坐标系，则点 B ，C 的坐标分别为(2 3, 0) ， ( 3, 3) ．3 + x 3 + yyC设点 P 的坐标为(x , y ) ，则点 M 的坐标为( , ) ，所以2 2 M| BM | 2 = (3 + x - 2 3)2 + (3 + y )2 = 1 [(x - 3 3)2 + ( y + 3)2] ．而 2 2 4 P(x - 3 3)2 + ( y + 3)2 表示点 P 到点(3 3, -3) 的距离，其最大值为(3 3)2 + (-3)2 +1 = 7 ．从而| BM | 2 的最大值为 49．4ABxBM = (BQ + AP )2 2 1 CM QC QMAP 若设点 P 的坐标为(cos θ ,sin θ ) ，则| BM | 2 = 1 [37 + 12sin(θ + π)] ，亦可4 3得出答案．思路 3．如图，根据中位线定理，MQ ∥AP ，且 MQ = 1 AP = 1， 2 2 故点 M 在以 Q 为圆心，1为半径的圆上，从而|BM |的最大值 B2为3 + 1 = 7．2 2 Ⅲ 展望高考中的三角与向量2019 年高考，三角与向量的考查方式与难度设置如何？ Ⅳ 自我测试与评价（见附页）。

向量和三角函数综合题引言向量和三角函数是数学中常见且重要的概念，它们在物理学、几何学、工程学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍向量和三角函数的基本概念和性质，并通过一些综合题目来加深理解和应用。

向量的基本概念什么是向量向量是由大小和方向共同决定的量，可以用有向线段表示，其中起点和终点分别称为向量的始点和终点。

通常用小写字母表示向量，如a、b等。

向量的表示方法向量可以用矩阵或坐标表示。

如果一个向量在二维坐标系中，可以用二维列向量表示；如果一个向量在三维坐标系中，可以用三维列向量表示。

向量的运算向量之间可以进行加法、减法和数量乘法。

向量的加法和减法可以通过将向量的始点与终点相连得到，而数量乘法就是将向量的长度进行比例缩放。

向量的数量特征向量的数量特征包括模长、方向角和方向余弦。

模长表示向量的长度，方向角表示向量与正方向的夹角，而方向余弦就是向量的方向角的余弦值。

三角函数的基本概念什么是三角函数三角函数是描述角度关系的函数，主要包括正弦、余弦和正切函数。

它们在三角形的计算和周期性变化的问题中经常出现。

正弦函数正弦函数在数学上表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的值域在[-1, 1]之间，当x为0、π、2π等整数倍的π时，函数的值为0，这也是函数图像上的极值点。

余弦函数余弦函数在数学上表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的值域也在[-1, 1]之间，当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时，函数的值为0，极值点出现在函数图像的波峰和波谷处。

正切函数正切函数在数学上表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的值域为全体实数，当x为π/2、3π/2、5π/2等奇数倍的π/2时，函数没有定义。

三角函数的性质三角函数有很多重要的性质，包括周期性、奇偶性、和差公式、倍角公式、半角公式等。

这些性质在计算中经常用到，对于解题非常有帮助。

向量和三角函数的综合应用向量与三角函数的关系向量和三角函数在很多应用中是密切相关的。