转化思想在解题中的应用

转化思想在初中数学解题中的应用

作为一个初中数学学习者，在解题的过程中，有一个重要的能力就是转化思想。在解题过程中，能够使用转化思想，能够将复杂的问题转化为简单的问题，能够将问题的条件转化成解题的工具，具有很大的优势。下面我们就讨论一下在初中数学解题中如何应用转化思想。

一、利用等式化简

在代数运算中，我们时常要将一个式子化简为更简洁的形式以用于计算，而这种化简往往涉及到等式的运用。在初中数学中，解题时如果能够利用等式化简，将会事半功倍。

比如，下面这个问题：

“如果$2x+y=15$，$x-2y=1$，求$x^2+y^2$的值。”

我们可以利用等式将$x^2+y^2$的值转化成$(2x+y)^2+5(x-2y)^2$，而$(2x+y)^2+5(x-2y)^2=5x^2+29y^2-8xy=289$。

二、数形结合

数学中数形结合问题比较常见，利用图形中的角度、长度、面积等概念，可以将数学问题变得简单一些。例如，下面的问题：

“如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$的中线，$E$、$F$分别在边$AB$和$AC$上，使得$\angle CEF=\angle BCD$，$\angle BCE=\angle BCF$，若$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{BD}{DC}$。”

我们可以利用数形结合的思想，设$\triangle AED$与$\triangle

BEC$的面积分别为$S_1$和$S_2$，则$\triangle ADF$和$\triangle CEF$的面积分别为$\frac{2}{3}S_1$和$\frac{1}{3}S_2$，且$\triangle ABD=\triangle AED+\triangle

ADF$，$\triangle BDC=\triangle BEC+\triangle CEF$，于是$\frac{BD}{DC}=\frac{\frac{1}{3}S_2}{\frac{2}{3}(S_1+S_2)}=\frac{1}{2}$。

・　３８　・　中学数学月刊　２０１０年第９期　

例谈转化思想在初中数学解题中的应用　

卢伟峰　（江苏省张家港市妙桥中学２１５６１５）　

在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解　决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本最　

重要的思想方法．转化思想又称转换或化归思想，是　

一种把待解决或解决的问题经过某种转化过程，归结　到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去．可以　

说，在中学数学中转化思想无处不在无时不在．转化　的方法有很多，这里通过例题，谈几种常见转化．　

１　一般与特殊的转化　“从特殊到一般”和“从一般到特殊”是人们正　确认识客观世界的科学方法．在解题过程中使用从　

一般到特殊的思考，即考查具体问题的个性，把一般　原理和方法用到具体问题上去，从而发现行之有效　的特殊方法．　例１　若ａ＜ｂ＜０，则下列结论中正确的是　

（　）．　

（Ａ）ａ＋ｂ＜一＆＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ—ｂ　（Ｂ）ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一ａ＋ｂ＜～ａ—ｂ　（Ｃ）一ａ—ｂ＜ａ—ｂ＜～ａ＋ｂ＜ｎ＋ｂ　

（Ｄ）一ａ—ｂ＜ａ＋ｂ＜～ａ＋ｂ＜ａ—ｂ　分析　直接比较四个代数式的大小，由于太抽　象，所以困难较大，但因ａ和ｂ均在一定范围内取值，　

故不妨赋予ａ和ｂ均在一定范围内的特殊值．　

因口＜６＜０，不妨设ｎ一一３，６一一２，　

故ａ十ｂ一一５，一ａ＋ｂ＝１，＆～ｂ一一ｌ，一口一　

ｂ一５．　所以ａ＋ｂ＜ａ—ｂ＜一“＋ｂ＜一ａ—ｂ．选Ｂ．　

当　＞０时，ｇ（　）＜ｇ（０）一０，　所以，当～１＜　＜０时，厂（ｚ）＞０，即厂（ｚ）在　

（一１，Ｏ）上为增函数；　当ｚ＞０时，厂（　）＜０，－厂（ｚ）在（ｏ，＋ｏｏ）上为　

减函数．　故函数＿厂（ｚ）的单调递增区间为（一１，０），单调　

递减区间为（０，＋。。）．　故　一０时，－厂（ｚ）有极大值０．　点评　利用二次求导“挖”出零点，进而实现单　

调性的判断．　３　整合重组型　

此法常见于利用构造法证不等式的题型中，当直　接构造的函数难以求得零点时，我们可以整合重组函　

所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。

转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图：

转化具有多向性、层次性和重复性的特点。为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。

转化思想方法包含三个基本要素：

1、把什么东西转化，即转化的对象；

2、转化到何处去，即转化的目标；

3、如何进行转化，即转化的方法。

转化思想方法应遵循以下五条原则：

1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。

2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。

3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。

4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。

关于转化思想方法在高中数学解题中的应用探讨

摘要：随着我国新课改的逐步深化，课堂教学也提出了越来越多的要求，不仅要在课堂当中对一些基础知识进行详细的讲解，还需要重视教学方法的合理应用，提升教学的有效性。而数学作为一门逻辑性较强的学科，不仅需要掌握基础知识的熟练度，还要重视数学的思想方法，转化思想是中学数学中最基本的思想方法之一，它在高中数学解题中占有十分重要的地位。本文将转化思想的相关内涵、以及转化思想方法在不同高中数学解题中的应用提供合理的方法和策略，希望能为相关的教育人员提供一些参考和帮助。

关键词：转换思想；高中数学解题；应用；策略

所谓的转化思想，就是指的是在处理数学问题的过程中，需要通过一些技巧将问题进行转换，从而得到一种新的解决方法。一般指的是将一些陌生的问题通过转化，从而成为一些已知的知识进行解答；将复杂的问题转化成容易的问题进行解答；将难以解决的问题，经过转换成为容易解决问题；将模糊的问题转化成清晰的问题进行解答。这种通过转换方法，将问题由难相依，转化的过程就是数学当中的转化思想。

一、转化思想在中学代数问题当中的应用策略

在学习代数的过程当中经常会用到等价转化以及非等价转化。等价转化的思想，需要在解题的过程当中保障前面的问题不仅是后面问题的充分条件，还要是后面问题的必要条件，只有这样才可以保障在解题过程中实现同解。例如在进行方程问题的解答是虽然方程有很多类型，解决的方法也各不相同，然而大多数的解决办法都是通过降次法，从高次的方程逐渐转化为低次的方程，还可以利用消元法，将多元的方程式转化为一元方程式，或者是利用转化的思想，将不好求解的分式方程转化为整式方程，这些转化的方法都体现出了，等驾照花的解题思路而等驾转化的解题思路，不仅需要考虑各个因素，而且还要顾及到二者之间的转化联系。例如在高中数学当中要解决不等式恒成立求参数的取值范围的解题，首先可以通过分离参数求最值的问题，如要使a≥g（x）恒成立，只需a≥g（x）max，从而转化为求g（x）的最大值问题。除此之外，当出现参数不容易分离出来时，可以直接建立关于参数的不等式求最值问题求解，比如要使不等式f（x）≥0恒成立，可转化为f（x）min≥0，进而转化为求f（x）的最小值h（a）≥0，求出参数的取值范围。由此可见，在代数当中，要实现非等价的思想转化，就需要在解答的过程中找到让原题可以充分成立的条件。例如在不等式当中的放缩解题法，就是不等式转化的经典例子，通过进一步转化，可以使得推理和证明的过程更加简洁化。