第三章 回归模型的扩展
利用回归分析的估计、检验理论可以建立一个较好的因果关系模型，但是数理统计方法主要适用于研究可控的自然现象，对于无法通过人为控制进行“实验”的社会经济现象，其适用性就受到一定限制。因此，对于传统的回归分析方法，人们在理论、方法和应用上都有了许多发展。本章主要讨论三个方面的“扩展”内容：（1）古典回归模型基本假定不成立时所产生的问题；（2）如何反映定性因素的影响；（3）如何反映滞后因素的影响，将静态模型转化成动态模型。
第一节 异方差性
古典回归模型包含了若干基本假定，在这些基本假定成立的前提下，应用最小二乘法可以得到无偏、有效的参数估计量，而且可以构造F 检验、t 检验、系数的标准误差等统计量来评价模型的优劣。但是许多经济现象并不一定都能满足这些假定，这必然会影响回归分析的估计和检验结果。在古典回归模型的若干假定中间，是不容易成立的是同方差假定、非自相关假定和无多重共线性假定。因此，在本章的前三节中我们将着重分析这三个假定，并且对每一个假定都依次讨论以下问题： （1）假定的含义及其违反的原因；
（2）假定违反时将会产生什么不利影响； （3）如何检验假定是否成立； （4）假定违反时的处理方法。 一、异方差性及其产生的原因 对于线性回归模型
i ki k i i i x b x b x b b y ε+++++= 22110
同方差假定为：
n i D i ,,2,1)(2
==σε
即对于不同的样本点，随机误差项的离散程度是相同的；如果出现：
n i D i i ,,2,1)(2 =≠=常数
σε
则称模型出现了异方差性（Heteroskedasticity ）
例如，利用横截面资料建立居民储蓄函数时，对于低收入家庭，其满足基本消费支出之后的剩余收入已经不多，所以各个家庭之间的储蓄存款不会有太大差异；但对于高由入家庭，因受储蓄心理、消费习惯、家庭成员构成等因素的影响，各个家庭之间的储蓄存款可能会有很大差异，即随机误差项的方差会明显地大于低收入家庭。
又如，以总产值作为解释变量建立企业的成本函数时，由于管理水平、生产技术条件等因素的影响，使得同一生产规模的企业有不同的生产成本；但生产规模较小的企业，其生产成本的差异不会很大，而生产规模较大的企业则可能会产生较大的差异，即随机误差项的方差有增大的趋势。
模型产生异方差性主要有以下原因：
（1） 模型中遗漏了影响逐渐增大的因素。例如，储蓄函数中的证券投资、利息、消
费者行为等因素；成本函数中的管理水平、生产技术条件和规模效益等因素；消费函数中的家庭财产、消费心理等因素。
（2） 模型函数形式的误差。如将指数曲线模型误设成了线性模型，则误差有增大的
趋势。
（3） 随机因素的影响，如政策变动、自然灾害、金融危机等。
因此，经济分析中经常会遇到异方差性的问题。而且经验表明，利用横截面数据建立模型时，由于在不同样本点上（解释变量之外）其他因素影响的差异较大，所以比时间序列资料更容易产生异方差性。
二、异方差性的影响
模型一旦出现异方差性，将会产生以下不利影响： （一） 最小二乘估计不再是有效估计
因为在高斯——马尔可夫定理的证明过程中曾利用了同方差假定，随机误差项为异方差时，OLS 估计仍然是无偏估计，但不再具有最小方差的特性，即存在其他的参数估计方法，其估计误差将小于OLS 估计的误差。 （二） 无法正确估计系数的标准误差
以一元线性回归模型为例，在高斯——马尔可夫定理的证明过程中曾经得：
∑∑∑∑∑-====+=2
22
22)(/()()()()ˆ(x x ）
k ）
（D k k D k b D b D i i i i i
i i i σσεεε在同方差情况下在非自相关情况下
其中：∑--=2)(/)(x x x x k i i i 。这样，如果再以2σ的无偏估计量
∑-=)2/(ˆ22n e i σ
估计2σ，就可以得到b ˆ的标准误差为：
xx
i
S x x b
S 22
2ˆ)
(ˆ)ˆ(σσ
=
-=∑
但是，在异方差的情况下，2
i σ是一些不同的数，只有估计出每一个2
i σ之后才能得到
系数的标准误差，这在只有一组样本观察值的情况下是无法做到的。而且，如果设：
),,2,1,0(ˆ22n i i i i =>=λσλσ
则在异方差情况下，系数的标准误差为：
∑
∑∑∑-∙=∙-===xx
i i xx
i xx i i
i i i S x x S S x x k k b S 2
222
22222)(ˆˆ)(ˆ)ˆ(λσσλσλσ
因此，如果仍然用
xx S /ˆ2σ
计算系数的标准误差，将会产生估计偏差；偏差的大小取决
于第二个因子值的大小，当其大于1时，则会过低估计系数的误差；反之，则做出院过高的估计。
（三） t 检验的可靠性降低
因为在异方差情况下，无法正确估计系数的标准误差)ˆ(b
S ，这直接影响到t 统计量值的正确确定。因为：
)
ˆ(ˆb S b
t =
所以用t 检验来判断解释变量影响的显著性将失去意义。
（四） 增大模型的预测误差
异方差性的存在一方面使模型夫去了良好的统计性质，另一方面由于随机误差项的方差
与模型的预测区间密切相关（))ˆ(ˆ),ˆ(ˆ(2/2/b S t b b S t b αα+-，在2i
σ逐渐增大的情况下，模型的预测误差也随着增大。
上述分析表明，实际经济总是中经常会出现异方差性，这将直接影响回归模型的估计、检验和应用。因此，在建立计量经济模型的过程中，应该检验模型是否存在异方差性；如果不存在异方差性（当然要求其他假定也同时成立），则可以用回归分析方法建立模型；否则，应该采用其他的参数估计方法建立模型。
三、异方差性的检验
为了检验模型是否存在异方差性，需要事先了解随机误差项取值的概率分布情况。但是随机误差项的变化是由模型之外其他因素的综合影响来决定，其取值情况是无法观测的。实际研究中，一般是通过对残差分布情况的分析来推测随机误差项的分布特征，因为残差项i e 描述的也是解释变量之外其他因素的综合影响，可以将其作为随机误差项i ε的估计量。 例1 我国制造工业利润函数。表3-1列出了1998年我国主要制造工业销售收入与销售利润的统计资料。
