转化思想在高中数学解题中的应用

转化思想在高中数学解题中的应用

摘要：数学知识本身就具有一定的抽象性特征，高中数学以研究集合、函数、数列、概率、立体几何和解析几何等为主，显得更为抽象，相应的试题难度更大，对学生思维能力有着更高的要求，在解题训练中，教师需教导他们学会应用转化思想，使其顺利突破疑难障碍。笔者针对转化思想怎么在高中数学解题中有效应用进行探讨，同时分享一些列个人建议。

关键词：转化思想 高中数学解题

转化思想通俗来讲即为把一个问题实现由复杂到简单、由困难到容易、由繁杂到简单的转化过程，这是一种十分重要的数学思维方式与解题思想。在高中数学解题教学中，教师需指导学生根据具体题目巧妙应用转化思想，将题目的难度有效降低，使其尽快找到解题的突破口，提升答案的准确度，增强他们的解题自信，为将来的高考做准备。

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应用转化思想解决高中数学集合试题

集合是高中生最先接触的数学知识，属于最基本的概念与学习内容，还是学习函数、数列等知识的基础，虽然这类知识学习起来难度一般，但是在解题训练中也有不少难度较大的题目，对他们来说处理起来较为不易。在集合试题的讲解中，面对集合表达带来的形式复杂、解题难度较大的问题，可以通过转化的方式来找到更加合适的切入点，从而寻找到新的突破口，进而能够顺利解答出题目[1]。

例1：已知集合M＝{（a，b）丨a2＋b2＝1}，集合N＝{（a，b）丨a＋b＝1}，求集合M与N的交集。解析：M是N的子集合可以转化为M∩N＝M，M∪N＝N，根据题目中给出的M、N两个集合中元素的表示形式来看，可以轻松判断出这两个集合表示的均是平面上的点，其中集合M表示的是圆心在原点、半径是1的圆上所有点，集合N则表示的是直线a＋b－1＝0上的所有点，据据此发现集合M与集合N的交集表示的为圆与直线的交点。具体解答过程如下：根据M＝{（a，b）丨a2＋b2＝1}，N＝{（a，b）丨a＋b＝1}可以得到a2＋b2＝1，a＋b－1＝0，将两个式子联立起来，得到a＝0，b＝1，或者a＝1，b＝0，由此得出M∩N的集合是（1，0）与（0，1）。这样学生应用转化思想将集合问题转化成自己熟悉的方程组知识，他们便能够很快的求出问题解决之道。

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利用转化思想解析高中数学函数试题

虽然学生在初中阶段就有所接触函数，但是高中数学中的函数知识同初中相比，概念更为抽象和难懂，不仅函数形式更为丰富，解析式也变得更加复杂，这就导致试题难度有所增加，他们遇到难题的概率也随之提升。因此，在高中数学函数解题训练中，当学生遇到一些难度较大或者无法找准解题切入点的题目时，可以引导学生利用转化思想对试题中的信息进行解析，使其将原题目变得容易处理，从而助推他们以尽快的速度求出试题的正确答案。

例2：已知函数f（x）＝－2x2＋bx＋c，当x＝1时，函数f（x）取得最大值，为1，当n＞m＞0时，且函数f（x）中的x范围是n＞x＞m时，f（x）的取值范围介于 和 之间，求参数m与n的值。解析：本题要用到转化思想将函数问题转化成方程问题，具体来说，依据题意f（x）＝－2（x－1）2＋1与f（x）≤1可得，当 ≤1时，m的值必然大于等于1，即m≥1，据此知道函数f（x）在定义域m到n上的单调性是递减的，也就是说函数f（x）在定义域m到n上为减函数，所以就有f（m）＝－2（m－1）2＋1＝ ，f（n）＝－2（n－1）2＋1＝ ，且可以明确知道m和n是函数f（x）＝－2（x－1）2＋1＝ 的两个实数根，据此能够获得方程（x－1）（2x2－2x－1）＝0，通过解方程得到x1＝1，x2＝ ，x3＝ ，又因为n＞m≥1，所以参数m＝1，参数n＝ 。

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运用转化思想处理数学中不等式试题 不等式可谓是贯穿于小学、初中与高中，与学生的整个学习生涯都有交点，在高中数学教学中，应用转化思想解决不等式试题时，主要是应用直观化与和谐化的原则，把一些抽象化的数学问题转化成更为形象和直观的问题，驱使他们更为迅速的处理试题。例如，在进行数形转化、不等式等的教学时，通过转化思想来指导学生以数解形、以形助数，从而高效、灵活的解答问题[2]。

例3：已知三角形ABC三个内角分别是∠A，∠B与∠C，请证明sinA＋sinB＋sinC≤ 。学生通过对这一题目的分析，发现这是一道关于正弦三角函数的不等式试题，那么在一个函数y＝sinx的图像上，他们将会很容易的联想到把三角形与正弦曲线结合在一起，通过图像把题干中的空间关系与数量关系作统一处理，最终形象直观的把问题呈现出来，如下图所示。接着，学生通过观察图像，发现P（A，sinA），Q（B，sinB），R（C，sinC）是函数y＝sinx图像上的三个点，所以，三角形PQR的重心是G（ ， ），根据对图像的分析可知，点G在曲线y＝sinx的下方，由此可以得到丨SG丨≤丨ST丨，就能够顺势得到 ≤sin ＝ ，最终证明不等式sinA＋sinB＋sinC≤ 成立。如此，学生结合题干中提供的条件和具体特征以函数形式来呈现，合理转化题目中的条件和结论，让他们利用函数的相关性质来处理试题，最终得到准确答案。

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采用转化思想分析解答三角函数试题

在高中数学三角函数解题教学中，应用转化思想来解题是一种十分常用的方法，主要通过转化思想中的简单化原则，将一些辅助的三角函数试题变得简单化，帮助学生理清题目中各个条件之间的关系，使其快速形成清晰的解题思路，提升他们处理三角函数问题的能力。

此外，在解题教学中，转化思想发挥着分解、构造、转化的作用，具有良好的思维拓展空间，在高中教学实践中有广阔的应用空间，以此，教师应该注重在三角函数等解题中，教授学生能够融会贯通的使用此思想[3]。

例4：假如一条直线3x＋4y＋m＝0与圆（x＝1＋cosθ，y＝－2＋sinθ）两者之间不存在公共点，那么请求出实数m的取值范围。分析：针对这一题目，以往的解题方法是先对圆的方程进行转化，再求出圆的圆心左边是（－1，2），半径是1，然后运用圆心到直线的距离公式来求出相应的代数式，最后是的代数式的值大于1展开求解，虽然这样的方式也可以求出最终节后，不过计算过程较为繁琐和麻烦。这时教师可以提醒学生采用转化思想，把圆（x＝1＋cosθ，y＝－2＋sinθ）直接代入到直线3x＋4y＋m＝0里面，化简以后得到等式3cosθ＋4sinθ＝5－m，由于题干中说明直线和圆不存在交点，即为－5≤3cosθ＋4sinθ≤5，也就是说－5≤5－m≤5，由此轻松求出实数m的范围是m≥10或者m≤0。如此，学生通过转化思想的应用可很快解答这一试题，并锻炼他们运用转化思想把三角函数简单化处理的解题思维。

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使用转化思想解答高中数学概率试题

概率也是贯穿于整个数学教学的一个重要知识点，且同现实生活有着密切关联，这类题目一般题干较长，涉及到的信息较多，学生通过简单阅读和审题很难发现其中的关系，他们通过正向思维通常难以解题，不过可以应用转化思想中的正难则反来进行解题。具体来说，高中数学教师在概率类解题教学实践中，可以指引学生使用转化思想适当从反面分析与研究题目内容，既有助于他们更好的解答概率试题，还能够有效培养与训练自身的逆向思维。

例5：李明与张军同时参加数学知识竞赛，一共有10道不同的题目，其中选择题有6道，填空题有4道，他们两人分别抽取一道题，那么李明与张军两人至少一人抽到选择题的概率是多大？解析：李明与张军两人中至少一人抽到选择题包括以下三种情况：李明和张军两人任意个人抽到选择题，另外一人没有抽到；两个人都抽到。如果从正面开始分析，需要讨论的情况有很多，解题过程将会异常繁杂，还容易出现错误。此时，教师可以指导学生采用转化思想，从问题的反方向分析与研究，先求出李明和张军两人同时抽到选择题的概率，这样他们两个至少一人抽到选择题的概率就能够轻松求出。解：李明与张军两人同时抽到选择题的概率是 ＝ ，那么他们两个人中至少一个人抽到选择题的概率是1－ ＝1－ ＝ 。

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借助转化思想解决高中数学几何试题

在高中数学课程体系中，几何知识以立体几何与解析几何为主，这类试题难度同平面几何相比有着显著提升，对学生的思维能力、空间观念、理解能力与解题能力均有较高要求，他们极易陷入到解题困境之中。针对这种情况，在进行此类几何题目讲解中，教师应该引领学生打开思路，结合转化思维来解题，在立体、平面几何和代数之间相互转化，不断的化难为易、化繁为简，从而得出最终正确答案[4]。

例6：已知在同一个平面直角坐标系中，有椭圆方程是 ＋y2＝1，以及一条直线的极坐标方程，是2cos（θ＋ ）＝3 ，求该椭圆上的点到这条直线的最远和最近距离。阅读完这道题目以后，学生发现叙述的较为抽象，要通过空间观念在大脑中构建场景，在一个平面直角坐标系中有一个椭圆与一条直线，求的是这个椭圆上到这条直线最远和最近的点，他们一时之间很难确定解题思路，不知道该如何下手，陷入到困境之中。此时，教师要提醒学生借助转化思想分析题目内容，转化题目中出现的定义，其中在图元和双曲线中点到左焦点的距离与点到右焦点的距离同样可以互相转化，如果在高中数学解题训练中遇到诸如这种求椭圆上的点到直线距离的最值问题时，让他们先将椭圆参数方程问题转化成三角函数形式，在利用函数知识求最值，这样是把解析几何类问题顺利转化为代数类问题，从而帮助学生轻松的解答试题。 1.

总结

总而言之，转化思想是高中数学解题中的一个常用方法，在平时的解题训练中，教师需注重转化思想的灵活渗透，引领学生熟练掌握与迁移应用转化思想来巧妙的分析与解答数学试题，使其学会推展解题思想，快速、准确地找到解题的切入点，将复杂试题变得简单化，抽象试题变得形象化，让他们能够简化解题过程，进而提升自身的数学思维与解题能力。

参考文献：

[1]王婧.关于转化思想方法在高中数学解题中的应用探讨[J].名师在线,2021(29):23-24.

[2]徐艳红.巧借转化思想，让高中数学解题“柳暗花明”[J].中学课程辅导(教师通讯),2020(15):81-82.

[3]罗方.转化思想方法在高中数学解题中的应用对策初探[J].数理化解题研究,2020(16):31-32.

[4]沈建梅.转化思想方法在高中数学解题中的应用探析[J].数学学习与研究,2020(09):25.