最新9层次分析法汇总

层次分析法(AHP)AHP(Analytic Hierarchy Process)方法，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。

它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。

这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

AHP十分适用于具有定性的，或定性定量兼有的决策分析。

这是一种十分有效的系统分析和科学决策方法，现在已广泛地应用在企业信用评级、经济管理规划、能源开发利用与资源分析、城市产业规划、企业管理、人才预测、科研管理、交通运输、水资源分析利用等方面。

一、递阶层次结构的建立一般来说，可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，因此也称为总目标层。

（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及的各子目标，包含各种准则、约束、策略等，因此也称为目标层。

（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。

典型的递阶层次结构如下：总目标m一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：（1）从上到下顺序地存在支配关系，用直线段（作用线）表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系。

（2）整个结构不受层次限制。

（3）最高层只有一个因素，每个因素所支配元素一般不超过9个，元素过多可进一步分层。

（4）对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。

二、构造比较判断矩阵设有m个目标（方案或元素），根据某一准则，将这m个目标两两进行比较，把第i个目标（i=1,2,…,m）对第j个目标的相对重要性记为a ij，(j=1,2,…,m)，这样构造的m阶矩阵用于求解各个目标关于某准则的优先权重，成为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作A=(a ij)m×m。

第一节层次分析的基本原理为了说明AHP的基本原理，首先分析下面这个简单的事实。

假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分别为W1，W2，…，Wn。

把这些西瓜两两比较（相除），很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩阵（以后称之为判断矩阵）：= （a ij）n×n （7.1.1）显然a ii= 1，a ij =1/a ij，a ij =a ik/a jk，i，j ，k = 1，2，…，n且AW == = n W （7.1.2）即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量A对应于特征根n的特征向量的各个分量。

很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题AW = λmax W求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。

同样，对于复杂的社会公共管理问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。

事业AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。

所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系：= ，i，j ，k = 1，2，…，n （7.1.4）a上式完全成立是，称判断矩阵具有完全一致性。

此时矩阵的最大特征根λmax =n ，其余特征根均为零。

在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且λmax >=n。

当判断矩阵具有满意的一致性时，稍大于矩阵阶数n，其余特征根接近于0，这时，基于AHP得出的结论才基本合理。

但由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所以判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。

第二节层次分析法的步骤用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造判断矩阵；（3）层次单排序；（4）层次总排序；（5）一致性检验。

1层次分析法首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。

最后需要对每一个层级的所有指标进行两两比照，确定其相对的重要性。

而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。

如表1-1所示：表1-1 1~9标度及其含义1/ij a依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵ijn nA a ，其次通过以下步骤进行权重的计算以及一致性检验。

〔1〕我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下：11,(1,2,...,)nni ij j w a i n =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏〔2〕对上述利用方根法求解的权重向量按照以下公式做归一化处理，得到最终的权重为：'1,(1,2,...,)ii nik w w i n w===∑〔3〕计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。

()max 1=nii iAw nw λ=∑〔4〕一致性检验，由一致性指标：max 1nCI n λ-=-RICI CR =其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。

反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。

并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。

反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。

这样的模型并不具有科学性。

因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。

RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示：表1-2 RI 随机一致性指标假设则说明一次性检验通过，则其对应的特征向量可作为权向量。

指标权重确实定依据前面介绍的层次分析法，对所建立的指标体系中准则层和指标层权重进行计算。

准则层指标权重确定收集专家对评价目标下的准则层指标的基础性的数据，汇总如下表1-3所示，该数据也就是准则层七个指标的判断矩阵。

层次分析法的计算步骤层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种用于多准则决策的定量分析方法，由美国学者Thomas L. Saaty于1970年代提出。

它通过将一个复杂的多准则问题分解为一系列的层次结构，然后利用专家判断来确定每个层次的权重以及相对优先级，最终得出最佳决策。

下面将详细介绍层次分析法的计算步骤。

1.确定决策的目标和准则：首先明确决策的目标，以及实现这一目标所需的准则。

例如，如果我们要决定购买一台新的汽车，目标可能是选择性价比最高的汽车，准则可能包括价格、燃油经济性、安全性、舒适性等。

3.构建判断矩阵：为了确定每个层次之间的重要性比较，需要构建判断矩阵。

判断矩阵是一种由专家根据经验、知识或直觉所得到的关于准则之间相对重要性的矩阵。

对于每个层次，需要构建一个判断矩阵。

例如，在准则层次，专家需要判断每个准则与其他准则之间的相对重要性。

4.对判断矩阵进行标准化：将判断矩阵进行标准化是为了消除专家主观性的影响。

标准化的方法可以有多种，最常用的方法是将每列元素除以该列元素之和，使每列元素之和等于15.计算权重向量：通过对标准化的判断矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和对应的特征向量。

特征向量的元素表示各个准则相对于目标的权重。

为了保证权重之和等于1，需要将特征向量进行归一化。

归一化的方法是将每个元素除以所有元素之和。

6.一致性检验：进行一致性检验是为了评估专家的判断是否一致和合理。

一致性指标（Consistency Index, CI）是用来度量判断矩阵的一致性程度的指标，其计算方法为CI=(λmax-n)/(n-1)，其中λmax为最大特征值，n为准则数目。

为了验证判断矩阵的一致性，还需要计算一个随机一致性指标（Random Index, RI）作为对照。

如果CI<0.1，则认为判断矩阵是一致的。

7.一致性修正：如果判断矩阵不一致，可以通过进行一致性修正来提高一致性。

Mathematical Contest in Modeling 层次分析法三. 不完全层次结构模型完全层次结构:上一层的每个因素都支配着下一层的所有因素, 完全层次结构:上一层的每个因素都支配着下一层的所有因素,或被下一层所有因素影响. 因素影响. 不完全层次结构:准则层中的一个因素,只支配下一准则层的部分因素. 不完全层次结构:准则层中的一个因素,只支配下一准则层的部分因素. 出现在准则层中的情形(准则层与准则层之间出现在准则层中的情形(准则层与准则层之间 MIS综合评价 MIS综合评价A 综合评价A 系统建设B1 系统建设B1 系统性能B2 系统性能B2 目标层A目标层A 系统应用B3 准则层B 系统应用B3 准则层B 科学性 C11 实现程度C12 先进性 C13 经济性 C14 规范性 C15 资源利用率 C16 可靠性 C21 系统效率 C22 可维护性 C23 可扩充性 C24 可移植性 C25 安全性 C26 经济效益C31 社会效益 C32 用户满意度 C33 功能应子准则层 C 用程度 C34 方案层D 方案层D 21 系统D1 系统D1 系统D1 系统D1 …… 系统Dn 系统Dn 20052005-08 新余高等专科学校数学建模教练组Mathematical Contest in Modeling 出现在准则层与方案层之间例:学校要评价教师的贡献,粗略地考只考虑教学学校要评价教师的贡献, 与科研两个指标,P1,P2,P3,P4四位教师中四位教师中P1, 与科研两个指标,若P1,P2,P3,P4四位教师中P1, P2只从事教学,P4只从事科研,P3二者兼顾,层次 P2只从事教学只从事教学,P4只从事科研只从事科研,P3二者兼顾二者兼顾, 结构模型如图. 结构模型如图. 将不支配因素的权向量分量简单置为0.后果如何将不支配因素的权向量分量简单置为0.后果如何? 后果如何? 设C1,C2对第1层的权向量为 w ( 2 = ( w1 , w2 C1,C2对第对第1 C1,C2对第层权向量分别为: 对第3 记C1,C2对第3层权向量分别为: ( 2 ( 2 T 层次分析法教师的贡献Z 教师的贡献Z 教学C1 教学C1 科研C2 科研C2 已确定. 已确定. P1 ( 3 ( 3 P2 P3 P4 w1 ( 3 = ( w11 , w12 , w13 ,0 T w2 ( 3 ( 3 (3 ( 3 = (0,0, w21 , w24 T ( 3 ( 3 于是有: 于是有: w ( 3 = W ( 3 w ( 2 ,W ( 3 = [ w1 , w2 ] ( 2 考察特殊情况:教学与科研两个准则的重要性相同, 考察特殊情况:教学与科研两个准则的重要性相同,即有 w 从事教学或科研,能力都相同, 从事教学或科研,能力都相同,即有代入上述已知数据得到: 代入上述已知数据得到: = (1 / 2,1 / 2 T 4位教师无论 ( 3 w1 ( 3 = (1 / 3,1 / 3,1 / 3,0 T w2 = (0,0,1 / 2,1 / 2 T w ( 3 = (1 / 6,1 / 6,5 / 12,1 / 2 T 公平否? 公平否? 公正的评价为: 被安排只搞教学或科研的P1,P2,P4三位教师公正的评价为: 被安排只搞教学或科研的P1,P2,P4三位教师的贡献相同, P3应为他们的两倍的贡献相同,而P3应为他们的两倍!即为应为他们的两倍! 新余高等专科学校 w ( 3 = (1 / 5,1 / 5,2 / 5,1 / 5 T 20052005-08 22 数学建模教练组Mathematical Contest in Modeling 层次分析法怎样才能得到公平合理的结果呢? 怎样才能得到公平合理的结果呢? ~ 办法: 办法: 用支配因素的数量对权向量 w ( 2 进行加权,做修正为 w ( 2 然后再计算进行加权, 记C1,C2支配因素的数量分别为n1,n2,令: C1,C2支配因素的数量分别为支配因素的数量分别为n1,n2,令归一化的需要 (2 ( 2 ( 2 (2 ~ w ( 2 = (n1 w1 , n2 w2 T /( n1 w1 + n2 w2 w ( 3 ~ w ( 3 = W ( 3 w ( 2 利用前面的数据,代入上面的式子,并且注意到n 利用前面的数据,代入上面的式子,并且注意到n1=3,n2=2,最后得到: =2,最后得到最后得到: w ( 3 = (1 / 5,1 / 5,2 / 5,1 / 5 T 注:上面只考虑了教师从事教学(或科研完全由上级安排的情况,在能力相同的情况下上面只考虑了教师从事教学( 科研完全由上级安排的情况, 承担双份工作的P3的贡献自然要大一倍的贡献自然要大一倍! 承担双份工作的P3的贡献自然要大一倍!若教师从事教学和科研完全靠发挥个人的积极性,且上级希望每位教师都二者兼顾,并鼓励从事人数较少的那份工作,如何决策? 极性,且上级希望每位教师都二者兼顾,并鼓励从事人数较少的那份工作,如何决策? 新余高等专科学校数学建模教练组20052005-08 23Mathematical Contest in Modeling 层次分析法作业: 作业: 干部选拔有三个干部候选人Y1, 有三个干部候选人Y1, Y2, Y3, 选拔的标准有5个:品德,才能, 选拔的标准有5 品德,才能, 资力,年龄,群众关系.如何选择三人之一? 资力,年龄,群众关系.如何选择三人之一? 要求:1. 论文要有摘要; 要求:1. 论文要有摘要; 2. 要有较为完整的建模步骤; 要有较为完整的建模步骤; 3. 要有评注(模型的优缺点; 要有评注(模型的优缺点; 4. 要有参考文献(网络文献也可以; 要有参考文献(网络文献也可以; 5. 尽可能地使用Word排版或做成电子课件(用Powerpoint或其他课尽可能地使用Word排版或做成电子课件 Powerpoint或其他课排版或做成电子课件( 件制作软件形式. 件制作软件形式. 新余高等专科学校数学建模教练组 2005-08 数学建模教练组 2005-08 2005- 24。

专题：层次分析法一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。

如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统方案的优劣，显然是十分困难的。

尤其是物流系统的社会经济评价很难作出精确的定量分析。

层次分析法（Analytical Hierarchy Process ）由美国著名运筹学家萨蒂（T ．L ．Saaty ）于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。

目前，该方法在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。

它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。

◆ 层次分析法的基本原理人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。

这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。

假设有n 个物品，其真实重量用w 1，w 2，…w n 表示。

要想知道w 1，w 2，…w n 的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A 。

如果用物品重量向量W =[w 1，w 2，…w n ]T 右乘矩阵A ，则有：由上式可知，n 是A 的特征值，W 是A 的特征向量。

根据矩阵理论，n 是矩阵A 的唯一非零解，也是最大的特征值。

这就提示我们，可以利用求物品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W 。

从而确定最重的物品。

将上述n 个物品代表n 个指标（要素），物品的重量向量就表示各指标（要素）的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。

依此类推，如果n 个物品代表n 个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。

◆ 应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：（1）将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。

第一节层次分析的基本原理为了说明AHP的基本原理，首先分析下面这个简单的事实。

假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分别为W1,W2，…,Wn。

把这些西瓜两两比较（相除）,很容易得到表示n 只西瓜相对重量关系的比较矩阵(以后称之为判断矩阵):= （a ij）n×n （7.1.1）显然a ii= 1，a ij =1/a ij,a ij =a ik/a jk，i，j ，k = 1，2，…,n且AW = = = n W （7.1。

2)即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量A对应于特征根n的特征向量的各个分量.很自然,我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易的），能否导出西瓜的重量呢？显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题AW = λmax W求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1）,从而得到n只西瓜的相对重量.同样，对于复杂的社会公共管理问题，通过建立层次分析结构模型，构造出判断矩阵,利用特征值方法即可确定各种方案和措施的重要性排序权值，以供决策者参考。

事业AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。

所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系：a ij = ，i,j ，k = 1,2，…，n (7.1.4）上式完全成立是，称判断矩阵具有完全一致性。

此时矩阵的最大特征根λmax =n ，其余特征根均为零。

在一般情况下,可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且λmax 〉=n。

当判断矩阵具有满意的一致性时，稍大于矩阵阶数n，其余特征根接近于0,这时，基于AHP得出的结论才基本合理。

但由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所以判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验.第二节层次分析法的步骤用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤:（1）建立层次结构模型；（2)构造判断矩阵；（3）层次单排序；（4）层次总排序；（5）一致性检验.其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。

2 层次分析法2.1层次分析法的简单介绍层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP），是20世纪80年代由美国运筹学教授T. L. Satty 提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，它根据问题的性质和要达到的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层（总目标）的重要性权值。

在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比较问题, 由于经常出现多个方案互有好坏的情况。

因此要从成百上千个指标、方案中选择最佳的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。

在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比较问题, 但是如果就2个方案之间进行比较还是可以判断出相对好坏的。

于是, 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案比较过渡到两两之间的比较,从而解决多方案比较的问题, 这就是AHP法的基本思想。

2.2层次分析法的基本层次结构第一类：最高层，又称顶层、目标层。

第二类：中间层，又称准则层。

第三类：最底层，又称措施层、方案层。

层次结构图（一）层次之间的支配关系是完全的结构模型层(二) 层次之间的支配关系是不完全的结构模型2.3 判断矩阵设要比较n 个因素)...,,(21n y y y y =对目标z 的影响，从而确定它们在z 中所占的比重，每次取两个因素i y 和j y 用ij a 表示i y 与j y 对z 的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量ij a ，n 个被比较的元素构成一个两两比较（成对比较）的判断矩阵.)(n n ij a ⨯=A 显然，判断矩阵具有性质：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A nn n n n n a a aa a a a a a212222111211 ,0>ij a ,1ijji a a =1=ii a )...,2,1,(n j i =所以又称判断矩阵为正互反矩阵（简称正互阵，又称成对比较阵）。